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专题1.3 证明
模块一：知识清单
1．证明的概念
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫做证明。
2．证明的解题步骤
1）按题意画出图形。
2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
3）在“证明”中写出推理过程。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021 河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（ ）
A．90° B．80° C．60° D．40°
【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【答案】解：由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
2．（2021春 保山期末）如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A＝30°，∠CDB＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．65° B．70° C．80° D．85°
【思路点拨】已知∠A，欲求∠B，需求∠ACB．由CD平分∠ACB，得∠ACB＝2∠ACD．由∠CDB＝∠A+∠ACD，得∠ACD＝∠CDB﹣∠A＝35°，故∠ACB＝2∠ACD＝70°，进而求得∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝80°．
【答案】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD．
∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣30°＝35°．
∴∠ACB＝2∠ACD＝70°．∴∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝80°．故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形的内角和定理是解决本题的关键．
3．（2021春 淮阳区校级期末）一个三角形其中一个外角的补角等于与它不相邻的两个内角的差，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【思路点拨】由题意得这个三角形的一个内角等于与它不相邻的两个内角的差，设这个内角为∠1，另外两个内角为∠2、∠3且∠1＝∠2﹣∠3．由180°﹣∠1＝∠2+∠3，得∠2＝90°．
【答案】解：由题意得：这个三角形的一个内角等于与它不相邻的两个内角的差．
设这个内角为∠1，另外两个内角为∠2、∠3且∠1＝∠2﹣∠3．
∵180°﹣∠1＝∠2+∠3，∴2∠2＝180°．∴∠2＝90°．
∴这个三角形的是直角三角形．故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的补角的性质、三角形外角的性质以及直角三角形的判定，熟练掌握三角形的补角的性质、三角形外角的性质以及直角三角形的判定是解决本题的关键．
4．（2021 朝阳）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
【思路点拨】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【答案】解：∵∠2+60°+45°＝180°，∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，∴∠1＝∠2＝75°．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5．（2021春 东坡区期末）如图，∠1＝140°，∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．260°
【思路点拨】根据三角形的外角和等于360°计算即可．
【答案】解：∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝140°，∠2＝120°，
∴∠3＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣140°﹣120°＝100°，故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外角，掌握三角形的外角和等于360°是解题的关键．
6．（2021春 莲湖区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【思路点拨】根据角平分线的定义得出∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，根据三角形的外角性质得出∠A＝∠ACM﹣∠ABC，∠P＝∠PCM﹣∠CBP，再代入求出∠A和∠P即可．
【答案】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝120°﹣40°＝80°，∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝60°﹣20°＝40°，∴∠A﹣∠P＝80°﹣40°＝40°，故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形的外角性质，能根据角平分线的定义求出∠CBP＝∠ABP＝20°和∠ACM＝2∠ACP＝120°是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
7．（2021春 雅安期末）如图，下列条件中不能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠3＝180°
【思路点拨】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【答案】解：A、∠1＝∠2，能判定a∥b，不符合题意；
B、∠1＝∠4，能判定a∥b，不符合题意；
C、∠1+∠2＝180°，不能判定a∥b，符合题意；
D、∠1+∠3＝180°，能判定a∥b，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
8．（2021春 红塔区期末）如图，点A，B，E在同一条直线上，不能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠A＝∠CBE B．∠C+∠D＝180° C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠ABC＝180°
【思路点拨】根据平行线的判定定理求解判断即可得解．
【答案】解：∠A＝∠CBE，根据“同位角相等，两直线平行”能判定AD∥BC，故A不符合题意；
∠C+∠D＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”能判定AD∥BC，故B不符合题意；
∠C＝∠CBE，根据“内错角相等，两直线平行”能判定CD∥AE，不能判定AD∥BC，故C符合题意；∠A+∠ABC＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”能判定AD∥BC，故D不符合题意；故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
9．（2021春 武安市期末）有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB．则下列说法正确的是（ ）
甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．” 丁说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
A．甲对乙错 B．乙错丁对 C．甲、乙对 D．乙、丙对
【思路点拨】根据平行线的判定得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠BFE＝∠BCD，求出∠CDG＝∠BCD，根据平行线的判定得出DG∥BC，即可判断甲；根据∠AGD＝∠ACB推出DG∥BC，根据平行线的性质得出∠CDG＝∠BCD，即可判断乙，根据已知条件判断丙和丁即可．
【答案】解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠CDG＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BCD，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB，∴甲正确；
∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠CDG＝∠BCD，∴∠CDG＝∠BFE，∴乙正确；
丙和丁的说法根据已知不能推出，∴丙错误，丁错误；故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
10．（2021春 长春期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（ ）
A．108°或27° B．108°或54° C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
【思路点拨】分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据友好三角形的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【答案】解：①54°角是α，则友好角度数为54°；
②54°角是β，则 α＝β＝54°，所以，友好角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，则α+β+54°＝180°，
所以，α+α+54°＝180°，解得α＝84°，
综上所述，“友好角α”的度数为54°或84°或108°．故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解友好角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 铁西区期末）如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形“．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠B＝ ．
【分析】根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题．
【解析】∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，
∴2∠B+∠A＝90°或2∠A+∠B＝90°，
解得，∠B＝35°或50，故答案为：35°或50°．
12．（2021春 仪征市期末）如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝40°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是 ．
【思路点拨】由角平分线的定义可求解∠EAC，利用三角形外角的性质可求解∠ACB．
【答案】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠DAE＝55°，∴∠EAC＝2∠DAE＝110°，
∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∠B＝40°，∴∠ACB＝110°﹣40°＝70°，故答案为70°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
13．（2021春 海伦市期末）如图，请你添加一个条件使得AD∥BC，所添的条件是 ．
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行添加．
【答案】解：根据同位角相等，两条直线平行，可以添加∠EAD＝∠B；
根据内错角相等，两条直线平行，可以添加∠CAD＝∠C；
根据同旁内角互补，两条直线平行，可以添加∠BAD+∠B＝180°，
故答案为：∠EAD＝∠B或∠CAD＝∠C或∠BAD+∠B＝180°．
【点睛】此题考查平行线的判定，为开放性试题，答案不唯一，熟悉平行线的判定方法是解题的关键．
14．（2021春 赣州期末）一副带45°和30°的直角三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大40°，那么∠1的度数为 ．
【思路点拨】根据平角的定义得出1+∠2＝90°，再根据∠1比∠2大40°，可求出答案．
【答案】解：根据平角的定义，以及三角板的直角可得，
∠1+∠2+90°＝180°，即∠1+∠2＝90°，而∠1比∠2大40°，
∴∠2＝（90°﹣40°）＝25°，∴∠1＝25°+40°＝65°，故答案为：65°．
【点睛】本题考查余角和补角，理解补角的意义以及三角板各个内角度数是解决问题的前提．
15．（2021春 卢龙县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，∠1＝∠2．若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC＝ °．
【思路点拨】首先根据∠ACB＝68°可得∠1+∠PCB＝68°，再根据等量代换和三角形的内角和可得答案．
【答案】解：∵∠ACB＝68°，∴∠1+∠PCB＝68°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠PCB＝68°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠2+∠PCB）＝112°．故答案为：112．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是180°是解题关键．
16．（2021春 雨花区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝ ．
【思路点拨】根据三角形的外角性质得到∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∠D＝∠DCE﹣∠DBC，根据角平分线的定义计算即可．
【答案】解：∵∠ACE是△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，同理：∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∴∠D＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A＝×50°＝25°，故答案为：25°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
17．（2022 大东区期末）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝106°，则∠FEC＝ 度．
【分析】根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出结果．
【解析】由折叠可知：∠AEF＝2∠AED＝2∠FED，
∵∠A+∠B＝106°，∴∠C＝180°﹣106°＝74°，
∵BC∥DE，∴∠AED＝∠C＝74°，
∴∠AEF＝2∠AED＝148°，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝32°．故答案为：32．
18．（2021 遂宁期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有 ．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解析】①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；
②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；
③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，∴∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，
∵∠DCF＝90°∠ABC＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正确；故答案是：①③④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春 利川市期末）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d．
证明：如图，
∵∠2+∠3＝180°（ ），
∠1+∠2＝180° （ ），
∴ ＝ （同角的补角相等），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4 （ ），
∴ ∥ （ ）．
【思路点拨】由已知及邻补角的定义得到∠3＝∠1，等量代换得出∠1＝∠4，即可判定 c∥d．
【答案】证明：如图，
∵∠2+∠3＝180°（邻补角的定义），
∠1+∠2＝180° （已知），
∴∠3＝∠1（同角的补角相等），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4 （等量代换），
∴c∥d（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
20．（2021春 南关区期末）如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．求：（1）∠A的度数；（2）∠C的度数．
解（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝ + （ ）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝ 度．（等量代换）．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝ 180 度（ ），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝ 度．
【思路点拨】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠A的度数；
（2）依据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【答案】解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝∠A+∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝75度．（等量代换）．
故答案为：∠A，∠ABD，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，75．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝180度（三角形的内角和等于180°），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝20度．
故答案为：180，三角形的内角和等于180°，20．
【点睛】本题主要考查了三角形外角性质的运用，关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
21．（2020秋 盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【解析】（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，
∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
22．（2021春 长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【思路点拨】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．
（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．
【答案】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
【点睛】本题主要三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
23．（2021 柯桥区期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【分析】【习题回顾】根据三角形的外角的性质证明；
【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
【探究延伸】同（1）、（2）的方法相同．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，∴∠ACB＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°
24．（2022 西湖区校级月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）；
（1）①若∠DCE＝42°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①先根据直角三角板的性质求出∠ACE及∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数；
②由∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，可得出∠DCB的度数，进而得出∠DCE的度数；
（2）根据①中的结论可提出猜想，再由∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE可得出结论；（3）分∠ACE＝30°，45°，120°，135°及165°进行解答．
【解析】（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝42°，
∴∠DCB＝90°﹣42°＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+48°＝138°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°；理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（3）存在，当∠ACE＝30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D，∴AD∥BC；
当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，∴BE⊥CD，又∵AC⊥CD，∴AC∥BE；
当∠ACE＝120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示：
∵∠ACE＝120°，∴∠DCE＝120°﹣90°＝30°，
又∵∠D＝30°，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥CE；
当∠ACE＝135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示：
∵∠ACE＝135°，∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠E＝45°，∴∠DCE＝∠E，∴BE∥CD；
当∠ACE＝165°时，BE∥AD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图5所示：
∵∠ACE＝165°，∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，
∵∠A＝60°，∴∠A＝∠CFB，∴BE∥AD
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专题1.3 证明
模块一：知识清单
1．证明的概念
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫做证明。
2．证明的解题步骤
1）按题意画出图形。
2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
3）在“证明”中写出推理过程。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021 河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（）
A．90° B．80° C．60° D．40°
2．（2021春 保山期末）如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A＝30°，∠CDB＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．65° B．70° C．80° D．85°
3．（2021春 淮阳区校级期末）一个三角形其中一个外角的补角等于与它不相邻的两个内角的差，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．（2021 朝阳）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
5．（2021春 东坡区期末）如图，∠1＝140°，∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．260°
6．（2021春 莲湖区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．（2021春 雅安期末）如图，下列条件中不能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠3＝180°
8．（2021春 红塔区期末）如图，点A，B，E在同一条直线上，不能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠A＝∠CBE B．∠C+∠D＝180° C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠ABC＝180°
9．（2021春 武安市期末）有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB．则下列说法正确的是（ ）
甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．” 丁说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
A．甲对乙错 B．乙错丁对 C．甲、乙对 D．乙、丙对
10．（2021春 长春期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（ ）
A．108°或27° B．108°或54° C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 铁西区期末）如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形“．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠B＝ ．
12．（2021春 仪征市期末）如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝40°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是 ．
13．（2021春 海伦市期末）如图，请你添加一个条件使得AD∥BC，所添的条件是 ．
14．（2021春 赣州期末）一副带45°和30°的直角三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大40°，那么∠1的度数为 ．
15．（2021春 卢龙县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，∠1＝∠2．若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC＝ °．
16．（2021春 雨花区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝ ．
17．（2022 大东区期末）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝106°，则∠FEC＝ 度．
18．（2021 遂宁期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春 利川市期末）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d．
证明：如图，
∵∠2+∠3＝180°（ ），
∠1+∠2＝180° （ ），
∴ ＝ （同角的补角相等），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4 （ ），
∴ ∥ （ ）．
20．（2021春 南关区期末）如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．求：（1）∠A的度数；（2）∠C的度数．
解（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝ + （ ）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝ 度．（等量代换）．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝ 180 度（ ），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝ 度．
21．（2020秋 盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
22．（2021春 长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
23．（2021 柯桥区期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
24．（2022 西湖区校级月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）；
（1）①若∠DCE＝42°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
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