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专题1.3 二次函数的性质
模块一：知识清单
1、二次函数的性质
一般式 顶点式 交点式
函数表达式
开口 开口方向：当时，开口 向上 ，当时，开口 向下 .开口大小：越大，开口越小；越小，开口越大。
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，k）
增减性及最值 当时，在对称轴的左侧，随的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，随的增大而 增大 ，函数有最 小 值 ；
当时，在对称轴的左侧，随的增大而 增大，在对称轴的右侧，随的增大而 减小 ，函数有最 大 值 .
2.二次函数字母系数与图象的关系
①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
②对称轴可确定b的符号：
对称轴在x轴负半轴，则，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则，即ab＜0
③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
其他辅助判定条件：
④顶点坐标⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·北京·人大附中九年级期末）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
【答案】B
【分析】 是一条开口向上的抛物线，对称轴为轴即直线，在对称轴处取最小值为，在对称轴左侧随的增大而减小．
【详解】A将代入求得，表述错误，故不符合题意；
B根据函数的性质，当时，随的增大而减小，表述正确，故符合题意；
C图像的对称轴是直线，表述错误，故不符合题意；
D当时，取最小值，表述错误，故不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．解题的关键在于对二次函数知识的全面掌握．
2. （2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．
3．（2021·安徽·马鞍山二中实验学校九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当时，y值随x值的增大而增大 D．当时，y值随x值的增大而减小
【答案】D
【分析】观察二次函数的图像，从而可得答案．
【详解】解；如图，由图像可得：当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故A错误；
当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误；当时，y值随x值的增大而减少，故C错误；
当时，y值随x值的增大而减小，故D正确；故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握利用二次函数的图像探究二次函数的图像是解题的关键．
4.（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
【答案】D
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点A，B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，进而求解．
【详解】解：∵y＝a（x﹣m）2（a＜0），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
当p＝q时，m＝＝1，∵p＜q，∴m＞1，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）命题1是“a＜0”；命题2是“函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大”，则下列说法正确的是（ ）
A．由命题1可以推导出命题2，但是由命题2无法推导出命题1
B．由命题2可以推导出命题1，但是由命题1无法推导出命题2
C．既可以由命题1推导出命题2，也可以由命题2推导出命题1
D．既无法由命题1推导出命题2，也无法由命题2推导出命题1
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质可判断当a< 0时，函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大；当函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大，则a≤ 0，从而可对各选项进行判断．
【详解】函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大；
当函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大，则a≤ 0，
所以由命题1可以推导出命题2，但是由命题2无法推导出命题1．故选：A．
【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．（2022·江苏江苏·九年级期末）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质解答．
【详解】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，
∴a-1>0，∴，故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质：当a>0时，开口向上，对称轴是y轴，对称轴左小右大；当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键．
7．（2022·河南商丘·九年级期末）二次函数，当时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当时， 当时， 从而可得答案．
【详解】解：二次函数， 所以函数有最大值，
而，当时， 当时， 当时，
y的取值范围为 故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
8．（2021·太原市·山西实验中学九年级其他模拟）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
【答案】A
【详解】
【分析】据二次函数的性质和各个点到对称轴的距离，可以得到y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+x﹣m，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1，该函数图象开口向下，
∵点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，1﹣（）＝，1﹣＝，2﹣1＝1，∴y2＞y3＞y1，故选：A．
9．（2021·山东东营市·中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
10．（2022·浙江宁波·二模）如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据抛物线经过点(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根据顶点在第四象限，即可求出a的取值范围，则P的取值范围可求．
【详解】∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)，∴有，且显然a≠0，∴a-b=1，c=-1，
将抛物线配成顶点式：，∴顶点坐标为：，
∵抛物线顶点坐标在第四象限，∴，∵a-b=1，∴，解得：，
∵P=2a-b，a-b=1，∴P=2a-b=a+a-b=a+1，∵，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的a的取值范围是解答本题的关键．
11．（2022·江苏南京·一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号．
【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴，∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴当x=0时，y=c＞0，故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形结合思想的运用．
12．（2020天津市中考模拟）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B．
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
【解析】∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：，解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：，解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，故选B．
考点：二次函数的最值；分类讨论；最值问题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.（2021·北京·九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
【答案】．
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且a=1，h≥1，据此可得．
【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，设函数的解析式为；
该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
当x1时，y随x的增大而减小； 所以取
满足上述所有性质的二次函数可以是：， 故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
14．（2021·广西百色市·九年级期末）已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．
【详解】解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴15．（2021·黑龙江鹤岗·九年级期末）已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝m≥1．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，∴此函数开口向上，
∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x＝m≥1．故答案为：m≥1．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
16．（2022·贵州黔东南·二模）已知：二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 。
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
【答案】
【分析】由表格可知，二次函数的图象关于直线对称，它的图象与x轴的一个交点坐标为，根据二次函数的对称性可求它的图象与x轴的另一个交点坐标．
【详解】解：由表格可知，二次函数的图象关于直线对称，它的图象与x轴的一个交点坐标为，∴它的图象与x轴的另一个交点坐标为，故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于确定二次函数的对称轴．
17. （2022·上海市建平实验中学九年级期末）已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴，
所以当时，随的增大而增大，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．
18.（2022·福建省初三月考）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
【答案】或
【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．
【解析】解：∵点是该抛物线的顶点，且，
∴该函数有最小值，则函数开口向上，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
当时，点B、C重合，则，不符合题意；
∴的取值范围为：或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北张家口市·九年级期中）已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？
【答案】（1）；（2）k＝1，最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大；（3）k＝3，最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k的值；
（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间．
【详解】解：（1）∵函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，
∴k满足，且k﹣2≠0，∴解得：；
（2）∵抛物线有最高点，∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，∴k＝1，
∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．
（3）∵函数有最小值，∴图象开口向上，即k﹣2＞0，
∴k＝3，∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质．
20．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知：二次函数．(1)将化成的形式．(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
【答案】(1)(2)对称轴是直线，顶点坐标是，最小值为
【分析】（1）用配方法将二次函数解析式配成顶点式即可；
（2）根据顶点式的解析式写出对称轴、顶点坐标、最小值．
【解析】 (1)解：．
(2)解：由（1）知，该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，－1），抛物线开口朝上，有最小值，最小值为－1．
【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，利用顶点式求对称轴、顶点坐标、最值等知识点．利用配方法求出顶点式是解题关键．
21．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)若点（－1，），（a，），（1，）在抛物线上，且，求a的取值范围．
【答案】(1)直线 (2)或
【分析】（1）直接根据函数表达式代入对称轴求解即可；（2）分三种情况进行讨论分析：①当时，②当时，③当时，根据二次函数的基本性质及图象求解即可得出结果．
【解析】 (1)解：∵抛物线表达式为，∴对称轴为直线；
(2)解：由题意可知抛物线开口向上．
①当时，由，得．解得．
由，得．解得．∴．
②当时，由，得．解得．
由，得．解得．∴．
③当时，由，得．解得．
由，得．解得．无解．
综上，或．
【点睛】考查二次函数的基本性质及数形结合思想，理解题意，对a的值进行分类讨论是解题关键．
22．（2021·浙江金华市·九年级一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q在抛物线上且．当时，．求m的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）先计算二次函数的对称轴，再利用抛物线的对称性解题即可；
（2）把分别代入二次函数中，由得到，再结合图象知，整理得，结合已知条件，代入解题即可．
【详解】解：（1）二次函数图象的对称轴为：
二次函数的图象与x轴交于O，A两点，由对称性可知；
（2）把分别代入二次函数中得，
整理得，由抛物线开口向下得
．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、一元一次不等式的解法、整体思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
23．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【答案】（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；
(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图
24．（2022·浙江杭州·二模）二次函数的自变量与函数值的对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
(1)若，求此时函数解析式；(2)当时，对应的函数值．
①和在该二次函数的图象上，试比较与大小；②求的范围．
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出二次函数对称轴，然后根据当时，对应的函数值， 推出二次函数在对称轴左侧，y随x增大而减小，则二次函数开口向下，由此求解即可；②先求出，得到，再由当时，对应的函数值，求出，由此即可得到答案．
【解析】(1)解：设二次函数解析式为，
由题意得：，∴，∴二次函数解析式为；
(2)解：①∵当时，，当时，，
∴二次函数对称轴为直线，
∵当时，对应的函数值，
∴二次函数在对称轴左侧，y随x增大而减小，∴二次函数开口向上，
∵，∴；
②∵二次函数对称轴为直线，
∴当与当时的函数值相同，即，
设二次函数解析式为，，
∴，，∴，
∴，
∵当时，对应的函数值，
∴，即，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
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专题1.3 二次函数的性质
模块一：知识清单
1、二次函数的性质
一般式 顶点式 交点式
函数表达式
开口 开口方向：当时，开口 向上 ，当时，开口 向下 .开口大小：越大，开口越小；越小，开口越大。
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，k）
增减性及最值 当时，在对称轴的左侧，随的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，随的增大而 增大 ，函数有最 小 值 ；
当时，在对称轴的左侧，随的增大而 增大，在对称轴的右侧，随的增大而 减小 ，函数有最 大 值 .
2.二次函数字母系数与图象的关系
①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
②对称轴可确定b的符号：
对称轴在x轴负半轴，则，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则，即ab＜0
③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
其他辅助判定条件：
④顶点坐标⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·北京·人大附中九年级期末）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
2. （2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
3．（2021·安徽·马鞍山二中实验学校九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当时，y值随x值的增大而增大 D．当时，y值随x值的增大而减小
4.（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
5．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）命题1是“a＜0”；命题2是“函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大”，则下列说法正确的是（ ）
A．由命题1可以推导出命题2，但是由命题2无法推导出命题1
B．由命题2可以推导出命题1，但是由命题1无法推导出命题2
C．既可以由命题1推导出命题2，也可以由命题2推导出命题1
D．既无法由命题1推导出命题2，也无法由命题2推导出命题1
6．（2022·江苏江苏·九年级期末）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南商丘·九年级期末）二次函数，当时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·太原市·山西实验中学九年级其他模拟）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
9．（2021·山东东营市·中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江宁波·二模）如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
11．（2022·江苏南京·一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0
12．（2020天津市中考模拟）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.（2021·北京·九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
14．（2021·广西百色市·九年级期末）已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是__________．
15．（2021·黑龙江鹤岗·九年级期末）已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
16．（2022·贵州黔东南·二模）已知：二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 。
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
17. （2022·上海市建平实验中学九年级期末）已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
18.（2022·福建省初三月考）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北张家口市·九年级期中）已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？
20．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知：二次函数．(1)将化成的形式．(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
21．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)若点（－1，），（a，），（1，）在抛物线上，且，求a的取值范围．
22．（2021·浙江金华市·九年级一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q在抛物线上且．当时，．求m的取值范围．
23．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
24．（2022·浙江杭州·二模）二次函数的自变量与函数值的对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
(1)若，求此时函数解析式；(2)当时，对应的函数值．
①和在该二次函数的图象上，试比较与大小；②求的范围．
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