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中考模拟练二次函数解答题（难点）
一、解答题
1．（2022·浙江丽水·一模）已知抛物线（其中m是常数）．
(1)若抛物线L与x轴有唯一公共点，求m的值；
(2)当时，抛物线L上的点P到x轴的距离等于1，求点P的坐标；
(3)若直线与抛物线L交于A，B两点，无论m取何值时，线段的长度不变，求k的值及线段的长度．
2．（2022·浙江·松阳县教育局教研室一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A(4，0)，点C(0，4)．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG:GB=3:1．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．
已知OE=m，OF=t．
①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？
②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·浙江杭州·九年级期末）在直角坐标系中，设函数（是实数）．
(1)当时，若该函数的图像经过点，求函数的表达式；
(2)若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围；
(3)若该函数的图像经过两点（是实数）．当时，求证：0≤ab＜4．
4．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图像，则这个新函数叫做原函数的“新生函数”．例如：图①是函数的图象，则它的“新生函数”的图象如图②所示，且它的“新生函数”的解析式为，也可以写成．
(1)在图③中画出函数的“新生函数”的图像．
(2)函数的“新生函数”与直线有三个公共点，求m的值．
(3)已知A(－1，0)，B(3，0)，C(3，－2)，D（－1，－2)，函数的“新生函数”图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
5．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），那么我们把|x1 x2|叫做函数G在直线l上的“截距”．
(1)求双曲线G：与直线l：上的“截距”；
(2)若抛物线与直线相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若“截距”为，且x1＜x2＜0，求b的值；
(3)设m，n为正整数，且，抛物线在x轴上的“截距”为d1，抛物线在x轴上的“截距”为d2．如果对一切实数t恒成立，求m，n的值．
6．（2022·浙江湖州·九年级期中）抛物线过点A（－1，0），点B（3，0），顶点为C．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作，边EF交x轴于点F，当AF的长度最大时，求点E的坐标．
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线，，是常数，的对称轴为直线．
(1) ；（用含的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在轴上，求的值；
(3)若抛物线过点，当时，二次函数的最值是，求的取值范围；
(4)当时，若关于的方程式在的范围内有解，求的取值范围，请借助函数图象解决问题．
8．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线是常数）上．
(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求的取值范围；
(2)若抛物线的顶点在反比例函数的图象上，且，求的值；
(3)若当时，都有，求的取值范围．
9．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，．
(1)若，
①点到轴的距离为______；
②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；
(2)已知点到轴的距离为，若此抛物线与直线必有两个交点，分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．
10．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞0)与y轴交于点C(0，－8)，顶点D的纵坐标是－9．
(1)求点D的坐标(用含b的代数式表示)；
(2)若直线y＝kx－k(k≠0)与抛物线有一个交点A(x0，y0)；点(x，y)在抛物线上，当x＞x0时，y＞0；当0＜x＜x0时，y＜0．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移9个单位长度后，得到的新抛物线与直线y＝kx＋12交E，F两点，过点E，F的两条直线分别与新抛物线均只有一公共点，且这两条直线交于点P，直线PE与PF都不与y轴平行，求证：点P在一条定直线上．
11．（2021·浙江工业大学附属实验学校三模）设二次函数y1＝nx2+mx+n﹣5（m，n为常数，m≠0）且m+2n＝3．
(1)若该二次函数的图象过点(2，4)，求二次函数的表达式；
(2)函数y1的图象始终过一个定点M，求点M的坐标．
(3)已知点P(x0，a)与Q(1，b)都在函数y1的图像上，若x0＜1时，a＞b，求x0的取值范围（用含n的代数式表示）．
12．（2021·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
(3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
13．（2022·浙江金华·一模）如图，把两个全等的和分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O、A、C三点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·浙江杭州·九年级期末）已知函数（为常数）．
(1)若图象经过点，判断图象经过点吗？请说明理由；
(2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；
(3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
15．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c分别与x轴交于点A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，点P(m，0)为线段OB上（不含端点）的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点K，交直线BC于点J．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当PJ：JK＝1：2时，求m的值；
（3）点Q是直线BC上的一个动点，将点Q向右平移5个单位长度得到点T，若线段QT与抛物线只有一个公共点，请直接写出点Q的横坐标n的取值范围．
16．（2021·浙江温州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为C，点B为抛物线对称轴上一动点．
（1）抛物线的函数表达式为________，抛物线的对称轴为________．
（2）线段绕点B顺时针旋转得到，当点P落在抛物线上时，求出点B坐标．
（3）当点B在x轴上时，M，N是抛物线上的两个动点，M在N的右侧，若以B，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点M的横坐标．
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中考模拟练二次函数解答题（难点）
一、解答题
1．（2022·浙江丽水·一模）已知抛物线（其中m是常数）．
(1)若抛物线L与x轴有唯一公共点，求m的值；
(2)当时，抛物线L上的点P到x轴的距离等于1，求点P的坐标；
(3)若直线与抛物线L交于A，B两点，无论m取何值时，线段的长度不变，求k的值及线段的长度．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或或
(3)，
【解答】
（1）将解析式变为顶点式，找出顶点坐标，令纵坐标为0，求出m的值即可；
（2）将m=1代入求出解析式，令y=±1，分别求出x的值，即可求出P点坐标；
（3）根据顶点坐标判断顶点在直线上，线段AB的长度要保持不变，则可得k=2，联立两个解析式求出点A、B的坐标，即可求出线段AB的长．
(1)
将抛物线的解析式变为顶点式：
∴顶点坐标为，
∵L与x轴有唯一公共点，即顶点在x轴上，
∴，
解得．
(2)
当时，抛物线表达式为，
∵点P到x轴的距离为1，
∴y=1或-1，
令，解得，
令，解得，
∴点P的坐标为或或．
(3)
因为该抛物线的顶点坐标为，
所以抛物线的顶点在直线上，
线段的长不变，则直线与直线互相平行，
所以，
令，
解得，
当时，，
当时，，
点A、B的坐标分别为：
，
则线段AB的长=，
故k的值为2，线段AB的长度为．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握求二次函数顶点式，函数上的点到坐标轴的距离和抛物线与直线交点的方法是解题的关键．
2．（2022·浙江·松阳县教育局教研室一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A(4，0)，点C(0，4)．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG:GB=3:1．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．
已知OE=m，OF=t．
①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？
②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点D的坐标为(-1，0)；
(2)①当时，m有最大值，；②存在，当时点恰好落在抛物线上
【解答】
（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）①证明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R (-m，2t)，点Q (2t，-m)，代入二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解．
(1)
解：∵点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，
∴OA=OC=BC=4，
∵CG:GB=3:1．
∴CG=3，BG=1，
∴点G的坐标为(3，4)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A(4，0)，C(0，4)，G (3，4)，代入y=ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4，
令y=0，则-x2+3x+4=0，
解得x=4或x=-1，
∴点D的坐标为(-1，0)；
(2)
解：①∵EF⊥FG，∴∠EOF=∠GFE=∠GCF=90°，
∵∠EFO+∠FEO=∠EFO+∠CFG=90°，
∴∠FEO=∠CFG，
∴△EOF∽△FCG，
∴，即，
∴m=-t2+t=-(t-2)2+，
∴当t=2时，m有最大值，最大值为；
②∵点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，
∴点B的坐标为(4，4)，
设直线OB的解析式为y=kx，
把(4，4)，代入得：4=4k，解得k=1，
∴直线OB的解析式为y=x，
过点R作RS⊥y轴于点S，
∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，
∴RF=EF，∠RFS=∠EFO，
∴△RFS≌△EFO，
∴RS=EO=m，FS=FO=t，则SO=2t，
∴点R的坐标为(-m，2t)，
∵点R与点Q关于直线OB对称．
同理点Q的坐标为(2t，-m)，
把Q (2t，-m)代入y=-x2+3x+4，得：-m=-4t2+6t+4，
由①得m=-t2+t，
∴t2-t=-4t2+6t+4，
解得，（舍去），
∵，∴当时点G恰好落在抛物线上．
．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、轴对称图形的性质，根据题意画出图形是解答问题的关键．
3．（2022·浙江杭州·九年级期末）在直角坐标系中，设函数（是实数）．
(1)当时，若该函数的图像经过点，求函数的表达式；
(2)若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围；
(3)若该函数的图像经过两点（是实数）．当时，求证：0≤ab＜4．
【答案】(1)y＝x2+3x﹣4；
(2)m；
(3)证明见解析．
【解答】
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x＝m，根据二次函数的性质即可得出m2，解得即可；
（3）把（0，a），（3，b）两点代入y＝（x﹣m）（x﹣n），表示出a和b，然后将ab配方可得．
(1)
当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n），
把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n），
∴n＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4；
(2)
∵y＝（x﹣m）（x﹣n），
∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴n＝m﹣1，
∴对称轴为直线x＝m，
∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴m2，
∴m；
(3)
证明：∵函数的图像经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数），
∴a＝mn，b＝（3﹣m） （3﹣n），
∴ab＝mn （3﹣m） （3﹣n）
＝m（3﹣m） n（3﹣n）
＝[﹣（m）2][﹣（n）2]，
∵2≤m＜n≤3，
∴0＜﹣（m）22，
0≤﹣（n）22，
∴0≤ab＜4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
4．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图像，则这个新函数叫做原函数的“新生函数”．例如：图①是函数的图象，则它的“新生函数”的图象如图②所示，且它的“新生函数”的解析式为，也可以写成．
(1)在图③中画出函数的“新生函数”的图像．
(2)函数的“新生函数”与直线有三个公共点，求m的值．
(3)已知A(－1，0)，B(3，0)，C(3，－2)，D（－1，－2)，函数的“新生函数”图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【解答】
（1）根据“新生函数”的定义画出函数的“新生函数”的图像即可；
（2）分直线过抛物线与y轴的交点和直线与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）先求出的“新生函数”解析式，再分和两种情况列出不等式求解即可．
(1)
如图，即为函数的“新生函数”的图像
(2)
如图，
对于，当x=0时，y=2,
∴函数与y轴的交点坐标为（0，2）
当直线经过点（0，2）时，m=2；
当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：，
整理得，，
此时，，
解得，m=,
综上，m的值为2或；
(3)
函数的“新生函数”解析式为，
情形一：如图1所示，
当x=-1时，，
∴，
解得，；
情形二，如图2所示，
当x=3时，
∴
解得，；
综上，n的取值范围为或．
图1 图2
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“新生函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
5．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），那么我们把|x1 x2|叫做函数G在直线l上的“截距”．
(1)求双曲线G：与直线l：上的“截距”；
(2)若抛物线与直线相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若“截距”为，且x1＜x2＜0，求b的值；
(3)设m，n为正整数，且，抛物线在x轴上的“截距”为d1，抛物线在x轴上的“截距”为d2．如果对一切实数t恒成立，求m，n的值．
【答案】(1)截距为1
(2)
(3)或
【解答】
（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标，即可求解；
（2）由直线与轴成角，可得，由一元二次方程可得，可求的值；
（3）分别求出，，解不等式可求解．
(1)
解：根据题意可得
解得：或
，，
双曲线与直线上的“截距”，
(2)
解：直线与轴成角，
△
解得：，，
，
(3)
解：令，则，
，，
由，
，，
，
对一切实数恒成立，
，
，
①
当，且△时，①式对于一切实数恒成立，
且，为正整数，
或．
【点睛】
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程等多个知识点，综合性较强，有一定的难度，题干中定义了“截距”新概念，解题的关键是理解“截距”这概念．
6．（2022·浙江湖州·九年级期中）抛物线过点A（－1，0），点B（3，0），顶点为C．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作，边EF交x轴于点F，当AF的长度最大时，求点E的坐标．
【答案】(1)；顶点C（1，4）
(2)P（，）
(3)点E的坐标（0，2）
【解答】
（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式中，解方程组即可，将一般式化为顶点式可得点C的坐标；
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CG⊥x轴于点G，易得F点是AC的中点，从而可得DF⊥AC，则由△AFO∽△FDO可求得OD的长，从而得点D的坐标，用待定系数法可求得直线CD的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P的坐标；
（3）过点P作PH⊥AB于点H，设，，则，利用△CEP∽△AFE对应边成比例，可得y与x的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
(1)
将点A(－1，0)，点B(3，0)代入
得:，解得:
∴抛物线的表达式为
∵
∴顶点C(1，4)
(2)
设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CG⊥x轴于点G
∵A(－1，0)，C(1，4)
∴OA=1，OG=1，CG=4
∴OA=OG，
∵FO⊥AB，CG⊥AB
∴FO//CG
∴OF=CG=2，F为AC的中点
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形
∴DF⊥AC
∴∠AFO+∠OFD=90°
∵FO⊥AD
∴∠FAO+∠AFO=90°
∴∠FAO=∠OFD
∴
∴
∴
∴OD=4
∴D(4，0)
设直线CD的解析式为
∴，解得：
∴直线CD的解析式为
∴，解得：或
∴P(，)
(3)
过点P作PH⊥AB于点H，如下图
则，
∵OD=4
∴
∴
∵
∴
由（2）知：
设，，则
∵DA=DC
∴
∵，
又∵
∴
∴△CEP∽△AFE
∴
∴
∴
∴当时，y最大值，即AF有最大值
∵
∴点E是线段AC的中点，即AC与y轴的交点
由（2）知，OE=2
∴点E的坐标(0，2)
【点睛】
本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，直线与抛物线交点，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，利用相似表示出AF与AE的函数关系是解题的关键与难点．
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线，，是常数，的对称轴为直线．
(1) ；（用含的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在轴上，求的值；
(3)若抛物线过点，当时，二次函数的最值是，求的取值范围；
(4)当时，若关于的方程式在的范围内有解，求的取值范围，请借助函数图象解决问题．
【答案】(1)；
(2)0；
(3)；
(4)
【解答】
（1）由抛物线的对称轴公式；由对称轴，可以转化为用表示；
（2）根据抛物线的顶点在轴上，可知抛物线与轴只有一个交点，所以△，可得，从而得的值；
（3）由题意可知：抛物线的顶点是，根据最值是，可得不等式组：，可解答；
（4）由时，可得，根据关于的方程在的范围内有解，则，看作是抛物线与直线在的范围内有交点，画抛物线在的范围内与有交点，可得结论．
(1)
由题意得：抛物线的 解得，
故答案为：；
(2)
抛物线的顶点在轴上，
△，
，
，
，
，
；
(3)
抛物线过点，且对称轴为直线，
抛物线的顶点是，
当时，二次函数的最值是，
，解得：；
(4)
当时，，
抛物线，
关于的方程式在的范围内有解，即关于的方程在的范围内有解，
，
可以看作是抛物线与直线在的范围内有交点，
当时，，时，，
如图所示，由图象得：的取值范围：．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值等知识．在（4）中确定画抛物线y=x2+4x与直线y=c有交点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
8．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线是常数）上．
(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求的取值范围；
(2)若抛物线的顶点在反比例函数的图象上，且，求的值；
(3)若当时，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解答】
（1）用表示抛物线顶点，根据顶点在第二象限列不等式即可得到答案．
（2）根据题意得到，解得，即可求得顶点为，由，可知点，，，关于直线对称，根据二次函数的对称性即可求得；
（3）根据题意结合二次函数的性质即可得到或，解得或．
(1)
，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点在第二象限，
，
解得；
(2)
抛物线的顶点在反比例函数的图象上，
，
解得或，
，
，
顶点为，
，
点，，，关于直线对称，
，
；
(3)
当时，都有，
或，
解得或，
故的取值范围为或．
【点睛】
本题为二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，各象限内点的坐标特征，反比例函数的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
9．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，．
(1)若，
①点到轴的距离为______；
②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；
(2)已知点到轴的距离为，若此抛物线与直线必有两个交点，分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．
【答案】(1)①16；②
(2)；
【解答】
（1）将代入函数解析式求点的纵坐标，进而求解；
把代入函数解析式，分别求出，，再作差求解；
（2）由点到轴的距离为可得，根据，结合图象可得抛物线开口向上时，点在点右侧时满足题意，进而求解．
(1)
解：把代入得，
点坐标为，
点到轴距离为，
故答案为：．
将代入得，
解得，，
．
(2)
解：点坐标为，
，
解得，
当时，总满足，
当时，随增大而减小，
，
当点在点右侧或与点重合，抛物线开口向上时满足题意，如图，
，
点纵坐标为，
将代入得，
解得，
时满足题意，
令，整理得，
抛物线与直线有个交点，
，
解得，
．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
10．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞0)与y轴交于点C(0，－8)，顶点D的纵坐标是－9．
(1)求点D的坐标(用含b的代数式表示)；
(2)若直线y＝kx－k(k≠0)与抛物线有一个交点A(x0，y0)；点(x，y)在抛物线上，当x＞x0时，y＞0；当0＜x＜x0时，y＜0．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移9个单位长度后，得到的新抛物线与直线y＝kx＋12交E，F两点，过点E，F的两条直线分别与新抛物线均只有一公共点，且这两条直线交于点P，直线PE与PF都不与y轴平行，求证：点P在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)① ②见解析
【解答】
(1)把点C的坐标代入，可得c=-8，再由顶点D的纵坐标是－9，可得，据此即可求得；
(2)①由题意可得点A的坐标为(1,0)，代入解析式，即可求得解析式；②首先根据平移的规律可求得新抛物线的解析式，设点，，由可得，再设过点E的直线为y=mx+n，可求得过点E的直线为，解得，同理可得过点F的直线为，，最后联立即可求得．
(1)
解：将C(0，－8)代入解析式，得c=-8
顶点D的纵坐标是－9
，可得
顶点D的横坐标是
点D的坐标为；
(2)
解：①由y=kx-k=k(x-1)可知，该直线必过点(1,0)
当x＞x0时，y＞0；当0＜x＜x0时，y＜0
该抛物线的开口向上，
当点A的坐标为(1,0)时，满足该条件
点A的坐标为(1,0)
把点A的坐标代入
得
解得或
故该函数的解析式为；
②
将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移9个单位长度后，得到的新抛物线为：
设点，
由得
，
设过点E的直线为y=mx+n
得
过点E的直线与新抛物线只有一公共点
，
可得
解得，则
故过点E的直线为
解得
同理可得过点F的直线为，
联立得：
这两条直线的交点P在定直线y=-12上．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，平移的规律，二次函数与方程，一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，综合性质比较强，求出过点E，F的直线是解决本题的关键．
11．（2021·浙江工业大学附属实验学校三模）设二次函数y1＝nx2+mx+n﹣5（m，n为常数，m≠0）且m+2n＝3．
(1)若该二次函数的图象过点(2，4)，求二次函数的表达式；
(2)函数y1的图象始终过一个定点M，求点M的坐标．
(3)已知点P(x0，a)与Q(1，b)都在函数y1的图像上，若x0＜1时，a＞b，求x0的取值范围（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)y=3x2-3x-2；
(2)（1，-2）；
(3)．
【解答】
（1）利用待定系数法即可求该二次函数的表达式．
（2）将m+2n=3代入二次函数y1=nx2+mx+n-5（a，b为常数，a≠0）中，整理得y1=[nx2+（3-2n）x+n-3]-2=（nx-n+3）（x-1）-2，可知恒过点（1，-2）；
（3）通过y1=ax2+（3-2a）x+a-5，可求得对称轴为x=，因为x0＜1，且a＞b，所以只需判断对称轴的位置即可求x0的取值范围．
(1)
∵二次函数y1=nx2+mx+n-5（m，n为常数，n≠0）的图象经过点（2，4），且m+2n=3，
∴，
∴，
∴函数y1的表达式为y=3x2-3x-2；
(2)
∵m+2n=3，
∴二次函数y1=nx2+mx+n-5=nx2+（3-2n）x+n-5，
整理得，y1=[nx2+（3-2n）x+n-3]-2=（nx-n+3）（x-1）-2，
∴当x=1时，y1=-2，
∴y1恒过点M（1，-2），
故点M的坐标为（1，-2）；
(3)
∵y1=nx2+（3-2n）x+n-5，
∴对称轴为x=，
∵x0＜1，且a＞b，
∴当n＞0时，对称轴，解得，
当n＜0时，对称轴，解得（不符合题意，故x0不存在），
故x0的取值范围为：．
【点睛】
此题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的对称轴的位置来判断函数值的大小．
12．（2021·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
(3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线x＝a﹣1
(2)①y=0；②x1＝a﹣2
(3)a≥﹣1
【解答】
（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣求解即可；
（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，求出x1的值．
（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．
(1)
解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；
(2)
解：①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a
＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a
＝0；
②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，
∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，
∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝a﹣2；
(3)
解：①当a≥﹣1时，
∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，
∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．
若x1＜x2＜a﹣1，
∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意；
若x1＜a﹣1＜x2，
∵a﹣1≥﹣2，
∴2（a﹣1）≥﹣4，
∵x1+x2＜﹣4，
∴x1+x2＜2（a﹣1）．
∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．
∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意．
②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
13．（2022·浙江金华·一模）如图，把两个全等的和分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O、A、C三点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)
(3)存在，P点的坐标为
【解答】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线OC的解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．
(1)
解：由题意：A(2，4)，C(4，2)，O(0，0)，
因为抛物线y=ax2+bx+c经过点O，A，C，
∴，
解得，，，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．
令G点的横坐标为m（0设直线OC的解析式为y=kx+b，把C(4，2)，O(0，0)代入得：
b=0，4k+b=2，k=，
∴直线OC的解析式为y=x，则K(m，m)
∴
，
当时，的值最大为6，此时GH的值为最大，
，
∴，，
∴G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)；
(3)
解：存在．
如图所示，过点M作于点R，过点P作于点T．
由题意：，
∴MR=PT，
∵AM=BP，
∴．
∴
设点M的横坐标为t，则．
由（2）知：直线OC的解析式为，则
∴，
当时，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，无实数解．
∴，此时
∴P点的坐标为．
【点睛】
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、相似三角形，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．
14．（2022·浙江杭州·九年级期末）已知函数（为常数）．
(1)若图象经过点，判断图象经过点吗？请说明理由；
(2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；
(3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
【答案】(1)经过，理由见解析
(2)n＝﹣m2﹣6m．
(3)4或6
【解答】
（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；
（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．
（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．
(1)
解：经过，
把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：
4﹣2b+3b＝4，
解得b＝0，
∴此函数表达式为：y＝x2，
当x＝2时，y＝4，
∴图象经过点（2，4）；
(2)
解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），
∴﹣＝m，＝n，
∴b＝﹣2m，
把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．
即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．
(3)
把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，
∵抛物线不经过第三象限，
∴3b≥0，即b≥0，
∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，
∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），
∵﹣≤0，
∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，
解得b≤12，
∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，
解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．
当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，
解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．
综上所述，b＝4或6．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
15．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c分别与x轴交于点A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，点P(m，0)为线段OB上（不含端点）的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点K，交直线BC于点J．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当PJ：JK＝1：2时，求m的值；
（3）点Q是直线BC上的一个动点，将点Q向右平移5个单位长度得到点T，若线段QT与抛物线只有一个公共点，请直接写出点Q的横坐标n的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）m的值为2；（3）0＜n≤4或n＝
【解答】
（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线，解得b＝﹣3，c＝﹣4，即可求解；
（2）先用待定系数法求得直线BC的解析式，再表示出PJ，PK，当PJ：JK＝1：2时，则PJ：PK＝1：3，得到关于m的方程，解得m即可；
（3）分当点Q在线段BC上时；当点Q在点B的右侧时；当点Q在点C的左侧时，分别计算即可．
【详解】
解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为：y＝kx﹣4，
将B（4，0）代入直线BC，
得0＝4k﹣4，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4，
∵P（m，0），
∴J（m，m﹣4），K（m，m2﹣3m﹣4），
∴PJ＝0﹣（m﹣4）＝4﹣m，PK＝0﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+3m+4，
当PJ：JK＝1：2时，则PJ：PK＝1：3，
∴＝，
解得m1＝2，m2＝4（与A点重合，舍去），
∴m的值为2；
（3）①当点Q在线段BC上时，
∵Q，T的距离为5，而C、B的水平距离是4，
∴此时只有一个交点，即0＜n≤4，
∴线段QT与抛物线只有一个公共点；
②当点Q在点B的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
③当点Q在点C的左侧时，
∵y＝x2﹣3x﹣4＝y＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点为（，﹣），
令y＝x﹣4＝﹣，
解得x＝，
∵﹣（）＝＜5，
∴当n＝时，抛物线和QT交于抛物线的顶点（，﹣），即n＝时，线段QT与抛物线只有一个公共点，
综上，0＜n≤4或n＝．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，解一元二次方程，函数图象分析交点问题．分类讨论QT的位置是解题的关键．
16．（2021·浙江温州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为C，点B为抛物线对称轴上一动点．
（1）抛物线的函数表达式为________，抛物线的对称轴为________．
（2）线段绕点B顺时针旋转得到，当点P落在抛物线上时，求出点B坐标．
（3）当点B在x轴上时，M，N是抛物线上的两个动点，M在N的右侧，若以B，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点M的横坐标．
【答案】（1），直线；（2）；（3）M的横坐标为或
【解答】
（1）把代入函数解析式，求出a的值即可得函数关系式，再进行配方可得函数的对称轴；
（2）设，过B作轴垂足为E，过点P作垂足为F，证明得，可得，代入抛物线解析式得方程，求解即可；
（3）分两种情况，根据平行四边形的判定与性质求解即可．
【详解】
解：（1）把代入得，
解得，a=-0.25
∴抛物线的函数表达式为，
由
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：，直线；
（2）∵点B为抛物线对称轴上一动点
∴设
过B作轴垂足为E，过点P作垂足为F
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，∵点P落在抛物线上，
∴把代入，整理得
得
所以
（3）①如图，当为边时，∵四边形是平行四边形，
∴
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点C
∴设点，则N坐标为
∵点N在抛物线上，
∴把代入得，
解得
②如图，当为对角线时，
∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∴设点，则N坐标为
∵点N在抛物线上，
∴把代入得，
解得
所以点M的横坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、平行四边形的性质、平移的性质、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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