2022-2023学年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步练习

2022-2023学年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步练习
一、单选题
1．（2016九上·济宁期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（　　）
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
2．（2021九上·天桥期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≥am2＋bm(m是任意实数)．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021九上·温州期末）二次函数 的图象 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·温州期末）二次函数 的部分图象如图所示，当 时，函数值 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021九上·沈河期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：
①4a﹣2b+c＞0；②2a+b＝0；③当y＜0时，﹣1＜x＜3；④若m是实数，且m≠1，则a（m2﹣1）+bm＜b．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．（2021九上·邗江期末）函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
7．（2021九上·普陀期末）已知函数 的对称轴为直线 ．若 是方程 的两个根，且 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·荔湾期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（　　）
A．若y4＞y3，则a＞0 B．对称轴不可能是直线x＝2.7
C．y1＜y4 D．3a+b＜0
9．（2021九上·无棣期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -3 m 1 0 -3 …
有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③关于x的方程的根为-3和-1；④当时，x的取值范围是．其中正确的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2021九上·吴兴期末）已知一元二次方程2x2+bx 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx 1的图象上有三个点（0，y1）、（ 1，y2）、（ y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
二、填空题
11．（2018九上·郑州期末）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种　 　棵橘子树，橘子总个数最多．
12．（2021九上·南充期末）若二次函数 在 时的最小值为6，那么m的值是　 　.
13．（2021九上·南召期末）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为　 　.
14．（2021九上·临江期末）已知关于x的二次函数y=-4x+m，在-1≤ x≤3 的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为　 　
15．（2021九上·崇阳月考）已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2＋1，当1≤x≤4时，函数的最大值为　 　．
16．（2021九上·镇平县期末）若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，则抛物线的解析式为　 　.
17．（2021九上·邗江期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … m -1 -1 n t …
当x= 时，与其对应的函数值 .有下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是 和 ；④ .其中，正确的结论是　 　.
18．（2021九上·廉江期末）已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是　 　．（填写序号）
19．（2021九上·红桥期末）当时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
20．（2021九上·青浦期末）如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a　 　0．（填“＜”或“＞”）
三、解答题
21．（2021九上·淮南月考）求抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．
22．（2021九上·萧山月考）已知点（0，3）在二次函数 的图象上，且当 时，函数 有最小值2，这个二次函数的表达式。
23．（2021九上·永吉期中）求抛物线 的顶点坐标，并直接写出 随 增大而增大时自变量 的取值范围．
24．（2021九上·淮南月考）把抛物线y＝ax2+bx+c先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是y＝x2﹣3x+5，求a+b+c的值．
四、综合题
25．（2021九上·舟山期末）某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售猕猴桃，已知猕猴桃的成本价格为8元／kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元／kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，销售单价不低于成本价且不高于24元／kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）.
x（元／kg） 9 10 11
y(kg) 2100 2000 1900
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利w最大？最大利润为多少元？
26．（2021九上·舟山期末）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
27．如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．
（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式;
（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标;
（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2021九上·镇平县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点.
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值.
29．（2018·江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数 图象的顶点，图象与 轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与 轴和 轴的交点，点E是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．
（1）点A的坐标为　 　，点C的坐标为　 　；
（2）求直线BD的表达式；
（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在，请说明理由.
30．（2021九上·鄂城期末）如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是x=1，
设另一交点为（x，0），
﹣1+x=2×1，
x=3，
∴另一交点坐标是（3，0），
∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，
故本选项正确．
故选D．
【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，与y轴的交点在正半轴可得c是正数，根据二次函数的增减性可得B选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x轴的一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，从而得解．
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①不符合题意；
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴b＞a+c，所以②不符合题意；
当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b），所以④符合题意．
故答案为：B．
【分析】由抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴x=可得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＞0，据此判断①；由图象可知当x=-1时，y=，当x=2时，y=4a+2b+c＞0据此判断②③；由于抛物线的对称轴为直线x=1，可知x=1时，y有最大值a+b+c，即得a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），据此判断④.
3．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 ，1＞0，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∵由函数图象可知，二次函数的最大值为3，
∴当 时， ，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的性质可求出二次函数的最小值；利用x的取值范围可得到函数的最大值，由此可得到y的取值范围.
4．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象过点（0，2），（2，0），对称轴为x=0.5，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），将点（0，2）代入解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2），整理得：y=-x2+x+2，
∴ymax=-0.52+0.5+2=，
∴当x＞0时，y≤.
故答案为：A.
【分析】由图象可得二次函数过点（0，2），（2，0），再通过对称轴x=0.5求出另一个交点为（-1，0），利用待定系数法求出二次函数解析式；当x＞0时，y最大值为顶点坐标的纵坐标，因此求出顶点坐标纵坐标即可解答.
5．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当x=-2时，y＜0，
∴，故①不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴，
∴，故②符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当y＞0时，-1＜x＜3，当y＜0时，x＞3或x＜-1，故③不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，抛物线有最大值，即a+b+c，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】由函数图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，据此判断①；由图象知抛物线的对称轴为直线x＝=1，据此判断②；由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），根据图象可知当-1＜x＜3时函数图象在x轴上方，据此判断③；由于当x=1时，抛物线有最大值，即y=a+
b+c，从而得出，据此判断④即可.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象的对称轴为直线x=
，a=-1<0，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），-1<1<2，
∴y1＞y2，
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数的解析式求出对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此进行比较.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、由图象可知抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧， 是方程
的两个根，
∴x1x2＜0，故A不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴为直线x=-4， ，
∴x2到对称轴的最大距离约为|-4-2|=6，最小距离约为|-4-1|=5，
∴x2的取值范围为-4-6＜x2＜-4-5即-10＜x2＜-9，故B符合题意；
C、∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c
∴b2-4ac＞0，故C不符合题意；
D、∵抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，交于y轴的负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】观察函数图象，可知抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧，可对A，C作出判断；再根据抛物线的对称性，对称轴和x2的取值范围，可得到x1的取值范围，可对B作出判断；然后根据抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，交于y轴的负半轴，可确定出a，b，c的取值范围，即可得到abc的取值范围，可对D作出判断.
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当时，抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
若，时，，不符合题意；
B、当对称轴为直线时，，
若则，不符题意，
若则，正确，
不符合题意；
C、若，当抛物线对称轴为直线时，，
对称轴直线时满足题意，
此时，
，
若，当抛物线对称轴为直线时，，
当时，符合题意；
D、，
，
，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断。
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝ 2，故②符合题意；
抛物线的顶点坐标是（ 2，1），有最大值，故抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，故①符合题意；
由抛物线关于直线x＝ 2对称知，当y＝0时，x＝ 1或x＝ 3，故方程ax2＋bx＋c＝0的根为 3和 1，故③符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是 3＜x＜ 1，故④不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断出各个小题中的结论是否成立，本题得以解决。
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：一元二次方程2x2+bx-1＝0的一个根是1，
∴2+b-1=0，
∴b=-1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2-x-1，
∴当x=0时，y1=-1，
当x=-1时，y2=2，
当x=时，y3=-，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：C.
【分析】把x=1代入方程得出b=-1，从而得出二次函数的解析式为y＝2x2-x-1，分别求出y1，y2，y3的值，再进行比较，即可得出答案.
11．【答案】10
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有（x+100）棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，∴这时平均每棵树就会少结5x个橘子，则平均每棵树结（600﹣5x）个橘子．∵果园橘子的总产量为y，∴则 ，
∴当 棵时，橘子总个数最多．
故答案为：10．
【分析】此题的等量关系为：果园橘子的总产量=果园橘子树的数量×每棵树结橘子的数量，就可求出y与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质，可求解。
12．【答案】 或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由二次函数
可知对称轴为直线
，
∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为
，
∵二次函数
在
时的最小值为6，
然后可分①当m+1＜1时，即m＜0，则有y随x的增大而减小，
∴当x=m+1时，函数有最小值，即为
，
解得：
（正根舍去），
②当m＞1时，则y随x的增大而增大，
∴当x=m时，函数有最小值，即为
，
解得：
（负根舍去），
∴综上所示：m的值是
或
；
故答案为：
或
.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，则当x=1时，函数取得最小值，为y=4，接下来分①m+1＜1，②m＞1，判断出函数在m≤x≤m+1上的增减性，结合最小值为6就可求出m的值.
13．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：
二次函数y=x2+ax+4以y轴为对称轴
，即
，
二次函数解析式为
，
点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，
，
，
m-n的最大值为
.
故答案为：
.
【分析】根据二次函数的对称轴为y轴可得a=0，则y=x2+4，将P（m，n）代入可得n=m2+4，然后表示出m-n，结合二次函数的性质可得最大值.
14．【答案】-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x+m=（x-2）2+m-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，最小值为m-4，
∵抛物线在-1≤ x≤3 的取值范围内最大值为7，
∴1+4+m=7，
∴m=2，
∴抛物线的最小值为m-4=-2.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x=2，最小值为m-4，再根据抛物线的性质得出当x=-1时y=7，得出m=2，即可得出抛物线的最小值为-2.
15．【答案】0
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y＝﹣（x﹣5）2+1，
∴该函数的开口向下，对称轴是直线x＝5，当x＜5时，y随x的增大而增大，
∵1≤x≤4，
∴当x＝4时，y取得最大值，此时y＝﹣（4﹣5）2+1＝0.
故答案为：0.
【分析】根据二次函数解析式可得函数图象开口向下，对称轴是直线x＝5，当x＜5时，y随x的增大而增大，据此解答.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵两个交点间的距离为2，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴两个交点的坐标为：，，
将两个点代入抛物线解析式可得：，
解得：，
∴解析式为：，
故答案为：.
【分析】根据抛物线与x轴的两个交点间的距离和对称轴的值可得两个交点的坐标，把两个点的坐标代入解析式可得关于a、b的方程组，解方程组可求解.
17．【答案】①③
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据题意得：函数图象的对称轴为 ，即 ，
∴ 异号，
∴ ，
∵当
时，
，即
，
∴ ，故①正确；
②∵ ，
∴ ，
当
时，
，
解得：
，
∴二次函数图象开口向上，
∴图象在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，故②错误；
③∵二次函数图象的对称轴为
，
∴点
关于对称轴的对称点为
，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是
和
，故③正确；
④当
时，
，当
时，
，
∴ ，故④错误，
∴正确的结论是①③.
故答案为：①③.
【分析】根据表格可得函数图象过点（0，-1）、（1，-1），求出中点坐标可得对称轴，结合对称轴方程可得ab<0，根据y=-1可得c=-1<0，据此判断①；根据对称轴方程可得b=-a，根据x= 对应的函数值为正可得a的范围，判断出函数图象的开口方向，据此判断②；根据对称性求出点（ ，t）关于对称轴的对称点，据此判断③；根据x=-1、x=2的函数值可得m=a-b-1，n=4a+2b-1，表示出m+n，结合a的范围可判断④.
18．【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．
故①结论符合题意；
②对称轴为：．
故②结论符合题意；
③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2，
故③结论不符合题意；
④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
故④结论符合题意．
故答案是：①②④．
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答。
19．【答案】m≤2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式的二次项系数是-1，
∴该二次函数的开口方向是向下
又二次函数的解析式的对称轴为x=m且当时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小
∴m≤2
故答案为m≤2.
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，二次函数的对称轴，再根据时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，求出 m的取值范围 。
20．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴函数图象的开口向上，
∴a＞0，
故答案为：＞．
【分析】先求出函数图象的开口向上，再求解即可。
21．【答案】解：抛物线 y＝x2﹣x＋1，
抛物线的对称轴方程为：
则函数图象的开口向上，
当时，
当时，
当时，
而
所以抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出x=1，再计算求解即可。
22．【答案】解：∴点（1，2）为抛物线的顶点，
于是可设抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2，把（0，3）代入得，
a+2＝3，
∴a＝1，
∴抛物线的关系式为y＝（x﹣1）2+2，
即y＝x2﹣2x+3；
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式设函数解析式，代入已知点坐标求出a值，即可解答.
23．【答案】解：∵y=x2-2x= x2-2x +1-1=（x-1）2-1，
∴该函数的顶点坐标为（1，-1），
∵a=1>0
∴抛物线开口向上，
又抛物线对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】先求出 该函数的顶点坐标为（1，-1）， 再求出 抛物线开口向上， 最后求解即可。
24．【答案】解： ，当 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线 的图象，
，
．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】将得到的抛物线解析式转变为顶点式，即可得到顶点的坐标，根据平移的性质，求出平移前的抛物线的解析式，计算得到答案即可。
25．【答案】（1）解：设y=kx+b
则
∴
∴
（2）解：由题意得：
∴对称轴为x=19
∵，a=-100<0
∴当x=19，即 销售单价定为19时，销售这种猕猴桃日获利w最大，最大利润为12100元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由待定系数法，得出结果。
（2）由二次函数配方法，得出，从而得出结果。
26．【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
（2）解：-1＜x＜3
（3）解：①当时
当x=a+1时，y取到最小值，最小值为
∴
②当时
当x=1时，y取到最小值，最小值为
∴a=-1（舍）
③当时
当x=a时，y取到最小值，最小值为
∴
综上所述：a= 或a=
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】（1）由对称轴和与x轴交点坐标，得出结果。
（2）由与x轴交点坐标，根据图像，得出结果。
（3）由x的取值范围能否包括对称轴，进行分类讨论，在每一种情况下，根据图形的单调性，得出方程，得出结果。
27．【答案】（1）解：在y1=（x2﹣2x﹣3）中，令y1=0，则有0=（x2﹣2x﹣3），解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），又∵C为与y轴的交点，∴C（0，），又曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称，
∴曲线y2可由曲线y1关向右平移4个单位得到，
∴y2=(X2-10X+21)（x≥3）
（2）解：
若AD垂直平分CM，则可知CDMA为菱形，此时点M（1，0），显然不在y2上；
故直线CM垂直平分AD，取AD中点P，易求其坐标为（1，），
故直线CN的解析式为：yCN=x-，
求其与y2的交点坐标：，
解得：x1=，x2=（不合舍去），
∴x=
（3）解：
因为MN的长度固定，故点P到MN的距离最大时，△PMN的面积最大，
∴可设另一直线y=x+b与y2相交于点P，很显然它们只有一个交点时，满足条件．
即：只有唯一一个解的时候，这个点就是点P，
即方程x+b=（x2﹣10x+21）有唯一一个解，
解得：x=，
将x=代入y2=(X2-10X+21)，解得y=,
故点P的坐标为(，)
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）对点A、B、C坐标的意义要明白，点A与点B是二次函数与横轴的交点，点C是纵轴的交点，关于x=3意义的理解，就是将y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）进行了平移，从而可求得抛物线y2的解析式；
（2）要理解，只有当CM垂直平分AD时，才能在y2找到点M，故点M即为直线（C与AD的中点P连线）的交点；
（3）显然MN的值固定，即在y2上的点，到CM的距离最大的点，即与CM平行的直线与y2只有一个交点时，即为所求．
28．【答案】（1）解：将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中，得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4
在y＝－x2－3x＋4中，
令y＝0，即，解得x1＝－4，x2＝1，
∴A（－4，0）.
设直线AD的解析式为y＝kx＋b'.
∵D（0，2），
∴，
解得：
∴直线AD的解析式为.
（2）解：连接PD，作PGy轴交AD于点G，如图所示.
设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），则G（t，），
∴，
∴，
.
∵－4＜0，－4＜t＜0，
∴当时，S有最大值.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中 可列出关于b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而求出抛物线的解析式，然后令y=0代入求出对应的x的值，从而即可求出点A的坐标，接着利用待定系数法即可求出直线AD的解析式；
（2）连接PD，作PG∥y轴交AD于点G，设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），PG可用含t的代数式表示出来，则平行四边形APED的面积S=2S△APD可用含t的代数式表示出来，再配成顶点式，根据二次函数的性质可求解.
29．【答案】（1）（2，3）；（0，-1）
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b
解之：
∴y=2x-1
∵过点A并与AC垂直的直线记为BD，
∴kBD=-
设直线BD的解析式为：y=-x+m
∵直线BD经过点A（2，3）
∴3=-×2+m
解之：m=4
∴直线BD的解析式为：y=-x+4
（3）存在
理由：菱形DERP时
P1（，0），Q1（0，），R1（4-，-1）
菱形DREP时
P2（，0），Q2（0，），R2（，-1）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；菱形的性质；旋转的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】解答：（1）∵y = x 2 + 4 x 1
∴y=-（x-2）2+3
∴点A的坐标为（2，3）
当x=0时，y=-1
∴点C的坐标为（0，-1）
故答案为：（2，3），（0，-1）
【分析】（1）利用配方法将抛物线化成顶点式，可得出点A的坐标，再求出当x=0时的函数值，即可得出点C的坐标。
（2）根据点A、C的坐标求出直线AC的函数解析式，再根据直线BD与直线AC垂直，可得出BD的比例系数，再根据点A的坐标就可求得直线BD的函数解析式。
（3）根据菱形DERP，可得P，R的坐标，根据菱形DREP，可得R，P的坐标，根据点A和点P的坐标，可得直线AP，根据AP⊥AQ，可得直线AQ，根据AQ的自变量为0，可得点Q点的坐标。
30．【答案】（1）解： 轴，点 ，
，
又∵抛物线经过 ，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：设点 ，则点 ，
∴
，
∴ 时， ；
（3）解：线段 与 能相互平分.理由如下：如图，连接
∵线段 与 相互平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ 或
当 时，则
为 的中点，
∴点E的坐标为
当 时， 则
为 的中点，
∴点E的坐标为
∴点E的坐标为 或 .
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据AB⊥x轴可得点A、B的横坐标均为-4，将x=-4代入y=x中求出y，据此可得点A的坐标，将点A的坐标及（-2，5）代入y=ax2+bx中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（t，-t2-t），则D（t，t），表示出PD，然后根据三角形的面积公式可得S，接下来结合二次函数的性质可得S的最大值；
（3）连接BD，则四边形ABDP是平行四边形，得到PD=AB，据此可得t的值，进而得到点D的坐标，然后由E为AD的中点就可得到点E的坐标.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步练习
一、单选题
1．（2016九上·济宁期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（　　）
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是x=1，
设另一交点为（x，0），
﹣1+x=2×1，
x=3，
∴另一交点坐标是（3，0），
∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，
故本选项正确．
故选D．
【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，与y轴的交点在正半轴可得c是正数，根据二次函数的增减性可得B选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x轴的一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，从而得解．
2．（2021九上·天桥期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≥am2＋bm(m是任意实数)．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①不符合题意；
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴b＞a+c，所以②不符合题意；
当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b），所以④符合题意．
故答案为：B．
【分析】由抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴x=可得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＞0，据此判断①；由图象可知当x=-1时，y=，当x=2时，y=4a+2b+c＞0据此判断②③；由于抛物线的对称轴为直线x=1，可知x=1时，y有最大值a+b+c，即得a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），据此判断④.
3．（2021九上·温州期末）二次函数 的图象 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 ，1＞0，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∵由函数图象可知，二次函数的最大值为3，
∴当 时， ，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的性质可求出二次函数的最小值；利用x的取值范围可得到函数的最大值，由此可得到y的取值范围.
4．（2021九上·温州期末）二次函数 的部分图象如图所示，当 时，函数值 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象过点（0，2），（2，0），对称轴为x=0.5，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），将点（0，2）代入解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2），整理得：y=-x2+x+2，
∴ymax=-0.52+0.5+2=，
∴当x＞0时，y≤.
故答案为：A.
【分析】由图象可得二次函数过点（0，2），（2，0），再通过对称轴x=0.5求出另一个交点为（-1，0），利用待定系数法求出二次函数解析式；当x＞0时，y最大值为顶点坐标的纵坐标，因此求出顶点坐标纵坐标即可解答.
5．（2021九上·沈河期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：
①4a﹣2b+c＞0；②2a+b＝0；③当y＜0时，﹣1＜x＜3；④若m是实数，且m≠1，则a（m2﹣1）+bm＜b．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当x=-2时，y＜0，
∴，故①不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴，
∴，故②符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当y＞0时，-1＜x＜3，当y＜0时，x＞3或x＜-1，故③不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，抛物线有最大值，即a+b+c，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】由函数图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，据此判断①；由图象知抛物线的对称轴为直线x＝=1，据此判断②；由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），根据图象可知当-1＜x＜3时函数图象在x轴上方，据此判断③；由于当x=1时，抛物线有最大值，即y=a+
b+c，从而得出，据此判断④即可.
6．（2021九上·邗江期末）函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象的对称轴为直线x=
，a=-1<0，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），-1<1<2，
∴y1＞y2，
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数的解析式求出对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此进行比较.
7．（2021九上·普陀期末）已知函数 的对称轴为直线 ．若 是方程 的两个根，且 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、由图象可知抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧， 是方程
的两个根，
∴x1x2＜0，故A不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴为直线x=-4， ，
∴x2到对称轴的最大距离约为|-4-2|=6，最小距离约为|-4-1|=5，
∴x2的取值范围为-4-6＜x2＜-4-5即-10＜x2＜-9，故B符合题意；
C、∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c
∴b2-4ac＞0，故C不符合题意；
D、∵抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，交于y轴的负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】观察函数图象，可知抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧，可对A，C作出判断；再根据抛物线的对称性，对称轴和x2的取值范围，可得到x1的取值范围，可对B作出判断；然后根据抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，交于y轴的负半轴，可确定出a，b，c的取值范围，即可得到abc的取值范围，可对D作出判断.
8．（2021九上·荔湾期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（　　）
A．若y4＞y3，则a＞0 B．对称轴不可能是直线x＝2.7
C．y1＜y4 D．3a+b＜0
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当时，抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
若，时，，不符合题意；
B、当对称轴为直线时，，
若则，不符题意，
若则，正确，
不符合题意；
C、若，当抛物线对称轴为直线时，，
对称轴直线时满足题意，
此时，
，
若，当抛物线对称轴为直线时，，
当时，符合题意；
D、，
，
，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断。
9．（2021九上·无棣期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -3 m 1 0 -3 …
有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③关于x的方程的根为-3和-1；④当时，x的取值范围是．其中正确的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝ 2，故②符合题意；
抛物线的顶点坐标是（ 2，1），有最大值，故抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，故①符合题意；
由抛物线关于直线x＝ 2对称知，当y＝0时，x＝ 1或x＝ 3，故方程ax2＋bx＋c＝0的根为 3和 1，故③符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是 3＜x＜ 1，故④不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断出各个小题中的结论是否成立，本题得以解决。
10．（2021九上·吴兴期末）已知一元二次方程2x2+bx 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx 1的图象上有三个点（0，y1）、（ 1，y2）、（ y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：一元二次方程2x2+bx-1＝0的一个根是1，
∴2+b-1=0，
∴b=-1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2-x-1，
∴当x=0时，y1=-1，
当x=-1时，y2=2，
当x=时，y3=-，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：C.
【分析】把x=1代入方程得出b=-1，从而得出二次函数的解析式为y＝2x2-x-1，分别求出y1，y2，y3的值，再进行比较，即可得出答案.
二、填空题
11．（2018九上·郑州期末）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种　 　棵橘子树，橘子总个数最多．
【答案】10
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有（x+100）棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，∴这时平均每棵树就会少结5x个橘子，则平均每棵树结（600﹣5x）个橘子．∵果园橘子的总产量为y，∴则 ，
∴当 棵时，橘子总个数最多．
故答案为：10．
【分析】此题的等量关系为：果园橘子的总产量=果园橘子树的数量×每棵树结橘子的数量，就可求出y与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质，可求解。
12．（2021九上·南充期末）若二次函数 在 时的最小值为6，那么m的值是　 　.
【答案】 或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由二次函数
可知对称轴为直线
，
∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为
，
∵二次函数
在
时的最小值为6，
然后可分①当m+1＜1时，即m＜0，则有y随x的增大而减小，
∴当x=m+1时，函数有最小值，即为
，
解得：
（正根舍去），
②当m＞1时，则y随x的增大而增大，
∴当x=m时，函数有最小值，即为
，
解得：
（负根舍去），
∴综上所示：m的值是
或
；
故答案为：
或
.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，则当x=1时，函数取得最小值，为y=4，接下来分①m+1＜1，②m＞1，判断出函数在m≤x≤m+1上的增减性，结合最小值为6就可求出m的值.
13．（2021九上·南召期末）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：
二次函数y=x2+ax+4以y轴为对称轴
，即
，
二次函数解析式为
，
点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，
，
，
m-n的最大值为
.
故答案为：
.
【分析】根据二次函数的对称轴为y轴可得a=0，则y=x2+4，将P（m，n）代入可得n=m2+4，然后表示出m-n，结合二次函数的性质可得最大值.
14．（2021九上·临江期末）已知关于x的二次函数y=-4x+m，在-1≤ x≤3 的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为　 　
【答案】-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x+m=（x-2）2+m-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，最小值为m-4，
∵抛物线在-1≤ x≤3 的取值范围内最大值为7，
∴1+4+m=7，
∴m=2，
∴抛物线的最小值为m-4=-2.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x=2，最小值为m-4，再根据抛物线的性质得出当x=-1时y=7，得出m=2，即可得出抛物线的最小值为-2.
15．（2021九上·崇阳月考）已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2＋1，当1≤x≤4时，函数的最大值为　 　．
【答案】0
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y＝﹣（x﹣5）2+1，
∴该函数的开口向下，对称轴是直线x＝5，当x＜5时，y随x的增大而增大，
∵1≤x≤4，
∴当x＝4时，y取得最大值，此时y＝﹣（4﹣5）2+1＝0.
故答案为：0.
【分析】根据二次函数解析式可得函数图象开口向下，对称轴是直线x＝5，当x＜5时，y随x的增大而增大，据此解答.
16．（2021九上·镇平县期末）若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，则抛物线的解析式为　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵两个交点间的距离为2，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴两个交点的坐标为：，，
将两个点代入抛物线解析式可得：，
解得：，
∴解析式为：，
故答案为：.
【分析】根据抛物线与x轴的两个交点间的距离和对称轴的值可得两个交点的坐标，把两个点的坐标代入解析式可得关于a、b的方程组，解方程组可求解.
17．（2021九上·邗江期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … m -1 -1 n t …
当x= 时，与其对应的函数值 .有下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是 和 ；④ .其中，正确的结论是　 　.
【答案】①③
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据题意得：函数图象的对称轴为 ，即 ，
∴ 异号，
∴ ，
∵当
时，
，即
，
∴ ，故①正确；
②∵ ，
∴ ，
当
时，
，
解得：
，
∴二次函数图象开口向上，
∴图象在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，故②错误；
③∵二次函数图象的对称轴为
，
∴点
关于对称轴的对称点为
，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是
和
，故③正确；
④当
时，
，当
时，
，
∴ ，故④错误，
∴正确的结论是①③.
故答案为：①③.
【分析】根据表格可得函数图象过点（0，-1）、（1，-1），求出中点坐标可得对称轴，结合对称轴方程可得ab<0，根据y=-1可得c=-1<0，据此判断①；根据对称轴方程可得b=-a，根据x= 对应的函数值为正可得a的范围，判断出函数图象的开口方向，据此判断②；根据对称性求出点（ ，t）关于对称轴的对称点，据此判断③；根据x=-1、x=2的函数值可得m=a-b-1，n=4a+2b-1，表示出m+n，结合a的范围可判断④.
18．（2021九上·廉江期末）已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是　 　．（填写序号）
【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．
故①结论符合题意；
②对称轴为：．
故②结论符合题意；
③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2，
故③结论不符合题意；
④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
故④结论符合题意．
故答案是：①②④．
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答。
19．（2021九上·红桥期末）当时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
【答案】m≤2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式的二次项系数是-1，
∴该二次函数的开口方向是向下
又二次函数的解析式的对称轴为x=m且当时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小
∴m≤2
故答案为m≤2.
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，二次函数的对称轴，再根据时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，求出 m的取值范围 。
20．（2021九上·青浦期末）如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a　 　0．（填“＜”或“＞”）
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴函数图象的开口向上，
∴a＞0，
故答案为：＞．
【分析】先求出函数图象的开口向上，再求解即可。
三、解答题
21．（2021九上·淮南月考）求抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．
【答案】解：抛物线 y＝x2﹣x＋1，
抛物线的对称轴方程为：
则函数图象的开口向上，
当时，
当时，
当时，
而
所以抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出x=1，再计算求解即可。
22．（2021九上·萧山月考）已知点（0，3）在二次函数 的图象上，且当 时，函数 有最小值2，这个二次函数的表达式。
【答案】解：∴点（1，2）为抛物线的顶点，
于是可设抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2，把（0，3）代入得，
a+2＝3，
∴a＝1，
∴抛物线的关系式为y＝（x﹣1）2+2，
即y＝x2﹣2x+3；
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式设函数解析式，代入已知点坐标求出a值，即可解答.
23．（2021九上·永吉期中）求抛物线 的顶点坐标，并直接写出 随 增大而增大时自变量 的取值范围．
【答案】解：∵y=x2-2x= x2-2x +1-1=（x-1）2-1，
∴该函数的顶点坐标为（1，-1），
∵a=1>0
∴抛物线开口向上，
又抛物线对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】先求出 该函数的顶点坐标为（1，-1）， 再求出 抛物线开口向上， 最后求解即可。
24．（2021九上·淮南月考）把抛物线y＝ax2+bx+c先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是y＝x2﹣3x+5，求a+b+c的值．
【答案】解： ，当 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线 的图象，
，
．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】将得到的抛物线解析式转变为顶点式，即可得到顶点的坐标，根据平移的性质，求出平移前的抛物线的解析式，计算得到答案即可。
四、综合题
25．（2021九上·舟山期末）某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售猕猴桃，已知猕猴桃的成本价格为8元／kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元／kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，销售单价不低于成本价且不高于24元／kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）.
x（元／kg） 9 10 11
y(kg) 2100 2000 1900
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利w最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设y=kx+b
则
∴
∴
（2）解：由题意得：
∴对称轴为x=19
∵，a=-100<0
∴当x=19，即 销售单价定为19时，销售这种猕猴桃日获利w最大，最大利润为12100元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由待定系数法，得出结果。
（2）由二次函数配方法，得出，从而得出结果。
26．（2021九上·舟山期末）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
（2）解：-1＜x＜3
（3）解：①当时
当x=a+1时，y取到最小值，最小值为
∴
②当时
当x=1时，y取到最小值，最小值为
∴a=-1（舍）
③当时
当x=a时，y取到最小值，最小值为
∴
综上所述：a= 或a=
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】（1）由对称轴和与x轴交点坐标，得出结果。
（2）由与x轴交点坐标，根据图像，得出结果。
（3）由x的取值范围能否包括对称轴，进行分类讨论，在每一种情况下，根据图形的单调性，得出方程，得出结果。
27．如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．
（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式;
（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标;
（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在y1=（x2﹣2x﹣3）中，令y1=0，则有0=（x2﹣2x﹣3），解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），又∵C为与y轴的交点，∴C（0，），又曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称，
∴曲线y2可由曲线y1关向右平移4个单位得到，
∴y2=(X2-10X+21)（x≥3）
（2）解：
若AD垂直平分CM，则可知CDMA为菱形，此时点M（1，0），显然不在y2上；
故直线CM垂直平分AD，取AD中点P，易求其坐标为（1，），
故直线CN的解析式为：yCN=x-，
求其与y2的交点坐标：，
解得：x1=，x2=（不合舍去），
∴x=
（3）解：
因为MN的长度固定，故点P到MN的距离最大时，△PMN的面积最大，
∴可设另一直线y=x+b与y2相交于点P，很显然它们只有一个交点时，满足条件．
即：只有唯一一个解的时候，这个点就是点P，
即方程x+b=（x2﹣10x+21）有唯一一个解，
解得：x=，
将x=代入y2=(X2-10X+21)，解得y=,
故点P的坐标为(，)
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）对点A、B、C坐标的意义要明白，点A与点B是二次函数与横轴的交点，点C是纵轴的交点，关于x=3意义的理解，就是将y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）进行了平移，从而可求得抛物线y2的解析式；
（2）要理解，只有当CM垂直平分AD时，才能在y2找到点M，故点M即为直线（C与AD的中点P连线）的交点；
（3）显然MN的值固定，即在y2上的点，到CM的距离最大的点，即与CM平行的直线与y2只有一个交点时，即为所求．
28．（2021九上·镇平县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点.
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值.
【答案】（1）解：将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中，得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4
在y＝－x2－3x＋4中，
令y＝0，即，解得x1＝－4，x2＝1，
∴A（－4，0）.
设直线AD的解析式为y＝kx＋b'.
∵D（0，2），
∴，
解得：
∴直线AD的解析式为.
（2）解：连接PD，作PGy轴交AD于点G，如图所示.
设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），则G（t，），
∴，
∴，
.
∵－4＜0，－4＜t＜0，
∴当时，S有最大值.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中 可列出关于b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而求出抛物线的解析式，然后令y=0代入求出对应的x的值，从而即可求出点A的坐标，接着利用待定系数法即可求出直线AD的解析式；
（2）连接PD，作PG∥y轴交AD于点G，设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），PG可用含t的代数式表示出来，则平行四边形APED的面积S=2S△APD可用含t的代数式表示出来，再配成顶点式，根据二次函数的性质可求解.
29．（2018·江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数 图象的顶点，图象与 轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与 轴和 轴的交点，点E是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．
（1）点A的坐标为　 　，点C的坐标为　 　；
（2）求直线BD的表达式；
（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2，3）；（0，-1）
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b
解之：
∴y=2x-1
∵过点A并与AC垂直的直线记为BD，
∴kBD=-
设直线BD的解析式为：y=-x+m
∵直线BD经过点A（2，3）
∴3=-×2+m
解之：m=4
∴直线BD的解析式为：y=-x+4
（3）存在
理由：菱形DERP时
P1（，0），Q1（0，），R1（4-，-1）
菱形DREP时
P2（，0），Q2（0，），R2（，-1）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；菱形的性质；旋转的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】解答：（1）∵y = x 2 + 4 x 1
∴y=-（x-2）2+3
∴点A的坐标为（2，3）
当x=0时，y=-1
∴点C的坐标为（0，-1）
故答案为：（2，3），（0，-1）
【分析】（1）利用配方法将抛物线化成顶点式，可得出点A的坐标，再求出当x=0时的函数值，即可得出点C的坐标。
（2）根据点A、C的坐标求出直线AC的函数解析式，再根据直线BD与直线AC垂直，可得出BD的比例系数，再根据点A的坐标就可求得直线BD的函数解析式。
（3）根据菱形DERP，可得P，R的坐标，根据菱形DREP，可得R，P的坐标，根据点A和点P的坐标，可得直线AP，根据AP⊥AQ，可得直线AQ，根据AQ的自变量为0，可得点Q点的坐标。
30．（2021九上·鄂城期末）如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解： 轴，点 ，
，
又∵抛物线经过 ，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：设点 ，则点 ，
∴
，
∴ 时， ；
（3）解：线段 与 能相互平分.理由如下：如图，连接
∵线段 与 相互平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ 或
当 时，则
为 的中点，
∴点E的坐标为
当 时， 则
为 的中点，
∴点E的坐标为
∴点E的坐标为 或 .
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据AB⊥x轴可得点A、B的横坐标均为-4，将x=-4代入y=x中求出y，据此可得点A的坐标，将点A的坐标及（-2，5）代入y=ax2+bx中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（t，-t2-t），则D（t，t），表示出PD，然后根据三角形的面积公式可得S，接下来结合二次函数的性质可得S的最大值；
（3）连接BD，则四边形ABDP是平行四边形，得到PD=AB，据此可得t的值，进而得到点D的坐标，然后由E为AD的中点就可得到点E的坐标.
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