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专题1.1 认识三角形
模块一：知识清单
1.三角形的定义
三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形叫做三角形.
2.三角形三边关系
1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
2）三角形三边关系定理的应用：
（1）已知两边求第三边的取值范围；（2）判断三条线段是否可构成三角形
3.三角形内角和定理
1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和是180°
2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
4. 三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线）
1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线.
3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段交做三角形的高线.
注：（1）三角形的三条角平分线、中线、高线（或所在直线）都相交于一点；（2）锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形斜边上的高线在三角形的内部，一条直角边上的高线是另一条直角边；钝角三角形钝角对边上的高线在三角形的内部，另两条边上的高线均在三角形的外部.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春 镇海区校级期末）已知一个三角形的两边长是4和7，则第三条边的长度不能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【思路点拨】设第三边长为x，然后再利用三边关系列出不等式，进而可得答案．
【答案】解：设第三边长为x，由题意得：
7﹣4＜x＜7+4，即：3＜x＜11，故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解决问题的关键．
2．（2021 江川区模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
【答案】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
3．（2022 下城区期末）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，故选：D．
4．（2021 锦江区校级期中）已知直线a∥b，Rt△DCB按如图所示的方式放置，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠B＝20°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．70° C．60° D．45°
【点拨】如图，延长BD交直线b于点M．求出∠BDC，再利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可．
【解析】解：如图，延长BD交直线b于点M．
∵∠DCB＝90°，∠B＝20°，∴∠BDC＝90°﹣20°＝70°，∵a∥b，∴∠1＝∠BMC，
∵∠BDC＝∠DMC+∠2＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝70°，故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2021 朝阳县期末）下列语句正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的三条中线交于一点
C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
【思路点拨】根据三角形的角平分线、高和中线的定义判断即可．
【答案】解：A、三角形的三条高不一定在三角形内部，错误；
B、三角形的三条中线交于一点，正确；C、三角形具有稳定性，错误；
D、三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；故选：B．
【点睛】考查三角形的角平分线、高和中线，关键是根据三角形的角平分线、高和中线的定义解答．
6.（2022 三明期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【解析】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类．
7．（2021 商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解析】∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选：C．
8．（2021 增城区期末）如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用中线定义可得DB＝DC，再表示两个三角形周长，进而可得答案．
【解析】∵AD为中线，∴DB＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2020﹣2018＝2，
故选：B．
9.（2021 渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CD相交于点D，∠D＝30°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【点拨】设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，利用角平分线的定义及三角形的外角性质可得出∠ACD＝∠DBC+∠D及∠ABF＝∠DB，由三角形内角和定理及对顶角相等，可得出∠A＝2∠D，进而可得出∠A的度数．
【解析】解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示.
∵∠DCE＝∠DBC+∠D，CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE＝∠DBC+∠D．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBC．
又∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠DCF+∠D+∠CFD＝180°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ABF+∠A＝∠DCF+∠D，即∠ABF+∠A＝∠DBC+∠D+∠D，
∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角以及三角形内角和定理，利用三角形内角和定理及对顶角相等，找出∠A＝2∠D是解题的关键．
10．（2021春 碑林区校级期中）如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【思路点拨】连接AE，由F为BE中点可得S△ABE＝4，又由E为CD中点可得S△ADE＝，S△BDE＝，从而S△ABE＝S△ADE+S△BDE＝（S△ADC+S△BDC）＝S△ABC＝4，即可得到答案．
【答案】解：连接AE，如图．∵F为BE中点，S△ABF＝2，∴S△ABE＝2S△ABF＝2×2＝4，
又E为CD中点，∴S△ADE＝，S△BDE＝，
∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE＝+＝（S△ADC+S△BDC）＝S△ABC＝4，故S△ABC＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查吧三角形的面积计算，熟悉三角形中，同底不等高的三角形面积比为高之比、同高不等底的三角形面积比为底之比是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021 长春期末）如图，为了让椅子更加稳固，军军在椅子上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的 ．
【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可．
【解析】为了让椅子更加稳固，军军在椅子上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
12．（2021 灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有 个．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解析】∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：6
13．（2022 大东区校级期中）如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝ ；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ ，∠DAF＝ ．
【分析】熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：
三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；
三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
根据概念，运用几何式子表示．
【解析】∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，∴BE＝5cm，
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∴∠BAD＝40°，
∵AF是高，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，
故答案为：5cm；40°；10°．
14.（2022 都江堰市校级期中）设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
【点拨】直接利用三角形三边关系进而化简得出答案．
【解析】解：∵a，b，c为△ABC的三边，∴a﹣b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣（a+b﹣c）+（a﹣b﹣c）
＝a﹣b+c﹣a﹣b+c+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c．故答案为：a﹣3b+c．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确化简绝对值是解题关键．
15．（2022 拱墅区校级期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为 ．
【思路点拨】根据角平分线定义求得∠BAD＝∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角的性质即可求得∠ADC的度数．
【答案】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∠ABE＝40°．
∵∠EBC＝20°，∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．
故答案为：85°．
【点睛】此题综合运用了角平分线定义、直角三角形两个锐角互余以及三角形的外角的性质．
16．（2021 富阳区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【思路点拨】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．
【答案】解：∵∠A＝50°，∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
17．（2021 碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝ ．
【思路点拨】连接BC，根据三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB＝40°，∠GBC+∠GCB＝70°，所以∠GBD+∠GCD＝30°，再根据角平分线的定义求出∠ABG+∠ACG＝30°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠A＝80°．
【答案】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．故答案为：80°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的性质，整体思想的利用是解题的关键．
18．（2021春 镇海区校级期末）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝6，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
【思路点拨】本题需先分别求出S△ABD，S△ABE，再根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE即可求出结果．
【答案】解：∵S△ABC＝6，EC＝2BE，点D是AC的中点，
∴S△ABE＝S△ABC＝2，S△ABD＝S△ABC＝3，
∴S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝3﹣2＝1．故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线性质，在解题时要知道同高三角形面积的比就是对应底边的比，并对要求的两个三角形的面积之差进行变形是本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春 双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．
【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
（2）根据三角形三边关系解答即可．
【解析】（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝10②，
①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝8，解得AC＝4，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；
（2）∵AB＝6，AC＝4，∴2＜BC＜10．
20．（2021 泰兴市月考）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．
【思路点拨】（1）利用直角三角板一条直角边与BC重合，沿BC平移使另一直角边过A画BC边上的高AD即可；再根据角平分线的做法作∠A的角平分线AE；
（2）首先计算出∠BAE的度数，再计算出∠BAD的度数，利用角的和差关系可得答案．
【答案】（1）如图所示；
（2）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝15°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，∴∠DAE＝∠DAB﹣∠BAE＝35°．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，以及角的计算，关键是正确画出图形．
21. （2022 海淀区校级月考）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠F＝15°．求：∠B和∠C的度数．
【点拨】由三角形的内角和定理，结合垂线的定义可求解∠ADC的度数，根据角平分线的定义可求解∠DAC，∠BAC的度数，利用三角形的内角和定理可求解∠C，∠B的度数．
【解析】解：∵EF⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∵∠F＝15°，∠ADE+∠F+∠DEF＝180°，∴∠ADE＝75°，
∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠1＝80°，∴∠DAC＝40°，
∵∠ADE+∠C+∠DAC＝180°，∴∠C＝180°﹣40°﹣75°＝65°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．
22．（2021 南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题：
（1）一个角为60°的直角三角形 （填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是 ．（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，求这个“智慧三角形”各个角的度数．
【思路点拨】（1）根据“智慧三角形”，“智慧角”的定义判断即可．
（2）根据一个“智慧三角形”的“智慧角”的定义，求出三角形的另一个内角，可得结论．
【答案】解：（1）在直角三角形，一个内角为60°，则另一个内角为30°，
∵90°＝3×30°，∴这个直角三角形是“智慧三角形”．其中90°称为“智慧角”．
故答案为：是，90°．
（2）∵一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，
∴这个三角形的另一个内角为36°，
∴这个三角形的三个内角分别为36°，36°，108°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，“智慧三角形”，“智慧角”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．．
23．（2021春 高平市期末）综合与探究：如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝ °，∠DAE＝ °；②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝ °；③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
【思路点拨】（1）根据三角形的内角和及垂直的定义求解即可；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAD＝90°﹣（∠C+∠B），外角的性质得出∠ADC＝90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠DFE．
【答案】解：（1）探究与发现：①在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝20°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD是∠BAC角平分线，∴∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝25°，故答案为：45，25；
②∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝60°，
∵AD是∠BAC角平分线，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣80°＝10°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°，故答案为：20；
③∠DAE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
在△AEC中，∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠EAC＝×（180°﹣∠B﹣∠C）
＝（90°﹣∠B﹣∠C）﹣（ 90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；
（2）判断与思考；∠DFE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝＝90°﹣（∠C+∠B），
∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），
∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠DFE＝（∠C﹣∠B）．
【点睛】此题考查了三角形的内角和，根据三角形内角和定理求出∠CAD＝∠BAD＝90°﹣（∠C+∠B）是解题的关键．
24．（2022 章丘区期末）阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
【思路点拨】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【答案】解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC＝∠ABC+∠A﹣∠ABC＝∠A＝30°
如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD
∴∠OBC+∠OCB＝（∠EBC+∠BCD）＝（∠A+∠ACB+∠BCD）＝（∠A+180°）
＝（60°+180°）＝120°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC＝∠ABC，∠O2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．
【点睛】本题考查了利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进行角的计算或证明，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键
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专题1.1 认识三角形
模块一：知识清单
1.三角形的定义
三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形叫做三角形.
2.三角形三边关系
1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
2）三角形三边关系定理的应用：
（1）已知两边求第三边的取值范围；（2）判断三条线段是否可构成三角形
3.三角形内角和定理
1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和是180°
2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
4. 三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线）
1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线.
3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段交做三角形的高线.
注：（1）三角形的三条角平分线、中线、高线（或所在直线）都相交于一点；（2）锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形斜边上的高线在三角形的内部，一条直角边上的高线是另一条直角边；钝角三角形钝角对边上的高线在三角形的内部，另两条边上的高线均在三角形的外部.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春 镇海区校级期末）已知一个三角形的两边长是4和7，则第三条边的长度不能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．（2021 江川区模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022 下城区期末）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD
4．（2021 锦江区校级期中）已知直线a∥b，Rt△DCB按如图所示的方式放置，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠B＝20°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．70° C．60° D．45°
5．（2021 朝阳县期末）下列语句正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的三条中线交于一点
C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
6.（2022 三明期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021 商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
8．（2021 增城区期末）如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9.（2021 渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CD相交于点D，∠D＝30°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
10．（2021春 碑林区校级期中）如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021 长春期末）如图，为了让椅子更加稳固，军军在椅子上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的 ．
12．（2021 灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有 个．
13．（2022 大东区校级期中）如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝ ；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ ，∠DAF＝ ．
14.（2022 都江堰市校级期中）设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
15．（2022 拱墅区校级期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为 ．
16．（2021 富阳区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
17．（2021 碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝ ．
18．（2021春 镇海区校级期末）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝6，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春 双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．
20．（2021 泰兴市月考）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．
21. （2022 海淀区校级月考）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠F＝15°．求：∠B和∠C的度数．
22．（2021 南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题：
（1）一个角为60°的直角三角形 （填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是 ．（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，求这个“智慧三角形”各个角的度数．
23．（2021春 高平市期末）综合与探究：如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝ °，∠DAE＝ °；②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝ °；③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
24．（2022 章丘区期末）阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
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