2022-2023学年浙教版数学九年级上册1.2 二次函数的图象 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·东丽期末）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（2021九上·宁波月考）将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成顶点式，下列式子正确的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣3
3．（2020九上·乐陵月考）二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
4．（2021九上·蓬江期末）关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴
D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
5．（2021九上·汕尾期末）抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．x轴 D．y轴
6．（2021九上·鄂城期末）如图，抛物线 的对称轴是直线 .下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021九上·南充期末）将二次函数 的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·遂宁期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·怀宁期末）抛物线3 的顶点到x轴的距离为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
10．（2020九上·惠城期末）若二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x －2 －1 0 1 2 3
y 14 7 2 －1 －2 －1
则当时，y的值为（ ）
A．－1 B．2 C．7 D．14
二、填空题
11．（2021九上·肃州期末）抛物线 的顶点坐标是 .
12．（2021九上·海珠期末）函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
13．（2021九上·静安期末）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）
14．（2021九上·宝山期末）如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是 ．
15．（2021九上·长清期末）将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为 ．
16．（2020九上·杭州开学考）二次函数y=a（x+1）（x-4）的对称轴是直线 .
17．（2021九上·遂宁期末）将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的抛物为 .
18．（2021九上·南京期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值为 .
19．（2021九上·溧阳期末）若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第 象限.
20．（2021九上·崇明期末）如果抛物线的开口向上，那么k的取值范围是 ．
三、解答题
21．（2022九上·金东期末）已知抛物线（b是常数）经过点.求该抛物线的解析式和顶点坐标.
22．（2021九上·安庆月考）把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值．
23．（2021九上·宁波月考）已知二次函数 y=x2+bx 的图象经过点(1，2)．
（1）求b的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
24．（2021九上·富县月考）若点 ， ， 在抛物线 的图象上，请判断 ， ， 的大小关系，并说明理由.
25．（2021九上·富平期末）在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 .将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ，求b的值.
四、综合题
26．（2021九上·南充期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A，与x轴交于点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）求顶点A的坐标.
27．（2021九上·南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
28．（2021九上·海州期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）直接写出函数图象顶点坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）将该函数图象向右平移一个单位，再向上平移四个单位后，所得图象的函数表达式是 .
29．（2021九上·廉江期末）已知二次函数的图象过点，．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线 中a=2，b=－4，
∴对称轴 ．
故答案为：A．
【分析】先确定抛物线 中a、b的值，再利用二次函数 的对称轴直线 代入计算即可．
2．【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】二次函数的解析式可变形为y=x2-2x+1-3，然后对前三项利用完全平方公式分解即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的标准形式即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵y＝3x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），
∴A、B都不符合题意，C符合题意，
∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1，
∴对称轴为y轴．
故答案为：D．
【分析】根据函数的解析式可直接得到抛物线的对称轴。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①由抛物线开口方向向下，与y轴相交正半轴
∴a＜0，c＞0
∵抛物线的对称轴为x=-1
∴ ，即b=2a＜0
∴ ，故①正确；
②∵b=2a
∴b-2a=0，故②错误；
③如图：∵抛物线的对称轴为x=-1，当x=0时，函数值大于0
∴当x=-2时，函数值大于0，
∴4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，故③错误；
④∵由图象可知，抛物线的对称轴为x=-1，此时函数有最大值且函数值大于0
∴当x=-1时，函数值大于0，即a-b+c＞0
∵当x=1时，函数值小于0，
∴当x=1时，函数值小于0，即a+b+c＜0
∴（a+c）2-b2=（a-b+c）（a+b+c）＜0
∴ ，即④正确；
⑤当x=-1时，函数有最大值y=a-b+c
当x=m时，函数值为y=am2+bm+c
∴a-b+c＞am2+bm+c，即 ，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可知：抛物线开口方向向下，与y轴相交正半轴，对称轴为直线x==-1，据此判断①②；根据对称性可得当x=-2时，函数值大于0，据此判断③；根据x=-1对应的函数值为正，x=1对应的函数值为负可得a-b+c＞0，a+b+c＜0，则(a+c)2-b2=(a-b+c)(a+b+c)＜0，据此判断④；根据x=-1对应的函数值最大可得a-b+c＞am2+bm+c，据此判断⑤.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由二次函数
的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是
；
故答案为：D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线
的顶点坐标是
故答案为：A.
【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：将函数，变为顶点式得，
故二次函数的顶点坐标为：（﹣1，-2），
∴顶点到x的距离为：，
故答案为：C．
【分析】先利用配方法将一般式化为顶点式，再求解即可。
10．【答案】C
【知识点】函数值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，
∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，
由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7，
∴x＝5时y的值为7．
故答案为：C．
【分析】由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，即可得到抛物线的对称轴为直线x＝2，再结合表格可得当x＝﹣1时，y＝7，即可得到x＝5时y的值为7。
11．【答案】(2，5)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标是（2，5）.
故答案为：（2，5）.
【分析】抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
12．【答案】-5
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵x2≥0，
∴x=0时，函数值最小为-5．
故答案为：-5．
【分析】根据抛物线的解析式可直接得到函数的最小值。
13．【答案】低
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，抛物线中，a=>0开口方向向上，
∴该抛物线有最低点，
故答案为：低．
【分析】根据抛物线的图象和性质与系数的关系可得答案。
14．【答案】2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数顶点坐标为．
∵顶点在x轴上，
∴，
∴m=2．
故答案为：2．
【分析】先利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式可得二次函数的顶点坐标，再根据顶点在x轴上，可得，再求出m的值即可。
15．【答案】y＝（x＋1）2 3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移3个单位，则函数解析式变为y＝x2 3，
将y＝x2 3向左平移1个单位，则函数解析式变为y＝（x＋1）2 3，
故答案是：y＝（x＋1）2 3．
【分析】根据平移的性质求函数解析式即可。
16．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：设 y=a（x+1）（x-4）=0，
∴x1=-1， 或x2=4，
∴对称轴：x=== .
故答案为： .
【分析】设y=0， 求出二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再根据坐标轴公式求解即可.
17．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵
则向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的解析式为：
即
新的抛物线解析式为：
故答案为：
.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
18．【答案】－2
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，设该二次函数的解析式为y=a（x－1）2+m，
将（0，m－2）代入得：a+m=m－2，
解得：a=－2.
故答案为：－2.
【分析】根据顶点坐标可设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2+m，将（0，m-2）代入可得a的值.
19．【答案】一
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线变形得：y=ax2+bx=
，
∵直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ ，
∴y=ax2+bx的顶点坐标为
在第一象限.
故答案为：一.
【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据直线不经过第三象限，可知a＜0，b＞0，然后判断出顶点的横纵坐标的符号，进而确定出顶点所在的象限.
20．【答案】k＞2
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：因为抛物线的开口向上，
所以，即k＞2，
故k的取值范围是k＞2．
故答案为：k＞2．
【分析】根据抛物线的图形与系数的关系可得，再求出k的取值范围即可。
21．【答案】解：∵抛物线（b是常数）经过点，
∴把点A坐标代入解析式得，
解得：b=-2，
∴抛物线解析式为：，
把抛物线配方得，
抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】 把点A坐标代入抛物线y=x2+bx-3求出b值即得解析式，再将解析式化为顶点式即得顶点坐标.
22．【答案】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
当y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，可得抛物线y＝ax2+bx+c的图象，
∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣4x+2，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝2．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】根据目标函数图象向相反方向平移，可得原函数图象，根据图象右移减，上移加，可得出答案。
23．【答案】（1）解：将(1，2)代入 y=x2+bx，得 2=1+b，
解得 b=1．
（2）解：配方，化为顶点式为
∴该二次函数图象的顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入可求出b的值.
（2）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到顶点坐标.
24．【答案】解： .
理由： 抛物线 中 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 .
点 关于对称轴的对称点为 ，且 ，对称轴右侧的抛物线函数值随自变量增大而减小，
.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数图象的对称关系得出点 关于对称轴的对称点为 ，然后根据二次函数的增减趋势解答即可.
25．【答案】解：∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 .
∴原抛物线经过 ，
把 代入 可得： ，
∴ .
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】先由抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ，得到原抛物线经过（1，0），代入原抛物线解析式即可得到b的值.
26．【答案】（1）解：根据题意得：把点B（5，0），点C（0，5）.代入 ，得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵
∴顶点A的坐标为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将B（5，0），点C（0，5）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点A的坐标.
27．【答案】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋1） 2－4.
将（1，0）代入y＝a（x＋1） 2－4，得，
解得，a＝1，
∴y＝（x＋1） 2－4.
（2）4≤y＜12
（3）解：因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：（2）当x=-5时，y=（-5+1）2-4=12
∵抛物线的顶点坐标为（-1，-4）
∴当 时，y的最小值为-4，
∴当－5＜x＜0时，y的取值范围为－4≤y＜12
故答案为：4≤y＜12；
（3）解：∵抛物线与x轴只有一个公共点
∴该二次函数的图象向上平移了4个单位，
设平移后的二次函数解析式为
∵平移后的二次函数图象经过点（3，4）
∴
∴
因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的表达式为y＝a(x＋1) 2-4，将（1，0）代入求解可得a的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）x=-5时，y=12，当x<0时，y的最小值为-4，据此可得y的取值范围；
（3）根据抛物线与x轴只有一个公共点可知该二次函数的图象向上平移了4个单位，设平移后的二次函数解析式为y=(x+1+h)2，将（3，4）代入可得h的值，据此解答.
28．【答案】（1）解：y＝x2﹣2x﹣3=（x－1）2－4，
∴函数图象顶点坐标为（1，－4），对称轴方程为直线x=1，
当x=0时，y=－3，∴当x=2时，y=－3，
当y=0时，由0= x2﹣2x﹣3得：x1=－1，x2=3，
画出该二次函数在图象如图所示：
（
（2）解：根据图象，当函数值为正数时，自变量x的取值范围为x＜－1或x＞3；
（3）y= x2﹣4x+4
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；描点法画函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（3）由题意，平移后图象的函数表达式为y＝（x－1－1）2－4+4，
即y= x2﹣4x+4.
故答案为：y= x2﹣4x+4.
【分析】（1）首先将二次函数解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标以及对称轴，令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得函数图象与坐标轴的交点坐标，进而可画出函数图象；
（2）根据图象，找出函数图象在x轴上方部分所对应的x的范围即可；
（3）根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答.
29．【答案】（1）解：把点，代入二次函数，
得，
解得，
因此二次函数的关系式；
（2）解：∵＝2x（x 2），
∴该抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（0，0），（2，0）．
∵＝2（x 1）2 2，
∴二次函数的顶点坐标（1， 2）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点和代入，再利用待定系数法求解二次函数即可；
（2）将y=0代入抛物线求出x的值即可得到抛物线与x轴的交点坐标，再利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式即可得到顶点坐标。
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册1.2 二次函数的图象 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·东丽期末）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线 中a=2，b=－4，
∴对称轴 ．
故答案为：A．
【分析】先确定抛物线 中a、b的值，再利用二次函数 的对称轴直线 代入计算即可．
2．（2021九上·宁波月考）将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成顶点式，下列式子正确的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】二次函数的解析式可变形为y=x2-2x+1-3，然后对前三项利用完全平方公式分解即可.
3．（2020九上·乐陵月考）二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的标准形式即可得到答案．
4．（2021九上·蓬江期末）关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴
D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵y＝3x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），
∴A、B都不符合题意，C符合题意，
∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
5．（2021九上·汕尾期末）抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．x轴 D．y轴
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1，
∴对称轴为y轴．
故答案为：D．
【分析】根据函数的解析式可直接得到抛物线的对称轴。
6．（2021九上·鄂城期末）如图，抛物线 的对称轴是直线 .下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①由抛物线开口方向向下，与y轴相交正半轴
∴a＜0，c＞0
∵抛物线的对称轴为x=-1
∴ ，即b=2a＜0
∴ ，故①正确；
②∵b=2a
∴b-2a=0，故②错误；
③如图：∵抛物线的对称轴为x=-1，当x=0时，函数值大于0
∴当x=-2时，函数值大于0，
∴4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，故③错误；
④∵由图象可知，抛物线的对称轴为x=-1，此时函数有最大值且函数值大于0
∴当x=-1时，函数值大于0，即a-b+c＞0
∵当x=1时，函数值小于0，
∴当x=1时，函数值小于0，即a+b+c＜0
∴（a+c）2-b2=（a-b+c）（a+b+c）＜0
∴ ，即④正确；
⑤当x=-1时，函数有最大值y=a-b+c
当x=m时，函数值为y=am2+bm+c
∴a-b+c＞am2+bm+c，即 ，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可知：抛物线开口方向向下，与y轴相交正半轴，对称轴为直线x==-1，据此判断①②；根据对称性可得当x=-2时，函数值大于0，据此判断③；根据x=-1对应的函数值为正，x=1对应的函数值为负可得a-b+c＞0，a+b+c＜0，则(a+c)2-b2=(a-b+c)(a+b+c)＜0，据此判断④；根据x=-1对应的函数值最大可得a-b+c＞am2+bm+c，据此判断⑤.
7．（2021九上·南充期末）将二次函数 的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由二次函数
的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是
；
故答案为：D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
8．（2021九上·遂宁期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线
的顶点坐标是
故答案为：A.
【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标.
9．（2021九上·怀宁期末）抛物线3 的顶点到x轴的距离为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：将函数，变为顶点式得，
故二次函数的顶点坐标为：（﹣1，-2），
∴顶点到x的距离为：，
故答案为：C．
【分析】先利用配方法将一般式化为顶点式，再求解即可。
10．（2020九上·惠城期末）若二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x －2 －1 0 1 2 3
y 14 7 2 －1 －2 －1
则当时，y的值为（ ）
A．－1 B．2 C．7 D．14
【答案】C
【知识点】函数值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，
∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，
由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7，
∴x＝5时y的值为7．
故答案为：C．
【分析】由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，即可得到抛物线的对称轴为直线x＝2，再结合表格可得当x＝﹣1时，y＝7，即可得到x＝5时y的值为7。
二、填空题
11．（2021九上·肃州期末）抛物线 的顶点坐标是 .
【答案】(2，5)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标是（2，5）.
故答案为：（2，5）.
【分析】抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
12．（2021九上·海珠期末）函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
【答案】-5
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵x2≥0，
∴x=0时，函数值最小为-5．
故答案为：-5．
【分析】根据抛物线的解析式可直接得到函数的最小值。
13．（2021九上·静安期末）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）
【答案】低
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，抛物线中，a=>0开口方向向上，
∴该抛物线有最低点，
故答案为：低．
【分析】根据抛物线的图象和性质与系数的关系可得答案。
14．（2021九上·宝山期末）如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是 ．
【答案】2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数顶点坐标为．
∵顶点在x轴上，
∴，
∴m=2．
故答案为：2．
【分析】先利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式可得二次函数的顶点坐标，再根据顶点在x轴上，可得，再求出m的值即可。
15．（2021九上·长清期末）将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为 ．
【答案】y＝（x＋1）2 3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移3个单位，则函数解析式变为y＝x2 3，
将y＝x2 3向左平移1个单位，则函数解析式变为y＝（x＋1）2 3，
故答案是：y＝（x＋1）2 3．
【分析】根据平移的性质求函数解析式即可。
16．（2020九上·杭州开学考）二次函数y=a（x+1）（x-4）的对称轴是直线 .
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：设 y=a（x+1）（x-4）=0，
∴x1=-1， 或x2=4，
∴对称轴：x=== .
故答案为： .
【分析】设y=0， 求出二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再根据坐标轴公式求解即可.
17．（2021九上·遂宁期末）将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的抛物为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵
则向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的解析式为：
即
新的抛物线解析式为：
故答案为：
.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
18．（2021九上·南京期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值为 .
【答案】－2
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，设该二次函数的解析式为y=a（x－1）2+m，
将（0，m－2）代入得：a+m=m－2，
解得：a=－2.
故答案为：－2.
【分析】根据顶点坐标可设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2+m，将（0，m-2）代入可得a的值.
19．（2021九上·溧阳期末）若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第 象限.
【答案】一
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线变形得：y=ax2+bx=
，
∵直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ ，
∴y=ax2+bx的顶点坐标为
在第一象限.
故答案为：一.
【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据直线不经过第三象限，可知a＜0，b＞0，然后判断出顶点的横纵坐标的符号，进而确定出顶点所在的象限.
20．（2021九上·崇明期末）如果抛物线的开口向上，那么k的取值范围是 ．
【答案】k＞2
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：因为抛物线的开口向上，
所以，即k＞2，
故k的取值范围是k＞2．
故答案为：k＞2．
【分析】根据抛物线的图形与系数的关系可得，再求出k的取值范围即可。
三、解答题
21．（2022九上·金东期末）已知抛物线（b是常数）经过点.求该抛物线的解析式和顶点坐标.
【答案】解：∵抛物线（b是常数）经过点，
∴把点A坐标代入解析式得，
解得：b=-2，
∴抛物线解析式为：，
把抛物线配方得，
抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】 把点A坐标代入抛物线y=x2+bx-3求出b值即得解析式，再将解析式化为顶点式即得顶点坐标.
22．（2021九上·安庆月考）把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值．
【答案】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
当y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，可得抛物线y＝ax2+bx+c的图象，
∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣4x+2，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝2．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】根据目标函数图象向相反方向平移，可得原函数图象，根据图象右移减，上移加，可得出答案。
23．（2021九上·宁波月考）已知二次函数 y=x2+bx 的图象经过点(1，2)．
（1）求b的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）解：将(1，2)代入 y=x2+bx，得 2=1+b，
解得 b=1．
（2）解：配方，化为顶点式为
∴该二次函数图象的顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入可求出b的值.
（2）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到顶点坐标.
24．（2021九上·富县月考）若点 ， ， 在抛物线 的图象上，请判断 ， ， 的大小关系，并说明理由.
【答案】解： .
理由： 抛物线 中 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 .
点 关于对称轴的对称点为 ，且 ，对称轴右侧的抛物线函数值随自变量增大而减小，
.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数图象的对称关系得出点 关于对称轴的对称点为 ，然后根据二次函数的增减趋势解答即可.
25．（2021九上·富平期末）在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 .将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ，求b的值.
【答案】解：∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 .
∴原抛物线经过 ，
把 代入 可得： ，
∴ .
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】先由抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ，得到原抛物线经过（1，0），代入原抛物线解析式即可得到b的值.
四、综合题
26．（2021九上·南充期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A，与x轴交于点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）求顶点A的坐标.
【答案】（1）解：根据题意得：把点B（5，0），点C（0，5）.代入 ，得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵
∴顶点A的坐标为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将B（5，0），点C（0，5）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点A的坐标.
27．（2021九上·南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【答案】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋1） 2－4.
将（1，0）代入y＝a（x＋1） 2－4，得，
解得，a＝1，
∴y＝（x＋1） 2－4.
（2）4≤y＜12
（3）解：因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：（2）当x=-5时，y=（-5+1）2-4=12
∵抛物线的顶点坐标为（-1，-4）
∴当 时，y的最小值为-4，
∴当－5＜x＜0时，y的取值范围为－4≤y＜12
故答案为：4≤y＜12；
（3）解：∵抛物线与x轴只有一个公共点
∴该二次函数的图象向上平移了4个单位，
设平移后的二次函数解析式为
∵平移后的二次函数图象经过点（3，4）
∴
∴
因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的表达式为y＝a(x＋1) 2-4，将（1，0）代入求解可得a的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）x=-5时，y=12，当x<0时，y的最小值为-4，据此可得y的取值范围；
（3）根据抛物线与x轴只有一个公共点可知该二次函数的图象向上平移了4个单位，设平移后的二次函数解析式为y=(x+1+h)2，将（3，4）代入可得h的值，据此解答.
28．（2021九上·海州期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）直接写出函数图象顶点坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）将该函数图象向右平移一个单位，再向上平移四个单位后，所得图象的函数表达式是 .
【答案】（1）解：y＝x2﹣2x﹣3=（x－1）2－4，
∴函数图象顶点坐标为（1，－4），对称轴方程为直线x=1，
当x=0时，y=－3，∴当x=2时，y=－3，
当y=0时，由0= x2﹣2x﹣3得：x1=－1，x2=3，
画出该二次函数在图象如图所示：
（
（2）解：根据图象，当函数值为正数时，自变量x的取值范围为x＜－1或x＞3；
（3）y= x2﹣4x+4
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；描点法画函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（3）由题意，平移后图象的函数表达式为y＝（x－1－1）2－4+4，
即y= x2﹣4x+4.
故答案为：y= x2﹣4x+4.
【分析】（1）首先将二次函数解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标以及对称轴，令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得函数图象与坐标轴的交点坐标，进而可画出函数图象；
（2）根据图象，找出函数图象在x轴上方部分所对应的x的范围即可；
（3）根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答.
29．（2021九上·廉江期末）已知二次函数的图象过点，．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．
【答案】（1）解：把点，代入二次函数，
得，
解得，
因此二次函数的关系式；
（2）解：∵＝2x（x 2），
∴该抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（0，0），（2，0）．
∵＝2（x 1）2 2，
∴二次函数的顶点坐标（1， 2）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点和代入，再利用待定系数法求解二次函数即可；
（2）将y=0代入抛物线求出x的值即可得到抛物线与x轴的交点坐标，再利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式即可得到顶点坐标。
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