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专题1.4 全等三角形
模块一：知识清单
1、全等三角形的概念
1）全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形.
2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
3）对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角.
2、全等三角形的性质定理:全等三角形的对应边相等，对应角相等.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022辽宁抚顺市·八年级期末）下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用全等形的定义解答即可．
【详解】解：只有C选项与图1形状、大小都相同．故答案为C．
【点睛】本题主要考查了全等形的定义，形状、大小都相同图形为全等形．
2．（2021春 姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形 B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等 D．两个正方形一定是全等图形
【思路点拨】利用全等的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、两个等边三角形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意；
B、两个全等图形的面积一定相等，正确，符合题意；
C、形状相同的两个图形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意；
D、两个正方形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意，故选：B．
【点睛】考查了全等图形的定义，解题的关键是了解能够完全重合的两个图形全等，属于基础题，比较简单．
3．（2022 邗江区期末）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．
【解析】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故选：C．
4．（2021 高邮市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
【思路点拨】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
5．（2021·江苏江都 初二月考）下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的垂直平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
【答案】D
【解析】因为全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应边的垂直平分线、对应角的平分线相等，A、B、C项没有“对应”，所以错误，而D项有“对应”，D是正确的．故选D．
【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长等均相等.
6．（2022·全国初二课时练习）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
分析：由折叠特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长求解．
【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，
由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，
△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选C．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等．
7.（2021 海珠区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于下列结论：
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用全等三角形的性质可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AF＝AC，EF＝CB，∠FAE＝∠BAC，
∴∠FAE﹣∠FAB＝∠BAC﹣∠BAF，即∠BAE＝∠FAC，
∴正确的结论是①③④，共3个，故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应边相等，对应角相等．
8．（2021·浙江八年级开学考试）如图所示，，，，的延长线交于点F，交于点G，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ACB，∠D=∠B，再根据邻补角的定义求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，由三角形的内角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，
∴∠1+30°=15°+75°，解得∠1=60°，故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．（2021 黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（ ）
A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CF
C．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，再利用平行线的判定定理得出答案．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，
∴AB∥DE，AC∥DF，无法得出BE＝EC＝CF故选项D正确．故选：D．
10．（2022 兰山区期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．30° B．50° C．44° D．34°
【思路点拨】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝34°，故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021 台州期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠E＝60°，则∠C＝ ．
【分析】利用全等三角形的性质可得∠B＝∠E＝60°，再利用三角形内角和定理计算即可．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝60°，
∵∠A＝50°，∴∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故答案为：70°．
12．（2022 苍南县期中）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝ °．
【分析】利用全等三角形的性质可得∠C＝∠B＝22°，再利用三角形内角与外角的关系可得答案．
【解析】∵△ABD≌△ACE，∴∠C＝∠B＝22°，
∵∠A＝53°，∴∠BEC＝∠A+∠C＝22°+53°＝75°，故答案为：75．
13．（2021 温岭市期末）如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ °．
【分析】根据全等三角形的性质求解．
【解析】∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝68°．故答案为68．
14．（2021 柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝ ．
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，
由题意得，AB+BC+AC＝12，∴AB＝12﹣3﹣4＝5，故答案为：5．
15．（2021 江宁区校级月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．
【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．
【解析】∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．
16．（2021·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
【答案】180°.
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案为：180．
【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
17.（2021 东莞市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知△AEH≌△CEB，EB＝5，AE＝7，则CH的长是 ．
【分析】根据全等三角形的性质分别求出EC、EH，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△AEH≌△CEB，∴EC＝AE＝7，EH＝EB＝5，
∴CH＝EC﹣EH＝7﹣5＝2，故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
18．（2022·浙江八年级开学考试）如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．
【答案】110°
【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答可求∠BFC的度数．
【详解】解：设∠C′=α，∠B′=β，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠CDB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．故答案为：110°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·剑阁县公兴初级中学校八年级月考）把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：三种不同的分法：
【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题．
20．（2021·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
【答案】详见解析
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键．
21.（2021 西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，
∵∠CAD＝10°，∴∠BAC=（120°﹣10°）＝55°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；
∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
22．（2021 内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；
（2）根据全等三角形的对应边相等计算．
【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，
∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，
∴BF＝BE+EF＝6．
23．（2021 碑林区校级期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．
【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解析】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，
∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，∴AE＝AB﹣BE＝6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
24．如图，已知△ABD≌△ACE，点E在线段BD上．（1）判断△ADE的形状，并说明你的理由；（2）若∠CAB＝50°，∠AEC＝65°，求∠AED的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AD＝AE，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠D＝∠AED，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠AEC，求出∠AED＝∠AEC即可．
【解析】（1）△ADE是等腰三角形，
理由是：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠D＝∠AEC，AD＝AE，
∴∠AED＝∠D，∴∠AED＝∠AEC，
∵∠AEC＝65°，∴∠AED＝65°
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专题1.4 全等三角形
模块一：知识清单
1、全等三角形的概念
1）全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形.
2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
3）对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角.
2、全等三角形的性质定理:全等三角形的对应边相等，对应角相等.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022辽宁抚顺市·八年级期末）下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021春 姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形 B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等 D．两个正方形一定是全等图形
3．（2022 邗江区期末）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
4．（2021 高邮市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
5．（2021·江苏江都 初二月考）下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的垂直平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
6．（2022·全国初二课时练习）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7.（2021 海珠区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于下列结论：
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021·浙江八年级开学考试）如图所示，，，，的延长线交于点F，交于点G，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021 黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（ ）
A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CF
C．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF
10．（2022 兰山区期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．30° B．50° C．44° D．34°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021 台州期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠E＝60°，则∠C＝ ．
12．（2022 苍南县期中）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝ °．
13．（2021 温岭市期末）如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ °．
14．（2021 柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝ ．
15．（2021 江宁区校级月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．
16．（2021·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
17.（2021 东莞市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知△AEH≌△CEB，EB＝5，AE＝7，则CH的长是 ．
18．（2022·浙江八年级开学考试）如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·剑阁县公兴初级中学校八年级月考）把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形．
20．（2021·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
21.（2021 西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
22．（2021 内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
23．（2021 碑林区校级期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．
24．如图，已知△ABD≌△ACE，点E在线段BD上．（1）判断△ADE的形状，并说明你的理由；（2）若∠CAB＝50°，∠AEC＝65°，求∠AED的度数．
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