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2022-2023学年浙教版数学八年级上册1.2 定义与命题 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·巴中期末）数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子.为说明命题“对于任何实数a，都有 ＝a”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“对于任何实数a，都有
”忽略了a为负数的情况
因此只要使得a取小于0的数都能推翻该命题，
四个选项只有A项取值小于0
故答案为：A.
【分析】当a<0时，
=|a|=-a，据此解答.
2．（2021八上·松桃期末）下列命题是真命题的个数为（ ）
①一个角的补角大于这个角.②三角形的内角和是180°.③若
，则
.④相等的角是对顶角.⑤两点之间，线段最短.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；余角、补角及其性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①一个角的补角大于这个角，若这个角是钝角，则其补角小于这个角，原说法错误，假命题；
②三角形的内角和是180°，原说法正确，是真命题；
③若
，则
或
，原说法错误，是假命题；
④相等的角不一定是对顶角，原说法错误，假命题；
⑤两点之间，线段最短，原说法正确，真命题；
综上可得：②⑤是真命题，
故答案为：A.
【分析】根据补角的性质、三角形内角和定理、平方的意义、对顶角和线段的性质分别进行判断即可.
3．（2021八上·鄞州期末）能说明命题“对于任意实数a，都有a2＞0”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a＝0时，a2＝0，
∴a2＝a.
故答案为：C.
【分析】对于任意实数a，都有a2>0的假命题为a2≤0，据此解答.
4．（2022八上·新昌期末）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．两个角分别为13°，45° B．两个角分别为40°，45°
C．两个角分别为45°，45° D．两个角分别为105°，45°
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵命题“两个锐角的和是锐角”的条件是两个锐角，结论是两个锐角的和是锐角，
∴举反例说明此命题是假命题，只需要举例说明两个锐角的和不是锐角即可，
∴只有选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】要使命题“两个锐角的和是锐角”为假命题，举出的反例需满足命题的题设“两个角是锐角”，同时不满足命题的结论“两个角的和是锐角”，据此判断.
5．（2022八上·西湖期末）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵80°+110°=190°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；
B、 ∵10°+169°=179°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；
C、 ∵60°+120°=180°，∴∠1与∠2互补，但，∴能作为说明这个命题是假命题的反例；
D、 ∵60°+140°=200°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例.
故答案为：C.
【分析】要使命题：如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°为假命题所举的反例需满足∠1与∠2互补，但不满足∠1=∠2=90°，据此判断.
6．（2021八上·峄城期末）下列说法中：①位于第三象限；②的平方根是3；③若，则点在第二、四象限角平分线上；④点和点关于轴对称，则的值为5；⑤点到轴的距离为．正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵
∴该点也可能位于x轴上，
∴①不符合题意；
∵，
又∵9的平方根是±3，
∴②不符合题意；
∵,则x与y互为相反数，
则点在第二、四象限角平分线上，
∴③符合题意；
若点 A（2,a） 和点 B（b, 3） 关于 x 轴对称，
则a=3,b=2，
∴a+b=5，
∴④符合题意；
∵点 N（1,n） 到 x 轴的距离为，
∴⑤不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平面直角坐标系中的点的坐标特点判断即可；根据平方根的定义判断即可；根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标的和等于零判断即可；直接利用关于x轴对称点的性质得出a、b的值进而得出答案；根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值判断即可。
7．（2021八上·峄城期末）下列命题中的真命题是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C． D．若，则
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行，选项符合题意；
B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，选项不符合题意；
C、，选项不符合题意；
D、，则，选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定、对顶角的性质、绝对值的性质及负指数幂的性质逐项判断即可。
8．（2021八上·本溪期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形内角和等于180°
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：、两直线相交，对顶角相等，不符合题意；
、三角形内角和为，不符合题意；
、三角形一个外角大于任何一个不与它相邻的内角，符合题意；
、两直线平行，同旁内角互补，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据对顶角的性质、三角形的内角和、三角形外角的性质和平行线的性质逐项判断即可。
9．（2021八上·丹东期末）下列语句是真命题的是（ ）．
A．内错角相等
B．若，则
C．直角三角形中，两锐角和的函数关系是一次函数
D．在中，，那么为直角三角形
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
B、若，则，故原命题是假命题，不符合题意；
C、直角三角形中，两锐角和的函数关系是一次函数，故原命题是真命题，符合题意；
D、在中，，那么最大角∠C=，故△ABC为锐三角形，故原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据内错角的性质、等式的性质、三角形的内角和逐项判断即可。
10．（2021八上·二道期末）下列语句中，为真命题的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．有理数与数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，不符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，不符合题意；
D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
二、填空题
11．（2022八上·柯桥期末）为说明命题“如果 ，那么 ”是假命题，你举出的一个反例是 .
【答案】 ， （答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 或 ，
例如： ， 时， ，
∴命题“如果 ，那么 ”是假命题，
故答案为： ， （答案不唯一）.
【分析】举出的反例需满足|a|=|b|，但不满足a=b，取a、b互为相反数即可.
12．（2021八上·河南期末）“的算术平方根是2”这个命题是 命题.（填“真”或者“假”）
【答案】假
【知识点】算术平方根；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵
∴的算术平方根是
∴“的算术平方根是2”这个命题是假命题
故答案为：假.
【分析】由于，求出2的算术平方根即可判断.
13．（2021八上·嘉兴期末）命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是 .
【答案】如果两个三角形周长相等，那么这两个三角形全等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：∵原命题的题设为两个全等三角形的周长，结论为三角形周长相等，
所以逆命题是：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等.
【分析】从原命题中找出题设和结论，根据逆命题和原命题的关系直接将题设和条件互换位置后，用如果那么的标准形式写出即可.
14．（2021八上·石景山期末）有下列命题：①可以在数轴上表示无理数；②若，则；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为 （填序号）．
【答案】①③
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①可以在数轴上表示无理数，是真命题；
②若，则，则原命题是假命题；
③无理数的相反数还是无理数，是真命题；
综上，是真命题的为①③，
故答案为：①③．
【分析】根据无理数，相反数，不等式的性质对每个命题一一判断即可。
15．（2021八上·通州期末）小豪发现一个命题：“如果两个无理数，，满足，那么这两个无理数的和是无理数．”这个命题是 （填写“真命题”，“假命题”）；请你举例说明 ．
【答案】假命题；与
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：设无理数，则，即
“如果两个无理数，，满足，那么这两个无理数的和是无理数．”是假命题
故答案为：假命题，例如：与（答案不唯一）
【分析】根据无理数的定义和假命题的定义求解即可。
16．（2021八上·瓯海月考）命题“a＜2a”是 命题（填“真”或“假”）.
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】当a为负数时，，∴命题“a＜2a”是假命题.
故答案为：假.
【分析】举例说明当a是正数，负数或者0，不同情况下命题是否均成立，即可判定原命题真假。
17．（2021八上·兰溪月考）命题“对顶角相等”是一个 命题 填“真”或“假”
【答案】真
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：“对顶角相等”是真命题.
故答案为：真.
【分析】 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角，互为对顶角的两个角相等.
18．（2021八上·玉田期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 命题．(填“真”或“假”)
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题．
故答案为：假．
【分析】先将命题的逆命题写出，再根据真命题的定义判断即可。
19．（2021八上·浙江月考）命题“若 ，则 ”是 命题（填“真”、“假”）。
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当x=1时，x（1-x）=0也成立，所以命题“若x（1-x）=0，则x=0”是假命题
故答案为：假.
【分析】根据x（x-1）=0，可得到x=0或1，由此可判断此命题的真假.
20．（2021八上·朝阳期中）举例说明命题“对于任意实数x，代数式 的值总是正数”是假命题，则x的值可以是 .
【答案】0（答案不唯一，满足 的数即可）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：根据题意，当 时， ，“对于任意实数x，代数式 的值总是正数”是假命题.
故答案为：0.
【分析】根据题意可知，只要满足 的数即可。
三、解答题
21．判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明．
若 ，则 ；
三个角对应相等的两个三角形全等．
【答案】解： 若 ，则 是假命题，
例如： ， ，
，但 ；
三个角对应相等的两个三角形全等是假命题，
例如：两个边长不相等的等边三角形不全等．
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）可以用特殊值法：取 ， 进行判断即可.（2）可以举反例说明， 例如：两个边长不相等的等边三角形不全等．
22．下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】（1）解：条件是两直线平行；结论是同位角相等。
（2）解：条件是直线外有一点，过这一点做一条直线和已知直线平行；结论是这样的平行线有且只有一条。
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】命题都由条件和结论两部分组成，常可写成“如果…那么…”的形式，即“如果p，那么q”的形式，p是条件，q是结论。本题重在区分命题的条件和结论。
23．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
（2）两个负数的差一定是负数．
【答案】（1）解：假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．
（2）解：假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】命题是可以判断出真假的语句，判断出是正确的命题是真命题，判断出结论错误的是假命题。
24．下列语句哪些是命题？对于命题，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论，并指出是真命题还是假命题，并说明为什么是假命题．
（1）小亮今年上八年级，明年一定上九年级；
（2）作一条线段的垂直平分线；
（3）互为倒数的两个数的积为1；
（4）内错角相等；
（5）不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变．
【答案】（1）解：如果小亮今年上八年级，那么明年一定上九年级。条件是小亮今年上八年级；结论是明年一定上九年级。有可能留级，所以是假命题。
（2）解：不是命题。
（3）解：如果两个数互为倒数，那么它们的积为1。条件是两个数互为倒数；结论是它们的积为1。是真命题。
（4）解：如果两个角是内错角，那么它们相等。条件是两个角是内错角；结论是它们相等。因为两直线不一定平行，所以是假命题。
（5）解：如果不等式的两边同时乘以一个数，那么不等号的方向改变。条件是不等式的两边同时乘以一个数；结论是不等号的方向改变。只有乘以的是负数才改变，乘以正数不改变，所以是假命题。
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】命题是可以判断真假的语句，疑问句、感叹句、祈使句一般都不是命题，所以（2）不是命题。命题一般由条件和结论两部分组成，一般可改写成“如果…，那么…”，如果是条件，那么是结论。
25．下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
①内错角相等；
②两直线平行，同旁内角互补；
③若x=2，则x+1>1；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向；
⑤三角形两边之和大于第三边．
【答案】解：①内错角相等是假命题，应该是两直线平行，内错角相等.
②两直线平行，同旁内角互补，真命题；
③若x＝2，则：x＋1＞1，真命题；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向，真命题.
⑤三角形两边之和大于第三边，真命题.
故由分析可知，真命题是②③④⑤，假命题是①.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】命题是可以判断真假的语句，判断出是正确的命题为真命题，判断结论不正确的为假命题。
四、综合题
26．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
例如：如果ab<0，那么a+b<0．
反例：设a=4，b=-3，ab=4 （-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．
（1）如果a+b>0，那么ab>0．
（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．
【答案】（1）解：取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题．
（2）解：取a=1+ ，b=1- ，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】根据假命题的定义及举反例进行作答即可。
27．（2020八上·禅城期末）探究问题：已知 ，画一个角 ，使 ，且 交 于点 . 与 有怎样的数量关系？
（1）我们发现 与 有两种位置关系：如图1与图2所示.
①图1中 与 数量关系为 ；图2中 与 数量关系为 .请选择其中一种情况说明理由.
②由①得出一个真命题（用文字叙述）: .
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数.
【答案】（1）；；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 理由：如图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DPB=∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠DPB=180°， ∴∠ABC+∠DEF=180°． 如图2中，∵BC∥EF， ∴∠DPC=∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DPC， ∴∠ABC=∠DEF．
（2）解：设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质逐一进行推导即可得出答案；②根据①中的结论即可得；（2）设两个角分别为x和2x-30°，由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，解方程即可解决问题．
28．（2018八上·颍上期中）将下列命题改写成“如果...那么...”形式，并判断命题的真假，若是假命题请举反例。
（1）相等角是对顶角.
（2）直角三角形的两个锐角互余.
【答案】（1）解：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题；
反例：角平分线形成的两个角相等，但不是对顶角；（表述不唯一）
（2）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两锐角互余；真命题
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据题意，将命题进行修改，并判断正误即可，两个相等的角不一定为对顶角，所以其为假命题，任意举出反例即可。
（2）根据题意进行命题的改写，进行判断即可，直角三角形的两个锐角互余，为真命题。
29．请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．
（1）若a＞b，则a2＞b2；
（2）两个无理数的和仍是无理数；
（3）若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．
【答案】（1）解：若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2
（2）解：两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：﹣ + =0，和是有理数
（3）解：若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形。
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）命题的真假，观察是否可以举出反例，使得题设推不出结论部分，当0＞-1时，可证明命题为假。
（2）当两个无理数互为相反数时，两个无理数的和为0，可以证明命题为假命题。
（3）三角形的三边关系为，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以命题可以被证明为假命题。
30．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
（1）对顶角相等；
（2）同角的余角相等；
（3）三角形的内角和等于180°；
（4）角平分线上的点到角的两边距离相等．
【答案】（1）解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等
（2）解：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等．
条件：两个角都是同一个角的余角，
结论：这两个角相等
（3）解：如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于180°．
条件：三个角是一个三角形的内角，
结论：这三个内角和等于180°
（4）解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．
条件：一个点在角平分线上，
结论：这个点到角两边的距离相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）命题由题设和结论组成，两个角为对顶角是条件，写在如果之后；两个角相等是结论，写在那么之后即可。
（2）命题由题设和结论组成，两个角都是同一个角的余角是条件，写在如果之后；两个角相等是结论，写在那么之后即可。
（3）命题由题设和结论组成，三个角为三角形的内角是条件，写在如果之后；三个角的和为180°是结论，写在那么之后即可。
（4）命题由题设和结论组成，如果一个点在角平分线上是条件，写在如果之后；它到角两边的距离相等是结论，写在那么之后即可。
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2022-2023学年浙教版数学八年级上册1.2 定义与命题 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·巴中期末）数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子.为说明命题“对于任何实数a，都有 ＝a”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
2．（2021八上·松桃期末）下列命题是真命题的个数为（ ）
①一个角的补角大于这个角.②三角形的内角和是180°.③若
，则
.④相等的角是对顶角.⑤两点之间，线段最短.
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021八上·鄞州期末）能说明命题“对于任意实数a，都有a2＞0”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝
4．（2022八上·新昌期末）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．两个角分别为13°，45° B．两个角分别为40°，45°
C．两个角分别为45°，45° D．两个角分别为105°，45°
5．（2022八上·西湖期末）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2021八上·峄城期末）下列说法中：①位于第三象限；②的平方根是3；③若，则点在第二、四象限角平分线上；④点和点关于轴对称，则的值为5；⑤点到轴的距离为．正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021八上·峄城期末）下列命题中的真命题是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C． D．若，则
8．（2021八上·本溪期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形内角和等于180°
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角互补
9．（2021八上·丹东期末）下列语句是真命题的是（ ）．
A．内错角相等
B．若，则
C．直角三角形中，两锐角和的函数关系是一次函数
D．在中，，那么为直角三角形
10．（2021八上·二道期末）下列语句中，为真命题的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．有理数与数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等
二、填空题
11．（2022八上·柯桥期末）为说明命题“如果 ，那么 ”是假命题，你举出的一个反例是 .
12．（2021八上·河南期末）“的算术平方根是2”这个命题是 命题.（填“真”或者“假”）
13．（2021八上·嘉兴期末）命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是 .
14．（2021八上·石景山期末）有下列命题：①可以在数轴上表示无理数；②若，则；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为 （填序号）．
15．（2021八上·通州期末）小豪发现一个命题：“如果两个无理数，，满足，那么这两个无理数的和是无理数．”这个命题是 （填写“真命题”，“假命题”）；请你举例说明 ．
16．（2021八上·瓯海月考）命题“a＜2a”是 命题（填“真”或“假”）.
17．（2021八上·兰溪月考）命题“对顶角相等”是一个 命题 填“真”或“假”
18．（2021八上·玉田期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 命题．(填“真”或“假”)
19．（2021八上·浙江月考）命题“若 ，则 ”是 命题（填“真”、“假”）。
20．（2021八上·朝阳期中）举例说明命题“对于任意实数x，代数式 的值总是正数”是假命题，则x的值可以是 .
三、解答题
21．判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明．
若 ，则 ；
三个角对应相等的两个三角形全等．
22．下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
23．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
（2）两个负数的差一定是负数．
24．下列语句哪些是命题？对于命题，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论，并指出是真命题还是假命题，并说明为什么是假命题．
（1）小亮今年上八年级，明年一定上九年级；
（2）作一条线段的垂直平分线；
（3）互为倒数的两个数的积为1；
（4）内错角相等；
（5）不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变．
25．下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
①内错角相等；
②两直线平行，同旁内角互补；
③若x=2，则x+1>1；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向；
⑤三角形两边之和大于第三边．
四、综合题
26．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
例如：如果ab<0，那么a+b<0．
反例：设a=4，b=-3，ab=4 （-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．
（1）如果a+b>0，那么ab>0．
（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．
27．（2020八上·禅城期末）探究问题：已知 ，画一个角 ，使 ，且 交 于点 . 与 有怎样的数量关系？
（1）我们发现 与 有两种位置关系：如图1与图2所示.
①图1中 与 数量关系为 ；图2中 与 数量关系为 .请选择其中一种情况说明理由.
②由①得出一个真命题（用文字叙述）: .
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数.
28．（2018八上·颍上期中）将下列命题改写成“如果...那么...”形式，并判断命题的真假，若是假命题请举反例。
（1）相等角是对顶角.
（2）直角三角形的两个锐角互余.
29．请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．
（1）若a＞b，则a2＞b2；
（2）两个无理数的和仍是无理数；
（3）若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．
30．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
（1）对顶角相等；
（2）同角的余角相等；
（3）三角形的内角和等于180°；
（4）角平分线上的点到角的两边距离相等．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“对于任何实数a，都有
”忽略了a为负数的情况
因此只要使得a取小于0的数都能推翻该命题，
四个选项只有A项取值小于0
故答案为：A.
【分析】当a<0时，
=|a|=-a，据此解答.
2．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；余角、补角及其性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①一个角的补角大于这个角，若这个角是钝角，则其补角小于这个角，原说法错误，假命题；
②三角形的内角和是180°，原说法正确，是真命题；
③若
，则
或
，原说法错误，是假命题；
④相等的角不一定是对顶角，原说法错误，假命题；
⑤两点之间，线段最短，原说法正确，真命题；
综上可得：②⑤是真命题，
故答案为：A.
【分析】根据补角的性质、三角形内角和定理、平方的意义、对顶角和线段的性质分别进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a＝0时，a2＝0，
∴a2＝a.
故答案为：C.
【分析】对于任意实数a，都有a2>0的假命题为a2≤0，据此解答.
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵命题“两个锐角的和是锐角”的条件是两个锐角，结论是两个锐角的和是锐角，
∴举反例说明此命题是假命题，只需要举例说明两个锐角的和不是锐角即可，
∴只有选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】要使命题“两个锐角的和是锐角”为假命题，举出的反例需满足命题的题设“两个角是锐角”，同时不满足命题的结论“两个角的和是锐角”，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵80°+110°=190°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；
B、 ∵10°+169°=179°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；
C、 ∵60°+120°=180°，∴∠1与∠2互补，但，∴能作为说明这个命题是假命题的反例；
D、 ∵60°+140°=200°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例.
故答案为：C.
【分析】要使命题：如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°为假命题所举的反例需满足∠1与∠2互补，但不满足∠1=∠2=90°，据此判断.
6．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵
∴该点也可能位于x轴上，
∴①不符合题意；
∵，
又∵9的平方根是±3，
∴②不符合题意；
∵,则x与y互为相反数，
则点在第二、四象限角平分线上，
∴③符合题意；
若点 A（2,a） 和点 B（b, 3） 关于 x 轴对称，
则a=3,b=2，
∴a+b=5，
∴④符合题意；
∵点 N（1,n） 到 x 轴的距离为，
∴⑤不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平面直角坐标系中的点的坐标特点判断即可；根据平方根的定义判断即可；根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标的和等于零判断即可；直接利用关于x轴对称点的性质得出a、b的值进而得出答案；根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值判断即可。
7．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行，选项符合题意；
B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，选项不符合题意；
C、，选项不符合题意；
D、，则，选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定、对顶角的性质、绝对值的性质及负指数幂的性质逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：、两直线相交，对顶角相等，不符合题意；
、三角形内角和为，不符合题意；
、三角形一个外角大于任何一个不与它相邻的内角，符合题意；
、两直线平行，同旁内角互补，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据对顶角的性质、三角形的内角和、三角形外角的性质和平行线的性质逐项判断即可。
9．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
B、若，则，故原命题是假命题，不符合题意；
C、直角三角形中，两锐角和的函数关系是一次函数，故原命题是真命题，符合题意；
D、在中，，那么最大角∠C=，故△ABC为锐三角形，故原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据内错角的性质、等式的性质、三角形的内角和逐项判断即可。
10．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，不符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，不符合题意；
D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
11．【答案】 ， （答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 或 ，
例如： ， 时， ，
∴命题“如果 ，那么 ”是假命题，
故答案为： ， （答案不唯一）.
【分析】举出的反例需满足|a|=|b|，但不满足a=b，取a、b互为相反数即可.
12．【答案】假
【知识点】算术平方根；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵
∴的算术平方根是
∴“的算术平方根是2”这个命题是假命题
故答案为：假.
【分析】由于，求出2的算术平方根即可判断.
13．【答案】如果两个三角形周长相等，那么这两个三角形全等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：∵原命题的题设为两个全等三角形的周长，结论为三角形周长相等，
所以逆命题是：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等.
【分析】从原命题中找出题设和结论，根据逆命题和原命题的关系直接将题设和条件互换位置后，用如果那么的标准形式写出即可.
14．【答案】①③
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①可以在数轴上表示无理数，是真命题；
②若，则，则原命题是假命题；
③无理数的相反数还是无理数，是真命题；
综上，是真命题的为①③，
故答案为：①③．
【分析】根据无理数，相反数，不等式的性质对每个命题一一判断即可。
15．【答案】假命题；与
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：设无理数，则，即
“如果两个无理数，，满足，那么这两个无理数的和是无理数．”是假命题
故答案为：假命题，例如：与（答案不唯一）
【分析】根据无理数的定义和假命题的定义求解即可。
16．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】当a为负数时，，∴命题“a＜2a”是假命题.
故答案为：假.
【分析】举例说明当a是正数，负数或者0，不同情况下命题是否均成立，即可判定原命题真假。
17．【答案】真
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：“对顶角相等”是真命题.
故答案为：真.
【分析】 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角，互为对顶角的两个角相等.
18．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题．
故答案为：假．
【分析】先将命题的逆命题写出，再根据真命题的定义判断即可。
19．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当x=1时，x（1-x）=0也成立，所以命题“若x（1-x）=0，则x=0”是假命题
故答案为：假.
【分析】根据x（x-1）=0，可得到x=0或1，由此可判断此命题的真假.
20．【答案】0（答案不唯一，满足 的数即可）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：根据题意，当 时， ，“对于任意实数x，代数式 的值总是正数”是假命题.
故答案为：0.
【分析】根据题意可知，只要满足 的数即可。
21．【答案】解： 若 ，则 是假命题，
例如： ， ，
，但 ；
三个角对应相等的两个三角形全等是假命题，
例如：两个边长不相等的等边三角形不全等．
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）可以用特殊值法：取 ， 进行判断即可.（2）可以举反例说明， 例如：两个边长不相等的等边三角形不全等．
22．【答案】（1）解：条件是两直线平行；结论是同位角相等。
（2）解：条件是直线外有一点，过这一点做一条直线和已知直线平行；结论是这样的平行线有且只有一条。
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】命题都由条件和结论两部分组成，常可写成“如果…那么…”的形式，即“如果p，那么q”的形式，p是条件，q是结论。本题重在区分命题的条件和结论。
23．【答案】（1）解：假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．
（2）解：假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】命题是可以判断出真假的语句，判断出是正确的命题是真命题，判断出结论错误的是假命题。
24．【答案】（1）解：如果小亮今年上八年级，那么明年一定上九年级。条件是小亮今年上八年级；结论是明年一定上九年级。有可能留级，所以是假命题。
（2）解：不是命题。
（3）解：如果两个数互为倒数，那么它们的积为1。条件是两个数互为倒数；结论是它们的积为1。是真命题。
（4）解：如果两个角是内错角，那么它们相等。条件是两个角是内错角；结论是它们相等。因为两直线不一定平行，所以是假命题。
（5）解：如果不等式的两边同时乘以一个数，那么不等号的方向改变。条件是不等式的两边同时乘以一个数；结论是不等号的方向改变。只有乘以的是负数才改变，乘以正数不改变，所以是假命题。
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】命题是可以判断真假的语句，疑问句、感叹句、祈使句一般都不是命题，所以（2）不是命题。命题一般由条件和结论两部分组成，一般可改写成“如果…，那么…”，如果是条件，那么是结论。
25．【答案】解：①内错角相等是假命题，应该是两直线平行，内错角相等.
②两直线平行，同旁内角互补，真命题；
③若x＝2，则：x＋1＞1，真命题；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向，真命题.
⑤三角形两边之和大于第三边，真命题.
故由分析可知，真命题是②③④⑤，假命题是①.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】命题是可以判断真假的语句，判断出是正确的命题为真命题，判断结论不正确的为假命题。
26．【答案】（1）解：取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题．
（2）解：取a=1+ ，b=1- ，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】根据假命题的定义及举反例进行作答即可。
27．【答案】（1）；；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 理由：如图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DPB=∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠DPB=180°， ∴∠ABC+∠DEF=180°． 如图2中，∵BC∥EF， ∴∠DPC=∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DPC， ∴∠ABC=∠DEF．
（2）解：设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质逐一进行推导即可得出答案；②根据①中的结论即可得；（2）设两个角分别为x和2x-30°，由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，解方程即可解决问题．
28．【答案】（1）解：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题；
反例：角平分线形成的两个角相等，但不是对顶角；（表述不唯一）
（2）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两锐角互余；真命题
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据题意，将命题进行修改，并判断正误即可，两个相等的角不一定为对顶角，所以其为假命题，任意举出反例即可。
（2）根据题意进行命题的改写，进行判断即可，直角三角形的两个锐角互余，为真命题。
29．【答案】（1）解：若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2
（2）解：两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：﹣ + =0，和是有理数
（3）解：若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形。
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）命题的真假，观察是否可以举出反例，使得题设推不出结论部分，当0＞-1时，可证明命题为假。
（2）当两个无理数互为相反数时，两个无理数的和为0，可以证明命题为假命题。
（3）三角形的三边关系为，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以命题可以被证明为假命题。
30．【答案】（1）解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等
（2）解：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等．
条件：两个角都是同一个角的余角，
结论：这两个角相等
（3）解：如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于180°．
条件：三个角是一个三角形的内角，
结论：这三个内角和等于180°
（4）解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．
条件：一个点在角平分线上，
结论：这个点到角两边的距离相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）命题由题设和结论组成，两个角为对顶角是条件，写在如果之后；两个角相等是结论，写在那么之后即可。
（2）命题由题设和结论组成，两个角都是同一个角的余角是条件，写在如果之后；两个角相等是结论，写在那么之后即可。
（3）命题由题设和结论组成，三个角为三角形的内角是条件，写在如果之后；三个角的和为180°是结论，写在那么之后即可。
（4）命题由题设和结论组成，如果一个点在角平分线上是条件，写在如果之后；它到角两边的距离相等是结论，写在那么之后即可。
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