中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.6 二次函数图象中的存在性（探究）问题压轴专项训练（25题）
本专项训练卷共25题（解答题），题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象中的存在性问题的理解！ 主要包含：二次函数中直角三角形、等腰三角形、（特殊）平行四边形存在性问题等。
1．（2022·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．(1)请直接写出点，，的坐标；(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．(3)点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．(1)求，的值；(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
6．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，求直线的解析式；（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．（1）若，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
8．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
10．（2021·海南中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求的面积；
（3）如图2，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，的面积等于；②在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．
11．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点、，则线段的中点的坐标为．
12．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2021·辽宁九年级其他模拟）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B两点，与x轴负半轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，∠PBA=15°，求点P的横坐标；（3）点M在射线AB上，点N在射线AC上，∠BNM=30°，D在坐标平面内，当以B，D，M，N为顶点的四边形为菱形时，直接写出点D的坐标．
14．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，且线段的长是方程的根，过点作轴，垂足为，，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发，沿线段向点运动，到达点停止．过点作轴的垂线，垂足为，以为边作正方形，点在线段上，设正方形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．
（1）求点的坐标；（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点落在线段上时，坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．（1）求的值；（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
16．（2021·湖北九年级期末）如图，抛物线经过，两点，点是轴左侧且位于轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段绕点顺时针旋转得线段（点是点的对应点），求点的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点作轴交直线于点，试探究是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的值；若不存在，说明理由．
17．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形．当矩形的面积是面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
18．（2021·陕西九年级专题练习）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022·盘锦市双台子区第一中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标．
20．（2021·山东八年级期中）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21、（2021 罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
22、（2021春 望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23.（2021 长沙模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．
24、（2022 曾都区期末）如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．
25、（2021 建华区二模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝ ；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.6 二次函数图象中的存在性（探究）问题压轴专项训练（25题）
本专项训练卷共25题（解答题），题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象中的存在性问题的理解！ 主要包含：二次函数中直角三角形存在性问题、二次函数中等腰三角形存在性问题、二次函数中平行四边形存在性问题、二次函数中特殊的平行四边形存在性问题等。
1．（2022·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)最大为(3)存在，的坐标为或（3，-16）或
【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；
（2）过作于点，过点作轴交于点，证明 是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．
(1)
（1）∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
(2)过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
(3)存在．∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
2．（2022·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，P点的坐标为
(3)存在，，；，；，
【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可；
（2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
（3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标．
(1)
解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
(2)
解：方法一：连接OP，
设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴
又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为
设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为．
(3)
存在点N．
①当N在y轴上时，
∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
3．（2022·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
(1)请直接写出点，，的坐标；
(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
(3)点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)，面积的最大值；
(3)存在，或或．
【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；
（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；
（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
(1)
解：令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
(2)
解：过P作轴交BC于Q，如下图．
设直线BC为，将、代入得
，
解得，
∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵，
∴ ，，
∴，
∵，
∴时，PQ最大为，
而，
∴的面积最大为；
(3)
解：存在．
∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．
∴，设．
当点F在x轴下方时，
∵，
即，
∴，
解得（舍去），，
∴．
当点F在x轴的上方时，令，
则 ，
解得，，
∴或．
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．
4．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；
(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在这样的点，点的坐标为或
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线可得到关于的方程组，解方程组即可得；
（2）设直线的解析式为，从而可得点的坐标为，利用三角形的面积公式可得的面积为，再利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立可得点的坐标，从而可得的面积，然后根据与的面积相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案；
（3）先求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可设点的坐标为，点的坐标为，再分①以为一边的矩形是矩形和②以为一边的矩形是矩形两种情况，利用相似三角形的性质和矩形的性质将用表示出来，然后将点代入抛物线的解析式可求出的值，由此即可得出答案．
(1)
解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得．
(2)
解：由题意，设直线的解析式为，
当时，，即，，
则的面积为，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
则点的坐标为，
所以的面积为，
因为与的面积相等，
所以，
解得或（不符题意，舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
所以直线的解析式为．
(3)
解：抛物线的对称轴为直线，
则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即为，
，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当以为一边的矩形是矩形时，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
矩形的对角线互相平分，
，解得，
将点代入得：，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符题意，舍去，
则此时点的坐标为，
②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，
则，
同理可证：，
，即，
解得，
，
，
矩形的对角线互相平分，
，解得，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
当时，，符合题意，
则此时点的坐标为，
综上，存在这样的点，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并找出相似三角形是解题关键．
5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；
【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；
（2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，，
∴，，∴，∴OB=1，∴，
把点B、D坐标代入得：，
解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，∴，
∴由两点距离公式可得，
设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，解得：，
∴点F的坐标为或；
②当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，解得：，
∴点F的坐标为或；
综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
6．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，求直线的解析式；（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3）存在，或．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；（3）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，∴直线的解析式为；
（3）存在，理由如下：由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，解得：，∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，解得：，∴；
③当AN为对角线时，同理可得：，即，解得：，∴；
∴综上：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
7．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
（1）若，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；
（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【分析】（1）由题意易得，则有，然后把点C的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，，然后可求出线段BC的解析式为，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，设，则有，进而可根据铅垂法进行求解点P的坐标；（3）由题意易得，抛物线的对称轴为，则可得，点F的横坐标为，①当以GB为矩形的对角线时，根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，进而可得，，然后根据相似三角形可求解；②当以GB为矩形的对边时，最后分类求解即可．
【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，
把点C的坐标代入得：，解得：，∴抛物线解析式为；
（2）由（1）可得抛物线解析式为，，，
设线段BC的解析式为，把点B、C代入得：
，解得：，∴线段BC的解析式为，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E，如图所示：
设，则有，∴，
设的面积为S，由铅垂法可得△PCB的面积可以点B、C的水平距离为水平宽，PE为铅垂高，则有：
，∴当a=2时，S有最大值，∴点；
（3）存在，理由如下：
由题意可把点B的坐标代入直线得：，∴，
联立抛物线与直线BG的解析式得：，
解得：，∴，由抛物线可得对称轴为，
∴点F的横坐标为，
当以GB为矩形的对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，即为，
∴，
根据中点坐标公式可知，即，
∴，∴，
∵，且四边形是矩形，
∴点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形，即，
分别作EH⊥x轴于点H，过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线，分别交于点M、N，如图，
∴，
∵四边形是矩形，∴，
∴，
∴，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，即，
∴，解得：（负根舍去），∴，；
②当以GB为矩形的边时，不存在以点E、F、G、B顶点的四边形为矩形；
综上所述：当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综
合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、
【分析】（1）分别令x=0、y=0即可求出A，B，C三点的坐标；
（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐标，最后根据求出m的值即可；
（3）考虑到CM都在y轴上，根据CM为菱形的边和CM为菱形的对角线分两种情况讨论即可．
【详解】（1）令x=0得，∴C点坐标（0，-8）
令y=0得：解得：∴A（-4,0），B（2,0）
（2）设DE交x轴于F，
设AC解析式为，代入AC坐标得：
，解得∴AC解析式为
∵直线与该抛物线交于点E，与交于点D
∴ ∴
∵∴∴∴∴
解得∴
（3）抛物线对称轴为
∵点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点
∴设
当CM菱形的边时，则CM∥PN，CM=CN ∴N在对称轴上，即∴
∴解得
此时M点坐标为
当CM为菱形的对角线时，此时NP关于CM对称，即NP关于y轴对称
∴∴
∵菱形对角线互相垂直平分∴NP中点与CM中点是同一个点
∴解得此时M点坐标为
综上所述，存在M、使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用相似三角形处理垂直．
9．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，解得，∴；故答案为；
（2）将代得，∴，
设直线的解析式为将，，得，解得，，∴，
∵，交于点，∴为定值，
∵，把，记为定值，
过点作轴，垂足为，交于点，
设，则，∴，
，
∴，∵，∴有最大值，此时，
将代入中，得；
（3）存在，符合题意的点坐标为或或；
当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，又∵，
∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，∴y=，
∴，∴解得，
∵x=时为E点，∴，Q1()，
当点Q在x轴下方抛物线上时，∵PF在x轴上，
又∵四边形为平行四边形，∴Q与E的纵坐标互为相反数，
所以yQ=，∴，整理得，
△=，解得，∴Q2（），Q3（），
符合题意的点坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质是解题关键．
10．（2021·海南中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求的面积；
（3）如图2，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
①当t为何值时，的面积等于；②在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．
【答案】（1）；（2）的面积为；（3）①当或时，；②点F的坐标为或．
【分析】（1）直接将两点坐标代入解析式中求出a和c的值即可；
（2）先求出顶点和B点坐标，再利用割补法，将所求三角形面积转化为与其相关的图形的面积的和差关系即可，如图，；
（3）①先求出BC的长和E点坐标，再分两种情况讨论，当点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上运动情况，利用面积已知得到关于t的一元二次方程，解t即可；
②分别讨论当点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上的情况，利用平行四边形的性质和平移的知识表示出F点的坐标，再代入抛物线解析式中计算即可．
【详解】（1）∵抛物线经过两点，
解得 该地物线的函数表达式为
（2）∵抛物线，∴抛物线的顶点P的坐标为．
，令，解得：，点的坐标为．
如图4-1，连接，则
的面积为．
（3）①∵在中，．当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动．
，∴在中，．
当运动时间为t秒时，，如图4-2，过点E作轴，垂足为N，则．
．．∴点E的坐标为．
下面分两种情形讨论：i．当点D在线段上运动时，．
此时，点D的坐标为．
当时，．解得（舍去），．．
ii．如图4-3，当点D在线段上运动时，，．
．
当时，解得．
又，．综上所述，当或时，
②如图4-4，当点D在线段上运动时，；∵，
当四边形ADFE为平行四边形时，AE可通过平移得到EF，
∵A到D横坐标加1，纵坐标加，∴，∴，
化简得：，∴，∴，∴;
如图4-5，当点D在线段上运动时，AE可通过平移得到EF，
∵，∵A到D横坐标加，纵坐标不变，
∴，∴∴，
因为，∴，∴，综上可得，F点的坐标为或．
【点睛】本题综合考查了抛物线的图像与性质、相似三角形的判定与性质、已知顶点坐标求三角形面积、平行四边形的判定与性质、平移的性质、勾股定理等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，本题对学生的综合思维能力、分析能力以及对学生的计算能力都要求较高，考查了学生利用平面直角坐标系解决问题的能力，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
11．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点．
（1）求该抛物线的表达式；（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点、，则线段的中点的坐标为．
【答案】（1）该抛物线的表达式为：；（2）面积最大值为8，此时P点的坐标为：P（2，-6）；（3）或或或
【分析】（1）将两个点分别代入抛物线可得关于a，b的二元一次方程组，可解得a，b；
（2）设出P、Q两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可；（3）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点E、F，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案．
【详解】解：（1）将A（-1,0），B（4,0）代入抛物线可得：
，解得：，∴该抛物线的表达式为：；
（2）过点P作PN⊥x轴于点N，如图所示：
设且，，∴，，，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，∴，
∵点在抛物线上，∴，∴，，
根据抛物线的基本性质：对称轴为在内，
∴在取得最大值，代入得：，
当时，，∴面积的最大值为8，此时点P的坐标为：．
（3）在（2）的条件下，原抛物线解析式为，将抛物线向右平移经过点，可知抛物线向右平移了个单位长度， ∴可得：，
化简得平移后的抛物线：，对称轴为：，
由（2）得：A（-1，0），，点E在对称轴上，∴设E（3，e），点F（m，n），矩形AEPF，
当以AP为矩形的对角线时，则AP的中点坐标为：，EF的中点坐标为：，
根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得：解得：
∵矩形AEPF，∴为直角三角形，∴，③
，，，
代入③化简可得：，④ ∴将②代入④可得：，化简得：，
根据判别式得：，∴，
∴或；当以AP为矩形的边时，如图所示：
过点P分别作PG⊥x轴于点G，PH∥x轴，过点F作PH的垂线，垂足为H，设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，如图，∴，，AM=4，
∴，∵四边形是矩形，∴，AE=PF，
∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴FH=2，∵点，∴，
当以AP为矩形的边时，如图所示：
同理可得；综上所述：以、、、为顶点的四边形为矩形，或或或
【点睛】题目考查确定二次函数解析式及其基本性质、矩形的性质、勾股定理等，难点主要是依据图像确定各点、线段间的关系，得出答案．
12．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)
【分析】(1)将，代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：(1)将，代入二次函数表达式中，
∴ ，解得，∴二次函数的表达式为：；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，∴BP+CP=AP+CP，
BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为，此时的周长也最小，
设直线AC的解析式为：，代入，
∴，解得，∴直线AC的解析式为：，
二次函数的对称轴为，代入，得到，∴P点坐标为(1,2)，
此时的周长最小值=；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知：，
∴ ，解得，∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
13．（2021·辽宁九年级其他模拟）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B两点，与x轴负半轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，∠PBA=15°，求点P的横坐标；（3）点M在射线AB上，点N在射线AC上，∠BNM=30°，D在坐标平面内，当以B，D，M，N为顶点的四边形为菱形时，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）；（2）P点横坐标是或；（3）点D的坐标是（0，1）或或（0，-3）或或（）
【分析】（1）求得A 、B两点坐标，再根据待定系数法求得解析式；
（2）分类讨论，当P在A点上方时和当P在A点下方时，延长PB交x轴交于E、F，根据几何性质分别求出E、F两点坐标，从而求得点P的横坐标；
（3）分别以BM、MN、BN为对角线，分类讨论，求出点D的坐标即可．
【详解】解：（1）令x=0，则y=3，∴B（0，3） 令y=0，则x=，∴A（，0）
∵抛物线经过点A，B两点 ∴解得：
∴抛物线的解析式是
（2）延长PB交x轴于E
tan∠OBA= ∴∠OBA=60°∴
∴∴AE=AB=6，OE=，∴E点坐标是（，0），
OF=OB=3，∴F点坐标是（3，0），设BE解析式为
∴n=3，（）m+n=0，解得m=，n=3，∴BE解析式为
=解得∴设BF解析式为
∴n=3，3m+n=0，解得m=1，n=3，∴BF解析式为
=解得∴P点横坐标是或
（3）点D的坐标是（0，1）或或（0，-3）或或（）
以BM为对角线，过点D作DE⊥y轴于点E，当M在B的右侧时，如下图：
∵∴
∵∴
∴∴∴
设，则， 在中，由勾股定理得，
即解得
M在B的左侧时，连接DN交BM于点P，如下图：
同上可以求得，，，，
，∴
∴，由勾股定理求得∴
以MN为对角线，M在B的右侧时，如下图：
∵∴M与A重合 根据对称，可以求得
M在B点的左侧时，过点D作DE垂直x轴于点E，如下图：∵∴
又∵∴∴∴，即N，O重合∴
在中，，求得，求得
以BN为对角线，M在B的右侧时，如下图：
由题意可知，∴点D在线段OB上，
设，则 ，即
求得，即 M在B的左侧时，如下图：
，∴
此时，以B，D，M，N为顶点的四边形不可能为菱形，
综上所述：点D的坐标是（0，1）或或（0，-3）或或（）
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式、一次函数与二次函数联立、二次函数与菱形的综合问题问题，熟练掌握二次函数以及菱形的几何性质是解题的关键．
14．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，且线段的长是方程的根，过点作轴，垂足为，，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发，沿线段向点运动，到达点停止．过点作轴的垂线，垂足为，以为边作正方形，点在线段上，设正方形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．
（1）求点的坐标；（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点落在线段上时，坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或
【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后问题可求解；
（2）由题意易得，则有，进而可得，然后根据梯形面积计算公式可求解；（3）由（2）及题意易得，则有，然后可得点，进而可分①以OM为平行四边形的对角线时，②以OA为平行四边形的对角线时，③以AM为平行四边形的对角线时，最后根据平行四边形的性质分类求解即可．
【详解】解：（1）由线段OA的长是方程的根，可得：，∴，
∵轴，，∴在Rt△AEB中，可由三角函数及勾股定理设，
∴，解得：，∴，∴，∴；
（2）由题意得：，则由（1）可得，
∵四边形是正方形，∴，∴，
∴，∴自变量t的范围为；
（3）存在，理由如下：由（2）可知：，，，∴，
∵MF∥OA，∴，∴，即，解得：，
∴，∴，∴，
①以OM为平行四边形的对角线时，如图所示：
∵四边形是平行四边形，∴，
∴，∴；
②以OA为平行四边形的对角线时，如图所示：
同理可得；
③以AM为平行四边形的对角线时，如图所示：
同理可得；综上所述：当以为顶点的四边形是平行四边形时，则点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查三角函数、平行四边形的性质、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数、平行四边形的性质、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求的值；
（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．
①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析
【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴，解得：，∴b=，c=；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0∵-1<0，∴当时，PQ有最大值，最大值为；
②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，∴C（0，-3），∴OB=OC=3，
由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵PQ∥OC，当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，
当点Q在点P上方时，
∴PQ=，即，∴，解得或，
当时，点P与点O重合，菱形不存在，
当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；
当点Q在点P下方时，若点Q在第三象限，如图，
∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，
此时OA=1OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，
同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．
16．（2021·湖北九年级期末）如图，抛物线经过，两点，点是轴左侧且位于轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段绕点顺时针旋转得线段（点是点的对应点），求点的坐标，并判断点D是否在抛物线上；
（3）过点作轴交直线于点，试探究是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2），点不在抛物线上；（3）存在点，使是等腰三角形，的值为或或
【分析】（1）代入点A、B的坐标即可求解．（2）可作轴于点轴于点，则易证从而可得线段长度，进而得到点的坐标，代入解析式即可判断是否在抛物线上．
（3）过点作轴交于点，可求直线解析式，要使是等腰三角形，分三种情况分别讨论得出结果即可．
【详解】解：（1）将，两点的坐标代入得
解得∴抛物线的解析式为：
作轴于点轴于点，如下图，
则易证
将x=-3代入得，∵点不在抛物线上．
过点作轴交于点，
设直线解析式为，则，解得
直线解析式为．
依题意
当时，则
解得（舍去），；
当时，则，解得（舍去），
当时，
轴，点的纵坐标为，
解得（舍去），．
综上所述：存在点，使是等腰三角形，的值为或或．
【点睛】本题考查二次函数图像和性质的实际应用，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是准确做出辅助线，并熟练运用分类讨论思想．
17．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．
（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形．当矩形的面积是面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【答案】（1）（2）（1，）或（3，3）；（3）-＜n＜或＜n＜5．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出直线AB的解析式，表示出P，E的坐标，故可表示出PE的长，再根据矩形是面积的3倍，得到方程，故可求解；
（3）当∠ABQ为直角时，求出直线BQ的解析式，得到n的值，当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出此时n的值，同理求出当∠BAQ为直角时n的值，故可求解．
【详解】（1）把，代入解析式得解得
∴抛物线的解析式为
（2）对于，令y=0解得x=4或-1
∴A（4,0），则=2 设直线AB的解析式为y=px+q
把A（4，0），代入得，解得∴直线AB的解析式为
设P（x，），则E（x，）
∴矩形的面积==3解得x=1或3∴P点坐标为（1，）或（3，3）；
（3）由可得其对称轴为x=，设Q点坐标为（，n）
①当∠ABQ为直角时，如图2-1
设BQ交x轴于点H，在Rt△ABO中，tan∠ABO=，
∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90°∴∠BHO =∠ABO∴tan∠BHO= tan∠ABO =
可设直线BQ的解析式为y=x+t，代入可得t=3∴直线BQ的解析式为y=x+3
当x=时，y=x+3=5故n=5；
②当∠BQA为直角时，如图2-2，过点Q作直线MN∥y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°，∴∠BQN=∠MAQ
∴tan∠BQN=tan∠MAQ即，则解得n=
③当∠BAQ为直角时，同理可设直线AQ的解析式为y=x+h
代入A（4，0）得h=-∴直线AQ的解析式为y=x-
当x=时，y=x-=-故n=-；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为-＜n＜或＜n＜5．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三角形的方法及数形结合的特点．
18．（2021·陕西九年级专题练习）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）（3）存在，P1（， ）、P2（，）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得．
（2）求出点B的坐标，由点B、 C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式．
（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝ 90°，∠ACO＋∠OAC＝90° ， ∴∠BCD＝∠OAC．
∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝ AC．
在△BDC和△COA中，∠ BDC＝∠COA＝90°，∠BCD ＝∠OAC，BC＝AC，
∴△BDC≌△COA（AAS）．
（2）∵C点坐标为 (－ 1，0)，∴BD＝CO ＝1．
∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)．
设BC所在直线的函数关系式为y＝kx ＋b，
∴ ，解得 ．∴BC所在直线的函数关系式为y＝－x－．
（3）存在 ．
∵y＝x2 ＋x－2＝ (x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝-．
若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1 ，使CP1⊥AC，
∵BC⊥AC，∴点P1 为直线BC与对轴称直线x＝－ 的交点．
由题意可得： ， 解得， ．∴P1（－，－ ）．
若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2 ，使AP2⊥AC，
则过点A作A P2∥BC ，交对轴称直线x＝－于点P2 ，
∵CD＝OA，∴A（ 0，2）．
设直线AP2的解析式为：y＝－ x＋m，把A（0 ，2）代入得m＝2．
∴直线AP2的解析式为：y＝－ x＋2．
由题意可得： ，解得， ． ∴P2（－，）．
∴P点坐标分别为P1（－ ，－）、P2（－ ，）．
19．（2022·盘锦市双台子区第一中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝﹣（m﹣）2+，S有最大值是；（3）点N的坐标为（2，2）或（﹣1，8）
【分析】（1）先由直线BC的解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）过P作PE⊥x轴于E，利用面积和求出四边形OCPB的面积S，并配方化成顶点式，求其最值即可；
（3）先将抛物线化为顶点式，可求得点M坐标，根据待定系数法求出直线BM的解析式，利用解析式分别表示出点N、Q的坐标，分两种情况①当点N在射线MB上时；②当点N在射线BM上时，分别求得点N坐标即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=3，∴C（0，3），,当y=0时，由﹣x+3=0得：x=3，∴B（3，0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝-x2+bx+c中，得：，解得：，
∴抛物线的解析式y＝﹣＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，
∵P（m，n）且点P在第一象限，∴OE＝m，BE＝3﹣m，PE＝n，
S＝S梯形COEP+S△PEB＝OE（PE+OC）+BE PE，＝m（n+3）+n（3﹣m），＝m+n，
∵n＝﹣m2+2m+3，∴S＝m+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，S有最大值是；
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4），设直线BM的解析式为：y＝kx+b，
把B（3，0），M（1，4）代入得：，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝﹣2x+6，设N（a，﹣2a+6），Q（n，﹣n+3），
分两种情况：①当N在射线MB上时，如图2，
过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，
∵△EQN是等腰直角三角形，∴MQ＝QN，∠MQN＝90°，∴∠EQM+∠FQN＝90°，
∵∠EQM+∠EMQ＝90°，∴∠FQN＝∠EMQ，
∵∠QEM＝∠QFN＝90°，∴△EMQ≌△FQN，∴EM＝FQ，EQ＝FN，
∴解得：，
当a＝2时，y＝﹣2a+6＝﹣2×2+6＝2，∴N（2，2），
②当N在射线BM上时，如图3，同理作辅助线，得△ENQ≌△FQM，
∴EN＝FQ，EQ＝FM，∴，解得：，
当a＝﹣1时，y＝﹣2a+6＝﹣2×（﹣1）+6＝8，∴N（﹣1，8），
综上所述，点N的坐标为（2，2）或（﹣1，8）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、解二元一次方程全等三角形的判定与性质等知识，难度较难，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，借助做辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
20．（2021·山东八年级期中）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）（3）存在，P1（， ）、P2（，）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。
（2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。
（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。
【详解】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC。
∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。
在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，
∴△BDC≌△COA（AAS）。
（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。
∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。
设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，
∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－x－。
（3）存在 。
∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝－。
若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，
∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。
由题意可得：， 解得，。∴P1（－，－）。
若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，
则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2，
∵CD＝OA，∴A（0，2）。
设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。
∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。
由题意可得：，解得，。∴P2（－，）。
∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，）。
21、（2021 罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【解题思路】（1）根据抛物线解析式令y＝0求出A，B的坐标即可；
（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，分别解方程组，即可求得点P的坐标．
【解答过程】解：（1）令抛物线y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，
此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBCPE OB2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：
①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
②点B为直角顶点，
如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1C∥BP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
22、（2021春 望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设成抛物线解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出直线AC的解析式，设出点P坐标，表示出点Q坐标，再用三角形的面积公式，得出函数关系式，即可得出结论；
（3）运用配方法求出抛物线对称轴，设点Q（﹣1，n），根据A（﹣3，0），C（0，3），可运用勾股定理分别求出：AC2，CQ2，AQ2，由于△QAC为直角三角形，可以分三种情况：∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，对每种情况运用勾股定理列方程求解即可．
【解答过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点
∴，
解得：
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；
（2）如图1，
过点P作PE∥y轴，交AC于E，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴S△ACPPE （xC﹣xA）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m）2，
∴当m时，S△PAC最大；
（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
如图2，∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为x＝﹣1，
设点Q（﹣1，n），
则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，
∵△QAC为直角三角形，
∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，
①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，
∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，
解得：n＝﹣2，
∴Q1（﹣1，﹣2）；
②当∠ACQ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，
∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，
解得：n＝4，
∴Q2（﹣1，4）；
③当∠AQC＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，
∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，
解得：n1，n2，
∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，）；
综上所述，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
23.（2021 长沙模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点C的坐标即可解决问题；
（3）设点P（m，﹣m2+4m），根据S△ABP＝S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD，建立方程求解即可；
（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理ON的长即可．
【解答过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
（2）如图1，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴为直线x＝2，
∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
∴S△ABC2×3＝3．
（3）如图1，设点P（m，﹣m2+4m），
根据题意，得：BH＝AH＝3，HD＝m2﹣4m，PD＝m﹣1，
∴S△ABP＝S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD，
∴63×3（3+m﹣1）×（m2﹣4m）（m﹣1）×（3+m2﹣4m），
解得：m1＝0，m2＝5，
∵点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，
∴m＞0，
∴m＝5，﹣m2+4m＝﹣52+4×5＝﹣5，
∴P（5，﹣5）；
（4）点M在直线BH上，点N在x轴上，△CMN为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM＝MN，∠CMN＝90°，
∵∠CBM＝∠MHN＝90°，
∴∠CMB+∠NMH＝∠NMH+∠MNH＝90°，
∴∠CMB＝∠MNH，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3﹣2＝1，
∴M（1，2）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，
过点C作CD∥y轴，过点N作NE∥y轴，过点M作DE∥x轴交CD于点D，交NE于E，
∵∠CMN＝∠CDM＝∠MEN＝90°，CM＝MN，
∴∠CMD+∠NME＝∠NME+∠MNE＝90°，
∴∠CMD＝∠MNE，
∴△NEM≌△MDC（AAS），
∴NE＝MD＝BC＝2，EM＝CD＝5，
∵∠ENH＝∠NEM＝∠NHM＝90°，
∴四边形EMHN是矩形，
∴HM＝NE＝2，
∴M（1，﹣2）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN＝MN，∠MNC＝90°，
过点M作ME∥x轴，过点N作EN∥y轴交CB的延长线于D，
同理可得：△NEM≌△CDN（AAS），
∴ME＝DN＝3，NE＝CD＝HM＝5，
∴M（1，﹣5）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，
过点M作ME∥x轴，过点N作NE∥y轴交BC延长线于D，
同理可得：△NEM≌△CDN（AAS），
∴ME＝DN＝NH＝3，NE＝CD＝3﹣2＝1，
∴HM＝NE＝1，∴M（1，﹣1）；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上所述，当△CMN为等腰直角三角形时，M点坐标为（1，2）或（1，﹣2）或（1，﹣5）或（1，﹣1）．
24、（2022 曾都区期末）如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线构造一线三垂直模型，在证明三角形全等即可求出点D的坐标，把点D的坐标带入解析式即可判断点D是否在抛物线上；
（3）先写出点P，M，B的坐标，由（2）得出∠BMP＝45°，分∠BMP是顶角和底角两种情况讨论即可．
【解答过程】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，
得，
解得，
∴y＝x2+4x﹣1；
（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠HBD，
在△ABC和△DBH中，
，
∴△ABC≌△DBH（AAS），
∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，
∴OH＝2，
∴D（﹣3，2），
把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，
得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，
∴点D不在抛物线上；
（3）存在点P，
∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），
由（2）知：∠BMP＝45°，
当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，
有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，
若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，
若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，
∴m2+4m﹣1＝﹣1，
解得m＝0（舍）或m＝﹣4，
∴m＝﹣4，
若45°为顶角，
即MP＝MB，
∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，
∴﹣m2﹣5mm，
解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，
∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．
25、（2021 建华区二模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝ ；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）由直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A（﹣1，0）、C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，列方程组求b、c的值及点B的坐标；
（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，求直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点F的坐标，推导出S△BCHFH OB，可求出△BCH的面积；
（3）设点E的横坐标为x，用含x的代数式表示点E、点M的坐标及线段ME的长，再根据二次函数的性质求出线段ME的最大值及点M的坐标；
（4）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得D（，0），M（，），由勾股定理求出OM＝BM，由等腰三角形PBM的腰长为或求出OP的长即可得到点P的坐标．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣3x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、C，
∴A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
当y＝0时，由x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）．
（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，解得k＝1，
∴y＝x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点H（1，﹣4），
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2），
∴FH＝﹣2﹣（﹣4）＝2，
∴S△BCHFH OGFH BGFH OB2×3＝3．
故答案为：3．
（3）设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则M（x，x﹣3），
∴ME＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x）2，
∴当x时，ME最大，此时M（，）．
（4）存在．
如图3，由（2）得，当ME最大时，则D（，0），M（，），
∴DO＝DB＝DM；
∵∠BDM＝90°，
∴OM＝BM．
点P1、P2、P3、P4在x轴上，
当点P1与原点O重合时，则P1M＝BM，P1（0，0）；
当BP2＝BM时，则OP2＝3，
∴P2（，0）；
当点P3与点D重合时，则P3M＝P3B，P3（，0）；
当BP4＝BM时，则OP4＝3，
∴P4（，0）．
综上所述，P1（0，0），P2（，0），P3（，0），P4（，0）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
