2022-2023学年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1．（2022九上·福建竞赛）已知二次函数 的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若 ，且△ABC的面积为3，则a+b（ ）
A．3 B．-5 C．-3 D．5
2．（2021九上·燕山期末）在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2021九上·东莞期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
4．（2021九上·莱芜期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·龙江期末）如图，已知抛物线
与直线
交于
，
两点，则关于x的不等式
的解集是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
6．（2021九上·淮北月考）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．（2021九上·密云期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．S=4x+6 B．S=4x-6 C．S=x2+3x D．S=x2-3x
8．（2021九上·北京月考）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
9．（2020九上·垦利期末）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
10．（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
二、填空题
11．（2021九上·江油期末）如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为 米．
12．（2021九上·栖霞期中）如图，若被击打的小球飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为 ．
13．（2021九上·朝阳期末）某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元．
14．（2021九上·淮北月考）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是
15．（2021九上·普陀期末）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 的半径为2． 为 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为 ， 的最大值为 ．
16．（2021九上·吴兴期末）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作 FH⊥AD，垂足为H，连结AF. 在整个变化过程中，△AEF 面积的最大值是 ．
17．（2021九上·青浦期末）如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为 ．
18．（2021九上·邗江期末）如图是二次函数y=-x2+bx+c的部分图象，若 ，则x的取值范围是 .
19．（2021九上·历下期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
20．（2021九上·崂山期末）写出一组a，b的值，使二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，则a，b的值可以是a＝ ，b＝ ．
三、解答题
21．（2021九上·巢湖月考）已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
22．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？
23．（2017九上·江津期末）根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式 的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可） ；
②求得界点，标示所需：当 时，求得方程 的解为 ；并用虚线标示出函数y= 图象中 ＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式 ＜0的解集为 ．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式 -3≥0的解集．
四、综合题
24．（2021九上·海珠期末）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．
25．（2021九上·历下期末）如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值．
26．（2021九上·集贤期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
27．（2021九上·温州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线 交直线 于点 ．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在直线 上方的抛物线上是否存在点P，使得 ，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
28．（2021九上·拱墅期中）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长 ，直角三角形较短边长 ，且 ，大正方形的面积为 .
（1）求 关于 的函数关系式.
（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求 的值.
29．（2021九上·鄂城期末）绿色生态农场生产并销售某种有机生态水果.经市场调查发现，该生态水果的周销售量y（千克）是销售单价x（元/千克）的一次函数.其销售单价、周销售量及周销售利润w（元）的对应值如表.请根据相关信息，解答下列问题：
销售单价x（元/千克） 40 50
周销售量y（千克） 180 160
周销售利润w（元） 1800 3200
（1）这种有机生态水果的成本为 元/千克；
（2）求该生态水果的周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
（3）若农场按销售单价不低于成本价，且不高于60元/千克销售，则销售单价定为多少，才能使销售该生态水果每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
30．（2021九上·遂宁期末） 524红薯富含膳食纤维，维生素（A，B，C，D，E）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱.
（1）写出每天的利润 与降价 元的函数关系式；
（2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？
（3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？
31．（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
32．（2021九上·永吉期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 ．求：
（1）铅球在行进中的最大高度；
（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：依题意 为方程 的两根，且 .
所以 ， .
所以 ，
所以 面积 .
解得 ，经检验符合题意，
.
因为函数 的图象与x轴有两个不同交点，因此 ， ， 符合要求.
所以 .
故答案为：C.
【分析】易得x1+x2=4，x1x2=，则AB=|x1-x2|= ，根据三角形的面积公式可得a的值，然后求出b的值，据此计算.
2．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：，，
所以方程的近似解是，.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根即可。
3．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：当或时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式的解集为或．
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故答案为：C．
【分析】逐项分析，根据二次函数的图象的开口方向一级对称轴于y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论。
5．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可知当x=-3和x=1时，
再结合图像可知当
时，
．
故答案为：C．
【分析】结合图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
6．【答案】A
【知识点】轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由知，当时，即
解得：
作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图象由的图像关于x轴对称得到
当时对应的解析式为
即，整理得：
综上所述或
故答案是：A．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再画出草图，然后联立抛物线和一次函数的解析式，再利用根的判别式判断即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm
由题意得：S=x（x+3）=x2+3x.
故答案为：C.
【分析】设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm，根据矩形的面积公式可得S=x（x+3）=x2+3x.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），
则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，
商品利润为y＝（10+x）（200﹣10x）．
故答案为：D．
【分析】根据题意中的等量关系，列出方程即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故答案为：C．
【分析】先求出w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，再计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y= =2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中.
故答案为：C.
【分析】以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点C，B的坐标，设函数解析式为y=ax2+3.5，将点B代入可求出函数解析式；再求出当x=-2.5时的y的值，即可求解.
11．【答案】14
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为M（6，3.2），经过点A（0，1.4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，
把点A（0，1.4）的坐标代入y=a（x-6）2+3.2，得36a+3.2=1.4，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x-6）2+3.2，
令y=0，则-（x-6）2+3.2=0，
∴x=14或x=-2（不符合题意，舍去）
∴点C的坐标为（14，0），
∴点C距守门员的水平距离为14米.
故答案为：14.
【分析】根据题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点C的坐标，即可得出答案.
12．【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意，令 得：
∴
得：
解得： （舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【分析】先求出，再解方程求解即可。
13．【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：
根据函数图象性质可知在x=3时，y最大且取值为2
故答案为：2．
【分析】将一般式化为顶点式，再利用抛物线的性质求解即可。
14．【答案】（1）16
（2）9＜x＜
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
则：，
解得：，
∴第天的销售额最大，
故答案为：；
（2）∵y=-（x-h）2+k，
则，y随x增大而增大，
，y随x增大而减小，且x为整数，
则，解得，
∵当月中旬日销售额达到最大值，
则，
综上：．
【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可。
15．【答案】3；
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
当y=0时 ，
解之：x1=-4，x2=4，
∴点A（-4，0），点B（4，0），
∴OB=OA=4，
当x=0时y=3，
∴点C（0，3）
∴OC=3；
∵圆C的半径为2，
∴CG=2，
∵点P为AG的中点，点O为AB的中点，
∴，
∴当BG最大时OP的值最大，
∴当点B，C，G在同一直线上时，BG最大即OP的值最大，
在Rt△BOC中
∴BG=CG+BC=2+5=7
∴OP的最大值为；
如图，
连接AC交圆C于点G1，则点G与点G1重合，此时AG的长最短，
∵OC垂直平分AB，
∴AC=BC=5，
∴AG的最小值为5-2=3.
故答案为：3，.
【分析】利用函数解析式，由y=0可求出点A，B的坐标，从而可求出OA，OB的长；由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，即可得到OC的长；再利用三角形的中位线定理可证得；当BG最大时OP的值最大，当点B，C，G在同一直线上时，BG最大即OP的值最大，利用勾股定理可求出BG的长，即可得到OP的最大值；连接AC交圆C于点G1，则点G与点G1重合，此时AG的长最短，可得到AC的长，然后求出AG的最小值.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD和正方形CEFG，FH⊥AD，
∴EF=CE，∠D=∠EHF=∠FEC=90°，
∴∠EFH+∠FEH=90°，∠FEH+∠CED=90°，
∴∠EFH=∠CED，
在△EFH和△EDC中
∴△EFH≌△EDC（AAS）
∴ED=FH，
设AE=a，则ED=FH=3-a，
∴，
∵a=＜0，抛物线的开口向下，
∴当x=时△AEF的面积的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质和垂直的定义可证得EF=CE，∠D=∠EHF=∠FEC=90°，利用余角的性质可证得∠EFH=∠CED；再利用AAS证明△EFH≌△EDC，利用全等三角形的对应边相等可证得ED=FH；设AE=a，则ED=FH=3-a，利用三角形的面积公式可得到△AEF的面积与a之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出此三角形面积的最大值.
17．【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】一次函数与y轴的交点为（0，k），与x轴的交点为（1，0）
绕O点逆时针旋转90°后，与x轴的交点为（-k，0）
即（0，k），（1，0），（-k，0）过抛物线（）
即
得
将代入有
整理得
解得k=3或k=-1（舍）
将k=3代入得
故方程组的解为
则一次函数的解析式为
故答案为：．
【分析】先求出，再求出k=3或k=-1（舍），最后求函数解析式即可。
18．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-1，0）和（5，0），
∴ 时，x的取值范围为
.
故答案为：
.
【分析】首先根据抛物线的对称性求出图像与x轴的另一个交点的坐标，然后找出图像在x轴上或x轴上方部分所对应的x的范围即可.
19．【答案】x1＝-1，x2＝5
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：x1＝-1，x2＝5
故答案为：x1＝-1，x2＝5
【分析】设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x，根据二次函数图象的对称性可求出方程的解。
20．【答案】-1；0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】依题意，且
故的值可以是（答案不唯一）
故答案为：-1，0
【分析】 要使图象与x轴有两个不同的交点 ，可得，然后写出满足△＞0时a、b的值即可（答案不唯一）.
21．【答案】解：y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
当x＝0时，y＝﹣3，
所以图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
当y＝0时，则有x ﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，
即图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】先求出 图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 再求出 x＝3或x＝﹣1， 最后求点的坐标即可。
22．【答案】解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得
﹣32+2×3+m=0
解得，m=3 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得
﹣x2+2x+3=0，②
解②，得
x1=3，x2=﹣1
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0，求根即可
23．【答案】（1）；；
（2）解：函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（1）二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
【分析】（1）①根据不等式的性质，补全二次函数的图象。
②求得当y=0时，方程的解，并标出y＜0的图像。
（2）当y=0时，解出函数的值，由图像写出解集。
24．【答案】（1）解：将点A（1，4）代入y=-2x+m，
∴-2+m=4，
∴m=6，
∴y=-2x+6，
令y=0，则x=3，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，
将B（3，0）代入y=a（x-1）2+4，
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）解：设P（0，t），
∵A（1，4），B（3，0），
∴AB=，AB的中点M（2，2），
∵∠APB=90°，
∴MP=，
∴4+（t-2）2=5，
∴t=1或t=3，
∴P点坐标为（0，1）或（0，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）设P（0，t），则可求出AB=，AB的中点M（2，2），再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可以得出4+（t-2）2=5，解出t的值即可得出点P的坐标。
25．【答案】（1）解：∵AB边的长为x米，
∴BC边的长为（36-2x）米，
由题意，得S=AB BC=x（36-2x）=-2x2+36x，
x>0，36-2x>0，
即0＜x＜18，
∴S与x之间的函数关系式为S=-2x2+36x（0＜x＜18）
（2）解：S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，
∵a=-2＜0，
∴当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)因 AB边的长为x米，则BC边的长为（36-2x）米，根据题意可得S与x的关系，再根据题意确定自变量的取值范围；
（2）利用配方法求出函数的最大值，并判断x的取值是否在自变量的取值范围内。
26．【答案】（1）2；一次函数
（2）解：①由题意可得：，
△PCQ的面积
故答案为：
②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为
∴当时，S取得最大值，最大值为6
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①运动停止时，分别到达终点C点和B点，
故答案为
②由题意可得：，，即，∴y与t满足一次函数的关系
故答案为一次函数
【分析】（1）①求出即可作答；
②先求出，，再求出，最后求解即可；
（2）①利用三角形的面积公式计算求解即可；
②先求出 ，开口向下，对称轴为 ，再求解即可。
27．【答案】（1）解：∵点C在直线 上，
∴把 代入 得， ，解得
∴直线 ，由
得， ，解得
∴B坐标为
将 代入 得 ，解得 ∴抛物线的解析式为
（2）解：∵点P在抛物线 上，∴设点
∵点P在直线 上方的抛物线上，∴
对于直线 ，由 ，得 ，∴
∴ ，
∴ ，解得 （舍弃）， ∴P坐标是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入一次函数解析式，可得到k的值，由此可求出一次函数解析式；由y=0可求出x的值，可得到点B的坐标，再将点B，C的坐标代入二次函数解析式，可求出a，b的值，即可得到二次函数解析式.
（2）利用二次函数解析式设点 ，根据点P在直线 上方的抛物线上，可得到m的取值范围，利用一次函数解析式求出点A的坐标，分别表示出△PAO和△PBO的面积，根据两三角形的面积相等，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点P的坐标.
28．【答案】（1）解： 小正方形的边长 ，直角三角形较短边长 ，
直角三角形较长边长为 ，
由勾股定理得： ，
，
，
.
，
.
关于 的函数关系式为 .
（2）解： ，
时， 随 的增大而增大，
时， 取最大.
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 （1）分别用m和n表示出直角三角形的两条直角边长，再根据n＝2m 4将n换成m，然后用勾股定理得出S的表达式并求得m的取值范围即可；
（2）将（1）中二次函数的表达式配方，根据二次函数的性质及m的取值范围可得答案．
29．【答案】（1）30
（2）解：设 依题意得：
解得
∴
（3）解：依题意得
∵∴当 时，
即单价定为60元/千克时获得最大利润4200元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设有机生态水果的成本为m元/千克，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：30 ；
【分析】（1）有机生态水果的成本为m元/千克，根据(售价-成本)×周销售量=周销售利润建立方程，求解即可；
（2）设y=kx+b，将（40，180）、（50，160）代入求出k、b，进而可得函数关系式；
（3）根据(售价-成本)×周销售量=周销售利润可得w关于x的函数关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
30．【答案】（1）解：
（2）解：
，
（3）解：
解得：
答：应降价5元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得降价x元时，每天可多销售50x箱，实际每天可销售(500+50x)箱，每箱的利润为(48-30-x)元，然后根据每箱的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式；
（2）将（1）中的关系式化为顶点式，然后结合二次函数的性质可得最大利润；
（3）令（1）中关系式中的W=9750，求出x的值即可.
31．【答案】（1）解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝a +3.5，
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）.
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为 .
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得 ，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2× +3.5，
∴h＝0.2（m）.
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）观察图象可知顶点坐标，设抛物线的表达式为y= ax2+3.5，再对照图象找出一点坐标，利用待定系数法求a的值，即可求出抛物线的表达式；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则图象经过点(-2.5，h+2.05)，代入函数式，建立关于h的方程求解即可.
32．【答案】（1）解：
∵
∴y的最大值为3
∴铅球在行进中的最大高度为
（2）解：令 得：
解方程得， ， （负值舍去）．
∴该男生把铅球推出的水平距离是 ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据函数解析式求出 y的最大值为3 ，再求解即可；
（2）先求出 ，再解方程即可。
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1．（2022九上·福建竞赛）已知二次函数 的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若 ，且△ABC的面积为3，则a+b（ ）
A．3 B．-5 C．-3 D．5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：依题意 为方程 的两根，且 .
所以 ， .
所以 ，
所以 面积 .
解得 ，经检验符合题意，
.
因为函数 的图象与x轴有两个不同交点，因此 ， ， 符合要求.
所以 .
故答案为：C.
【分析】易得x1+x2=4，x1x2=，则AB=|x1-x2|= ，根据三角形的面积公式可得a的值，然后求出b的值，据此计算.
2．（2021九上·燕山期末）在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：，，
所以方程的近似解是，.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根即可。
3．（2021九上·东莞期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：当或时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式的解集为或．
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
4．（2021九上·莱芜期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故答案为：C．
【分析】逐项分析，根据二次函数的图象的开口方向一级对称轴于y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论。
5．（2021九上·龙江期末）如图，已知抛物线
与直线
交于
，
两点，则关于x的不等式
的解集是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可知当x=-3和x=1时，
再结合图像可知当
时，
．
故答案为：C．
【分析】结合图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
6．（2021九上·淮北月考）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【知识点】轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由知，当时，即
解得：
作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图象由的图像关于x轴对称得到
当时对应的解析式为
即，整理得：
综上所述或
故答案是：A．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再画出草图，然后联立抛物线和一次函数的解析式，再利用根的判别式判断即可。
7．（2021九上·密云期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．S=4x+6 B．S=4x-6 C．S=x2+3x D．S=x2-3x
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm
由题意得：S=x（x+3）=x2+3x.
故答案为：C.
【分析】设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm，根据矩形的面积公式可得S=x（x+3）=x2+3x.
8．（2021九上·北京月考）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），
则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，
商品利润为y＝（10+x）（200﹣10x）．
故答案为：D．
【分析】根据题意中的等量关系，列出方程即可。
9．（2020九上·垦利期末）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故答案为：C．
【分析】先求出w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，再计算求解即可。
10．（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y= =2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中.
故答案为：C.
【分析】以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点C，B的坐标，设函数解析式为y=ax2+3.5，将点B代入可求出函数解析式；再求出当x=-2.5时的y的值，即可求解.
二、填空题
11．（2021九上·江油期末）如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为 米．
【答案】14
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为M（6，3.2），经过点A（0，1.4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，
把点A（0，1.4）的坐标代入y=a（x-6）2+3.2，得36a+3.2=1.4，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x-6）2+3.2，
令y=0，则-（x-6）2+3.2=0，
∴x=14或x=-2（不符合题意，舍去）
∴点C的坐标为（14，0），
∴点C距守门员的水平距离为14米.
故答案为：14.
【分析】根据题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点C的坐标，即可得出答案.
12．（2021九上·栖霞期中）如图，若被击打的小球飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意，令 得：
∴
得：
解得： （舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【分析】先求出，再解方程求解即可。
13．（2021九上·朝阳期末）某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元．
【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：
根据函数图象性质可知在x=3时，y最大且取值为2
故答案为：2．
【分析】将一般式化为顶点式，再利用抛物线的性质求解即可。
14．（2021九上·淮北月考）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是
【答案】（1）16
（2）9＜x＜
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
则：，
解得：，
∴第天的销售额最大，
故答案为：；
（2）∵y=-（x-h）2+k，
则，y随x增大而增大，
，y随x增大而减小，且x为整数，
则，解得，
∵当月中旬日销售额达到最大值，
则，
综上：．
【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可。
15．（2021九上·普陀期末）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 的半径为2． 为 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为 ， 的最大值为 ．
【答案】3；
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
当y=0时 ，
解之：x1=-4，x2=4，
∴点A（-4，0），点B（4，0），
∴OB=OA=4，
当x=0时y=3，
∴点C（0，3）
∴OC=3；
∵圆C的半径为2，
∴CG=2，
∵点P为AG的中点，点O为AB的中点，
∴，
∴当BG最大时OP的值最大，
∴当点B，C，G在同一直线上时，BG最大即OP的值最大，
在Rt△BOC中
∴BG=CG+BC=2+5=7
∴OP的最大值为；
如图，
连接AC交圆C于点G1，则点G与点G1重合，此时AG的长最短，
∵OC垂直平分AB，
∴AC=BC=5，
∴AG的最小值为5-2=3.
故答案为：3，.
【分析】利用函数解析式，由y=0可求出点A，B的坐标，从而可求出OA，OB的长；由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，即可得到OC的长；再利用三角形的中位线定理可证得；当BG最大时OP的值最大，当点B，C，G在同一直线上时，BG最大即OP的值最大，利用勾股定理可求出BG的长，即可得到OP的最大值；连接AC交圆C于点G1，则点G与点G1重合，此时AG的长最短，可得到AC的长，然后求出AG的最小值.
16．（2021九上·吴兴期末）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作 FH⊥AD，垂足为H，连结AF. 在整个变化过程中，△AEF 面积的最大值是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD和正方形CEFG，FH⊥AD，
∴EF=CE，∠D=∠EHF=∠FEC=90°，
∴∠EFH+∠FEH=90°，∠FEH+∠CED=90°，
∴∠EFH=∠CED，
在△EFH和△EDC中
∴△EFH≌△EDC（AAS）
∴ED=FH，
设AE=a，则ED=FH=3-a，
∴，
∵a=＜0，抛物线的开口向下，
∴当x=时△AEF的面积的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质和垂直的定义可证得EF=CE，∠D=∠EHF=∠FEC=90°，利用余角的性质可证得∠EFH=∠CED；再利用AAS证明△EFH≌△EDC，利用全等三角形的对应边相等可证得ED=FH；设AE=a，则ED=FH=3-a，利用三角形的面积公式可得到△AEF的面积与a之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出此三角形面积的最大值.
17．（2021九上·青浦期末）如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】一次函数与y轴的交点为（0，k），与x轴的交点为（1，0）
绕O点逆时针旋转90°后，与x轴的交点为（-k，0）
即（0，k），（1，0），（-k，0）过抛物线（）
即
得
将代入有
整理得
解得k=3或k=-1（舍）
将k=3代入得
故方程组的解为
则一次函数的解析式为
故答案为：．
【分析】先求出，再求出k=3或k=-1（舍），最后求函数解析式即可。
18．（2021九上·邗江期末）如图是二次函数y=-x2+bx+c的部分图象，若 ，则x的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-1，0）和（5，0），
∴ 时，x的取值范围为
.
故答案为：
.
【分析】首先根据抛物线的对称性求出图像与x轴的另一个交点的坐标，然后找出图像在x轴上或x轴上方部分所对应的x的范围即可.
19．（2021九上·历下期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
【答案】x1＝-1，x2＝5
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：x1＝-1，x2＝5
故答案为：x1＝-1，x2＝5
【分析】设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x，根据二次函数图象的对称性可求出方程的解。
20．（2021九上·崂山期末）写出一组a，b的值，使二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，则a，b的值可以是a＝ ，b＝ ．
【答案】-1；0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】依题意，且
故的值可以是（答案不唯一）
故答案为：-1，0
【分析】 要使图象与x轴有两个不同的交点 ，可得，然后写出满足△＞0时a、b的值即可（答案不唯一）.
三、解答题
21．（2021九上·巢湖月考）已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
【答案】解：y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
当x＝0时，y＝﹣3，
所以图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
当y＝0时，则有x ﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，
即图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】先求出 图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 再求出 x＝3或x＝﹣1， 最后求点的坐标即可。
22．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？
【答案】解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得
﹣32+2×3+m=0
解得，m=3 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得
﹣x2+2x+3=0，②
解②，得
x1=3，x2=﹣1
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0，求根即可
23．（2017九上·江津期末）根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式 的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可） ；
②求得界点，标示所需：当 时，求得方程 的解为 ；并用虚线标示出函数y= 图象中 ＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式 ＜0的解集为 ．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式 -3≥0的解集．
【答案】（1）；；
（2）解：函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（1）二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
【分析】（1）①根据不等式的性质，补全二次函数的图象。
②求得当y=0时，方程的解，并标出y＜0的图像。
（2）当y=0时，解出函数的值，由图像写出解集。
四、综合题
24．（2021九上·海珠期末）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将点A（1，4）代入y=-2x+m，
∴-2+m=4，
∴m=6，
∴y=-2x+6，
令y=0，则x=3，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，
将B（3，0）代入y=a（x-1）2+4，
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）解：设P（0，t），
∵A（1，4），B（3，0），
∴AB=，AB的中点M（2，2），
∵∠APB=90°，
∴MP=，
∴4+（t-2）2=5，
∴t=1或t=3，
∴P点坐标为（0，1）或（0，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）设P（0，t），则可求出AB=，AB的中点M（2，2），再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可以得出4+（t-2）2=5，解出t的值即可得出点P的坐标。
25．（2021九上·历下期末）如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值．
【答案】（1）解：∵AB边的长为x米，
∴BC边的长为（36-2x）米，
由题意，得S=AB BC=x（36-2x）=-2x2+36x，
x>0，36-2x>0，
即0＜x＜18，
∴S与x之间的函数关系式为S=-2x2+36x（0＜x＜18）
（2）解：S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，
∵a=-2＜0，
∴当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)因 AB边的长为x米，则BC边的长为（36-2x）米，根据题意可得S与x的关系，再根据题意确定自变量的取值范围；
（2）利用配方法求出函数的最大值，并判断x的取值是否在自变量的取值范围内。
26．（2021九上·集贤期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
【答案】（1）2；一次函数
（2）解：①由题意可得：，
△PCQ的面积
故答案为：
②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为
∴当时，S取得最大值，最大值为6
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①运动停止时，分别到达终点C点和B点，
故答案为
②由题意可得：，，即，∴y与t满足一次函数的关系
故答案为一次函数
【分析】（1）①求出即可作答；
②先求出，，再求出，最后求解即可；
（2）①利用三角形的面积公式计算求解即可；
②先求出 ，开口向下，对称轴为 ，再求解即可。
27．（2021九上·温州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线 交直线 于点 ．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在直线 上方的抛物线上是否存在点P，使得 ，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵点C在直线 上，
∴把 代入 得， ，解得
∴直线 ，由
得， ，解得
∴B坐标为
将 代入 得 ，解得 ∴抛物线的解析式为
（2）解：∵点P在抛物线 上，∴设点
∵点P在直线 上方的抛物线上，∴
对于直线 ，由 ，得 ，∴
∴ ，
∴ ，解得 （舍弃）， ∴P坐标是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入一次函数解析式，可得到k的值，由此可求出一次函数解析式；由y=0可求出x的值，可得到点B的坐标，再将点B，C的坐标代入二次函数解析式，可求出a，b的值，即可得到二次函数解析式.
（2）利用二次函数解析式设点 ，根据点P在直线 上方的抛物线上，可得到m的取值范围，利用一次函数解析式求出点A的坐标，分别表示出△PAO和△PBO的面积，根据两三角形的面积相等，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点P的坐标.
28．（2021九上·拱墅期中）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长 ，直角三角形较短边长 ，且 ，大正方形的面积为 .
（1）求 关于 的函数关系式.
（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求 的值.
【答案】（1）解： 小正方形的边长 ，直角三角形较短边长 ，
直角三角形较长边长为 ，
由勾股定理得： ，
，
，
.
，
.
关于 的函数关系式为 .
（2）解： ，
时， 随 的增大而增大，
时， 取最大.
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 （1）分别用m和n表示出直角三角形的两条直角边长，再根据n＝2m 4将n换成m，然后用勾股定理得出S的表达式并求得m的取值范围即可；
（2）将（1）中二次函数的表达式配方，根据二次函数的性质及m的取值范围可得答案．
29．（2021九上·鄂城期末）绿色生态农场生产并销售某种有机生态水果.经市场调查发现，该生态水果的周销售量y（千克）是销售单价x（元/千克）的一次函数.其销售单价、周销售量及周销售利润w（元）的对应值如表.请根据相关信息，解答下列问题：
销售单价x（元/千克） 40 50
周销售量y（千克） 180 160
周销售利润w（元） 1800 3200
（1）这种有机生态水果的成本为 元/千克；
（2）求该生态水果的周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
（3）若农场按销售单价不低于成本价，且不高于60元/千克销售，则销售单价定为多少，才能使销售该生态水果每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）30
（2）解：设 依题意得：
解得
∴
（3）解：依题意得
∵∴当 时，
即单价定为60元/千克时获得最大利润4200元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设有机生态水果的成本为m元/千克，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：30 ；
【分析】（1）有机生态水果的成本为m元/千克，根据(售价-成本)×周销售量=周销售利润建立方程，求解即可；
（2）设y=kx+b，将（40，180）、（50，160）代入求出k、b，进而可得函数关系式；
（3）根据(售价-成本)×周销售量=周销售利润可得w关于x的函数关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
30．（2021九上·遂宁期末） 524红薯富含膳食纤维，维生素（A，B，C，D，E）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱.
（1）写出每天的利润 与降价 元的函数关系式；
（2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？
（3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？
【答案】（1）解：
（2）解：
，
（3）解：
解得：
答：应降价5元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得降价x元时，每天可多销售50x箱，实际每天可销售(500+50x)箱，每箱的利润为(48-30-x)元，然后根据每箱的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式；
（2）将（1）中的关系式化为顶点式，然后结合二次函数的性质可得最大利润；
（3）令（1）中关系式中的W=9750，求出x的值即可.
31．（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【答案】（1）解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝a +3.5，
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）.
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为 .
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得 ，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2× +3.5，
∴h＝0.2（m）.
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）观察图象可知顶点坐标，设抛物线的表达式为y= ax2+3.5，再对照图象找出一点坐标，利用待定系数法求a的值，即可求出抛物线的表达式；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则图象经过点(-2.5，h+2.05)，代入函数式，建立关于h的方程求解即可.
32．（2021九上·永吉期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 ．求：
（1）铅球在行进中的最大高度；
（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？
【答案】（1）解：
∵
∴y的最大值为3
∴铅球在行进中的最大高度为
（2）解：令 得：
解方程得， ， （负值舍去）．
∴该男生把铅球推出的水平距离是 ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据函数解析式求出 y的最大值为3 ，再求解即可；
（2）先求出 ，再解方程即可。
1 / 1
