中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.7 二次函数 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江九年级期中）下列关于的函数一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义分析判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、一定是二次函数，故本选项正确；
C、，当a＝0时，是一次函数，故本选项错误；
D、是三次函数，故本选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，且a≠0）的函数是x的二次函数，牢记此定义是解题的关键．
2．（2021·江苏苏州初三模拟）对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点
【答案】B
【解析】二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.
考点：二次函数的性质.
3．（2021·山西晋中·初三月考）已知关于的二次函数的图象关于直线对称，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C．的函数值一定大于的函数值 D．若，则当时，
【答案】C
【分析】根据函数的对称性，函数图象与x轴交点的个数，抛物线的性质进行依次判断即可.
【解析】∵二次函数的图象关于直线对称，∴,∴b=-4，故A错误；
∵不能判断出图象与x轴交点的个数，故不能确定，故B错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口方向向上，故离对称轴近的点低，离对称轴远的点高，故的函数值一定大于的函数值，即C正确；若，则当时，y<0，故D错误；故选：C.
【点睛】此题考查抛物线的性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点个数的计算方法，正确理解解析式中各系数与抛物线的性质的关系是解题的关键.
4．（2022·浙江杭州初三模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．故选C．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
5．（2021·广东阳江市·九年级二模）将抛物线向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出原抛物线顶点坐标，再根据平移得出新抛物线顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，将抛物线向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，顶点也如此平移，其顶点坐标为，故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟练运用抛物线平移规律，确定顶点坐标．
6．（2021·浙江嘉兴市·九年级二模）在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
【答案】A
【分析】用待定系数法求出AB的解析式，根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则
∵点，，∴，解得：； ∴AB的解析式为，
由整理得4ax2-7x-2=0， 由△=（-7）2+4×4a×2＞0得，
①当a＞0时，当抛物线经过B（2，1）时，则4a-4+1=1，解得a=1
②当a＜0时，当抛物线经过点时，则4a+4+1=2，解得
综上，a的取值范围为或故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合，分类讨论是解题的关键．
7．（2021.广西初三期中）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度即可．
【解析】设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线上的点，∴点F横坐标为x==，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为，∵点D是抛物线上的点，∴点D横坐标为x==2a，∴AD=a，BF=，CE=，OE=，∴则= ==，故选D．
点睛：本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点E、F、D的坐标是解题的关键．
8．（2021·河南开封市·九年级一模）小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值．
【详解】解：把（160，60），（190，67.5）分别代入，
可得，解得：，则，
∵，∴当时，有最大值，
∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为s，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，是基础题．
9．（2021·浙江杭州市·九年级期末）若是关于x的一元二次方程的两根，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0可以将（m，3），（n，3）看成直线y1＝3与抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）两交点，画出大致图象即可以判断．
【详解】解：如图，抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），
抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3），（n，3），由图象可知m＜a＜b＜n．故选：D．
【点睛】此题考查的是一元二次方程根的分布，一元二次方程转化为二次函数与x轴的交点问题，在此题中关键在于能够对（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0拆分成直线y1＝3与抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b），再通过大致图象即可解题，这也给我提供了一种解决此类问题的技巧．
10．（2022·山东省济南市·中考模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，
∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·北京初二期中）阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为__；（2）通过图2可以得到①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为__ ；②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为__．
【答案】x1 x1＝﹣1，x2＝2 x﹣1或x2
【分析】（1）直接根据图象即可得出答案；（2）①直接根据抛物线与x轴的交点即可得出答案；
②直接根据图象即可得出答案．
【解析】解：（1）通过图1可以得到kx+b0（k≠0）的解集为x1；
（2）通过图2可以得到①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣1，x2＝2；
②关于x的不等式ax2+bx+c0（a≠0）的解集为x﹣1或x2．
故答案为：x＞1；x1＝﹣1，x2＝2；x﹣1或x2．
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
12．（2021·山西运城市·九年级期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为 米
【答案】2
【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【详解】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
∴函数表达式为：，
∵a＜0，故函数有最大值，∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
13.（2021·北京·九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
【答案】．
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且a=1，h≥1，据此可得．
【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，设函数的解析式为；
该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
当x1时，y随x的增大而减小； 所以取
满足上述所有性质的二次函数可以是：， 故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
14．（2021·江苏泰州市·九年级一模）已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是______．
【答案】4或-2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【详解】∵二次函数的图像经过点与，
∴ax2+bx+c=0的两个根为3和-1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的两个根为函数y=ax2+bx+c与直线y=-m的两个交点的横坐标，
∵方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）一个根是5，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根是函数y=ax2+bx+c与直线y=-n的两个交点的横坐标，
∴方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间，
∴关于的方程的两个整数根是4或-2，故答案为： 4或-2．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
15．（2021·福建省初三学业考试）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
【答案】或
【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．
【解析】解：∵点是该抛物线的顶点，且，
∴该函数有最小值，则函数开口向上，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
当时，点B、C重合，则，不符合题意；
∴的取值范围为：或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．
16．（2021·浙江湖州市·九年级二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可．
【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为
分析可知：当x=0时，y最大值为t+1，当x≤2时，x=-2时，y有最小值t-3，
当x＞2时，x=t时，y有最小值-t2+t+1，由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，
（I）当x≤2时，①t+1≥3-t且，解得，②当3-t≥t+1且，解得
（II）当x＞2时，①t2-t-1≥t+1且无解；②t2-t-1＜t+1且，无解，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数最大值和最小值的求法，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点．
17．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________．
【答案】
【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．
【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2
∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值
由题意可得：CD=,AE=
∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和
∴当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b
解得∴ 当y=0时，x=．故填．
【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键．
18．（2020·四川乐山中考真题）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：（1）当时，的取值范围是______；（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
【答案】 或
【分析】（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围．（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．
【解析】（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．
当取0时， ；当取1时， ；当=2时，．
故综上当时，x的取值范围为：．
（2）令，，，由题意可知：，．
①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得．
②当时，=0， 不符合题意．
③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得，
当时，，因为 ，故，符合题意．故综上：或．
【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·江苏苏州市·九年级一模）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）．（1）已知抛物线，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；（2）平移抛物线，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
【答案】（1），；（2）或．
【分析】（1）据配方可求出点A的坐标；再根据“和谐点”的定义得出横、纵坐标关系与抛物线联立方程组求解即可；（2）设，得新抛物线，再把代入求出m的值即可得出结论
【详解】解：（1）= ∴抛物线的顶点坐标为，
设“和谐点”B（x，y）∴x+y=0① 又B在②上
联立①②得 解得，，∴
（2）设，则平移后的抛物线解析式为
将代入得， 得，
∴平移后抛物线的解析式或．
【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
20．（2021·安徽合肥市·九年级期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）5米
【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式；（2）令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．
【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4，
将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4，解得：a＝﹣1，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2＋4，∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4，解得：x1＝1，x2＝5，
∵起跳点A坐标为（2，3），∴x1＝1，不符合题意，∴x＝5，
∴运动员落水点与点C的距离为5米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
21．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）．
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD′ 与杯高 OD′ 之比为0.6，求出OD′ ，接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解．
【详解】解：（1）设，∵杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，∴
将，代入，得，．
（2），，，，
当时，，或，，即杯口直径的长为．
【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．
22．（2020·河北初三其他）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例；乙种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入乙种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和．（1）分别求和关于的函数关系式；（2）求关于的函数关系式（用含的式子表示）；
（3）当时，①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是40万元，请你通过计算说明该预判是否正确；②公司从全年总利润中扣除投入乙种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围．
（万元） 2
（万元） 1
（万元） 0.1
【答案】（1），；（2）； （3）①正确；②
【分析】（1）y1（万元）、y2（万元）与投入资金n、n2（万元）成正比例，要确定解析式，只要找直线上一点，y1（万元）上（2，1），y2（万元）上（4，0.1）即可
（2）设公司计划共投入资金m（万元），投入乙种产品资金为x（万元），投入甲种产品资金为（m-x）（万元），代入即可，
（3）①由，得，配方得利用二次函数开口向上，对称轴右侧，函数的性质，取最大值与最小值作差即可，
②设剩余年利润为，由①知年利润，可得剩余年利润为：，对称轴为，，抛物线开口向上，在对称轴左侧，剩余年利润为与x的增大而减小，只要投资额在对称轴左侧取值，即，又知0【解析】解：（1）由题意，设，由表格数据可得，，解得∴．
设，由表格数据可得，，解得，∴．
（2）由题意可知，投入乙种产品资金为万元，则投入甲种产品资金为万元，
则有，即．
（3）①由，得，
∵，抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，，
当时，，，∴该预判正确．
②．设剩余年利润为，由题意可得：，
对称轴为，，抛物线开口向上，
若要满足全年利润随增大而减小，，
则必有，解得，又，∴．
【点睛】本题考查正比例函数，复合函数，剩余利润函数问题，关键是掌握正比例函数的求法，再列出复合函数，统一自变量，读懂题的含义列出剩余利润函数．
23．（2021·河南郑州九年级月考）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 -1 0 3 …
（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质______．
（3）进一步探究函数图象发现：①方程的实数根为______．②方程有______个实数根．③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围______．
【答案】（1）见解析；（2）①函数图像是轴对称图形，关于y轴对称；②当x>1时，y随x的增大而增大；（3）①，②3，③-1＜a＜0．
【分析】（1）根据表格数据，描点补充完图形；（2）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的单调区间，此题得解；（3）①根据函数图象与x轴的交点即可得出方程的解；②根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是-1＜a＜0．
【详解】解：（1）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图1所示．
（2）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大，
故答案为：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（3）①观察函数图象可知：当x=-2、0、2时，y=0，
∴方程的实数根为：；
②由①可知方程有3个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根，∴a的取值范围是-1＜a＜0，
故答案为：①，②3，③-1＜a＜0．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
24．（2021·浙江杭州市·九年级二模）二次函数的顶点是直线和直线的交点．（1）当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．
（2）若直线与交于点．①当时，二次函数的最小值为，求的取值范围．
②和为二次函数上的两个点，当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）通过求得顶点，再根据二次函数的性质可知对称轴为直线，进而即可求得的取值范围；（2）①将代入即可得到交点坐标及二次函数解析式为，再根据二次函数的最小值问题即可求得的取值范围；②由可求得，再由，求得或1，再根据二次函数图像的性质可知当时，和为二次函数上的两个点，即可求得的取值范围．
【详解】（1），得∴顶点∴二次函数的对称轴为直线
∵当时，的值均随的增大而增大
∴，解得∴的取值范围为；
（2）将代入，解得
所以交点坐标为, 二次函数解析式为 ∴当时，二次函数的最小值为
①根据题意知，所以的取值范围为；
②由令得当时，或1，
∵和为二次函数上的两个点，且∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，以及一次函数的交点求解，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键．
25．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．（1）________，________；
（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）-2，-3；（2）（，6）或（，6）；（3）（4，5）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出△ABC的面积，设点D（m，），再根据，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；
（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．
【详解】解：（1）∵点A和点B在二次函数图像上，
则，解得：，故答案为：-2，-3；
（2）连接BC，由题意可得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），，∴S△ABC==6，
∵S△ABD=2S△ABC，设点D（m，），∴，即，
解得：x=或，代入，可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；
（3）设P（n，），∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，∴n＜-1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜-1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴，不成立；当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y=kx+p，则，解得：，
则设直线AP的解析式为y=x+q，将点A（-1，0）代入，则-1+q=0，解得：q=1，
则直线AP的解析式为y=x+1，将P（n，）代入，
即，解得：n=4或n=-1（舍），，∴点P的坐标为（4，5）．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．
26．（2021·河北保定市·九年级一模）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间x（单位：分钟）的二次函数，其中0≤x≤30．统计数据如下表：
时间x（分钟） 0 5 10 15 20 25 30
人数y（人） 0 275 500 675 800 875 900
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队测温．求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？
（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．
【答案】（1）；（2）第10分钟时排队等待检测体温的人数最多；（3）人工检测8分钟多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况．
【分析】（1）根据题意设出二次函数解析式，代入3个点即可求出函数解析式；
（2）两个测温点每分钟检测40人，x分钟检测40x人，则可以列出第x分钟等待检测体温的人数为，再根据二次函数的性质求最值；（3）在原来等待人数的基础上再减去，列出函数关系式，当不再有人等待，即等待人数为0，解出方程即可．
【详解】（1）设，将点 代入函数解析式，得：
，解得 ，所以二次函数解析式为；
（2）两个测温点每分钟检测40人，x分钟检测40x人，
则第x分钟等待检测体温的人数为：，
当x=时，等待人数最多，最多为：（人）；
（3）由（2）知，第x分钟等待检测体温的人数为，
检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每分钟可检测12人，所以当x＞4时，又增加了检测人数 ，
故等待检测体温的人数为：，
令，解得（不合题意舍去），∴ （分钟），
即当人工检测8分钟后，校门口不再出现排队等候情况；
答：人工检测8分钟后，校门口不再出现排队等候情况．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的应用，关键是根据题意列出等待人数与检测时间的函数关系式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.7 二次函数 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江九年级期中）下列关于的函数一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏苏州初三模拟）对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点
3．（2021·山西晋中·初三月考）已知关于的二次函数的图象关于直线对称，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C．的函数值一定大于的函数值 D．若，则当时，
4．（2022·浙江杭州初三模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
5．（2021·广东阳江市·九年级二模）将抛物线向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·浙江嘉兴市·九年级二模）在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
7．（2021.广西初三期中）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河南开封市·九年级一模）小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·浙江杭州市·九年级期末）若是关于x的一元二次方程的两根，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山东省济南市·中考模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·北京初二期中）阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为__；（2）通过图2可以得到①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为__ ；②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为__．
12．（2021·山西运城市·九年级期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为 米
13.（2021·北京·九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
14．（2021·江苏泰州市·九年级一模）已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是______．
15．（2021·福建省初三学业考试）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
16．（2021·浙江湖州市·九年级二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是______．
17．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________．
18．（2020·四川乐山中考真题）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：（1）当时，的取值范围是______；（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·江苏苏州市·九年级一模）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）．（1）已知抛物线，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；（2）平移抛物线，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
20．（2021·安徽合肥市·九年级期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离．
21．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）．
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长．
22．（2020·河北初三其他）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例；乙种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入乙种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和．（1）分别求和关于的函数关系式；（2）求关于的函数关系式（用含的式子表示）；
（3）当时，①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是40万元，请你通过计算说明该预判是否正确；②公司从全年总利润中扣除投入乙种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围．
（万元） 2
（万元） 1
（万元） 0.1
23．（2021·河南郑州九年级月考）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 -1 0 3 …
（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质______．
（3）进一步探究函数图象发现：①方程的实数根为______．②方程有______个实数根．③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围______．
24．（2021·浙江杭州市·九年级二模）二次函数的顶点是直线和直线的交点．（1）当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．
（2）若直线与交于点．①当时，二次函数的最小值为，求的取值范围．
②和为二次函数上的两个点，当时，求的取值范围．
25．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．（1）________，________；
（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．
26．（2021·河北保定市·九年级一模）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间x（单位：分钟）的二次函数，其中0≤x≤30．统计数据如下表：
时间x（分钟） 0 5 10 15 20 25 30
人数y（人） 0 275 500 675 800 875 900
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队测温．求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？
（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
