2022-2023学年浙教版数学九年级上册1.1 二次函数 同步练习
一、单选题
1．（2022九上·平桂期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当
时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】形如 “
”的函数就是二次函数，据此一一判断即可得出答案.
2．（2021九上·平谷期末）用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，
则
则S与x的函数关系为二次函数关系
故答案为：D
【分析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积公式可得，即可得到答案。
3．（2021九上·芝罘期中）若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
4．（2021九上·津南期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：
x …… 5 3 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 ……
则 的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得：
x …… 5 3 1 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 ……
由②③可得：
即
则
故答案为：A
【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。
5．（2021九上·旅顺口期中）已知二次函数 图象经过原点，则a的取值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象经过原点，
∴a2-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为-1．
故答案为：C．
【分析】先求出a=±1，再求解即可。
6．（2021九上·香洲期中）顶点(﹣5，﹣1)，且开口方向、形状与函数y＝ x2的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为(﹣5，﹣1)，
∴抛物线解析式为 ；
∵开口方向、形状与函数y＝ x2的图象相同，
∴ ，
抛物线解析式为： ；
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线解析式为 ，再求出，最后求抛物线的解析式即可。
7．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
8．（2021九上·合肥月考）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=- x2+26x（2≤x＜52） B．y=- x2+50x（2≤x＜52）
C．y=-x2+52x（2≤x＜52） D．y=- x2+27x-52（2≤x＜52）
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 栅栏总长度为50m， 饲养室长为xm， 门宽为2m，
∴ 饲养室宽为（）m，
∴y=（）x=（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出饲养室的宽，利用矩形的面积公式列出式子进行化简，即可得出答案.
9．（2021九上·宜昌期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染.则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵每轮传染平均1人会传染x个人，
∴2人感染时，一轮可传染2x人，
∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；
∵每轮传染平均1人会传染x个人，
∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，
∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人；
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由于每轮传染平均1人会传染x个人，可得一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人，继而得出二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人，据此即得结论.
10．（2020九上·沧州开学考）正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质
【解析】【解答】解：原来正方形的边长是3，面积是9，
增加后的边长是 ，面积是 ，
增加的面积 ，整理得 ．
故答案为：C．
【分析】根据x和y表示的含义，利用正方形面积的表示方法列出函数关系式．
二、填空题
11．（2021九上·甘州期末）一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y ，那么y与x的关系式是
【答案】y=-x2+8x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（8-x）cm，
∵长方形面积为ycm2，
∴y与x的关系式为y=x(8 x)=-x2+8x.
故答案为：y=-x2+8x.
【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解即可.
12．（2020九上·顺昌月考）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式）
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x，
∴y=x（40-x）= ．
故答案为 ．
【分析】由矩形的一边长为xcm,周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可.
13．（2020九上·衢州期中）如图，用长为16m的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇1m宽的门的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为ym2，则y与x的函数表达式为 ．
【答案】y=－2x2+17x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
y=x（16+1-2x）=－2x2+17x .
故答案为：y=－2x2+17x .
【分析】利用已知条件可知16=2AB+长，就可求出花圃的长，再利用长方形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式。
14．（2019九上·邯郸月考）矩形周长等于40，设矩形的一边长为 ，那么矩形面积 与边长 之间的函数关系式为 .
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米，
∴由矩形的面积公式，得
【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．
15．（2019九上·长春月考）一个边长是5的正方形，当边长增加x时，面积增加y，则y与x之间的函数关系式为 .
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】由题意得：
y=（x+5）2-52
=x2+10x．
故y与x之间的函数表达式为y=x2+10x．
【分析】根据增加的面积=新正方形的面积-边长为5的正方形的面积，求出即可．
16．（2019九上·邗江月考）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ．
【答案】y＝50（1 x）2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：两年后的价格为：50×（1 x）×（1 x）＝50（1 x）2，
故y与x的函数关系式是：y＝50（1 x）2．
故答案为：y＝50（1 x）2．
【分析】原价为50万元，一年后的价格为50×（1 x），两年后的价格为：50×（1 x）×（1 x）＝50（1 x）2，故可得函数关系式．
17．（2019九上·大同期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）．
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由图象可知抛物线的对称轴为 ，所以顶点坐标为： ，
可设此抛物线的解析式为： ，①
又此抛物线过 点，
代入①式得： ，
解得： ．
所以此抛物线的解析式为： ．
故答案为：
【分析】由图知此抛物线的对称轴为x= =20，所以顶点为（20，16），可设 又图象过（0，0）点，所以可求出其解析式．
18．（2019九上·西城期中）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是 ．
【答案】y＝300（x+1）2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得：
2019年年人均收入为：300（x+1）2，∴y与x的函数关系式为：y=300（x+1）2．
故答案为：y=300（x+1）2．
【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2019年年人均收入，然后根据已知可以得出关系式．
19．（2018·嘉定模拟）抛物线y=2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k= ．
【答案】3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线y=2x2+3x+k-2经过点（-1，0），
∴0=2-3+k-2，
解得k=3．
故答案为：3．
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于k的方程，求解即可。
20．（2021九上·淮北月考）若是关于x的二次函数，则m= ．
【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据二次函数的定义可得，解得：即可。
三、解答题
21．（2021九上·白云期末）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点，，代入解析式，再利用待定系数法求解二次函数即可。
22．（2021九上·亳州月考）已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1） +b将A，B点坐标代入得，
解得a=-2，b=8，
则y=-2(x-1) +8.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
23．（2021九上·朝阳期中）已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝ x+1上，求这个二次函数的表达式．
【答案】解：∵二次函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，
∴y＝ ×2+1＝2，
∴y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2），
∴﹣ ＝2，
∴﹣ ＝2，
解得：m＝﹣1或m＝2，
∵最高点在直线y＝ x+1上，
∴a＝m2﹣2＜0，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x+n，
又∵顶点为（2，2），
∴2＝﹣4+8+n，
∴n＝﹣2，
则二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣2．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据函数的对称轴是x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，可求得y＝ ×2+1＝2的图像顶点坐标，从而求得m的值，利用最高点在直线上可得a的范围，从而求得二次函数的表达式。
24．（2021九上·东莞期中）一条抛物线经过点A(-2，0)且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式．
【答案】解：设抛物线为：
抛物线的顶点是(1，－3)，
抛物线为：
把 代入抛物线得：
，
抛物线为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】 设抛物线为： 再将点A（-2，0）和顶点（1，-3）代入计算即可。
25．（2021九上·合肥期中）若二次函数的图象的对称轴方程是x=1，并且图象过A（0，-4）和B（4，0），求此二次函数的解析式．
【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线 且与x轴的一个交点为B（4，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（-2，0），
∴设二次函数的解析式为 ，
又∵二次函数经过A（0，-4），
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求解函数解析式即可。
四、综合题
26．（2021九上·无棣期末）
（1）二次函数的图象过点，它与反比例函数的图象交于点，试求这个二次函数的解析式．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：将点A（m，3），代入，得，m=﹣2，
因此点A的坐标为（﹣2，3），
将点A和点B的坐标分别代入
得，
解得，
所以二次函数关系式为．
（2）解：由题意，利用一元二次方程的求解公式：；
可得：a=3，b=-4，c=-1.
∴
，．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先利用反比例函数求出点A的坐标，再将点A、B的坐标代入求出b、c的值，即可得到二次函数解析式；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
27．（2021九上·密山期末）如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点
∴c=0
即
∵抛物线y=x2＋bx经过点A（2，0）
∴
∴
即所求的函数解析式为
（2）解：∵A（2，0）
∴OA=2
设△OAB的边OA上的高为h
则
∴h=1
即点B的纵坐标的绝对值为1，从而点B的纵坐标为1或 1
当y=1时，即
解得：或
∴点B的坐标为 或
当y= 1时，即
解得：
∴点B的坐标为
综上所述，点B的坐标为 或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A、O的坐标代入抛物线求解解析式即可；
（2）设△OAB的边OA上的高为h，再利用三角形的面积公式列出方程，求出h的值，再分两种情况：y=1和y=-1，最后列出方程求解即可。
28．（2021九上·虎林期末）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3)．
（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积比；
（3）在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）解：∵A，B两点关于x=1对称，
∴B点坐标为（3，0），
根据题意得： ，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）解：△AOC和△BOC的面积分别为S△AOC=|OA| |OC|，S△BOC=|OB| |OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S△AOC：S△BOC=|OA|：|OB|=1：3．
（3）解：存在一个点P．
C点关于x=1对称点坐标C'为（2，-3），
令直线AC'的解析式为y=kx+b
∴ ，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式为y=-x-1．
当x=1时，y=-2，
∴P点坐标为（1，-2）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，然后将点A、B、C的坐标代入抛物线求解即可；
（2）根据三角形的性质可得S△AOC=|OA| |OC|，S△BOC=|OB| |OC|， 再将数据代入可得S△AOC：S△BOC=|OA|：|OB|=1：3；（3）先求出直线AC'的解析式，再将x=1代入计算即可。
29．（2021九上·集贤期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，
令，则，即
设抛物线解析式为，将代入，得
解得
（2）P(1，2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）
抛物线的对称轴为
根据对称性，关于对称，
连接，交于点P
则
当三点共线时，值最小，此时为与直线的交点
设直线的解析式为，将点，代入，得：
解得
直线的解析式为
在上，则当时，
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，再求点的坐标即可。
30．（2021九上·虎林期末）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（－1，0）、点B，与y轴交于点C（0，－3）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：将点代入中，
得，
解得：，
二次函数解析式为：；
（2）解：令，
即，
解得：，
，
，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，再求出AB的长，最后利用三角形的面积求出△ABC的面积即可。
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册1.1 二次函数 同步练习
一、单选题
1．（2022九上·平桂期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·平谷期末）用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
3．（2021九上·芝罘期中）若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
4．（2021九上·津南期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：
x …… 5 3 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 ……
则 的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣
5．（2021九上·旅顺口期中）已知二次函数 图象经过原点，则a的取值为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2021九上·香洲期中）顶点(﹣5，﹣1)，且开口方向、形状与函数y＝ x2的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
8．（2021九上·合肥月考）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=- x2+26x（2≤x＜52） B．y=- x2+50x（2≤x＜52）
C．y=-x2+52x（2≤x＜52） D．y=- x2+27x-52（2≤x＜52）
9．（2021九上·宜昌期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染.则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九上·沧州开学考）正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·甘州期末）一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y ，那么y与x的关系式是
12．（2020九上·顺昌月考）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式）
13．（2020九上·衢州期中）如图，用长为16m的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇1m宽的门的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为ym2，则y与x的函数表达式为 ．
14．（2019九上·邯郸月考）矩形周长等于40，设矩形的一边长为 ，那么矩形面积 与边长 之间的函数关系式为 .
15．（2019九上·长春月考）一个边长是5的正方形，当边长增加x时，面积增加y，则y与x之间的函数关系式为 .
16．（2019九上·邗江月考）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ．
17．（2019九上·大同期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）．
18．（2019九上·西城期中）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是 ．
19．（2018·嘉定模拟）抛物线y=2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k= ．
20．（2021九上·淮北月考）若是关于x的二次函数，则m= ．
三、解答题
21．（2021九上·白云期末）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式．
22．（2021九上·亳州月考）已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式．
23．（2021九上·朝阳期中）已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝ x+1上，求这个二次函数的表达式．
24．（2021九上·东莞期中）一条抛物线经过点A(-2，0)且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式．
25．（2021九上·合肥期中）若二次函数的图象的对称轴方程是x=1，并且图象过A（0，-4）和B（4，0），求此二次函数的解析式．
四、综合题
26．（2021九上·无棣期末）
（1）二次函数的图象过点，它与反比例函数的图象交于点，试求这个二次函数的解析式．
（2）解方程：．
27．（2021九上·密山期末）如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．
28．（2021九上·虎林期末）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3)．
（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积比；
（3）在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．
29．（2021九上·集贤期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标．
30．（2021九上·虎林期末）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（－1，0）、点B，与y轴交于点C（0，－3）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当
时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】形如 “
”的函数就是二次函数，据此一一判断即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，
则
则S与x的函数关系为二次函数关系
故答案为：D
【分析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积公式可得，即可得到答案。
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得：
x …… 5 3 1 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 ……
由②③可得：
即
则
故答案为：A
【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象经过原点，
∴a2-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为-1．
故答案为：C．
【分析】先求出a=±1，再求解即可。
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为(﹣5，﹣1)，
∴抛物线解析式为 ；
∵开口方向、形状与函数y＝ x2的图象相同，
∴ ，
抛物线解析式为： ；
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线解析式为 ，再求出，最后求抛物线的解析式即可。
7．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 栅栏总长度为50m， 饲养室长为xm， 门宽为2m，
∴ 饲养室宽为（）m，
∴y=（）x=（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出饲养室的宽，利用矩形的面积公式列出式子进行化简，即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵每轮传染平均1人会传染x个人，
∴2人感染时，一轮可传染2x人，
∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；
∵每轮传染平均1人会传染x个人，
∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，
∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人；
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由于每轮传染平均1人会传染x个人，可得一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人，继而得出二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人，据此即得结论.
10．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质
【解析】【解答】解：原来正方形的边长是3，面积是9，
增加后的边长是 ，面积是 ，
增加的面积 ，整理得 ．
故答案为：C．
【分析】根据x和y表示的含义，利用正方形面积的表示方法列出函数关系式．
11．【答案】y=-x2+8x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（8-x）cm，
∵长方形面积为ycm2，
∴y与x的关系式为y=x(8 x)=-x2+8x.
故答案为：y=-x2+8x.
【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x，
∴y=x（40-x）= ．
故答案为 ．
【分析】由矩形的一边长为xcm,周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可.
13．【答案】y=－2x2+17x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
y=x（16+1-2x）=－2x2+17x .
故答案为：y=－2x2+17x .
【分析】利用已知条件可知16=2AB+长，就可求出花圃的长，再利用长方形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式。
14．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米，
∴由矩形的面积公式，得
【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．
15．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】由题意得：
y=（x+5）2-52
=x2+10x．
故y与x之间的函数表达式为y=x2+10x．
【分析】根据增加的面积=新正方形的面积-边长为5的正方形的面积，求出即可．
16．【答案】y＝50（1 x）2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：两年后的价格为：50×（1 x）×（1 x）＝50（1 x）2，
故y与x的函数关系式是：y＝50（1 x）2．
故答案为：y＝50（1 x）2．
【分析】原价为50万元，一年后的价格为50×（1 x），两年后的价格为：50×（1 x）×（1 x）＝50（1 x）2，故可得函数关系式．
17．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由图象可知抛物线的对称轴为 ，所以顶点坐标为： ，
可设此抛物线的解析式为： ，①
又此抛物线过 点，
代入①式得： ，
解得： ．
所以此抛物线的解析式为： ．
故答案为：
【分析】由图知此抛物线的对称轴为x= =20，所以顶点为（20，16），可设 又图象过（0，0）点，所以可求出其解析式．
18．【答案】y＝300（x+1）2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得：
2019年年人均收入为：300（x+1）2，∴y与x的函数关系式为：y=300（x+1）2．
故答案为：y=300（x+1）2．
【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2019年年人均收入，然后根据已知可以得出关系式．
19．【答案】3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线y=2x2+3x+k-2经过点（-1，0），
∴0=2-3+k-2，
解得k=3．
故答案为：3．
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于k的方程，求解即可。
20．【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据二次函数的定义可得，解得：即可。
21．【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点，，代入解析式，再利用待定系数法求解二次函数即可。
22．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1） +b将A，B点坐标代入得，
解得a=-2，b=8，
则y=-2(x-1) +8.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
23．【答案】解：∵二次函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，
∴y＝ ×2+1＝2，
∴y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2），
∴﹣ ＝2，
∴﹣ ＝2，
解得：m＝﹣1或m＝2，
∵最高点在直线y＝ x+1上，
∴a＝m2﹣2＜0，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x+n，
又∵顶点为（2，2），
∴2＝﹣4+8+n，
∴n＝﹣2，
则二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣2．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据函数的对称轴是x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，可求得y＝ ×2+1＝2的图像顶点坐标，从而求得m的值，利用最高点在直线上可得a的范围，从而求得二次函数的表达式。
24．【答案】解：设抛物线为：
抛物线的顶点是(1，－3)，
抛物线为：
把 代入抛物线得：
，
抛物线为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】 设抛物线为： 再将点A（-2，0）和顶点（1，-3）代入计算即可。
25．【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线 且与x轴的一个交点为B（4，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（-2，0），
∴设二次函数的解析式为 ，
又∵二次函数经过A（0，-4），
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求解函数解析式即可。
26．【答案】（1）解：将点A（m，3），代入，得，m=﹣2，
因此点A的坐标为（﹣2，3），
将点A和点B的坐标分别代入
得，
解得，
所以二次函数关系式为．
（2）解：由题意，利用一元二次方程的求解公式：；
可得：a=3，b=-4，c=-1.
∴
，．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先利用反比例函数求出点A的坐标，再将点A、B的坐标代入求出b、c的值，即可得到二次函数解析式；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
27．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点
∴c=0
即
∵抛物线y=x2＋bx经过点A（2，0）
∴
∴
即所求的函数解析式为
（2）解：∵A（2，0）
∴OA=2
设△OAB的边OA上的高为h
则
∴h=1
即点B的纵坐标的绝对值为1，从而点B的纵坐标为1或 1
当y=1时，即
解得：或
∴点B的坐标为 或
当y= 1时，即
解得：
∴点B的坐标为
综上所述，点B的坐标为 或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A、O的坐标代入抛物线求解解析式即可；
（2）设△OAB的边OA上的高为h，再利用三角形的面积公式列出方程，求出h的值，再分两种情况：y=1和y=-1，最后列出方程求解即可。
28．【答案】（1）解：∵A，B两点关于x=1对称，
∴B点坐标为（3，0），
根据题意得： ，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）解：△AOC和△BOC的面积分别为S△AOC=|OA| |OC|，S△BOC=|OB| |OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S△AOC：S△BOC=|OA|：|OB|=1：3．
（3）解：存在一个点P．
C点关于x=1对称点坐标C'为（2，-3），
令直线AC'的解析式为y=kx+b
∴ ，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式为y=-x-1．
当x=1时，y=-2，
∴P点坐标为（1，-2）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，然后将点A、B、C的坐标代入抛物线求解即可；
（2）根据三角形的性质可得S△AOC=|OA| |OC|，S△BOC=|OB| |OC|， 再将数据代入可得S△AOC：S△BOC=|OA|：|OB|=1：3；（3）先求出直线AC'的解析式，再将x=1代入计算即可。
29．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，
令，则，即
设抛物线解析式为，将代入，得
解得
（2）P(1，2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）
抛物线的对称轴为
根据对称性，关于对称，
连接，交于点P
则
当三点共线时，值最小，此时为与直线的交点
设直线的解析式为，将点，代入，得：
解得
直线的解析式为
在上，则当时，
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，再求点的坐标即可。
30．【答案】（1）解：将点代入中，
得，
解得：，
二次函数解析式为：；
（2）解：令，
即，
解得：，
，
，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，再求出AB的长，最后利用三角形的面积求出△ABC的面积即可。
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