2022-2023学年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步练习
一、单选题
1．（2022·槐荫模拟）下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·雄县模拟）手机截屏内容是某同学完成的作业，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，，．求证：． 证明：∵， ∴ ① ， ∴ ② ． 又∵， ∴ ③ ， ∴（ ④ ）．
则回答正确的是（ ）
A．①应填
B．②应填
C．③应填
D．④应填内错角相等，两直线平行
3．（2022·武安模拟）定理：三角形的内角和等于．
已知：的三个内角为，，．
求证：．
证法1 证法2
如图1，延长到点D，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
4．（2021七下·沂源期中）已知：如图，，，求证：∥．下面为嘉琪同学的证明过程：
证明：∵，（ ① ），
∴．又∵，∴
∴∥（ ② ）．
其中①②为解题依据，则下列描述正确的是（ ）
A．①代表内错角相等
B．②代表同位角相等，两直线平行
C．①代表对顶角相等
D．②代表同旁内角相等，两直线平行
5．用反证法证明命题：“如图，如果AB//CD，AB//EF，那么CD//EF.”证明的第一个步骤是（ ）
A．假定CD//EF B．假定CD不平行于EF
C．已知AB//EF D．假定AB不平行于EF
6．（2021八上·于洪期末）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图， ∵∠A＝70°，∠B＝63°， 且∠ACD＝133°（量角器测量所得） 又∵133°＝70°+63°（计算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）． 证法2：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1用特殊到一般法证明了该定理
B．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
7．（2021八上·沂水期中）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八上·古冶期中）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证法1：如图，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和定理）
又∵∠ACD＋∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等式性质）
证法2：如图，
∵∠A＝88°，∠B＝58°，
且∠ACD＝146°（量角器测量所得）
又∵146°＝88°＋58°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等量代换）
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
9．（2021·邢台模拟）已知：在 中，
求证：
证明：如图，作______
在 和 中，
其中，横线应补充的条件是（ ）
A． 边上高 B． 边上中线
C． 的平分线 D． 边的垂直平分线
10．（2021七上·文登期末）如图，在 中， ， 于点D， 平分 交 于点E，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
11．（2022七下·长沙期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明.
如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线，求证：DF∥AB.
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1=∠2（ ）
又∵∠E=∠1
∴∠E=∠2（ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠A+∠ABC=180°（ ）
又∵∠3+∠ABC=180°
∴ = （ ）
∴DF∥AB（ ）.
12．（2022七下·淮安月考）如图，先填空后证明.
已知： ∠1+∠2=180° 求证：a∥b
证明：∵ ∠1=∠3（ ），
∠1+∠2=180°（ ）
∴ ∠3+∠2=180°（ ）
∴ a∥b（ ）
13．（2022七下·陕州期中）完成下面的证明.
如图，，相交于点，，.
求证：.
证明：∵，，
又（ ），
∴.
∴∥ （ ）.
∴（ ）.
14．（2021八上·朝阳期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF．再从“①AF平分∠BAC，②CF=EF”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明．
15．（2021八上·驻马店期末）请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：
已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB∥CD.
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝ ▲ （ ）.
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝ ▲ （ ）.
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ）.
即∠BAF＝ ▲ .
∴∠4＝∠BAF.（ ）.
∴AB∥CD（ ）.
16．（2021八上·榆林期末）如图，已知 ，求证： .
17．（2021八上·千山期中）如图， 中， ， 平分 ．若 交 于F，求证： ．
三、综合题
18．（2021八上·毕节期末）已知：如图，点D、E、F、G都在 的边上， ，且
（1）求证： ；
（2）若EF平分 ， ，求 的度数.
19．（2021八上·山亭期末）如图：
（1）探究：如图1直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上过点D作交AC于点E，过点E作交BC于点F．若，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：，
▲．（ ）
，
∴▲．（ ）
．（等量代换）
，
▲．
（2）应用：如图2，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作交AC于点E，过点E作交BC于点F．若，求的度数并说明理由
20．（2021八上·丹东期末）如图，已知直线
，
，
平分
．
（1）求证：
；
（2）若
比
的2倍少3度，求
的度数．
21．（2021八上·吉林期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为边BC的中线，E是边AB上一点（点E不与点A、B重合），过点E作EF⊥BC于点F
（1）求证：AD∥FG；
（2）求证：AG＝AE；
（3）若AE＝3BE，且AC＝4，直接写出CG的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】：A、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，该选项不符合题意；
B、由∠1=∠2，不能判断AB∥CD，该选项符合题意；
C、∵∠1=∠2，∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AB∥CD，该选项不符合题意；
D、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：证明：∵，
∴AC，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴（同位角相等，两直线平行），
故正确的只有①，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定和性质逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，
故A、B都不符合题意；
证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，
故C不符合题意；D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用理论与实践结合和根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断作答。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：C．
【分析】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝110°，可得∠2＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得a∥b.
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵结论是CD∥EF，
∴当用反证法证明这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明命题的第一步： 通常是假设所证结论不成立，结合结论是“CD∥EF”，即可解答.
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；证明过程
【解析】【解答】解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
证法2才是用严谨的推理证明了该定理，
故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，
证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据定理证明一般步骤进行分析判断即可得出结论。
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；推理与论证
【解析】【解答】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作 后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的，作 后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不符合题意，即可得出选项。
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；推理与论证；证明过程
【解析】【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的符合题意，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的符合题意，
∴B符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】依据多了证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论。
9．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，作 的平分线
在 和 中，
故答案为：C
【分析】根据全等三角形判定SAS，即可选出。
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BAE+∠DAE+∠CAD=90°，∠B+∠C=90°
∵AD⊥BC
∴∠BAE+∠DAE+∠B=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∠CAD+∠C=90°
∵ 平分
∴∠DAE=∠BAE
∵∠B+∠C=90°
∴∠CAD=∠B
∵∠CEA=∠B+∠BAE
∴∠CEA=∠DAE+∠CAD=∠CAE
∴AC=EC，
其他选项均缺少条件，无法证明一定相等，
故答案为：D．
【分析】利用垂直，角平分线和三角形的外角性质对每个选项一一判断求解即可。
11．【答案】证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
又∵∠E=∠1，
∴∠E=∠2（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC=180°（两线平行，同旁内角互补），
又∵∠3+∠ABC=180°，
∴∠A=∠3（同角的补角相等），
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分线定义，通过角的等量代换可得∠E=∠2，由内错角相等，两直线平行证明AE∥BC，由两直线平行，同旁内角互补得到∠A+∠ABC=180°，再由同角的补角相等得出∠A=∠3，利用同位角相等，两直线平行即可证明DF∥AB，据此填空即可.
12．【答案】解：∵∠1=∠3，（对顶角相等）
∠1+∠2=180°，（已知）
∴∠3+∠2=180°，（等量代换）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠3，由已知条件知∠1+∠2=180°，则∠3+∠2=180°，然后根据平行线的判定定理进行证明.
13．【答案】证明：∵，，
又（对顶角相等），
∴.
∴∥BD（内错角相等，两直线平行）.
∴（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】利用对顶角相等，可得到∠AOC=∠BOD，结合已知可推出∠A=∠B，利用内错角相等，两直线平行，可证得AC∥BD，再利用两直线平行，内错角相等，可证得结论.
14．【答案】解：选择已知①，结论② ．证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE．
∵∠ACD=∠B．
∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．
∴∠ACE=∠AEC．
∴EA=CA．
∵AF平分∠BAC，
∴CF=EF．
选择已知②，结论①．
证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE．
∵∠ACD=∠B．
∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．
∴∠ACE =∠AEC．
∴EA=CA．
∵CF=EF．
∴AF平分∠BAC．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】分两种情况：选择已知①，结论② ．选择已知②，结论①．分类讨论即可。
15．【答案】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝∠CAD（等量代换）.
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质）.
即∠BAF＝∠CAD.
∴∠4＝∠BAF.（等量代换）.
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等得出 ∠3＝∠CAD ，根据等量代换得出 ∠4＝∠CAD ，根据等式的性质得出 ∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF ，根据等量代换得出∠4＝∠BAF ，最后根据同位角相等，两直线平行得出AB∥CD.
16．【答案】证明：如图，延长EA交CD于H.
∵∠EHD=∠C+∠E， ∠EAB=∠C+∠E ，
∴∠EAB=∠EHD，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质
【解析】【分析】 延长EA交CD于H，由外角性质得∠EHD=∠C+∠E，又∠EAB=∠C+∠E，故∠EAB=∠EHD，然后同位角相等，两直线平行进行证明.
17．【答案】证明：∵∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C
∴∠BAC=180°－3∠C
∵AE平分∠BAC
∴
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴
∴
∴∠C=2∠FEC．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C ，得出∠BAC=180°－3∠C ，根据AE平分∠BAC，得出，由AE⊥EF ，得出 ，，由此得出答案。
18．【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠1＝∠CAE，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠CAE＝180°，
∴ ；
（2）解：∵ ，∠C＝35°，
∴∠BEF＝∠C＝35°，
∵EF平分∠AEB，
∴∠1＝∠BEF＝35°，
∴∠AEB＝70°，
由（1）知 ，
∴∠BDG＝∠AEB＝70°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠CAE，由∠1+∠2＝180°可得∠2+∠CAE＝180°，根据平行线的判定即证；
（2） 由平行线的性质可得∠BEF＝∠C＝35°， 由角平分线的定义得∠AEB＝70°，根据平行线的性质可得∠BDG＝∠AEB＝70°.
19．【答案】（1）解：，
．（两直线平行，内错角相等）
，
∴．（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
，
．
（2）解：，
∴∠ABC=∠ADE=65°.(两直线平行，同位角相等)
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF=180°.(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠DEF=180° 65°=115°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出，，则，即可得解；
（2）由平行线的性质得出∠ABC=∠ADE=65°，∠ADE+∠DEF=180°，即可求出∠DEF的度数。
20．【答案】（1）解：如图，
平分
，
即
（2）解：如图，
由 比 的2倍少3度，
即 ①
，又
即 ②
解得
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠2+∠5=90°，∠1+∠ACG=90°，∠1=∠2，即可得到
；
（2）先利用二元一次方程组求出∠1=31°，再利用平行线的性质和角的运算求出∠4和∠3的度数，最后利用三角形的内角和求出∠DAC即可。
21．【答案】（1）证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AD∥FG；
（2）证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥FG，
∴∠G=∠CAD，∠BAD=∠AEG，
∴∠AEG=∠G，
∴AG=AE；
（3）7
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：(3)∵AB=AC=4，
∵AE=3BE，
∴AE=3，BE=1，
∴AG=3，
∴CG=AG+AC=3+4=7．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质解答即可；
（3）根据线段之间的关系解答即可。
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步练习
一、单选题
1．（2022·槐荫模拟）下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】：A、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，该选项不符合题意；
B、由∠1=∠2，不能判断AB∥CD，该选项符合题意；
C、∵∠1=∠2，∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AB∥CD，该选项不符合题意；
D、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
2．（2022·雄县模拟）手机截屏内容是某同学完成的作业，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，，．求证：． 证明：∵， ∴ ① ， ∴ ② ． 又∵， ∴ ③ ， ∴（ ④ ）．
则回答正确的是（ ）
A．①应填
B．②应填
C．③应填
D．④应填内错角相等，两直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：证明：∵，
∴AC，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴（同位角相等，两直线平行），
故正确的只有①，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定和性质逐项判断即可。
3．（2022·武安模拟）定理：三角形的内角和等于．
已知：的三个内角为，，．
求证：．
证法1 证法2
如图1，延长到点D，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，
故A、B都不符合题意；
证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，
故C不符合题意；D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用理论与实践结合和根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断作答。
4．（2021七下·沂源期中）已知：如图，，，求证：∥．下面为嘉琪同学的证明过程：
证明：∵，（ ① ），
∴．又∵，∴
∴∥（ ② ）．
其中①②为解题依据，则下列描述正确的是（ ）
A．①代表内错角相等
B．②代表同位角相等，两直线平行
C．①代表对顶角相等
D．②代表同旁内角相等，两直线平行
【答案】C
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：C．
【分析】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝110°，可得∠2＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得a∥b.
5．用反证法证明命题：“如图，如果AB//CD，AB//EF，那么CD//EF.”证明的第一个步骤是（ ）
A．假定CD//EF B．假定CD不平行于EF
C．已知AB//EF D．假定AB不平行于EF
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵结论是CD∥EF，
∴当用反证法证明这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明命题的第一步： 通常是假设所证结论不成立，结合结论是“CD∥EF”，即可解答.
6．（2021八上·于洪期末）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图， ∵∠A＝70°，∠B＝63°， 且∠ACD＝133°（量角器测量所得） 又∵133°＝70°+63°（计算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）． 证法2：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1用特殊到一般法证明了该定理
B．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；证明过程
【解析】【解答】解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
证法2才是用严谨的推理证明了该定理，
故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，
证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据定理证明一般步骤进行分析判断即可得出结论。
7．（2021八上·沂水期中）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；推理与论证
【解析】【解答】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作 后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的，作 后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不符合题意，即可得出选项。
8．（2021八上·古冶期中）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证法1：如图，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和定理）
又∵∠ACD＋∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等式性质）
证法2：如图，
∵∠A＝88°，∠B＝58°，
且∠ACD＝146°（量角器测量所得）
又∵146°＝88°＋58°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等量代换）
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；推理与论证；证明过程
【解析】【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的符合题意，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的符合题意，
∴B符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】依据多了证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论。
9．（2021·邢台模拟）已知：在 中，
求证：
证明：如图，作______
在 和 中，
其中，横线应补充的条件是（ ）
A． 边上高 B． 边上中线
C． 的平分线 D． 边的垂直平分线
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，作 的平分线
在 和 中，
故答案为：C
【分析】根据全等三角形判定SAS，即可选出。
10．（2021七上·文登期末）如图，在 中， ， 于点D， 平分 交 于点E，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BAE+∠DAE+∠CAD=90°，∠B+∠C=90°
∵AD⊥BC
∴∠BAE+∠DAE+∠B=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∠CAD+∠C=90°
∵ 平分
∴∠DAE=∠BAE
∵∠B+∠C=90°
∴∠CAD=∠B
∵∠CEA=∠B+∠BAE
∴∠CEA=∠DAE+∠CAD=∠CAE
∴AC=EC，
其他选项均缺少条件，无法证明一定相等，
故答案为：D．
【分析】利用垂直，角平分线和三角形的外角性质对每个选项一一判断求解即可。
二、解答题
11．（2022七下·长沙期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明.
如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线，求证：DF∥AB.
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1=∠2（ ）
又∵∠E=∠1
∴∠E=∠2（ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠A+∠ABC=180°（ ）
又∵∠3+∠ABC=180°
∴ = （ ）
∴DF∥AB（ ）.
【答案】证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
又∵∠E=∠1，
∴∠E=∠2（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC=180°（两线平行，同旁内角互补），
又∵∠3+∠ABC=180°，
∴∠A=∠3（同角的补角相等），
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分线定义，通过角的等量代换可得∠E=∠2，由内错角相等，两直线平行证明AE∥BC，由两直线平行，同旁内角互补得到∠A+∠ABC=180°，再由同角的补角相等得出∠A=∠3，利用同位角相等，两直线平行即可证明DF∥AB，据此填空即可.
12．（2022七下·淮安月考）如图，先填空后证明.
已知： ∠1+∠2=180° 求证：a∥b
证明：∵ ∠1=∠3（ ），
∠1+∠2=180°（ ）
∴ ∠3+∠2=180°（ ）
∴ a∥b（ ）
【答案】解：∵∠1=∠3，（对顶角相等）
∠1+∠2=180°，（已知）
∴∠3+∠2=180°，（等量代换）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠3，由已知条件知∠1+∠2=180°，则∠3+∠2=180°，然后根据平行线的判定定理进行证明.
13．（2022七下·陕州期中）完成下面的证明.
如图，，相交于点，，.
求证：.
证明：∵，，
又（ ），
∴.
∴∥ （ ）.
∴（ ）.
【答案】证明：∵，，
又（对顶角相等），
∴.
∴∥BD（内错角相等，两直线平行）.
∴（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】利用对顶角相等，可得到∠AOC=∠BOD，结合已知可推出∠A=∠B，利用内错角相等，两直线平行，可证得AC∥BD，再利用两直线平行，内错角相等，可证得结论.
14．（2021八上·朝阳期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF．再从“①AF平分∠BAC，②CF=EF”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明．
【答案】解：选择已知①，结论② ．证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE．
∵∠ACD=∠B．
∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．
∴∠ACE=∠AEC．
∴EA=CA．
∵AF平分∠BAC，
∴CF=EF．
选择已知②，结论①．
证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE．
∵∠ACD=∠B．
∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．
∴∠ACE =∠AEC．
∴EA=CA．
∵CF=EF．
∴AF平分∠BAC．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】分两种情况：选择已知①，结论② ．选择已知②，结论①．分类讨论即可。
15．（2021八上·驻马店期末）请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：
已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB∥CD.
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝ ▲ （ ）.
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝ ▲ （ ）.
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ）.
即∠BAF＝ ▲ .
∴∠4＝∠BAF.（ ）.
∴AB∥CD（ ）.
【答案】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝∠CAD（等量代换）.
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质）.
即∠BAF＝∠CAD.
∴∠4＝∠BAF.（等量代换）.
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等得出 ∠3＝∠CAD ，根据等量代换得出 ∠4＝∠CAD ，根据等式的性质得出 ∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF ，根据等量代换得出∠4＝∠BAF ，最后根据同位角相等，两直线平行得出AB∥CD.
16．（2021八上·榆林期末）如图，已知 ，求证： .
【答案】证明：如图，延长EA交CD于H.
∵∠EHD=∠C+∠E， ∠EAB=∠C+∠E ，
∴∠EAB=∠EHD，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质
【解析】【分析】 延长EA交CD于H，由外角性质得∠EHD=∠C+∠E，又∠EAB=∠C+∠E，故∠EAB=∠EHD，然后同位角相等，两直线平行进行证明.
17．（2021八上·千山期中）如图， 中， ， 平分 ．若 交 于F，求证： ．
【答案】证明：∵∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C
∴∠BAC=180°－3∠C
∵AE平分∠BAC
∴
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴
∴
∴∠C=2∠FEC．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C ，得出∠BAC=180°－3∠C ，根据AE平分∠BAC，得出，由AE⊥EF ，得出 ，，由此得出答案。
三、综合题
18．（2021八上·毕节期末）已知：如图，点D、E、F、G都在 的边上， ，且
（1）求证： ；
（2）若EF平分 ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠1＝∠CAE，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠CAE＝180°，
∴ ；
（2）解：∵ ，∠C＝35°，
∴∠BEF＝∠C＝35°，
∵EF平分∠AEB，
∴∠1＝∠BEF＝35°，
∴∠AEB＝70°，
由（1）知 ，
∴∠BDG＝∠AEB＝70°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠CAE，由∠1+∠2＝180°可得∠2+∠CAE＝180°，根据平行线的判定即证；
（2） 由平行线的性质可得∠BEF＝∠C＝35°， 由角平分线的定义得∠AEB＝70°，根据平行线的性质可得∠BDG＝∠AEB＝70°.
19．（2021八上·山亭期末）如图：
（1）探究：如图1直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上过点D作交AC于点E，过点E作交BC于点F．若，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：，
▲．（ ）
，
∴▲．（ ）
．（等量代换）
，
▲．
（2）应用：如图2，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作交AC于点E，过点E作交BC于点F．若，求的度数并说明理由
【答案】（1）解：，
．（两直线平行，内错角相等）
，
∴．（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
，
．
（2）解：，
∴∠ABC=∠ADE=65°.(两直线平行，同位角相等)
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF=180°.(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠DEF=180° 65°=115°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出，，则，即可得解；
（2）由平行线的性质得出∠ABC=∠ADE=65°，∠ADE+∠DEF=180°，即可求出∠DEF的度数。
20．（2021八上·丹东期末）如图，已知直线
，
，
平分
．
（1）求证：
；
（2）若
比
的2倍少3度，求
的度数．
【答案】（1）解：如图，
平分
，
即
（2）解：如图，
由 比 的2倍少3度，
即 ①
，又
即 ②
解得
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠2+∠5=90°，∠1+∠ACG=90°，∠1=∠2，即可得到
；
（2）先利用二元一次方程组求出∠1=31°，再利用平行线的性质和角的运算求出∠4和∠3的度数，最后利用三角形的内角和求出∠DAC即可。
21．（2021八上·吉林期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为边BC的中线，E是边AB上一点（点E不与点A、B重合），过点E作EF⊥BC于点F
（1）求证：AD∥FG；
（2）求证：AG＝AE；
（3）若AE＝3BE，且AC＝4，直接写出CG的长．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AD∥FG；
（2）证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥FG，
∴∠G=∠CAD，∠BAD=∠AEG，
∴∠AEG=∠G，
∴AG=AE；
（3）7
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：(3)∵AB=AC=4，
∵AE=3BE，
∴AE=3，BE=1，
∴AG=3，
∴CG=AG+AC=3+4=7．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质解答即可；
（3）根据线段之间的关系解答即可。
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