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第1章 二次函数 单元测试
一、单选题
1．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【提示】
根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【解答】
解：由题意得： ，则．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．
2．抛物线y＝﹣（x﹣1）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【答案】A
【提示】
利用顶点式直接求得交点坐标即可．
【解答】
解：抛物线y＝﹣（x﹣1）2＋3，
∴顶点坐标是（1，3），
故选：A
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
3．如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】
根据二次函数的图像，确定a，c的符号，然后根据一次函数性质确定图像的分布即可．
【解答】
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴的图像分布在第一，第二，第四象限，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．
4．关于抛物线的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．与x轴有两个交点
【答案】C
【提示】
根据的图象与性质解答．
【解答】
解：中，
抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
令y=0，得
抛物线与x轴有两个交点
故选项A、B、D正确，选项C错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为，再求出抛物线与x轴的两个交点坐标为和，根据开口向上即可判断．
【解答】
解：抛物线，
∴对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
∴当，，时，，
故选：．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
6．将抛物线如何平移可得到抛物线（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
【答案】B
【提示】
原抛物线的顶点为（0，0），平移后的抛物线顶点为（-4，-1），由顶点的平移规律确定抛物线的平移规律即可．
【解答】
解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2(x+4)2-1的顶点坐标为（-4，-1），
点（0，0）需要先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到点（-4，-1）．
故抛物线y=2x2先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=2(x+4)2-1．
故选B．
【点睛】
考查了二次函数图象与几何变换，在寻找图形的平移规律时，需要把图形的平移规律理解为某个特殊点的平移规律．
7．观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）
－1 0 1 2 3 4
－7 －5 －1 5 13 23
A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】C
【提示】
令x2＋3x－5根据﹣1和5时的函数值，即可得到答案．
【解答】
解：令x2＋3x－5，
当时，，
当时，，
x2＋3x－5=0的一个正数x的取值范围为1＜x＜2，
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．
8．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【提示】
根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【解答】
①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确；
③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误；
④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．
9．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-3，则m的值是（ ）
A． B． C．-2或 D．或
【答案】C
【提示】
分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【解答】
解：由二次函数（m为常数)，得到对称轴为直线x= m，抛物线开口向上，
①当m≥ 2时，由题意得：当x= 2时，y最小值为 -3，代入得：4 - 4m=-3，
即：m = < 2 ，不合题意，舍去；
② 当-1< m< 2时，由题意得：当x=m时，y 最小值为-3，代入得：，即m=或m= (舍去)；
③ 当m≤-1时，由题意得：当x=-1时，y最小值为-3，代入得：1 + 2m=-3，即 m=-2，
综上，m的值是-2或．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
10．直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据函数图象可得直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点时，即可求得答案．
【解答】
根据函数图象得，当时，直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象和反比例函数图象，能够利用数形结合的思想是解题的关键．
二、填空题
11．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
【答案】 3 -5 1
【提示】
形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【解答】
解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
12．请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________．
【答案】y＝x2＋1
【提示】
根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【解答】
解：∵开口向上，
∴a＞0，
且与y轴的交点为（0，1）．
∴函数解析式可为y=x2+ 1．
故答案为：y=x2+ 1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．
13．将抛物线绕顶点旋转180°，所得到的抛物线与y轴的交点坐标为_____．
【答案】##
【提示】
根据题意求得抛物线的顶点坐标，根据旋转的性质，只改变开口方向，求得新抛物线的解析式即可求解．
【解答】
∵抛物线的顶点为，
∴旋转180°得到抛物线新抛物线的解析式为，
令x=0，则y=，
∴抛物线与y轴的交点坐标是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，只需看顶点坐标和开口方向的变化．
14．已知，，三点在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“＜”号表示）．
【答案】
【提示】
二次函数开口朝上，图象上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，照此规律比较点与对称轴的远近即可求解．
【解答】
解：在二次函数中，a=1>0，
∴二次函数开口朝上，对称轴为x=1，
∴当点距离对称轴越远时，其对应的函数值越大，
由1－（－2）=3>2－1>－1，
得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题关键．
15．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．
【答案】4
【提示】
将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．
【解答】
解：当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
16．在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为_________．
【答案】a3＞a2＞a1## a1＜a2＜a3
【提示】
抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，a的绝对值越大，开口越小．
【解答】
解：∵二次函数y1=a1x2的开口最大，二次函数y3=a3x2的开口最小，
∴a3＞a2＞a1，
故答案为：a3＞a2＞a1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．
17．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图像如图所示，其对称轴为直线x=1，与y轴交于（0，﹣3），则当y＜﹣3时，x的取值范围是____．
【答案】0【提示】
根据题意和图像，函数与y轴交于点(0，-3)，其关于对称轴的对称点为(2，-3)，y＜﹣3即为图像上两点以下的部分，即可判断出x的范围．
【解答】
∵函数图像与y轴交点为(0，-3)，对称轴为x=1，
∴交点关于对称轴的对称点坐标为(2，-3)，
当y＜﹣3时，在函数图像上处于(0，-3)、(2，-3)两点以下，如图，
此区间x的范围为：0故答案为：0【点睛】
本题考查了二次函数图像，关键在于灵活利用函数图像对称的性质和从图像获得变量的范围．
18．二次函数图象的一部分如图所示．已知图象经过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别是；其中正确结论的序号是_________．
【答案】①③
【提示】
先根据图像，得到一些基本结论：a＜0，，c＞0；进一步推出b的正负性从而判断结论①；时，，找到时关于对称轴的对称点，从而判断②；当时，，关于对称轴的对称点时，，即，该方程的解即二次函数y=n时对应的两点的横坐标，从而判断③
【解答】
由图像和题目得：
a＜0，，c＞0
得：
∴b＞0
∴
①正确
时，
∵抛物线对称轴为
∴时，对应的y值与时一样
时，
∴时，
即
②错误
∵抛物线经过点
该点关于对称轴对称的点为
∴的解为
∴的解为
③正确
故答案为：①③
【点睛】
本题考查二次函数图像与系数的关系．第一小问注意根据对称轴判断b的正负，第二小问注意寻找关于对称轴对称的点，第三小问注意将一元二次方程转化为一元二次函数去思考，同样也要注意对称点
三、解答题
19．已知函数y＝(m2－4)x2＋(m2－3m＋2)x－m－1．
(1)当m为何值时，y是x的二次函数
(2)当m为何值时，y是x的一次函数
【答案】(1) m≠±2；（2）m＝－2
【解答】
试题分析：（1）根据二次函数的概念，二次项的系数不为0，自变量的最高次数为2，求解即可；
（2）根据一次函数的概念，一次项系数不为0，二次项的系数为0，列式求解即可.
试题解析：(1)由m2－4≠0，解得m≠±2．故当m≠±2时，y是x的二次函数．
(2)由m2－4＝0，解得m=±2．由m2－3m＋2≠0，解得m≠1，m≠2．所以m＝－2．因此，当m＝－2时，y是x的一次函数．
20．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
【答案】（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3
【提示】
（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．
【解答】
解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性．
21．已知二次函数（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【提示】
（1）问题等价于证明二元一次方程总是有解，证明即可
（2）将原函数写成顶点式，求出顶点坐标，将顶点坐标代入中，看是否满足，即可
(1)
令，则
∵，，
∴
∵
∴
∴一元二次方程有实数根，
故不论m取何值，函数与x轴总有公共点；
(2)
∵
∴该函数的顶点坐标为
把代入
得
∴不论m为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数上.
【点睛】
本题考查二次函数与x轴交点，顶点的求解；注意判断一个点是否在函数图像上，看该点坐标是否满足函数关系式.
22．已知抛物线解析式为
(1)写出抛物线的开口方向及抛物线与轴的交点坐标．
(2)求抛物线的顶点坐标．
(3)抛物线与轴有交点坐标吗？若有，请你求出抛物线与轴的交点坐标；若没有，请你说明理由．
【答案】(1)开口向上；（0，12）
(2)（4，-4）
(3)有交点，交点为（2,0）和（6,0）
【提示】
（1）根据二次函数的性质判断即可；把x=0代入计算即得；
（2）将二次函数写做顶点式即得；
（3）比较 与0的大小即可判断；将y=0代入计算即得.
(1)
由题，二次项系数为1，1＞0，故二次函数图像开口向上；把带入，得，故抛物线与轴交点为（0，12）.
(2)
由题，故抛物线顶点为（4，-4）.
(3)
∵>0，
∴抛物线与轴有两个不同的交点；
将带入二次函数求解，得，，
故抛物线与轴的交点坐标为（2,0）和（6,0）.
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，能够熟练得运用二次函数的性质准确求解是解答本题的关键.
23．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【提示】
（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
(1)
解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
(2)
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
24．已知抛物线的顶点为M．
(1)当时，以下结论正确的有______．（填序号）
①对称轴是直线；
②顶点坐标是；
③当时，y随x的增大而减小．
(2)求证：不论k取何值，抛物线的顶点M总在x轴的下方．
(3)若抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点为，写出顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，并判断顶点是否存在落在x轴上的情形，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①②
(2)见解析
(3)存在，k的值为1或2
【提示】
（1）当时，求出抛物线的解析式，再化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意得：，可得抛物线与x轴有两个交点．即可求解；
（3）先求出顶点M的坐标为．可得．从而得到顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，然后令，即可求解．
(1)
解：当时，
，
∴对称轴是直线，故①正确；
顶点坐标是，故②正确；
∵1＞0，
∴当时，y随x的增大而增大，故③错误；
故答案为∶ ①②．
(2)
解：，
，
∴抛物线与x轴有两个交点．
又∵抛物线开口向上，
∴抛物线的顶点M总在x轴的下方．
(3)
解：∵，
∴顶点M的坐标为．
∴抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点．
由，可得，
∴顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为．
若顶点在x轴上，则，解得，，
∴存在顶点在x轴上，此时k的值为1或2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．（1）新定义：若抛物线和抛物线的对称轴为同一条直线，我们称和互为“同枝”抛物线．如图，抛物线：与坐标轴交于，，三点，请任意写出一个与抛物线互为“同枝”抛物线的解析式；
（2）抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，若与坐标轴仅有两个交点，请求出的解析式；
（3）若抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，与轴的两个交点的坐标为和，且，设：，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，如：；（2）或或或；（3）当时，；当时，
【提示】
（1）求出抛物线M的对称轴，即可得；
（2）由拋物线的解析式可知其对称轴为，二次项系数为1，由抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，可知的解析式中的，根据与坐标轴仅有两个交点，分类讨论，①的图像的顶点位于轴上，②的图像的经过点（0，0），进行计算即可得；
（3）分情况讨论，当时，将向下平移3个单位长度，使图像与轴交于点，，即可得c，将向下平移8个单位长度，使图像与轴交于点，，即可得c；当时，沿轴翻折，使图像与轴交于点，，即可得c，沿轴翻折，使图像与轴交于点，，即可得c．
【解答】
解：（1）抛物线M：的对称轴为：，
则与抛物线M互为“同枝”抛物线的解析式为：；
（2）由拋物线的解析式可知其对称轴为，二次项系数为1，若与坐标轴仅有两个交点，
①的图像的顶点位于轴上，
由抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，可知的顶点为且的二项系数，
则的解析式为或，
展开得到一般形式为：或；
②的图像的经过点（0，0），
由抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，可知还经过点（4，0），且的二项系数，
则的解析式为：，
展开得到一般形式为：或，
综上，的解析式为或或或；
（3）当时，
如图所示：
将向下平移3个单位长度，使图像与轴交于点，，此时，
如图所示：
将向下平移8个单位长度，使图像与轴交于点，，此时，
即当a>0时， 5当时，
如图所示：
沿轴翻折，使图像与轴交于点，，此时，
如图所示：
沿轴翻折，使图像与轴交于点，，此时，
即当a<0时，0综上，当a>0时， 5【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
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第1章 二次函数 单元测试
一、单选题
1．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
2．抛物线y＝﹣（x﹣1）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于抛物线的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．与x轴有两个交点
5．已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线如何平移可得到抛物线（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
7．观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）
－1 0 1 2 3 4
－7 －5 －1 5 13 23
A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
8．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
9．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-3，则m的值是（ ）
A． B． C．-2或 D．或
10．直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
12．请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________．
13．将抛物线绕顶点旋转180°，所得到的抛物线与y轴的交点坐标为_____．
14．已知，，三点在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“＜”号表示）．
15．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．
16．在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为_________．
17．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图像如图所示，其对称轴为直线x=1，与y轴交于（0，﹣3），则当y＜﹣3时，x的取值范围是____．
18．二次函数图象的一部分如图所示．已知图象经过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别是；其中正确结论的序号是_________．
三、解答题
19．已知函数y＝(m2－4)x2＋(m2－3m＋2)x－m－1．
(1)当m为何值时，y是x的二次函数
(2)当m为何值时，y是x的一次函数
20．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
21．已知二次函数（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．
22．已知抛物线解析式为
(1)写出抛物线的开口方向及抛物线与轴的交点坐标．
(2)求抛物线的顶点坐标．
(3)抛物线与轴有交点坐标吗？若有，请你求出抛物线与轴的交点坐标；若没有，请你说明理由．
23．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
24．已知抛物线的顶点为M．
(1)当时，以下结论正确的有______．（填序号）
①对称轴是直线；
②顶点坐标是；
③当时，y随x的增大而减小．
(2)求证：不论k取何值，抛物线的顶点M总在x轴的下方．
(3)若抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点为，写出顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，并判断顶点是否存在落在x轴上的情形，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
25．（1）新定义：若抛物线和抛物线的对称轴为同一条直线，我们称和互为“同枝”抛物线．如图，抛物线：与坐标轴交于，，三点，请任意写出一个与抛物线互为“同枝”抛物线的解析式；
（2）抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，若与坐标轴仅有两个交点，请求出的解析式；
（3）若抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，与轴的两个交点的坐标为和，且，设：，请直接写出的取值范围．
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