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专题1.4 二次函数的应用
模块一：知识清单
1．列二次函数解决实际问题的步骤：
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量；
③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；
④解决二次函数，并解答。
2．实际问题中自变量的取值
1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值，
①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y=
②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y=
2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑。
3．利润问题中的数量关系：（1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价.
4. 求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
5. 利用二次函数解决实物抛物线形问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤：(1)实际问题。（2）建立二次函数模型。（3）利用二次函数的图象和性质求解。（4）确定实际问题的解。
6.二次函数与几何图形面积的最值
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积最值问题的方法：
1）求出函数解析式和自变量的取值范围； 2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·山西九年级专题练习）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】D
【分析】根据数关系式，t＝﹣时，礼炮在升空到最高点，求解即可．
【详解】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，∴t＝﹣ ＝- ＝6（s），故答案为：D．
【点睛】本主查二次数的性质，练享握二次函数的性质是解的关键．
2．（2021·山西运城市·九年级期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【详解】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
∴函数表达式为：，
∵a＜0，故函数有最大值，∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
3．（2021·全国九年级专题练习）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
【详解】解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
∵排球经过A、B、C三点，，解得： ，
∴排球运动路线的函数解析式为，故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式，数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键．
4．（2020·四川省中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），
则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-）， ∴-=m（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-，∴-=-（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米）
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
5．（2021·河北张家口市·九年级一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【答案】D
【分析】A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
B、把y=0代入函数y＝﹣x2+x+1即可水流喷射的最远水平距离;C、当x=20时y=11，减去2即可；
D、向后平移后的解析式为，把x=37代入解析式求得y的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．
【详解】解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，
把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，
∴解析式为；故A不符合题意；
B、当y=0时，；解得x= 2 +20，
∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米；故B不符合题意；
C、当x=20时，y=11，∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；
D、向后平移后的解析式为，
当x=37时，y=8.5 8.5-3=5.5＞2.3， ∴可以避开对这棵石榴树的喷灌； 故选：D
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2021·山西临汾市·九年级二模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
【答案】B
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【详解】解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
7．（2021·江苏省天一中学九年级三模）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，当y＜0时，n=1，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2021·山东德州市·九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
【答案】C
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，
当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误
当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．（2021广西贵港市）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
【答案】C．
【分析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，），根据S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．
【解析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，）
令x=0，则y=，点C坐标（0，），令y=0则，解得x=﹣2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），
∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC
==，
∴x=5时，△PAC面积最大值为，此时点P坐标（5，）．故选C．
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的最值；最值问题；动点型．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
设，则,∵，∴，∴，∴，
∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，
∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·湖北襄阳市·中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．
【答案】3
【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：∵，∴当x=1时，，故答案是：3．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
12．（2021·辽宁沈阳市·九年级二模）某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为___________元．
【答案】39
【分析】设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为x-20元，销售数量为280-（x-30） 10，根据公式利润=（售价-进价）×销售数量．通过配方可求利润最大值．
【详解】解：设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为（x-20）元，
销售数量为280-（x-30） 10，∴利润总额为y=（x-20） [280-（x-30） 10]，
化简得：y=-10x2+780x-11600，配方得：y=-10(x-39)2+3610，
当单价为39元时，有最大利润3610元，故答案为：39．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键首先求列出函数关系式，再将方程配方，即可求最大值．
13．（2021·青海西宁市·九年级期末）铅球运行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系满足，此运动员能把铅球推出__________．
【答案】18
【分析】运动员把铅球推出的距离即为y＝0时x的正值，据此求解可得答案．
【详解】解：当y＝0时，，整理，得：x2﹣16x﹣36＝0，解得x1＝18，x2＝﹣2，
所以此运动员能把铅球推出18m，故答案为：18．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解运动员把铅球推出的距离即为y＝0时x的正值．
14．（2021·吉林长春市·九年级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为__米．
【答案】3.4
【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为x＝2.5，可求得b的值，点B的横坐标为4，代入后可得出点B的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度．
【详解】解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，∴抛物线为y＝，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，∴点B的横坐标为4，
则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．故答案为：3.4．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属于基础题．
15．（2021·瑞安市安阳实验中学九年级期末）图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为米和米（如图2所示），x轴表示桥面，米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为__________．
【答案】
【分析】设出两个函数关系式，分别求出A、B、C、D各点表示的数即可解决问题．
【详解】如图，
因为两个函数的形状相同，因此可设：AB所在的抛物线为①，
CD所在的抛物线为②，
其中，分别表示A、B、C、D的横坐标，
对于①令x=0，代入可得，得E点坐标为；
对于②令x=0，代入可得，得E点坐标为，
∴，即
∵∴
∴，，
∴，，
将上式代入，得
解得，
又∵∴∴故答案为：
【点睛】此此题主要考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题的关键．
16．（2022·扬州市江都区国际学校初二期中）如图，线段AB的长为，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是_____．
【答案】
【分析】根据题意利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD，CE=BE，∠ACD=∠A=45°，∠ECB=∠B=45°，∠DCE=90°．利用勾股定理得出DE的表达式，进而设利用配方法即可求出DE的最小值．
【解析】解：在等腰Rt△ACD和等腰Rt△CBE中AD=CD，CE=BE，∠ACD=∠A=45°，∠ECB=∠B=45°
∴∠DCE=90°∴，∴，
∵，∴，
设即有，
∵当时，有最小值为18，
∴当时，DE的值最小，即．故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法，解答的关键是利用设参法和配方法进行分析计算.
17. （2021·吉林省第二实验学校初三月考）某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________．
【答案】＜＜
【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答．
【解析】解：抛物线，
∴其对称轴为：，且图象与x轴交于（，0），（3，0）．
∵抛物线顶点为（1，），当顶点在线段AB上时，有，则；
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得：；∴，
由对称轴为x=1及图象与x轴交于（，0），（3，0）可知，
当＜＜时，抛物线与线段AB有两个交点；
∴小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是＜＜；故答案为：＜＜.
【点睛】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x轴交点情况等，难度较大．
18．（2021·江苏苏州市·九年级一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m．
【答案】40
【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，设外侧抛物线的解析式为，将代入，得：
，解得：，内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，解得：，，，，
在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为．故答案为：40．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．
【解题思路】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答过程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，
∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状形状大小相同，AG＝x，
∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，
∵S矩形LJHF＝FL LJ，∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；
（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，
∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，∴6＜x＜8，
∵a＝﹣4＜0，∴当x＝7时，y的最大值＝4；
故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2．
20．（2021·四川成都市·九年级二模）某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价20元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于26元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）每件销售价为26元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元
【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】解：（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知，，
，当时，随的增大而增大，
，当时，取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为26元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
21 （2021·浙江九年级期末）某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．
（2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？
【答案】（1）；（2）不会被水喷到；（3）
【分析】（1）结合题意，根据抛物线顶点坐标，将抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解；
（2）解法一：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x=4时y的值，由此即可得出结论；
解法二：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.7时x的值，由此即可得出结论；
（3）设改建后抛物线的解析式为，然后根据抛物线上的点的坐标特征，利用待定系数法求解
【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为（）．
把，代入得，解得．∴
令y=0，，解得：
∴抛物线（第一象限）的表达式为．
（2）解法一：对于，令，则，
∴小明不会被水喷到．
解法二：令，则，解得，．
∵，∴小明不会被水喷到．
（3）设喷水管的高度要升高（），则抛物线的表达式为．
把代入得，解得．∴喷水管的高度要升高．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
22．（2021·浙江九年级期末）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1），16米；（2）米
【分析】（1）由条件可以得出，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可；当时代入（1）的解析式，求出的值即可得第一次落地点和守门员（点的距离；
（2）设第二次抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析为，求出解析式，就可以求出的值，进而得出结论．
【详解】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得，解得：，．
当时，，解得：（舍去）或，
答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点和守门员（点的距离为16米；
（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意，得，
解得或（舍去），．
当时，．解得：或．
他应从第一次落地点再向前跑的距离为：米．
答：他应再向前跑米．
【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键
23. （2021·山东青岛市·九年级一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
【答案】（1）；（2）能正常进入；（3）650元
【分析】（1）根据题意可写出E点，N点和抛物线顶点坐标．再设该抛物线表达式为，即利用待定系数法可求出该抛物线解析式．（2）令，即求出方程的两个根，比较两个根的差的绝对值和3米的大小即可判断．（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，由此即可求出AB、CD和AD的长，即可列出W和t的二次函数关系式，最后利用二次函数的顶点式求出其最值即可．
【详解】（1）根据题意可知E(0，4)、N(4，4)、抛物线顶点(2，6)．
设该抛物线表达式为，∴，解得：，
由图可知自变量x的取值范围是．故该抛物线表达式为．
（2）对于，当时，即，解得：，，
∵，∴该消防车能正常进入．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，
根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，
∴，．
∴，即．
∵，∴最多需要花费650元．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
24．（2021·盘锦市双台子区九年级月考）如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝﹣（m﹣）2+，S有最大值是；
【分析】（1）先由直线BC的解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）过P作PE⊥x轴于E，利用面积和求出四边形OCPB的面积S，并配方化成顶点式，求其最值即可；
【详解】解：（1）当x=0时，y=3，∴C（0，3），,当y=0时，由﹣x+3=0得：x=3，∴B（3，0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝-x2+bx+c中，得：，解得：，
∴抛物线的解析式y＝﹣＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，∵P（m，n）且点P在第一象限，∴OE＝m，BE＝3﹣m，PE＝n，
S＝S梯形COEP+S△PEB＝OE（PE+OC）+BE PE，＝m（n+3）+n（3﹣m），＝m+n，
∵n＝﹣m2+2m+3，∴S＝m+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，S有最大值是；
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，借助做辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
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专题1.4 二次函数的应用
模块一：知识清单
1．列二次函数解决实际问题的步骤：
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量；
③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；
④解决二次函数，并解答。
2．实际问题中自变量的取值
1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值，
①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y=
②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y=
2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑。
3．利润问题中的数量关系：（1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价.
4. 求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
5. 利用二次函数解决实物抛物线形问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤：(1)实际问题。（2）建立二次函数模型。（3）利用二次函数的图象和性质求解。（4）确定实际问题的解。
6.二次函数与几何图形面积的最值
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积最值问题的方法：
1）求出函数解析式和自变量的取值范围； 2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·山西九年级专题练习）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
2．（2021·山西运城市·九年级期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国九年级专题练习）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·四川省中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
5．（2021·河北张家口市·九年级一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
6．（2021·山西临汾市·九年级二模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
7．（2021·江苏省天一中学九年级三模）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
8．（2021·山东德州市·九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不落在池外
9．（2021广西贵港市）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·湖北襄阳市·中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．
12．（2021·辽宁沈阳市·九年级二模）某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为___________元．
13．（2021·青海西宁市·九年级期末）铅球运行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系满足，此运动员能把铅球推出__________．
14．（2021·吉林长春市·九年级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为__米．
15．（2021·瑞安市安阳实验中学九年级期末）图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为米和米（如图2所示），x轴表示桥面，米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为__________．
16．（2022·扬州市江都区国际学校初二期中）如图，线段AB的长为，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是_____．
17. （2021·吉林省第二实验学校初三月考）某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________．
18．（2021·江苏苏州市·九年级一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．
20．（2021·四川成都市·九年级二模）某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价20元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于26元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21 （2021·浙江九年级期末）某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．
（2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？
22．（2021·浙江九年级期末）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）
23. （2021·山东青岛市·九年级一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
24．（2021·盘锦市双台子区九年级月考）如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值．
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