中小学教育资源及组卷应用平台
中考模拟练二次函数选填题（难点）
一、单选题
1．（2022·浙江宁波·一模）设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
2．（2022·浙江温州·二模）若三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江杭州·一模）关于函数．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图像总经过点和
B．当时，函数图像与x轴总有2个交点
C．若，则当时，y随x的增大而减小
D．当时，函数有最小值
4．（2022·浙江杭州·二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
5．（2022·浙江·宁波市镇海教师进修学校一模）定义：已知函数与二次函数，其中，，为常数，且，，则称这两个函数互为倒函数，下列结论正确的是（ ）
A．若是的倒函数图像上的一点，则
B．当两个互为倒函数的图像的开口方向相反时，则它们与轴均无交点
C．若二次函数图像上存在一点，则它的倒函数图像上必存在一点
D．两个互为倒函数的图像必有两个交点
6．（2022·浙江杭州·一模）在下列函数图象上任取不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，一定能使的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线的图象的顶点，点，的坐标分别为，，将沿轴向下平移使点平移到点，再绕点逆时针旋转，若此时点，的对应点，恰好落在抛物线上，则的值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
8．（2022·浙江台州·一模）知直线，直线，且，若以中的一条直线为x轴，中的一条直线为y轴，建立平面直角坐标系，设向右、向上为正方向，且抛物线与这四条直线的位置如图所示，则所建立的平面直角坐标系中的x轴、y轴分别为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
9．（2022·浙江·温州市第十二中学二模）已知二次函数的图象与x轴交于点与，其中，方程的两根为，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江杭州·一模）已知，均为关于x的函数，当时，函数值分别为，，若对于实数a，当时，都有，则称，为亲函数，则以下函数和是亲函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．（2022·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点M( 2，c)．若自变量x取 4， ，1，3时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，y4，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数y=-x2+ x+6及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
A．13．（2020·浙江温州·二模）点A（，），B（，）在抛物线上，已知：，存在一个正数m，当时，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
14．（2022·浙江舟山·一模）现有函数如果对于任意的实数n，若直线y＝n与函数的图象总有交点，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·浙江·杭州锦绣·育才中学附属学校一模）已知二次函数y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（ ）
A．若k＞2，m＜0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k≠2，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
C．若k＜2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
D．若k≠2，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
16．（2021·浙江金华·二模）利用函数知识对代数式的以下说法作出判断，则正确的是（ ）
A．如果存在两个实数，使得，则
B．存在三个实数，使得
C．如果，则一定存在两个实数，使
D．如果，则一定存在两个实数，使
二、填空题
17．（2020·浙江宁波·模拟预测）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是________．
18．（2022·浙江·淳安县教育发展研究中心一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，若二次函数的图象过两点，且该函数图象的顶点为，其中，是整数，且，，则的值为__________．
19．（2019·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0）是x轴上一点，以OA为对角线作菱形OBAC，使得∠BOC．＝60°，现将抛物线y＝x2沿直线OC平移到y＝a（x﹣m）2+h，那么h关于m的关系式是_____，当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是_____．
20．（2019·浙江省杭州第七中学一模）已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2时，y>0；③方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<-1，x2>-1；⑤x2-x1=，其中所有正确的结论是_______(只需填写序号).
21．（2018·浙江台州·一模）对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 1≤x≤1 时， 1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x，y= x 均是“闭函数”．
已知 y ax2 bx c(a0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)，则 a 的取值范围是______________.
22．（2017·浙江金华·中考模拟）如图，抛物线y=x2+2x与直线y=x+1交于A、B两点，与直线x=2交于点P，将抛物线沿着射线AB平移个单位．
（1）平移后的抛物线顶点坐标为_____；
（2）在整个平移过程中，点P经过的路程为_____．
23．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是___________
24．（2022·浙江湖州·一模）如图，一组x轴正半轴上的点，，…满足条件，抛物线的顶点，，…依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；……第n条抛物线以为顶点且经过点，，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、、…、．
（1）请写出所有满足三角形面积为整数的n的值__________；
（2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为__________．
25．（2017·浙江嘉兴·中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1），(－2，－2)，(，)，…，都是等值点．已知二次函数的图象上有且只有一个等值点(，)，且当m≤x≤3时，函数的最小值为－9，最大值为－1，则m的取值范围是________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中考模拟练二次函数选填题（难点）
一、单选题
1．（2022·浙江宁波·一模）设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
【答案】A
【解答】
设y1= a1(x1+1)(x1 2)，y2= a2( x2+1)( x2 2)，y3= a3(x3+1)( x3 2)，得y1= a1(x1+1)(x1 2)=，y2= a2( x2+1)( x2 2)=，y3= a3(x3+1)( x3 2)= ，分别得到顶点坐标 ，，抛物线于x轴的交点坐标是（-1，2），据此作出函数图像，结合函数图像即可得答案．
解：设y1= a1(x1+1)(x1 2)，y2= a2( x2+1)( x2 2)，y3= a3(x3+1)( x3 2)，
∵a1>a2>a3>0，
∴开口大小为：y1﹤y2＜y3，
∴函数图像大致为下图，
∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
当y1=1，y2=2，y3=3时，分别交函数于A、B、C三点，
∴x1﹥x2﹥x3，
∴B、C、D错误，不符合题意，A正确，符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是在于根据题意作出函数图像，由函数图像直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化．
2．（2022·浙江温州·二模）若三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】
先把原方程分别化为，，，令，再画函数的简易图象，结合函数图象可得答案．
解： 三个方程，，，
，，，
令，如图，
结合图象可得：
故选A
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解，二次函数的性质，掌握“数形结合的方法解题”是解本题的关键．
3．（2022·浙江杭州·一模）关于函数．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图像总经过点和
B．当时，函数图像与x轴总有2个交点
C．若，则当时，y随x的增大而减小
D．当时，函数有最小值
【答案】D
【解答】
根据函数的性质逐个求解即可．
解：A．∵ 当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0，
当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2，
∴图像过（1，0）和（﹣1，2），
故选项错误，不符合题意；
B．∵当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x，
∴该函数与x轴只有一个交点，
故选项错误，不符合题意；
C．∵ 当m＞时，函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x+）（x﹣1），
∴该函数的对称轴为直线x＝（1+）＝＜1，
∴当x＜1时，y随x的增大而可能减小也可能增大，
故选项错误，不符合题意；
D．∵若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值，
∴当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝﹣m+1，
故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，二次函数的增减性，熟悉二次函数与坐标轴的交点坐标、对称轴，顶点坐标等求法，是解题的关键．
4．（2022·浙江杭州·二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解答】
先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴，
∴，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
【点睛】
此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
5．（2022·浙江·宁波市镇海教师进修学校一模）定义：已知函数与二次函数，其中，，为常数，且，，则称这两个函数互为倒函数，下列结论正确的是（ ）
A．若是的倒函数图像上的一点，则
B．当两个互为倒函数的图像的开口方向相反时，则它们与轴均无交点
C．若二次函数图像上存在一点，则它的倒函数图像上必存在一点
D．两个互为倒函数的图像必有两个交点
【答案】D
【解答】
由题意知，的倒函数解析式为，将代入，求出的值，进而可判断A的正误；根据两个互为倒函数的图像的开口方向相反，可得，根据，可知两个函数与x轴均有两个交点，进而可判断B的正误；由在上，可得，将代入得，，由，可判断C的正误；令，则，整理得，由，可或，进而可判断D的正误．
解：由题意知，的倒函数解析式为，
将代入得，，
解得，
∴A错误；故不符合题意；
∵两个互为倒函数与的图像的开口方向相反，
∴，
∴，
∴两个函数与x轴均有两个交点，
∴B错误；故不符合题意；
∵在上，
∴，
将代入得，，
∵，
∴C错误；故不符合题意；
令，则，
整理得，
∵，
解得或，
∴两个互为倒函数的图像必有两个交点，
∴D正确，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，函数与x轴的交点个数等知识．解题的关键在于理解倒函数的定义，并运用二次函数知识进行求解．
6．（2022·浙江杭州·一模）在下列函数图象上任取不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，一定能使的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】
根据各函数的增减性依次进行判断即可．
解：A、∵k=2＞0，
∴函数图象在第一象限，y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
∴，故该选项不符合题意；
B、∵y=x2-4x+5的对称轴为直线x=2，
∴当0≤x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时y随x的增大而增大，
∴当0≤x＜2时，当x1＞x2时，必有y1＜y2，
∴，故该选项不符合题意；
C、∵y=-x2+6x-7的对称轴为直线x=3，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴当x1＞x2时，必有y1＞y2，
∴，故该选项符合题意；
D、∵k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
∴，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
7．（2022·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线的图象的顶点，点，的坐标分别为，，将沿轴向下平移使点平移到点，再绕点逆时针旋转，若此时点，的对应点，恰好落在抛物线上，则的值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
【答案】A
【解答】
先根据题意确定抛物线顶点的坐标，过作于，得到，的长，再根据题意，与重合，进而得到和的长，于是得到的坐标，由于在抛物线上，进而求解．
过作于，如图
∵抛物线的解析式：，
∴其顶点是，对称轴
∵
∴，
根据题意，与重合，
∵
∴
∴，
∴
∵，在抛物线上
∴
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数与几何图形的综合，几何图形的平移与旋转的性质，掌握数形结合的思想方法和灵活运用所学知识是解本题的关键．
8．（2022·浙江台州·一模）知直线，直线，且，若以中的一条直线为x轴，中的一条直线为y轴，建立平面直角坐标系，设向右、向上为正方向，且抛物线与这四条直线的位置如图所示，则所建立的平面直角坐标系中的x轴、y轴分别为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【解答】
由函数解析式可得抛物线的对称轴及与y轴的交点，由此则可知道两坐标轴所在的直线．
由解析式知，抛物线的对称轴为直线，所以抛物线的对称轴在y轴的右侧，从而直线是y轴；
当x=0时，，则抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，所以此交点应在x轴上方，从而直线是x轴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键．
9．（2022·浙江·温州市第十二中学二模）已知二次函数的图象与x轴交于点与，其中，方程的两根为，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】
分类讨论a＞0，a＜0两种情况，将程ax2+bx+c+a=0转化为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-a的交点问题，进而求解．
解：如图，当a＞0时，抛物线开口向上，直线y=-a在x轴下方，
由图像可得： x1＜m＜n＜x2，
当a＜0时，抛物线开口向下，直线y=-a在x轴上方，
由图像可得： x1＜m＜n＜x2，
∴x1＜m＜n＜x2，选项C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
10．（2022·浙江杭州·一模）已知，均为关于x的函数，当时，函数值分别为，，若对于实数a，当时，都有，则称，为亲函数，则以下函数和是亲函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解答】
结合题意，根据二次函数、反比例函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
∵，
∴
当时，，且
∴，即选项A不符合题意；
∵，
∴，
当时，，即选项B不符合题意；
∵，
∴，
当时，，即选项C不符合题意；
∵，
∴，
当时，，即选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式、二次函数、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、反比例函数图像的性质，从而完成求解．
11．（2022·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点M( 2，c)．若自变量x取 4， ，1，3时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，y4，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解答】
先求得该图象的对称轴为x=-=-1，不妨设a>0，根据各点横坐标与对称轴的距离大小得到y4> y1> y3> y2，再对条件分解因式，即可判断．
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点M( 2，c)，
∴4a-2b+c=c，即b=2a，
二次函数的解析式为y=ax2+2ax+c，
∴该图象的对称轴为x=-=-1，
不妨设a>0，
∵，
∴y4> y1> y3> y2，
A、若，
即，
则不一定大于0，
故该选项不符合题意；
B、若，
同理得：，
则不一定大于0，
故该选项不符合题意；
C、若，
同理得：，
则不一定小于0，
故该选项不符合题意；
D、若，
同理得：，
则一定小于0，
故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解的应用，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出y4> y1> y3> y2是解题的关键．
12．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数y=-x2+ x+6及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
A．【答案】D
【解答】
如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解
解：在中，
当，，
当x=0时，y=6，
解得，，
∴，
如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点，
把代入中，得，
∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为
，
翻折后与y轴的交点坐标为(0,-6)，
将点(0,-6)代入得出：a=1，
∴翻折后的部分解析式为：，
当直线与抛物线相切与点C时，
直线与图象有3个交点，
把代入中，
得到方程有两个相等的实数根，
整理得，
∴，
解得，
∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合，理解题意，找准临界点是解题关键．
13．（2020·浙江温州·二模）点A（，），B（，）在抛物线上，已知：，存在一个正数m，当时，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解答】
先根据二次函数的对称性可知，当满足时，，即只要的范围不在此范围即可．
解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为，由二次函数的对称性可知，
当和时，函数值y相等，
当和时，函数值y相等，
即当满足和的函数值相同，
当，存在一个正数m，当时，都有，
∴或，解得或；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的大小判断，根据函数的对称性，准确找到函数值与自变量之间的关系是解题的关键．
14．（2022·浙江舟山·一模）现有函数如果对于任意的实数n，若直线y＝n与函数的图象总有交点，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】
先画出函数图象，观察图象即可求得a的取值范围．
解：∵y=-x2-2x=-（x+1）2+1，
∴函数y=-x2-2x的最大值为1，
把y=1代入y=x-4得，1=x-4，解得x=5，
由图象可知，当-4≤a≤5时，直线y＝n与图象总有交点，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
15．（2022·浙江·杭州锦绣·育才中学附属学校一模）已知二次函数y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（ ）
A．若k＞2，m＜0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k≠2，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
C．若k＜2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
D．若k≠2，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
【答案】D
【解答】
由函数解析式可得抛物线对称轴，从而可得函数最大值的表达式，进而求解．
解：，
抛物线对称轴为直线，
当时，函数最大值为，
∴k≠2，m＞0，则二次函数y的最大值大于0，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握求二次函数最值的方法．
16．（2021·浙江金华·二模）利用函数知识对代数式的以下说法作出判断，则正确的是（ ）
A．如果存在两个实数，使得，则
B．存在三个实数，使得
C．如果，则一定存在两个实数，使
D．如果，则一定存在两个实数，使
【答案】C
【解答】
根据二次函数的性质及与x轴的交点的判定，即可一一判定．
解：设，
A.如果存在两个实数，使得，则说明在中，当x=p和x=q时的y值相等，但并不能说明此时p、q是与x轴交点的横坐标，故A中结论不一定成立；
B.若，则说明在中，当x=m、n、s时，对应的y值相等，因此m、n、s中至少有两个数是相等的，故B错误；
C.如果ac<0，则b2-4ac>0，则的图象和x轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个实数mD.如果ac>0，则b2-4ac的值的正负无法确定，此时的图象和x轴的交点情况无法确定，所以D中结论不一定成立，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，解题的关键是灵活运用这些知识．
二、填空题
17．（2020·浙江宁波·模拟预测）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是________．
【答案】
【解答】
先根据二次函数对称轴公式得出b的值，将代入二次函数解析式得出的值，再根据二次函数的性质得出在中，y的取值范围，最后根据一元二次方程有实数根得出与的图像在中有交点即得．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1
∴，解得：
∵抛物线经过点
∴，解得：
∴抛物线的解析式是
∵
∴当时，
∵当时，
当时，
∴在抛物线中，当时，
∴令，要使与有交点，则
∵关于x的一元二次方程（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根
∴与的图像在中有交点
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根是对应函数图像交点的横坐标将根转化为图像的交点．
18．（2022·浙江·淳安县教育发展研究中心一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，若二次函数的图象过两点，且该函数图象的顶点为，其中，是整数，且，，则的值为__________．
【答案】，
【解答】
先将A，B两点的坐标代入，消去c可得出b=1-7a，c=10a，得出xM=-=，yM=.方法一：分以下两种情况：①a＞0，画出示意图，可得出yM=0,1或2，进而求出a的值；②a＜0时，根据示意图可得，yM=5，6或7，进而求出a的值；方法二：根据题意可知或7①，或7②，由①求出a的值，代入②中验证取舍从而可得出a的值．
解：将A，B两点的坐标代入得，
，
②-①得，3=21a+3b，
∴b=1-7a，c=10a．
∴原解析式可以化为：y=ax2+(1-7a)x+10a．
∴xM=-=，yM=,
方法一：
①当a＞0时，开口向上，∵二次函数经过A,B两点，且顶点中，x，y均为整数，且，，画出示意图如图①，可得0≤yM≤2，
∴yM=0,1或2，
当yM=0时，解得a=,不满足xM为整数的条件，舍去；
当yM=1时，解得a=1(a=不符合条件，舍去)；
当yM=2时，解得a=,符合条件．
②a＜0时，开口向下，画出示意图如图②，根据题中条件可得，5≤yM≤7，
只有当yM=5，a=-时，当yM=6，a=-1时符合条件．
综上所述，a的值为，．
方法二：
根据题意可得或7；或7③，
∴当时，解得a=，不符合③，舍去；
当时，解得a=，不符合③，舍去；
当时，解得a=，符合③中条件；
当时，解得a=1，符合③中条件；
当时，解得a=-1，符合③中条件；
当时，解得a=-，符合③中条件；
当时，解得a=-，不符合③舍去；
当时，解得a=-，不符合③舍去；
综上可知a的值为：，．
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查二次函数的解析式、顶点坐标以及函数图像的整数点问题，掌握基本概念与性质是解题的关键．
19．（2019·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0）是x轴上一点，以OA为对角线作菱形OBAC，使得∠BOC．＝60°，现将抛物线y＝x2沿直线OC平移到y＝a（x﹣m）2+h，那么h关于m的关系式是_____，当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是_____．
【答案】 ：h＝﹣m； ≤m≤
【解答】
连接BC交OA于M，由四边形OBAC是菱形，得到OA⊥BC，OM=AM=OA=2，∠BOA=∠BOC=30°，求得BM=2，于是得到B（2，2），C（2，-2），求得直线OC的解析式为：y=-x，得到y=（x-m）2-m，把A（4，0）B（2，2）代入y=（x-m）2-m即可得到结论．
连接BC交OA于M，
∵四边形OBAC是菱形，
∴OA⊥BC，OM＝AM＝OA＝2，∠BOA＝∠BOC＝30°，
∴BM＝2，
∴B（2，2），C（2，﹣2），
∴直线OC的解析式为：y＝﹣x，
∵抛物线y＝x2沿直线OC平移，
∴h＝﹣m，
∴y＝a（x﹣m）2+h为y＝（x﹣m）2﹣m，
∵当抛物线与菱形的AB边有公共点时，
把A（4，0）代入y＝（x﹣m）2﹣m得0＝（4﹣m）2﹣m，解得m＝3，m＝，
∵3＜，
∴m＝，
把B（2，2）代入y＝（x﹣m）2﹣m得，2＝（2﹣m）2﹣m，
解得m＝，m＝，
∵＞，
∴m＝，
∴≤m≤，
故答案是：h＝﹣m；≤m≤．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换，菱形的性质，解直角三角形，平移的性质，正确的理解题意是解题的关键．
20．（2019·浙江省杭州第七中学一模）已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2时，y>0；③方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<-1，x2>-1；⑤x2-x1=，其中所有正确的结论是_______(只需填写序号).
【答案】（1）、（3）、（4）
【解答】
把相应的x的值代入可判断（1）；由k值的不确定可判断（2）、（5）；将二次函数与x轴的交点即为转换为一元二次方程等于0的解可判断（3）；两根与-1相关就加上1后应用相关不等式整理结果可判断（4）．
（1）把x= 2直接代入函数式可得y=1，故本选项正确；
（2）因不知道k的符号，就不知道开口方向，无法确定增减性，故本选项错误；
（3）因二次函数y=kx2+(2k 1)x 1与x轴有两个交点,所以,方程kx2+(2k 1)x 1=0有两个不相等的实数根x1、x2，故本选项正确；
（4）∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=+1= 1<0，
又x1∴x1+10,
即x1< 1,x2> 1，故本选项正确；
（5）因为k的符号不确定,无法知道x2 x1的大小，故本选项错误．
∴正确的结论是（1）、（3）、（4）.
故答案为（1）、（3）、（4）.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质.熟练应用二次函数的相关性质进行分析判断是解题的关键.
21．（2018·浙江台州·一模）对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 1≤x≤1 时， 1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x，y= x 均是“闭函数”．
已知 y ax2 bx c(a0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)，则 a 的取值范围是______________.
【答案】或
【解答】
分别把点A、B代入函数的解析式，求出a、b、c的关系，然后根据抛物线的对称轴x=，然后结合图像判断即可．
解：∵y ax2 bx c(a0)经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)，
∴a+b+c=-1，a-b+c=1，
∴a+c=0，b=-1，
则抛物线为：y ax2－x –a，
∴对称轴为直线x=；
①当a＜0时，抛物线开口向下，且x=＜0，如图可知，当≤-1时符合题意，所以；
当-1＜＜0时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去；
②当a＞0时，抛物线的开口向上，且x=＞0，由图可知≥1时符合题意，
∴0＜a≤；当0＜＜1时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去.
综上所述，a的取值范围是：或.
故答案为或.
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论、数形结合，不要漏解．
22．（2017·浙江金华·中考模拟）如图，抛物线y=x2+2x与直线y=x+1交于A、B两点，与直线x=2交于点P，将抛物线沿着射线AB平移个单位．
（1）平移后的抛物线顶点坐标为_____；
（2）在整个平移过程中，点P经过的路程为_____．
【答案】 （2，）
由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，点A向右平移3个单位，向上平移个单位，
（1）∵抛物线y=x2+2x的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，），
故答案为（2，）．
（2）平移前点P（2，8），
平移后抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+，此时p（2，），
8﹣=.
故答案为．
【点睛】
本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
23．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是___________
【答案】,（答案不唯一，只要符合条件即可）．
试题分析：因点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，所以把抛物线C2看成抛物线C1以点O为旋转中心旋转180°得到的，由此即可知a1，a2互为相反数，抛物线C1和C2的对称轴直线关于y轴对称，由此可得出b1=b2．抛物线C1和C2都经过原点，可得c1=c2，设点A（m，n），由题意可知B（-m，-n），由勾股定理可得．由图象可知MN=︱4m︱，又因四边形ANBM是矩形，所以AB=MN,即，解得，设抛物线的表达式为，任意确定m的一个值，根据确定n的值，抛物线过原点代入即可求得表达式，然后在确定另一个表达式即可．l例如，当m=1时，n=，抛物线的表达式为，把x=0，y=0代入解得a=，即，所以另一条抛物线的表达式为．
考点：旋转、矩形、二次函数综合题．
24．（2022·浙江湖州·一模）如图，一组x轴正半轴上的点，，…满足条件，抛物线的顶点，，…依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；……第n条抛物线以为顶点且经过点，，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、、…、．
（1）请写出所有满足三角形面积为整数的n的值__________；
（2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为__________．
【答案】 1或2或5
【解答】
（1）由题意，第n条抛物线的对称轴为：x＝2n 1，因为点An（xn，yn）（n为正整数）在反比例函数图象上，所以An的坐标为（2n 1，），所以△AnBn 1Bn的面积＝×2×＝，当△AnBn 1Bn的面积为整数时，即可得出n的值；
（2）找到符合题意的直角三角形的顶点坐标，即可求出抛物线解析式.
解：（1）∵第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn 1（2n 2，0），Bn（2n，0），等腰△AnBn 1Bn为第n个三角形．
∴抛物线的对称轴为：x＝2n 1，
∵点An（xn，yn）（n为正整数）在反比例函数图象上，
∴An的坐标为（2n 1，），
∴△AnBn 1Bn的面积＝×2×＝，
∴△AnBn 1Bn的面积为整数的n的值1或2或5，
故答案为：1或2或5；
（2）∵三角形是一个直角三角形，且底边长为2，
∴其底边上的高为1，
中，令y=1，得x=9，
∴抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），
设抛物线解析式为，
把（8，0）代入，得a=-1，
故抛物线解析式为：，
故答案为：
【点睛】
本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．整个解题过程，利用抛物线的对称轴和反比例函数图象上的坐标特征来求相关点的坐标和相关线段的长度是解题的关键，此题综合性强，有一定的难度．
25．（2017·浙江嘉兴·中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1），(－2，－2)，(，)，…，都是等值点．已知二次函数的图象上有且只有一个等值点(，)，且当m≤x≤3时，函数的最小值为－9，最大值为－1，则m的取值范围是________．
【答案】-1≤m≤1
令ax +4x+c=x,即ax +3x+c=0，
由题意,△=3 -4ac=0，即4ac=9，
又方程的根为 ，解得a= 2,c= .
故函数y=ax +4x+c ,即y= 2x +4x 3，
如图1,该函数图象顶点为(-1,-1),与y轴交点为(0, 3),由对称性,该函数图象也经过点(4, 3).
由于函数图象在对称轴x= -1左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小,且当m≤x≤3时,函数y= 2x +4x 3的最小值为 9，最大值为-1，
∴-1≤m≤1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
