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专题1.6 尺规作图+角平分线和垂直平分线
模块一：知识清单
1.角平分线的性质
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
2.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在相等的垂直平分线上.
注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
3.用尺规作图
1）作垂直平分线 已知：线段．求作：的垂直平分线．
作法：（1）分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．
（2）作直线． 直线就是线段的垂直平分线．
2）作角平分线， 已知：角．求作：射线，使．
作法：（1）在和上分别截取，，使．
（2）分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
（3）作射线．就是的平分线．
3）用尺规作三角形
根据三角形判定定理，掌握用尺规做三角形及做一个三角形与已知三角形全等。
常见的尺规作三角形的类型：已知三边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知两角和任意一边作三角形；已知一条直角边和一条斜边。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．
2．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【分析】利用基本作图和三角形全等的判定方法求解．
【详解】解：如图，
由作法得到，，而为公共边，
所以根据“”可判断，所以，
即平分．故选：B．
【点睛】本题考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握5种基本作图，也考查了全等三角形的判定．
3．（2022·呼和浩特市启东中学八年级月考）三条相互交叉的公路，现要建一个货物转运站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，然后根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：如下图所示，P1、P2、P3分别是三条公路围成的三角形外角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P1到三条公路的距离相等；P2到三条公路的距离相等；P3到三条公路的距离相等；P4是三条公路围成的三角形内角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P4到三条公路的距离相等．
∴可供选择的地址有4个故选D．
【点睛】此题考查的是角平分线性质的应用，掌握角平分线的性质是解题关键．
4．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，即可得到、的周长为，即可求解．
【详解】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴，，
∵的周长为，，∴，
∴的周长为，故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的定义与性质是解题的关键．
5．（2021 岐山县九年级二模）如图，在中，，的平分线交于点，，为上一动点，则的最小值为
A．2 B． C． D．
【分析】作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【解析】作于，如图，平分，，，，
为上一动点，的最小值为的长，即的最小值为2．故选：．
6．（2021·内蒙古中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B 在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；选项B，只有AE=EB时，才符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
7．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
【答案】B
【分析】直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论的长．
【详解】解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键．
8．（2021·全国七年级课时练习）下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定方法解答．
【详解】．根据一个三角形的两角与一边，或，这个三角形一定可以作出；所以选项不符合题意；
．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以选项符号题意；
．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；所以选项不符合题意；
．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．所以选项不符合题意．故选：．
【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
9．（2022·北京怀柔·八年级期末）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；
（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS
【答案】C
【分析】根据作图步骤可得出小举在探究全等三角形判定方法为SAS．
【详解】解：小举的操作过程第一步是作一个角等于已知角，夹这个角的两条边分别对应相等，
故可得出小举是在探究基本事实SAS故选：C
【点睛】此题主要考查基本作图以及全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
10．（2021·河南焦作市·九年级二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
【答案】C
【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．
【详解】解：由题意可知，
，，故选项A正确，不符合题意；
在和中，，，
在和中，，，
，故选项B正确，不符合题意；连接OP，
，，
在和中，，，，
点在的平分线上，故选项D正确，不符合题意；
若，，则，
而根据题意不能证明，故不能证明，
故选项C错误，符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞∠C，∠C＝40°，点D在AC中垂线上，则∠ADB的度数为 ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C＝40°，然后根据三角形外角性质计算∠ADB的度数．
【解析】∵点D在AC中垂线上，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝40°+40°＝80°．故答案为80°．
12．（2021 余姚市期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是 点．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解析】由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等，故答案为：M．
13．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．
【答案】11．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．
【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
14．（2021 泰兴市八年级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为60，，，则的长等于 ．
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【解析】作于，是的角平分线，，，，
，
．故答案为：4．
15．（2021·辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，∴∠BAC＝90° ∠B＝90° 22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，∴∠AGQ＝90° ∠BAG＝90° 34°＝56°，故答案为：56．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．
16．（2021·北京房山区·八年级期末）已知等边三角形．如图，
（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（2）作直线交于点D；
（3）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；
（4）作直线交于点E；（5）直线与直线相交于点O；
（6）连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①；②；③；④，正确的是____________．
【答案】①③④
【分析】根据题意可得点O是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．
【详解】由题可得点O为等边三角形ABC三边中垂线的交点，即：MN⊥AB，HL⊥AC，
∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE，∴△ADO≌△AEO，∴OD=OE，
又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，∴在Rt△COE中，OC=2OE，∴OC=2OD，故①正确；
在Rt△ABE中，显然AB=2AE，而OA＞AE，∴AB≠2OA，故②错误；
根据中垂线性质可得OA=OB，OA=OC，∴OA=OB=OC，故③正确；
在四边形ADOE中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，
∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．
17．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
【答案】
【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
【详解】解：平分，平分，，，
，即；
如图，连接．点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，，，，
，，
，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
18．（2021 余杭区八年级月考）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①平分；②；③；④．
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解析】①过点作于，
平分，平分，，，，
，，，点在的角平分线上，故①正确；
②，，，，
在和中，，，，
同理：，，，
，②正确；③平分，平分，
，，，③正确；
④由②可知，
，，，故④正确，故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·广西八年级月考）如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村、、的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据垂直平分线的性质得出，连接AB，作AB的垂直平分线，连接BC，作BC的垂直平分线，两线交于P，则P点即是所求答案．
【详解】解：如图所示，点为娱乐站所在的位置
．
【点睛】本题考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
20．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置．（不写过程，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．
【详解】解：连结CD，作CD的垂直平分线，和∠AOB的平分线，两线交于P，如图，点P为所作．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
21．（2021·河北邯郸市·八年级月考）尺规作图：已知和线段，求作，使．（作图痕迹要清晰规范，不要求作图步骤）
【答案】见解析．
【分析】利用基本作图来解，作∠B=∠α，∠C=β，BC=2即可．
【详解】解：如图，为所作．
【点睛】本题考查尺规作图问题，掌握尺规作图中的基本作图，会用基本作图解决问题是解题关键．
22．（2022·江西南昌市·八年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确 若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
【答案】（1）36，（2）都正确，证明见详解
【分析】（1）过点D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分线，利用角平分线性质 有DF=DE，分别求S△ABD和S△ACD，则S△ABC= S△ABD+ S△ACD计算即可
（2）都正确 AD是它的角平分线，，DF⊥AB，则DE=DF，由（1）知S△ABD=，S△ACD=，求两个三角形面积之比，
过A作AG⊥BC于G，AG是△ABD的高，也是△ACD的高，分别求出利用高表示的三角形的面积，，再求求两个三角形面积之比即可．
【详解】（1）过点D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分线，，DF=DE=4，
S△ABD=，S△ACD=，S△ABC= S△ABD+ S△ACD=20+16=36，
（2）都正确，
AD是它的角平分线，，DF⊥AB，则DE=DF，
S△ABD=，S△ACD=，，
过A作AG⊥BC于G，，，
，由，，
小智和小慧的发现都正确．
【点睛】本题考查三角形的面积与角平分线定理，掌握三角形的面积与角平分线定理，会求三角形的面积，会用面积证明角分线分得的两线段的比是解题关键．
23．（2021·浙江·八年级期末）如图，已知，请按下列要求作图：
（1）作边上的中线．（2）用直尺和圆规作的角平分线．
（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线，交BC于D，连接AD即可；
（2）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠ACB的平分线CG；（3）先作线段EF=BC，然后分别以E、F为圆心，BA和CA为半径画弧，两弧交于点D，则△DEF与△ABC全等．
【详解】解：（1）如图，AD即为所作；
（2）如图，CG即为所作；
（3）如图，△DEF为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）位置关系是平行，数量关系是相等
【分析】（1）按照角的平分线的尺规作图步骤进行即可；
（2）先确定BC的中点，后用直尺依次完成操作即可；
（3）根据内错角相等，两直线平行，判定位置关系，利用三角形全等，判定数量关系．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∴∠CBD=∠BAC+∠C=2∠C，
∵BF平分∠CBD，∴∠CBD=∠CBF+∠DBF=2∠CBF，∴∠CBF=∠C，∴BF∥AC；
∵CE=BE，∠AEC=∠FEB，∴△ACE≌△FEB，∴AC=FB，故答案为：平行；相等．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，三角形外角的性质，三角形全等，熟练掌握平行线的判定，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
25．（2021秋 鹿邑县月考）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．（1）若点到直线的距离为，求点到直线的距离；（2）求证：点在的平分线上．
【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质解答即可；
（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理证明结论．
【解析】（1）解：过点作于，点在的平分线，，，
，即点到直线的距离为；
（2）证明：点在的平分线，，，，
，，，，点在的平分线上．
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专题1.6 尺规作图+角平分线和垂直平分线
模块一：知识清单
1.角平分线的性质
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
2.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在相等的垂直平分线上.
注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
3.用尺规作图
1）作垂直平分线 已知：线段．求作：的垂直平分线．作法：（1）分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．
（2）作直线． 直线就是线段的垂直平分线．
2）作角平分线， 已知：角．求作：射线，使．
作法：（1）在和上分别截取，，使．
（2）分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
（3）作射线．就是的平分线．
3）用尺规作三角形
根据三角形判定定理，掌握用尺规做三角形及做一个三角形与已知三角形全等。
常见的尺规作三角形的类型：已知三边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知两角和任意一边作三角形；已知一条直角边和一条斜边。
模块二：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
3．（2022·呼和浩特市启东中学八年级月考）三条相互交叉的公路，现要建一个货物转运站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021 岐山县九年级二模）如图，在中，，的平分线交于点，，为上一动点，则的最小值为
A．2 B． C． D．
6．（2021·内蒙古中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
8．（2021·全国七年级课时练习）下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
9．（2022·北京怀柔·八年级期末）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS
10．（2021·河南焦作市·九年级二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞∠C，∠C＝40°，点D在AC中垂线上，则∠ADB的度数为 ．
12．（2021 余姚市期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是 点．
13．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．
14．（2021 泰兴市八年级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为60，，，则的长等于 ．
15．（2021·辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
16．（2021·北京房山区·八年级期末）已知等边三角形．如图，
（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（2）作直线交于点D；
（3）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；
（4）作直线交于点E；（5）直线与直线相交于点O；
（6）连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①；②；③；④，正确的是____________．
17．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
18．（2021 余杭区八年级月考）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①平分；②；③；④．
解答题（本大题共7小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·广西八年级月考）如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村、、的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图痕迹）
20．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置．（不写过程，保留作图痕迹）
21．（2021·河北邯郸市·八年级月考）尺规作图：已知和线段，求作，使．（作图痕迹要清晰规范，不要求作图步骤）
22．（2022·江西南昌市·八年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确 若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
23．（2021·浙江·八年级期末）如图，已知，请按下列要求作图：
（1）作边上的中线．（2）用直尺和圆规作的角平分线．
（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．
24．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
25．（2021秋 鹿邑县月考）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．（1）若点到直线的距离为，求点到直线的距离；（2）求证：点在的平分线上．
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