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专题1.5 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30题）
本专项训练卷共30题，选择20题，填空10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！
1、选择题
1．（2022·湖北随州·中考真题）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·山东滨州·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2022·四川达州·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·四川自贡·中考真题）已知A( 3， 2) ，B(1， 2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥ 2 ；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为 5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
6．（2022·四川广元·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（2021·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2021·浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020·四川广安市·中考真题）二次函数y=ax2十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2020·四川中考真题）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）2a+b＝0；（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2020·山东日照市·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．（2020·四川宜宾市·中考真题）函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是（ ）
①；②函数在处的函数值相等；
③函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点；
④函数在内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
14．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．（2020·山东东营·中考真题）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．当时，随的增大而减小
17．（2020·浙江宁波·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
18．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
19．（2020·四川南充·中考真题）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
20．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、填空题
21．（2022·湖北武汉·中考真题）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
22．（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．
23．（2020·山东泰安市·中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
24．（2021·重庆江北区·九年级期末）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且与x轴的一个交点在点和之间．下列结论：①；②若点，在此抛物线上，则；③；④对于任意实数m，总有；⑤对于a的每一确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是__________（填写序号）．
25．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知抛物线（，，是常数），，下列四个结论：①若抛物线经过点，则；②若，则方程一定有根；
③抛物线与轴一定有两个不同的公共点；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确的是__________（填写序号）．
26．（2021·山东泰安市·中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
27．（2021·四川南充市·中考真题）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．
28．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
29．（2020·四川内江市·中考真题）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）
30．（2020·湖北武汉市·中考真题）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）．
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专题1.5 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30题）
本专项训练卷共30题，选择20题，填空10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！
1、选择题
1．（2022·湖北随州·中考真题）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，则②③④正确，故选C．
【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．
2．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由题意可知：，，，
，，即，得出，故①正确；
，对称轴，
，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解．
3．（2022·山东滨州·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为，整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2022·四川达州·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据图象可判断，即可判断①正确；令，解得，根据图得，，再由顶点坐标的纵坐标的范围即可求出a的范围，即可判断②错误；由代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；分类讨论当时，当时，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可判断⑤正确．
【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，，，
，故①正确；
令，解得，
由图得，，解得，
抛物线的顶点坐标为，由图得，，解得，，故②错误；
，
可化为，即，
，
若成立，则，故③错误；
当时，随的增大而减小，
，，
对称轴为直线，
时与时所对应的值相等，
，故④错误；
，
当时，，
，
当时，，
，
，故⑤正确；
综上，正确的个数为2，故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键．
5．（2022·四川自贡·中考真题）已知A( 3， 2) ，B(1， 2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥ 2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为 5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，
∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
6．（2022·四川广元·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】由图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，然后可得，则有，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）．
【详解】解：由图象及题意得：，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴，
∴，即，
∴，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误；
∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴，故（4）错误；
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为，
∴当x=m时，（m为常数），则有，
∴，即为，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．（2021·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可
【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，
∵,∴△==＞0,∴有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
8．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点∴>0∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴，∴
由图象得，当时，，∴∴，故③正确；
④当时，的值最大，∴当时，>，
∴（），∵b＞0，∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．（2021·浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，
∴该抛物线对称轴为，
当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，
故①和②都不正确；
当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
∴，∴，故③正确；
当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，
可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，
所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
10．（2020·四川广安市·中考真题）二次函数y=ax2十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，∴a＜0，b＞0
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间
∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间∴抛物线与y轴交于负半轴∴c＜0∴abc＞0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时，y＜0∴，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（2,1）∴由①，得b=-4a将b=-4a代入②，得
整理，得c-4a=1，故③正确；∵抛物线与x轴交于两点∴∴，故④正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1）∴（m为任意实数），故⑤正确．
综上：正确的有3个故选B．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键．
11．（2020·四川中考真题）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）2a+b＝0；（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，从而得出2a+b=0，即可判断（1）；根据△=4a（a﹣c）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a﹣c）即可判断（3）；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断（4）．
【详解】（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，∴2a+b=0，故结论正确；
（2）函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0，
∵b=﹣2a，∴△=b2﹣4ac=（﹣2a）2﹣4ac=4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，∴△=4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b=﹣2a，∴﹣=1，==c﹣a，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b=﹣2a，∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0，∴b=﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，∴﹣＜m＜0，故结论正确；故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b=﹣2a是解题的关键．
12．（2020·山东日照市·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，
∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
13．（2020·四川宜宾市·中考真题）函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是（ ）
①；②函数在处的函数值相等；
③函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点；
④函数在内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
【详解】如图，根据题意作图，故a＜0，b＜0，c＞0∴，①正确；
∵对称轴为x=-1∴函数在处的函数值相等，故②错误；
图中函数的图象与的函数图象无交点，故③错误；
当时，x=-1时，函数有最大值
x=3时，函数有最小值，故④正确；故选C．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
14．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
15．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点∴>0∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴，∴
由图象得，当时，，∴∴，故③正确；
④当时，的值最大，∴当时，>，
∴（），∵b＞0，∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．（2020·山东东营·中考真题）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】根据开口方向、对称轴、与轴交点即可分别判断符号，进而判断A选项；由两点的横坐标分别为和可得两个方程，判断B选项；由当时判断C选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项.
【解析】∵开口向下，与轴交点在正半轴∴
∵两点的横坐标分别为和∴
∴ ∴，故A选项正确，B选项错误
∵两点的横坐标分别为和 ∴B点横坐标为3 ∴当时，故C选项正确
∵当时，随的增大而减小∴当时，随的增大而减小，故D选项正确 故选：B.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，重点考查二次函数系数符号与图象的关系，熟记二次函数图象性质是解题的关键.
17．（2020·浙江宁波·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
【答案】D
【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C错误；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）+b（-n2-2）=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故D正确．
【解析】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；
∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；
∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；
当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是
解题的关键．
18．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【解析】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则===≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，∴a=，则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，-2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个.故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
19．（2020·四川南充·中考真题）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为，∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴，若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴，故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．故③正确；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
20．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，，即，故选项错误；
由图象可知，，，解得：，故选项正确；
抛物线与轴有两个交点，，故选项错误；
由对称轴可知，可知，故选项错误．故选：．
【点睛】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2、填空题
21．（2022·湖北武汉·中考真题）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
【详解】解：抛物线过，两点，且，，
，，即，
抛物线开口向下，， ，故①正确；
若，则，
，，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，，，， 故④正确．
综上所述，①③④正确．故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22．（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．
【答案】①④
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【解析】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
23．（2020·山东泰安市·中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，∴二次函数的解析式是，∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．
【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
24．（2021·重庆江北区·九年级期末）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且与x轴的一个交点在点和之间．下列结论：①；②若点，在此抛物线上，则；③；④对于任意实数m，总有；⑤对于a的每一确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是__________（填写序号）．
【答案】①④⑤
【分析】根据函数图像得到开口方向，对称轴，从而得到a，b，c的符号，再结合二次函数的性质分别判断即可．
【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，∴a＜0，与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∵对称轴为直线x=，即b=-2a，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；
∵，，∴点C离对称轴近，∴，故②错误；
∵b=-2a，∴2a+b+c=2a-2a+c=c＞0，故③错误；
当x=1时，，当x=m时，，
∵当x=1时，取最大值，∴，∴，故④正确；
若p＞0，且方程的根为整数，则根只能为0，1，2，
第一种情况：根为0，2， 第二种情况：两根相等且为1， 则p的值只有两个，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知抛物线（，，是常数），，下列四个结论：①若抛物线经过点，则；②若，则方程一定有根；
③抛物线与轴一定有两个不同的公共点；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确的是__________（填写序号）．
【答案】①②④
【分析】①将代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0
|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1y2，故④正确．
【详解】解：∵抛物线经过点∴，即9a-3b+c=0
∵∴b=2a故①正确；∵b=c，∴a=-2c，
∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正确；
当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1y2，故④正确．故填：①②④．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．
26．（2021·山东泰安市·中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
【答案】②④
【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即b=﹣2a＞0∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由得，根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
27．（2021·四川南充市·中考真题）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．
【详解】解：联立，得，
∴ =，当时， 有可能≥0，
∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；
抛物线的对称轴为：直线x=，
若抛物线与x轴有两个交点，则 =，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；
抛物线的顶点坐标为：，
∵，∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），
∴，解得：，故③正确．故答案是：②③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
28．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
29．（2020·四川内江市·中考真题）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）
【答案】②④
【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．
【详解】解：对于①：当时，，，显然只要，则M的值为，故①错误；
对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确；
对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，
联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，
故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故③错误；对于④：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．
30．（2020·湖北武汉市·中考真题）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
【分析】①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；④先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】抛物线经过，两点
一元二次方程的根为，，则结论①正确
抛物线的对称轴为时的函数值与时的函数值相等，即为
当时，y随x的增大而减小 又，则结论②错误
当时， 则抛物线的顶点的纵坐标为，且
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上即恒成立
则对于任意实数，总有，即，结论③正确
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
函数对应的一元二次方程为，即
因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或 对应的的值只有三个，则结论④错误 综上，结论正确的是①③故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．
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