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专题1.1 二次函数的相关概念
模块一：知识清单
1.二次函数的概念
1）形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫作二次函数。
其中：a是二次项系数，b一次项系数，c是常数项。
注：①a、b、c为常数，且a≠0，即二次项必须有，一次项和常数项可以没有。
②二次函数为函数的一种，满足函数的所有性质。即自变量x有且仅有唯一应变量y与之对应 。
2）二次函数的函数值:
二次函数的函数值就是y值，如果知道x的值，就将x的值代入解析式中，就可以求出函数值。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江初三月考）下列函数关系式中，是的二次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．
【解析】解：A．当a=0时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是二次函数，故本选项符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意．故选C．
【点睛】此题考查的是二次函数的判断，掌握二次函数的定义是解题关键．
2．（2021·四川成都市·九年级二模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【答案】D
【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．
【详解】解：由题意得， 与之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．（2021·安徽九年级月考）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，故选：C．
【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
4．（2022·江苏淮安初三三模）若y=（m＋1）是二次函数，则m= （ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
【答案】B
【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
【解析】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B．
【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．
5．（2021 防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【思路点拨】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【答案】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
6．（2022·江苏金湖初三期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
【答案】C
【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．
【解析】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a的值为﹣1．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.
7．（2021·广东省初三期中）在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．
【详解】解：圆的面积公式是，原来的圆的面积=，挖去的圆的面积=，
∴圆环面积．故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函数关系式．
8．（2021 定远县期中）若函数y＝4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．
【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
【解析】根据题意，得4x2+1＝5，x2＝1，解得x＝﹣1或1．故选：C．
9.（2021·北京九年级期末）在抛物线上的一个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上．
【详解】A，(0, 4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A错误
B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B错误
C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C错误
D，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D正确故选：D
【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．
10．（2021·广东九年级专题练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．或3 C．3 D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
【详解】∵函数是关于x的二次函数，∴，且，
由得，或，由得，，∴m的值是3，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·上海市实验学校九年级二模）已知，则___________
【答案】2．
【分析】求的值，即是求当时，的值，从而进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵∴故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了函数在某一点的函数值，解题的关键是把该点的值代入函数解析数进行运算求解．
12．（2021 温州期末）已知二次函数y＝x2+3x﹣5，当x＝2时，y＝ ．
【分析】把x＝2代入函数解析式计算即可得解．
【解析】x＝2时，y＝22+3×2﹣5＝4+6﹣5＝10﹣5＝5．故答案为：5．
13．（2021 新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac 0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．
【解析】∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜．
14．（2021 西湖区期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为 ．
【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可．
【解析】由题意得：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2＝200x2+600x+600（x＞0），
故答案为：y＝200x2+600x+600（x＞0）．
15．（2022·苏州市平江中学校九年级期中）二次函数的图象经过原点，则__________．
【答案】3
【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．
【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，∴，∴．故答案为：3．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．
16．（2021·安徽宿州市·九年级期末）二次函数的二次项系数与常数项的和是______．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项可得二次项系数是2，常数项是-1，再求和即可．
【详解】解：二次函数y=2x2-3x-1的二次项系数是2，常数项是，
；故答案为：1；
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
17．（2022·江苏扬中初三期末）点是二次函数图像上一点，则的值为__________
【答案】6
【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可．
【解析】解：∵点是二次函数图像上，∴则．
∴故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
18．（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
【答案】
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．
【详解】解：由题意得解得
∴函数的本源函数是．故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·全国·九年级课时练习）已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式．
【答案】
【分析】将x与y的三对值代入二次函数解析式求出a、b、c的值，即可确定出解析式．
【详解】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
将x=1，y=3；x=2，y=0；x=3，y=4代入得： ，解得： ，
则二次函数解析式为y=x2-x+13．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（2022·江苏初三期中）下列各式中，y一定是x的二次函数的有哪些？y一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能y是x的二次函数的，请补充条件，使它一定是二次函数．
（1）y＝x2+2x﹣5；（2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2；（3）y＝ax2+bx+c；
（4）y＝mx2+（m﹣2）x+1；（5）y＝（b﹣1）x2+3；（6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数）．
【思路点拨】根据二次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．
【答案】解：（1）y＝x2+2x﹣5中，y一定是x的二次函数；
（2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2，y一定不是x的二次函数；
（3）y＝ax2+bx+c，y不一定是x的二次函数，当a≠0时，y是x的二次函数；
（4）y＝mx2+（m﹣2）x+1，y不一定是x的二次函数，当m≠0时，y是x的二次函数；
（5）y＝（b﹣1）x2+3，y不一定是x的二次函数，当b≠1时，y是x的二次函数；
（6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数），y，一定是x的二次函数．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．
21．（2021 西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【分析】（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【解析】（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，解得：m＝﹣2；
（2）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，解得：m≠﹣2且m≠0．
21．（2022·湖北初三期中）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；（2）若这个函数是一次函数，求m的值；（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
【思路点拨】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；
（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．
【答案】解：（1）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是二次函数，
即m2﹣m≠0，即m≠0且m≠1，
∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；
（2）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是一次函数，
即m2﹣m＝0且m﹣1≠0∴m＝0∴当m＝0，函数是一次函数；
（3）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是正比例函数，
即m2﹣m＝0且2﹣2m＝0且m﹣1≠0∴m不存在
∴函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m不可能是正比例函数．
【点睛】本题考查了二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于0时，是二次函数；二次函数的二次项系数等于0时，是一次函数；二次项系数等于0，同时常数项等于0时 是正比例函数．
23．（2021·广东省初三期中）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：
（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；
（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．
【思路点拨】根据二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式解答即可．
【答案】解：（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p＝m（m﹣5）＝m2﹣5m，是二次函数；（2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S＝100π﹣4x2，是二次函数；
（3）郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S＝（60﹣2a）（40﹣2a）＝4a2﹣200a+2400，是二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式是解题的关键
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析
【分析】（1）把代入二次函数即可求解；
（2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。
【解析】(1)解：把代入二次函数得：，
．
(2)解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，
代入抛物线的解析式得：，，，
，当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是大于的，，，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．
【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。
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专题1.1 二次函数的相关概念
模块一：知识清单
1.二次函数的概念
1）形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫作二次函数。
其中：a是二次项系数，b一次项系数，c是常数项。
注：①a、b、c为常数，且a≠0，即二次项必须有，一次项和常数项可以没有。
②二次函数为函数的一种，满足函数的所有性质。即自变量x有且仅有唯一应变量y与之对应 。
2）二次函数的函数值:
二次函数的函数值就是y值，如果知道x的值，就将x的值代入解析式中，就可以求出函数值。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江初三月考）下列函数关系式中，是的二次函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川成都市·九年级二模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
3．（2021·安徽九年级月考）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
4．（2022·江苏淮安初三三模）若y=（m＋1）是二次函数，则m= （ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
5．（2021 防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
6．（2022·江苏金湖初三期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
7．（2021·广东省初三期中）在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021 定远县期中）若函数y＝4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．
9.（2021·北京九年级期末）在抛物线上的一个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·广东九年级专题练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．或3 C．3 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·上海市实验学校九年级二模）已知，则___________
12．（2021 温州期末）已知二次函数y＝x2+3x﹣5，当x＝2时，y＝ ．
13．（2021 新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac 0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
14．（2021 西湖区期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为 ．
15．（2022·苏州市平江中学校九年级期中）二次函数的图象经过原点，则__________．
16．（2021·安徽宿州市·九年级期末）二次函数的二次项系数与常数项的和是______．
17．（2022·江苏扬中初三期末）点是二次函数图像上一点，则的值为__________
18．（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·全国·九年级课时练习）已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式．
20．（2022·江苏初三期中）下列各式中，y一定是x的二次函数的有哪些？y一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能y是x的二次函数的，请补充条件，使它一定是二次函数．
（1）y＝x2+2x﹣5；（2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2；（3）y＝ax2+bx+c；
（4）y＝mx2+（m﹣2）x+1；（5）y＝（b﹣1）x2+3；（6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数）．
21．（2021 西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
22．（2022·湖北初三期中）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；（2）若这个函数是一次函数，求m的值；（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
23．（2021·广东省初三期中）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：
（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
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