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专题1.8 三角形的初步认识 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春 焦作期末）有四根细木棒，长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm，从中任取三根拼成三角形，则所拼得的三角形的周长不可能是（ ）
A．21cm B．17cm C．19cm D．15cm
【思路点拨】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形，从而可以找到正确的选项．
【答案】解：从四根细木棒中随机抽出三根木棒，所有结果为3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9，∵3+5＞7；3+5＜9；3+7＞9；5+7＞9；
故①3、5、7；②3、7、9；③5、7、9，可以围成的三角形共有3种，
周长分别为15cm，19cm，21cm，只有17cm不适合，故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．（2021春 兴隆县期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．B． C． D．
【思路点拨】根据三角形具有稳定性解答．
【答案】解：选项中只有选项A是三角形，故具有稳定性的图形是三角形．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
3．（2021春 南海区期末）适合条件∠A：∠B：∠C＝2：3：5的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【思路点拨】设∠A为2x，得出∠B为3x，∠C为5x，根据三角形的内角和为180°，求出各角的度数，即可得出答案．
【答案】解：设∠A为2x，则∠B为3x，∠C为4x，根据题意得：
2x+3x+5x＝180°，解得；x＝18，则∠A＝36°，∠B＝54°，∠C＝90°，
适合条件∠A：∠B：∠C＝2：3：5的三角形ABC是直角三角形；故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，求出各角的度数是本题的关键．
4．（2021春 嵩县期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的高和中线
【思路点拨】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
【答案】解：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．
5．（2021春 海阳市期末）如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点．下列结论不正确的是（ ）
A．∠BCD＞∠A B．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A+∠B
【思路点拨】三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，根据以上知识点逐个判断即可．
【答案】解：A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A+∠B，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质的应用，能熟记知识点是解此题的关键，注意：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角．
6．（2021春 乐平市期末）如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【思路点拨】先证明AC＝DF，则已知两组对应边相等，所以要已知它们的夹角相等，则∠ACB＝∠DFE或BC∥EF．
【答案】解：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+CF，即AC＝DF，
∵BC＝EF，∴当∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF；
当BC∥EF，则∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF．故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
7．（2021春 清苑区期末）如图，△ABC中，AB＞AC，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC
【思路点拨】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，进而判定AE∥BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
【答案】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，∴∠EAC＝∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，故选：D．
【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图，平行线的判定与性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
8．（2021春 莲湖区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【思路点拨】根据角平分线的定义得出∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，根据三角形的外角性质得出∠A＝∠ACM﹣∠ABC，∠P＝∠PCM﹣∠CBP，再代入求出∠A和∠P即可．
【答案】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝120°﹣40°＝80°，∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝60°﹣20°＝40°，∴∠A﹣∠P＝80°﹣40°＝40°，故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形的外角性质，能根据角平分线的定义求出∠CBP＝∠ABP＝20°和∠ACM＝2∠ACP＝120°是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
9．（2021春 东平县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60° B．55° C．50° D．无法计算
【思路点拨】利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而得到∠ABD＝∠2＝30°，然后根据三角形外角性质计算∠3的度数．
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．证明△ABD≌△ACE是解决问题的关键．
10．（2021春 福田区校级期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】只要证明△ABE≌△ACF，△ACN≌△ABM即可判断．
【答案】解：∵∠EAC＝∠FAB，∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，，∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，学会利用两次全等解决问题，属于中考常考题型．
11．（2021春 九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得△DEF的面积为18m，构建方程，可得结论．
【答案】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．
∵BD＝2AB，∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，
∵AC＝AF，∴△ADF的面积＝△ACD的面积＝3m，
∵EC＝3BC，∴△ECA的面积＝3m，△EDC的面积＝6m，
∵AC＝AF，∴△AEF的面积＝△EAC的面积＝3m，
∴△DEF的面积＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36，∴m＝2，∴△ABC的面积为2，故选：A．
【点睛】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
12．（2021春 沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【思路点拨】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度．
【答案】解：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴，∴AE＝4，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，又∵∠AHE＝∠CHD，∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，，∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，作这类题的关键在于准确找到判定三角形全等的条件，也要熟练运用全等三角形的性质．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021春 德城区期末）命题“锐角的补角是钝角”的题设为 ，结论为 ．
【思路点拨】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【答案】解：命题“锐角的补角是钝角”写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角，题设为：一个角是锐角的补角，结论为：这个角是钝角，
故答案为：一个角是锐角的补角，这个角是钝角．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
14．（2021春 浦东新区月考）命题若a2＝b2，则a＝b是 命题（填“真”或“假”）．
【思路点拨】根据偶次幂进行判断即可．．
【答案】解：若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；故答案为：假．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是弄清偶次幂问题．
15．（2020 迁安市二模）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ ．
【思路点拨】根据图形和正方形的性质可知∠1+∠5＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3＝45°，再把它们相加可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数．
【答案】解：观察图形可知∠1与∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2与∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3＝45°∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（∠1+∠5）+（∠2+∠4）+∠3＝225°．故填225°
【点睛】此题结合全等三角形的性质考查了余角，注意本题中∠1+∠5＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3＝45°是解题的关键．
16．（2021春 莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 ．
【思路点拨】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【答案】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故答案为：180°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
17．（2021春 西安期末）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE＝ ．
【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∴∠CAB＝∠ABC＝65°，求出∠ACD＝∠BCE，根据全等三角形的判定得出△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠CDA＝∠CEB，再证明Rt△CHN≌Rt△CHM（HL），即可求解．
【答案】解：∵CA＝CB，∠ACB＝50°，∴∠CAB＝∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝65°，
∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA＝∠CEB，
设BE、CD交于点R，∵∠CRE＝∠HRD，∴∠DHE＝∠DCE＝50°
过点C分别作AD、BE的高CN、CM，∵△ACD≌△BCE，∴CM＝CN，
∵CH＝CH，∴Rt△CHN≌Rt△CHM（HL），
∴∠CHE＝∠CHN＝∠AEH＝（180°﹣∠DHE）＝（180°﹣50°）＝65°故答案为：65°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能求出△ACD≌△BCE是解此题的关键．
18．（2021春 镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝58°，连接CE，则∠BCE的度数为 ．
【思路点拨】当点D在射线BC上时，由等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝∠ADE＝61°，证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质求出∠B＝∠ACE．则可得出答案．
当点D在射线BC的反向延长线上时，同理可求出答案．
【答案】解：如图，当点D在射线BC上时，
∵∠BAC＝∠DAE＝58°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝61°，
同理∠AED＝∠ADE＝61°，∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，∴∠BCE＝61°+61°＝122°．
当点D在射线BC的反向延长线上时，
∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，
在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE＝58°，答案122°或58°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 庆阳期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为 ．
【思路点拨】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；
（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【答案】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABC＝BC AD＝4×4＝8．∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了基本作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．
20．（2021春 麦积区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：（1）∠BAE的度数；（2）∠DAE的度数．
【思路点拨】（1）利用三角形的内角和定理，先求出∠BAC，再利用角平分线的性质求出∠BAE的度数；（2）利用垂直、三角形的内角和先求出∠BAD，再与（1）结合求出∠DAE的度数．
【答案】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°．
∵AE平分∠BAC，∴．
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°．
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质等知识点，掌握三角形的内角和定理及推论是解决本题的关键．
21．（2021春 铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；（2）求证：AD＝AE．
【思路点拨】（1）直接根据全等三角形的判定可得答案；（2）先根据SAS证得△ABF≌△ACF，再根据ASA证得△BDF≌△CEF，然后根据全等三角形的性质可得结论．
【答案】解：（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB；
（2）证明：在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C，BF＝CF．
在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴BD＝CE，∴AB﹣BD＝AC﹣CE，∴AD＝AE．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其判定定理（SAS、ASA）是解决此题关键．
22．（2022 孝义市期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗
下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．
已知：如图，AB⊥CD， ．
求证： ．
证明：
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】已知：如图，AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD．
求证：AD＝AC．
证明：∵AB⊥CD，∴∠BAD＝∠BAC，
在△ABD与△ABC中，
，
∴△ABD≌△ABC（ASA），∴AD＝AC，
故答案为：∠ABC＝∠ABD，AD＝AC
23．（2021春 泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
【思路点拨】（1）根据SAS证明△BDE≌△ADC，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据SAS证明△BFE≌△CFM，得到∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，即得AC＝MC，再利用直角三角形的两锐角互余得出AC⊥MC．
【答案】（1）证明；∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE与△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F为BC中点，∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，，∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BCM+∠ACD＝90°，即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，∴AC⊥MC且AC＝MC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用SAS证明△BDE≌△ADC是解本题的关键．
24．（2021 乐亭县期末）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）填空：∠BIC＝ ．（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝ ．
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，填空：∠BEC＝ ．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于 度时，CE∥AB？请说明理由．
【思路点拨】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出∠IBC+∠ICB即可解决问题；
（2）根据四边形内角和等于360°解决问题即可；（3）在△BDE中，∠DBI＝90°，故∠BEC＝90°﹣∠BDC，即可解决问题；（4）利用平行线的性质即可解决问题．
【答案】解：（1）∵∠A＝48°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣48°＝132°，
∵点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝66°，
∴∠BIC＝180°﹣66°＝114°．故答案为：114°；
（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，
∴∠DBI＝∠DBC+∠IBC＝90°，同理∠DCI＝90°，
∴∠BDC+∠BIC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣114°＝66°．故答案为：66°；
（3）在△BDE中，∠DBI＝90°，
∴∠BEC＝90°﹣∠BDC＝90°﹣66°＝24°；
（4）∵CE∥AB，∴∠ECA＝∠A＝48°，∴∠ECG＝∠ECA＝∠ABC＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣48°﹣48°＝84°，故答案为：84．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、角的和差计算；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25．（2021秋 西城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
小芸第（1）问的证明步骤是这样的：
由∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°得出∠DAC＝∠BCE；
从而证出△ACD≌△CBE，得到：DE＝AD+BE．
请你仿照小芸的证题步骤完成第（2）问的证明．
【思路点拨】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE＝BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．
【答案】解：（1）如图1中，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴AD+BE＝DE．
（2）如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∵，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
（3）如图3中，∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CED＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
∵，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识点，解题的关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进行转化
26．（2021春 章丘区期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件 ，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
【思路点拨】（1）由∠BCA＝90°，∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，可得∠CBE＝∠ACF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE＝CF．（2）若BE＝CF，则可使得△BCE≌△CAF．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE≌△CAF便可得证．（3）题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE＝CF，EC＝FA，从而可证明EF＝BE+AF．
【答案】解：（1）∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．
又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF．
在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF．
（2）α+∠BCA＝180°，理由如下：
∵∠BEC＝∠CFA＝α，∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α．
又∵α+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°﹣α．
∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α．∴∠EBC＝∠FCA．
在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF．
（3）EF＝BE+AF，理由如下：∵∠BCA＝α，∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α．
又∵∠BEC＝α，∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．∴∠EBC＝∠FCA．
在△BEC和△CFA中，∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA．∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
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专题1.8 三角形的初步认识 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春 焦作期末）有四根细木棒，长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm，从中任取三根拼成三角形，则所拼得的三角形的周长不可能是（ ）
A．21cm B．17cm C．19cm D．15cm
2．（2021春 兴隆县期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．B． C． D．
3．（2021春 南海区期末）适合条件∠A：∠B：∠C＝2：3：5的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．（2021春 嵩县期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的高和中线
5．（2021春 海阳市期末）如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点．下列结论不正确的是（ ）
A．∠BCD＞∠A B．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A+∠B
6．（2021春 乐平市期末）如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
7．（2021春 清苑区期末）如图，△ABC中，AB＞AC，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC
8．（2021春 莲湖区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
9．（2021春 东平县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60° B．55° C．50° D．无法计算
10．（2021春 福田区校级期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021春 九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2021春 沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021春 德城区期末）命题“锐角的补角是钝角”的题设为 ，结论为 ．
14．（2021春 浦东新区月考）命题若a2＝b2，则a＝b是 命题（填“真”或“假”）．
15．（2020 迁安市二模）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ ．
16．（2021春 莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 ．
17．（2021春 西安期末）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE＝ ．
18．（2021春 镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝58°，连接CE，则∠BCE的度数为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 庆阳期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为 ．
20．（2021春 麦积区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：（1）∠BAE的度数；（2）∠DAE的度数．
21．（2021春 铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；（2）求证：AD＝AE．
22．（2022 孝义市期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗
下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．
已知：如图，AB⊥CD， ．
求证： ．
证明：
23．（2021春 泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
24．（2021 乐亭县期末）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）填空：∠BIC＝ ．（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝ ．
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，填空：∠BEC＝ ．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于 度时，CE∥AB？请说明理由．
25．（2021秋 西城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
小芸第（1）问的证明步骤是这样的：
由∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°得出∠DAC＝∠BCE；
从而证出△ACD≌△CBE，得到：DE＝AD+BE．
请你仿照小芸的证题步骤完成第（2）问的证明．
26．（2021春 章丘区期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件 ，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
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