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中考模拟练二次函数解答题（重点）
一、解答题
1．（2022·浙江宁波·一模）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题．
x … －3 －2 －1 0 …
y … －2 －2 0 4 …
(1)该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ．
(2)求出该二次函数的表达式；
(3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式．
2．（2022·浙江金华·二模）如图已知二次函数图象与直线交于点，点B．
(1)求m，a的值．
(2)求点B坐标．
(3)连结，求面积．
3．（2022··二模）如图，已知抛物线过点，与y轴交于．
(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)当时，函数的最大值与最小值的差为9，求t的值．
4．（2022·浙江绍兴·一模）图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间 0 1 2
飞行高度 0 15 20
(1)求小球的飞行高度（单位：）关于飞行时间（单位：）的二次函数关系式；
(2)小球从飞出到落地要用多少时间？
(3)小球的飞行高度能否达到？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．
5．（2022·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与轴交于，两点，与轴交于点．点的坐标是．
(1)求A，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围；
(2)将图象向上平移个单位后，二次函数图象与轴交于，两点，若，求的值．
6．（2022·浙江温州·模拟预测）已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)若点A是抛物线与x轴交点（在y轴右侧），点是抛物线上一点，直线AB的函数表达式为，求满足的x的取值范围．
7．（2021·浙江·温州市教育教学研究院一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是．
（1）求点A，点C的坐标．
（2）平移该二次函数的图象，使点D刚好移在点的位置上，求平移后所对应的二次函数的表达式．
8．（2021·浙江·宁波市第七中学一模）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
9．（2021·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线：向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线．
（1）求新抛物线的表达式；
（2）如图，将沿x轴向左平移得到，点的对应点落在平移后的新抛物线上，求点B与其对应点的距离．
10．（2019·浙江·温州市实验中学一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A（0，3）．
（1）求b，c的值．
（2）P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连接AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2020·浙江宁波·模拟预测）如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．
12．（2020·浙江温州·一模）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a=6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
13．（2021·浙江·温州市第二中学二模）已知二次函数y＝﹣x2+（m+1）x+m．
(1)若m＞0，将该函数图象与y轴的交点向右平移4m个单位后，仍落在该函数图象上；求m的值
(2)若m＜﹣1，当2≤x≤4时，y有最大值﹣6，求m的值
14．（2022·浙江·温州市第十四中学三模）已知二次函数的对称轴为直线．
(1)求m的值；
(2)记抛物线顶点为H，以点H为直角顶点作等腰Rt△HAB，使A，B两点落在抛物线上（B在A右侧），求点B的坐标．
15．（2022·浙江温州·三模）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点，．点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），设点P横坐标为，纵坐标为，若，求的取值范围．
16．（2022·浙江温州·二模）已知抛物线y＝x2 ＋bx＋c经过点A（4，3），B（－1，8），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)把点C向下平移m（m＞0）个单位得到点M．若点M向右平移n（n＞0）个单位，将与该抛物线上的点P重合；若点M向右平移（n＋3）个单位，将与该抛物线上的点Q重合，求m，n的值．
17．（2022·浙江温州·二模）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点，．抛物线，的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，．
(1)求抛物线的对称轴和点的横坐标．
(2)求线段和的长度．
18．（2020·浙江温州·二模）如图，在直角坐标系中，以A为顶点的抛物线（a是常数，）交y轴于点B，轴交抛物线于另一点C．
(1)求该抛物线的对称轴及点C的坐标．
(2)直线（k是常数，）经过A，C两点，求a，k的值．
19．（2022·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
20．（2022·浙江杭州·一模）已知二次函数（a为常数）．
(1)若该函数图象经过点，求a的值；
(2)在（1）的情况下，当时，求y的取值范围；
(3)当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上两点，对任意的，，，总满足，试求a的取值范围．
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中考模拟练二次函数解答题（重点）
一、解答题
1．（2022·浙江宁波·一模）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题．
x … －3 －2 －1 0 …
y … －2 －2 0 4 …
(1)该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ．
(2)求出该二次函数的表达式；
(3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式．
【答案】(1)，
(2)．
(3)
【解答】
（1）根据表格信息可知二次函数与y轴交点是（0，4），利用二次函数的对称性可知横坐标不同时对应的纵坐标相等，则该两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可求出对称轴．
（2）利用待定系数法将点的坐标代入进解析式求出待定系数即可．
（3）根据过原点的二次函数解析式的特点可知形如，直接将二次函数的图像向下平4个单位即可．
(1)
解：由表格可知，该二次函数图像与y轴交点是（0，4），对称轴是直线．
(2)
解：把（－2，－2）、（－1，0），（0，4）代入
得
解得
∴二次函数解析式为；
(3)
解：要使二次函数图像经过原点，则函数表达式形如
将函数的图像向下平4个单位即可．
则平移后图像所对应的二次函数表达式为
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，能够根据图表信息求出函数表达式，以及熟知函数的性质是解决本题的关键．
2．（2022·浙江金华·二模）如图已知二次函数图象与直线交于点，点B．
(1)求m，a的值．
(2)求点B坐标．
(3)连结，求面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)3
【解答】
（1）把点A坐标代入一次函数解析式中即可求出m的值，进而求出点A坐标，把点A坐标代入二次函数解析式中即可求出a的值．
（2）根据a的值确定二次函数解析式，联立二次函数解析式和一次函数解析式即可求出点B坐标．
（3）设直线交y轴于点C．根据一次函数解析式求出点C坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
(1)
解：把点A坐标代入一次函数解析式得．
∴m=4．
∴．
把点A坐标代入二次函数解析式得．
∴a=1．
(2)
解：∵a=1，
∴二次函数解析式为．
联立二次函数解析式和一次函数解析式得
解得或
∵，
∴．
(3)
解：如下图所示，设直线交y轴于点C．
∴．
∴OC=2．
∴．
【点睛】
本题考查根据自变量求一次函数的函数值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形面积公式，熟练掌握这些知识点是解题关键．
3．（2022··二模）如图，已知抛物线过点，与y轴交于．
(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)当时，函数的最大值与最小值的差为9，求t的值．
【答案】(1)，；
(2)4
【解答】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数的性质列出方程即可求解．
(1)
将和代入得，
解得，
则，
∵，则顶点坐标为；
(2)
令=0，解得x1=-1，x2=3，
∴当或3时，，
当时，，
∵，
故要满足条件必有，
当时，，
当时，，
则有，
解得（舍去），，
∴t的值为4．
【点睛】
此题主要考查二次函数图像与性质综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
4．（2022·浙江绍兴·一模）图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间 0 1 2
飞行高度 0 15 20
(1)求小球的飞行高度（单位：）关于飞行时间（单位：）的二次函数关系式；
(2)小球从飞出到落地要用多少时间？
(3)小球的飞行高度能否达到？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【解答】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令h=0即可求解；
（3）令，得到方程无解即可判断．
(1)
由题意可设关于的二次函数关系式为，
因为当，2时，，20，
∴，
解得：．
∴关于的二次函数关系式为．
(2)
当，，解得：，．
∴小球从飞出到落地所用的时间为．
(3)
小球的飞行高度不能达到．
理由如下：
当时，，方程即为，
∵，
∴此方程无实数根．
即小球飞行的高度不能达到．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答．
5．（2022·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与轴交于，两点，与轴交于点．点的坐标是．
(1)求A，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围；
(2)将图象向上平移个单位后，二次函数图象与轴交于，两点，若，求的值．
【答案】(1)，，当时，．
(2)
【解答】
（1）利用待定系数法求出，再求出点的坐标即可解决问题．
（2）由题意得抛物线的解析式为，设二次函数图象与轴交于，，，两点，则，，由可得出答案．
(1)
解：把代入，得，解得，
，
，
对称轴为直线，，关于对称，
，
当时，．
(2)
解：抛物线向上平移个单位，可得抛物线的解析式为，
设二次函数图象与轴交于，，，两点，则，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是能够把二次函数的一般形式化为顶点式．
6．（2022·浙江温州·模拟预测）已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)若点A是抛物线与x轴交点（在y轴右侧），点是抛物线上一点，直线AB的函数表达式为，求满足的x的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
【解答】
（1）根据公式求对称轴，将顶点坐标代入求解的值，进而可得抛物线解析式；
（2）画二次函数图象，根据图象与交点可得不等式的解集．
(1)
解：对称轴为，
将代入抛物线得
解得或（舍去）
∴抛物线的函数表达式为，顶点坐标为．
(2)
解：如图，
令，解得，或（舍去）
∴
由图象可知当时，．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，不等式的解集．解题的关键在于对二次函数知识的灵活运用．
7．（2021·浙江·温州市教育教学研究院一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是．
（1）求点A，点C的坐标．
（2）平移该二次函数的图象，使点D刚好移在点的位置上，求平移后所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1），；（2）
【解答】
（1）根据点B坐标求出a值，得到抛物线表达式，再结合抛物线的性质求解；
（2）根据平移后的坐标得到平移方式，从而可得抛物线表达式．
解：（1）把代入，得，
解得a=1，
∴，
∴，
∵对称轴为直线x=-3，B，C关于x=-3对称，
∴．
（2）∵，
∴点D平移到点，抛物线向右平移3个单位，
可得抛物线的解析式为．
【点睛】
本题考查了求二次函数表达式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．（2021·浙江·宁波市第七中学一模）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【答案】（1）y＝－x＋120；（2）1600元；（3）a=70．
【解答】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，利用待定系数法解题；
（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，利用总利润=单利销售量列函数关系式，化为顶点解析式，根据二次函数的增减性解题即可；
（3）当w最大＝1500时，解得x的值，再由x的取值范围分两种情况讨论①a＜80或②a≥80时，根据二次函数的增减性解题即可．
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得
，
故y与x的关系式为y＝－x＋120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x－20）y＝（x－20）（－x＋120）＝－（x－70）2＋2500，
∵x－20≥0，－x＋120≥0，x－20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵－1＜0，故抛物线开口向下，故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）
当w最大＝1500时，＝1500，解得x1＝70，x2＝90，
∵x－2×20≥0，∴x≥40，又∵x≤a，∴40≤x≤a．
∴有两种情况，①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
综上所述，a＝70．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．（2021·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线：向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线．
（1）求新抛物线的表达式；
（2）如图，将沿x轴向左平移得到，点的对应点落在平移后的新抛物线上，求点B与其对应点的距离．
【答案】（1）；（2）点B与其对应点的距离为4个单位．
【解答】
（1）根据平移规律“左加右减，上加下减”解答；
（2）把y=5代入抛物线C2求得相应的x的值，即可求得点A′的坐标，根据平移的性质，线段AA′的长度即为所求．
解：（1）由抛物线：知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线 的表达式是：，即；
（2）由平移的性质知，点A与点的纵坐标相等，
所以将代入抛物线，得，则或（舍去）
所以，
由平移的性质：，即点B与其对应点的距离为4个单位．
【点睛】
此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10．（2019·浙江·温州市实验中学一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A（0，3）．
（1）求b，c的值．
（2）P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连接AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当P（2，5）时，四边形APQO是平行四边形
【解答】
（1）根据题意得到点B的坐标，把A，B的坐标代入二次函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；
（2）由条件可知OA∥PQ，则PQ=3时，OAPQ为平行四边形，设P（m，-m2+3m+3），Q（m，m），可得关于m的方程，求出m的值即可求解．
解：（1）∵A（0，3），等腰Rt△OAB，
∴AB＝3＝OA，
∴B（3，3），
将点A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
∴，
（2）存在，
∵B（3，3），
∴OB的解析式为y＝x，
∵y＝﹣x2+3x+3，
设P（m，﹣m2+3m+3），Q（m，m），
∵PQ⊥AB，OA⊥AB，
∴OA∥PQ，
若四边形APQO是平行四边形，
∴PQ＝﹣m2+3m+3﹣m＝3，
解得m＝0（舍去），m＝2，
当m＝2时，y＝﹣4+6+3＝5，
∴p（2，5），
即当P（2，5）时，四边形APQO是平行四边形．
故答案为（1）；（2）当P（2，5）时，四边形APQO是平行四边形．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质．注意掌握方程思想的应用．
11．（2020·浙江宁波·模拟预测）如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．
【答案】（1）m＝3；y＝﹣x2+2x+3；（2）△OAB的面积＝；（3）x＜0或x＞1．
【解答】
（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；
（2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（0，3），
∴m＝3，
∴直线为y＝x+3，
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1．
∴，
解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解得或，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积＝＝；
（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数与不等式，掌握数形结合是解题的关键．
12．（2020·浙江温州·一模）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a=6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
【答案】（1）①AD的长是5米；②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；（2）乙种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【解答】
（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB=x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
解：（1）①设AB的长是x米，则AD=20-3x，
根据题意得，x（20-3x）=25，
解得：x1=5，x2=，
当x=时，AD=15＞6，
∴x=5，
∴AD=5，
答：AD的长是5米；
②设AB的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平分米，则AD=（20-3x+6），
根据题意得，y=x（20-3x+6）=-x2+13x=-（x-）2+，
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；
（2）按图甲的方案，设AB=x，能围成的矩形花圃的面积为S，
∴S=x（20-3x）=-3x2+20x=-3（x-）2+，
当x=时，AD=10＞a，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．
13．（2021·浙江·温州市第二中学二模）已知二次函数y＝﹣x2+（m+1）x+m．
(1)若m＞0，将该函数图象与y轴的交点向右平移4m个单位后，仍落在该函数图象上；求m的值
(2)若m＜﹣1，当2≤x≤4时，y有最大值﹣6，求m的值
【答案】(1)
(2)
【解答】
（1）根据题意得出抛物线的对称轴为2m，即可根据对称轴方程得到解方程求得m=1；
（2）求得抛物线对称轴为直线x=m+1，由m＜-1得到m+1＜0，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得到当x=2时，y=-6，即-2+2（m+1）+m=-6，解得m=-2．
(1)
解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=2m，
∴
解得m=1；
(2)
∵二次函数，
∴开口向下，对称轴为直线，
∵m＜-1，
∴m+1＜0，
∴当x=2时，y=-6，即-2+2（m+1）+m=-6，
解得m=-2．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，明确题意利用二次函数的性质解题是关键．
14．（2022·浙江·温州市第十四中学三模）已知二次函数的对称轴为直线．
(1)求m的值；
(2)记抛物线顶点为H，以点H为直角顶点作等腰Rt△HAB，使A，B两点落在抛物线上（B在A右侧），求点B的坐标．
【答案】(1)
(2)（4，3）
【解答】
（1）先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线的对称性得到m的值；
（2）先将函数解析式化为顶点式，得到顶点H的坐标，过点H作HC⊥AB于点C，设AC＝BC＝HC＝a，则B的坐标为，将B的坐标代入，求出a即可得到点B的坐标．
(1)
当y＝0时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（m，0），
∵对称轴直线x＝3，
∴；
(2)
∵=，
∴顶点坐标H（3，4），
过点H作HC⊥AB于点C，
设AC＝BC＝HC＝a，则B的坐标为，
将B的坐标代入，
得，
，，
∴B（4，3）．
【点睛】
此题考查了抛物线与坐标轴交点坐标，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，正确理解抛物线的对称性及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2022·浙江温州·三模）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点，．点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），设点P横坐标为，纵坐标为，若，求的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
【解答】
（1）利用待定系数法求得解析式，然后化成顶点式即可求得顶点坐标．
（2）分析函数图像，根据求得与的关系及的取值，将结果代入点，然后即可解得的值，最后根据函数图像的特征，即可完成求解．
(1)
解：把，代入，
得，
解得．
∴抛物线的表达式为，配方得，
∴顶点坐标为．
(2)
解：∵，
∴，且，
∴，
∴，解得（舍去），或，
∵点P在抛物线上且在直线l的下方（不与点A，B重合），
∴．
【点睛】
本题考查了求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求函数的解析式．
16．（2022·浙江温州·二模）已知抛物线y＝x2 ＋bx＋c经过点A（4，3），B（－1，8），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)把点C向下平移m（m＞0）个单位得到点M．若点M向右平移n（n＞0）个单位，将与该抛物线上的点P重合；若点M向右平移（n＋3）个单位，将与该抛物线上的点Q重合，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)，
【解答】
（1）将点A，B代入抛物线解析式，解方程组求出b，c即可求出抛物线解析式；
（2）依题意PQ=3，点，抛物线的对称轴为，根据轴对称的性质，列出方程，得，将点P代入抛物线解析式即可求解．
(1)
解：将点A，B代入抛物线线，
得 ，
解这个二元一次方程组，得 ，
∴抛物线的解析式为：；
(2)
解：当x=0时，=3，
所以点C（0，3），
把点C向下平移m（m＞0）个单位得到点M．若点M向右平移n（n＞0）个单位，将与该抛物线上的点P重合；若点M向右平移（n＋3）个单位，将与该抛物线上的点Q重合，
所以M（0，3-m），
则点，
，
抛物线的对称轴为：，
，解得，，
将点P代入，得，
解得，，
所以，，．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，二次函数的轴对称的性质，待定系数法求二次函数的解析式，点的平移规律等知识，利用二次函数的轴对称性质是解本题的关键．
17．（2022·浙江温州·二模）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点，．抛物线，的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，．
(1)求抛物线的对称轴和点的横坐标．
(2)求线段和的长度．
【答案】(1)对称轴；点的横坐标是-3
(2)；
【解答】
（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴x=-1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标；
（2）求出P2的对称轴，再求出点B的坐标，从而求得AB的长，把分别代入两个函数表达式，求得，从而求得CD的长．
(1)
抛物线的对称轴
∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1
∴点的横坐标是
(2)
抛物线的对称轴
∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1
∴点的横坐标是4
∴
把分别代入两个函数表达式，
得
即
由题意，当时，，．
∴
【点睛】
本题考查二次函数的性质，关键是判断点A与点E关于对称轴x=-1对称，点B与点E关于对称轴对称．
18．（2020·浙江温州·二模）如图，在直角坐标系中，以A为顶点的抛物线（a是常数，）交y轴于点B，轴交抛物线于另一点C．
(1)求该抛物线的对称轴及点C的坐标．
(2)直线（k是常数，）经过A，C两点，求a，k的值．
【答案】(1)对称轴为：直线；
(2)，
【解答】
（1）根据题目中的抛物线解析式，可以求得抛物线的对称轴和点C的坐标；
（2）由（1）可得点的坐标，坐标分别代入直线解析式即可求得的值．
(1)
解：∵抛物线
∴该抛物线的对称轴是直线，
当x=0时，y=3，
即抛物线的对称轴是直线，点B的坐标是（0，3）；
轴交抛物线于另一点C．
∴关于对称轴对称，
(2)
解：∵（k是常数，）经过，两点，
∴
解得
解得
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（2022·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
【答案】(1)；
(2)3；2
【解答】
（1）把点代入，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；
（2）把C代入可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．
(1)
将代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，，
∴顶点坐标为；
(2)
把C代入得，
，
设直线AB的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为，
∵顶点的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴．
【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．
20．（2022·浙江杭州·一模）已知二次函数（a为常数）．
(1)若该函数图象经过点，求a的值；
(2)在（1）的情况下，当时，求y的取值范围；
(3)当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上两点，对任意的，，，总满足，试求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【解答】
（1）将点P坐标代入表达式，即可求出a值；
（2）根据x的范围结合开口方向和对称轴可得y的最值；
（3）由x≥3时，y随x的增大而增大，可得3a≤3，即a≤1；又由二次函数的增减性可知，x=3a时，ymin=9-9a2；x=5时，ymax=34-30a；根据y1-y2≤9a2+25，建立不等式，并求出a的取值范围，即可得出结论．
(1)
解：把代入表达式中，得：，解得：；
(2)
解：，∴对称轴为直线．图象大致如下：
由图可知，当时，；当时，．
．
(3)
解：∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
已知当时，y随x的增大而增大，∴，∴．
∵，，
∴当时，，当时，．
由题意可知，，
∴，．
∴．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的性质及二次函数最值问题，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．
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