2022-2023学年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1.(2021八上·凉山期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?( )
A.0根 B.1根 C.2根 D.3根
2.(2021八上·长沙期末)如图, , ,欲证 ,则可增加的条件是( )
A. B. C. D.
3.(2020八上·龙岩期末)如图, 中, 的垂直平分线 交 的平分线 于点 ,过 作 于点 ,若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
4.(2021八上·莒南期中)如图,在 的网格中,每一个小正方形的边长都是1,点 , , , 都在格点上,连接 , 相交于 ,那么 的大小是( )
A. B. C. D.
5.(2021八上·长沙期末)如图, 平分 ,点P在 上,且 ,垂足为D,若 ,则P到 的距离d满足( )
A. B. C. D.无法确定
6.(2021八上·宜宾期末)如图,三条笔直的公路两两相交,交点分别在点A、B、C处,有两户村民分别在点D和点E处,现准备建造一个蓄水池,要求水池到两条公路AB、BC的距离相等,且到两户村民D、E的距离相等,则水池修建的位置应该是( )
A.在∠B的平分线与DE的交点处
B.在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C.在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D.在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
7.(2021八上·岳阳期末)尺规作图:作 角等于已知角 .示意图如图所示,则说明 的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
8.(2022八上·柯桥期末)如图,已知AB=AD,AC=AE,若要判定△ABC≌△ADE,则下列添加的条件中正确的是( )
A.∠1=∠DAC B.∠B=∠D C.∠1=∠2 D.∠C=∠E
9.(2021八上·南京期末)如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是( )
A. B. C. D.
10.(2021八上·南充期末)如图,点B,C,E在同一直线上,且 , , ,下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11.(2021八上·南充期末)如图, 与 中,已知, ,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使 ,你添加的条件是 .
12.(2021八上·汉阴期末)如图,在 中, , 平分 , ,点D到 的距离为5.6,则 .
13.(2021八上·嵩县期末)如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE、BC相交于点F,若AB=BC=8,CF=2,连结DF,则图中阴影部分面积为 .
14.(2021八上·句容期末)如图,已知
中,
平分
,且
,则点D到
边的距离为 .
15.(2021八上·遵义期末)如图,已知 的周长是22,PB、PC分别平分 和 , 于D,且 , 的面积是 .
16.(2021八上·松桃期末)如图,在 △ABC 中,BE平分 ∠ABC , AE⊥BE 于点E, △BCE 的面积为2,则 △ABC 的面积是 .
17.(2021八上·诸暨期末)如图,DE=AC,∠1=∠2,要使△DBE≌△ABC还需添加一个条件是 .(只需写出一种情况)
18.(2021八上·宁波期末)如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,若△BCE的面积为5,则ED的长为 .
19.(2021八上·南京期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=2cm,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若AE=3cm,则EF= cm.
20.(2021八上·林州期末)如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为10,BD平分∠ABC,若M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值为
三、解答题
21.(2021八上·南充期末)如图, 是 的中线,F为 上一点,E为 延长线上一点,且 .求证: .
22.(2021八上·汉阴期末)如图,已知点E、C在线段BF上, , , .求证: .
23.(2021八上·汉阴期末)如图,已知△ACD的周长是14,AB-AC=2,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,求AB和AC的长.
24.(2021八上·南京期末)如图, 、 相交于点O, , .E、F分别为 、 的中点.求证 .
25.(2021八上·岳阳期末)已知:如图,点B,F在线段EC上, , , .求证: .
四、综合题
26.(2021八上·长沙期末)如图,点D在AC上,BC,DE交于点F, , , .
(1)求证: ;
(2)若 ,求∠CDE的度数.
27.(2021八上·凉山期末)在
中,
,
,直线
经过点
,且
于
,
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,
①求证:
≌
;
②求证:
;
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时,(1)中的结论②还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
28.(2021八上·句容期末)如图,点D在
的BC边上,
,
,
.
(1)求证:
;
(2)若
,
,求CD的长,
29.(2020八上·东海期末)小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千,如图,小明坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他,若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m,∠BOC=90°.
(1)△OBD与△COE全等吗?请说明理由;
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的?
30.(2021八上·岳阳期末)直线l经过点A, 在直线l上方, .
(1)如图1, ,过点B,C作直线l的垂线,垂足分别为D、E.求证:
(2)如图2,D,A,E三点在直线l上,若 ( 为任意锐角或钝角),猜想线段DE、BD、CE有何数量关系?并给出证明.
(3)如图3, 过点B作直线l上的垂线,垂足为F,点D是BF延长线上的一个动点,连结AD,作 ,使得 ,连结DE,CE.直线l与CE交于点G.求证:G是CE的中点.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解:要使这个木架不变形,王师傅至少还要再钉上1根木条,将这个四边形木架分成两个三角形,如图所示:
或
故答案为:B.
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可.
2.【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解:A、 , , ,不符合全等三角形的判定定理,不能推出 ,故本选项不符合题意;
B、 , , ,不符合全等三角形的判定定理,不能推出 ,故本选项不符合题意;
C、 , , ,不符合全等三角形的判定定理,不能推出 ,故本选项不符合题意;
D. ,
,
即 ,
, , ,符合全等三角形的判定定理 ,能推出 ,故本选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】已知 , ,欲证 ,需根据SAS或SSS进行判定,据此逐一判断即可.
3.【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图, 连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.
∵ 的垂直平分线 交 的平分线 于点 ,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴BD=AD,DE=DF.∴Rt△AED≌Rt△BFD.
∴BF=AE.
又∵∠ECD=∠FCD,∠CED=∠CFD,CA=CA,∴Rt△CED≌Rt△CFD,
∴CE=CF,
设AE的长度为x,则CE=10-x,CF=CB+BF= CB+AE= 4+x,
∴可列方程10-x=4+x,x=3,∴AE=3;
故答案为:C.
【分析】连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F,利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD,DE=DF,依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD,根据全等三角形的性质即可得出BF=AE,再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD,证出CE=CF,设AE的长度为x,根据CE=CF列方程求解即可.
4.【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解:取格点 ,连接 ,
由已知条件可知: ,
∴ ,
∴ ,
同理可得: ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形,
∴ ,
即 ,
故答案为:C.
【分析】取格点 ,连接 ,先证明,得出 ,再证明,得出,最后证明 是等腰直角三角形,得出 ,即可得出结论。
5.【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图所示,过点P作PE⊥AO于E,
∵OC平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥AO,
∴PE=PD=3cm,
∴d=PE=3cm,
故答案为:B.
【分析】过点P作PE⊥AO于E,由角平分线上的点到角两边的距离相等可得PE=PD=3cm,据此即得结论.
6.【答案】C
【知识点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解:作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线,它们相交于P点,如图,
则水池修建的位置应该为P点.
故答案为:C.
【分析】由题意可得点P在∠ABC的角平分线上,且在DE的垂直平分线上,据此解答.
7.【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解:由作法可得OD=OC=OD′=OC′,CD=C′D′,
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′,
所以∠A′OB′=∠AOB.
故答案为:A.
【分析】由作法可得OD=OC=OD′=OC′,CD=C′D′,所以根据“SSS”即可判断.
8.【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解: , ,
则可通过 ,得到 ,
利用SAS证明△ABC≌△ADE.
故答案为:C.
【分析】根据角的和差关系可得∠BAC=∠DAE,然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
9.【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:根据题意可得,已知一边和两个角仍保留,且边为两角的夹边,
根据两个三角形对应的两角及其夹边相等,两个三角形全等,即 ASA.
故答案为:C.
【分析】观察图形可知已知一边和两个角仍保留,且边为两角的夹边,由此可得答案.
10.【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:∵AC⊥CD,
∴∠ACD=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠B=90°,
∴∠1+∠A=90°,
∴∠A=∠2,
同理∠1=∠E,
∵∠D=90°,
∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°,
在△ABC和△CDE中,
,
∴△ABC≌△CDE(AAS),
∴ ,
∴选项A、选项B,选项C都正确;
根据已知条件推出∠A=∠2,∠E=∠1,但是∠1=∠2不能推出,而∠BCD=90°+∠1,∠ACE=90°+∠2,所以 不一定成立故D错误;
故答案为:D.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ACD=90°,再利用余角的性质可证得∠A=∠2,可对A作出判断,同理可证∠1=∠E,可推出∠A+∠E=90°,可对B作出判断;再利用AAS证△ABC≌△CDE,利用全等三角形的对应边相等,可得BC=DE,可对C作出判断;不能推出∠1=∠2,由此不能证∠BCD=∠ACE,可对D作出判断.
11.【答案】 或
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:所添加条件为: 或 ,
添加: ,
在 和 中,
,
;
添加: ,
在 和 中,
,
.
故答案为: 或 .
【分析】观察图形可知图形中隐含公共边BC=CB,可以添加其它两组角中的任意一组角对应相等,利用AAS,由此可得答案.
12.【答案】16.8
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,过D作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,
∴CD⊥AC,
∵AD平分∠BAC,
∴CD=DE,
∵D到AB的距离等于5.6cm,
∴CD=DE=5.6cm,
又∵BD=2CD,
∴BD=11.2cm,
∴BC=5.6+11.2= cm,
故答案为:16.8.
【分析】过D作DE⊥AB于E,利用角平分线上的点到角两边的距离相等,可证得CD=DE,同时可求出CD的长,然后根据BC=BD+CD,代入计算求出BC的长.
13.【答案】6
【知识点】三角形的面积;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解: , ,
,
又∵ ,
,
在 和 中,
,
,
,
, ,
,
.
故答案为:6.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF,再等角的余角相等可证得∠A=∠C;再利用ASA证明△ABF≌△CBD,利用全等三角形的性质可证得BD=BF,由此可求出BD,BF的长;然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积,可求出结果.
14.【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC,
∴DE=CD=3,
故点D到AB边的距离是3.
故答案为:3.
【分析】过点D作DE⊥AB,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=CD=3,据此可得点D到AB边的距离.
15.【答案】33
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,连接AP,过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,
∵PB、PC分别平分
和
,
于D,
∴PD=PE,PD=PF,
∴PD=PE=PF=3,
∵ △ABC的周长是22,
∴ △ABC的面积是
.
故答案为:33.
【分析】连接AP,过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,由角平分线性质得PD=PE=PF=3,然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
16.【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:延长AE交BC于D,
∵BE平分
,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在
和
中,
,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
,
∴
故答案为:4.
【分析】延长AE交BC于D,根据ASA证明
,可得
,根据等底同高可得
,
,从而得出
,即可得解.
17.【答案】∠A=∠D或∠C=∠DEB
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE,
∴∠DBE=∠ABC,
∵DE=AC,
∴当∠A=∠D或∠C=∠DEB时,△DBE≌△ABC.
【分析】根据题意得出∠DBE=∠ABC,再根据全等三角形的判定定理即可得出答案.
18.【答案】2
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过E作EF⊥BC于F,
∵CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,
∴DE=EF,
∵S△BCE=
×BC×EF=5,
∴×5×EF=5,
∴EF=DE=2,
故答案为:2.
【分析】过E作EF⊥BC于F,由角平分线的性质可得DE=EF,根据S△BCE=
×BC×EF=5即可求解.
19.【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:∵∠ACB=90°
∴∠ECF+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B=90°
∴∠ECF=∠B
在△ABC和△FEC中
∵∠ECF=∠B,EC=BC,∠ACB=∠FEC=90°
∴△ABC≌△FCE(ASA)
∴AC=EF
∵AC=AE+CE=3+2=5cm,
∴EF=5cm
故答案为:5.
【分析】根据余角的性质可得∠ECF=∠B,根据ASA证明△ABC≌△FCE,可得AC=EF,由于AC=AE
+CE=5cm,即得EF的长.
20.【答案】5
【知识点】垂线段最短及其应用;三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作MN⊥BC于N.
∵BD平分∠ABC,ME⊥AB于点E,MN⊥BC于N,
∴MN=ME,
∴CE=CM+ME=CM+MN,
∴CE为CM+MN的最小值.
∵三角形ABC的面积为10,AB=4,
∴4 CE=10,
∴CE.
即CM+MN的最小值为5.
故答案为:5.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作MN⊥BC于N,由角平分线的性质可得MN=ME,从而得出CE=CM+ME=CM+MN,继而得出CE为CM+MN的最小值,利用三角形的面积求出CE的长即可.
21.【答案】证明: 是 边上的中线,
.
在 和 中,
,
.
.
.
【知识点】平行线的判定;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用三角形的中线,可证得BD=CD,再利用SAS证明△BDE≌△CDF,然后根据全等三角形的对应角相等可证得∠E=∠DFC,利用平行线的判定定理可证得结论.
22.【答案】证明:
,即 .
∴在 和 中,
.
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠B=∠DEF,由BE=CF可推出BC=EF,再利用ASA证△ABC≌△DEF.
23.【答案】解: 的周长是14,
,
是 的垂直平分线,
,
,
,
,
, .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】利用垂直平分线的性质可证得BD=CD,由△ACD的周长为14得到AC+AB=14,再根据AB-AC=12,解方程组求出AB,AC的长.
24.【答案】证明:在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC(AAS),
∴OB=OC,
∵点E,F分别是OB,OC的中点,
∴OE=OB,OF=OC,
∴OE=OF,
∴∠OEF=∠OFE.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】图形中隐含了对顶角相等,利用AAS可证得△ABO≌△DCO,利用全等三角形的对应边相等可证得OB=OC,再利用线段中点的定义去证明OE=OF;然后根据等边对等角可证得结论.
25.【答案】证明:∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,即 ,
在 与 中,
,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】平行线的判定;平行线的性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ACB=∠DFE,由BE=CF可得EF=BC,根据SAS证明△ABC≌△DEF,可得∠ABC=∠DEF,根据平行线的判定即证.
26.【答案】(1)证明:∵∠ABD=∠CBE,
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,
即:∠ABC=∠DBE,
在△ABC和△DBE中,
,
∴△ABC≌△DBE(SAS);
(2)解:由(1)可知:△ABC≌△DBE,
∴∠C=∠E,
∵∠DFB=∠C+∠CDE,
∠DFB=∠E+∠CBE,
∴∠CDE=∠CBE,
∵∠ABD=∠CBE=20°,
∴∠CDE=20°.
【知识点】三角形的外角性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1) 由∠ABD=∠CBE,利用等式的性质求出∠ABC=∠DBE,根据SAS证明△ABC≌△DBE;
(2)由△ABC≌△DBE得∠C=∠E,利用三角形外角的性质得∠DFB=∠C+∠CDE,∠DFB=∠E+∠CBE,从而得出∠CDE=∠CBE=20°.
27.【答案】(1)证明:①∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE,
又∵AC=BC,
∴ ≌ ;
②∵ ≌ ,
∴CD=BE,AD=CE,
∵DE=CE+CD,
∴DE=AD+BE;
(2)解:DE=AD+BE不成立,此时应有DE=AD-BE,理由如下:
∵BE⊥MN,AD⊥MN,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠EBC+∠ECB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB+∠ACE=90°,
∴∠ACD=∠EBC,
又∵AC=BC,
∴ ≌ ,
∴AD=CE,CD=BE,
∵DE=CE-CD,
∴DE=AD-BE.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)①根据垂直的概念得∠ADC=∠BEC=90°,根据同角的余角相等得∠DAC=∠BCE,然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明;
②根据全等三角形的性质可得CD=BE,AD=CE,然后根据DE=CE+CD进行证明;
(2)同理证明△ADC≌△CEB,得到AD=CE,CD=BE,然后根据DE=CE-CD进行证明.
28.【答案】(1)证明:∵ ,
∴ ,
在 和 中,
,
∴ ;
(2)解:∵ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】平行线的性质;三角形全等的判定-ASA;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)由平行线的性质可得∠ACB=∠DBE,然后利用全等三角形的判定定理ASA进行证明;
(2)由全等三角形的对应边相等可得AC=DB=4,然后根据CD=BC-BD进行计算.
29.【答案】(1)解:△OBD与△COE全等.
理由如下:
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC,
∵∠BOC=90°,
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°.
∴∠COE=∠OBD,
在△COE和△OBD中, ,
∴△COE≌△OBD(AAS);
(2)解:∵△COE≌△OBD,
∴CE=OD,OE=BD,
∵BD、CE分别为1.6m和2m,
∴DE=OD﹣OE=CE﹣BD=2﹣1.6=0.4(m),
∵AD=1.2m,
∴AE=AD+DE=1.6(m),
答:爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)全等;由同角的余角相等可得∠COE=∠OBD,根据 AAS证明△COE≌△OBD;
(2)由全等三角形的性质可得CE=OD,OE=BD, 由DE=OD﹣OE=CE﹣BD及AE=AD+DE即可算出答案.
30.【答案】(1)证明:∵ , ,
∴ ,
∴
∵ ,
∴
∴ ,
在 与 中
,
∴
(2)解:猜想: ,
∵
∴ ,
∴ ,
在 与 中
∴ ,
∴ , ,
∴
(3)证明:分别过点C、E作 , ,
同(1)可证 , ,
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴
在 与 中
∴ ,
∴ ,
∴G为CE的中点.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由垂直的定义可得∠BDA=∠AEC=90°,利用同角的余角相等可得∠ABD=∠CAE,根据AAS证明△ABD≌△CAE;
(2)猜想:DE=BD+CE,理由:根据三角形内角和及平角定义得出∠ABD=∠CAE,根据AAS证明△ABD≌△CAE ,可得BD=AE,DA=EC,从而得出DE=AE+DA=BD+CE;
(3)分别过点C、E作CM⊥l,EN⊥l,利用AAS证△CMG≌△ENG,可得CG=EG,从而得出结论.
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1.(2021八上·凉山期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?( )
A.0根 B.1根 C.2根 D.3根
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解:要使这个木架不变形,王师傅至少还要再钉上1根木条,将这个四边形木架分成两个三角形,如图所示:
或
故答案为:B.
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可.
2.(2021八上·长沙期末)如图, , ,欲证 ,则可增加的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解:A、 , , ,不符合全等三角形的判定定理,不能推出 ,故本选项不符合题意;
B、 , , ,不符合全等三角形的判定定理,不能推出 ,故本选项不符合题意;
C、 , , ,不符合全等三角形的判定定理,不能推出 ,故本选项不符合题意;
D. ,
,
即 ,
, , ,符合全等三角形的判定定理 ,能推出 ,故本选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】已知 , ,欲证 ,需根据SAS或SSS进行判定,据此逐一判断即可.
3.(2020八上·龙岩期末)如图, 中, 的垂直平分线 交 的平分线 于点 ,过 作 于点 ,若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图, 连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.
∵ 的垂直平分线 交 的平分线 于点 ,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴BD=AD,DE=DF.∴Rt△AED≌Rt△BFD.
∴BF=AE.
又∵∠ECD=∠FCD,∠CED=∠CFD,CA=CA,∴Rt△CED≌Rt△CFD,
∴CE=CF,
设AE的长度为x,则CE=10-x,CF=CB+BF= CB+AE= 4+x,
∴可列方程10-x=4+x,x=3,∴AE=3;
故答案为:C.
【分析】连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F,利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD,DE=DF,依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD,根据全等三角形的性质即可得出BF=AE,再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD,证出CE=CF,设AE的长度为x,根据CE=CF列方程求解即可.
4.(2021八上·莒南期中)如图,在 的网格中,每一个小正方形的边长都是1,点 , , , 都在格点上,连接 , 相交于 ,那么 的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解:取格点 ,连接 ,
由已知条件可知: ,
∴ ,
∴ ,
同理可得: ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形,
∴ ,
即 ,
故答案为:C.
【分析】取格点 ,连接 ,先证明,得出 ,再证明,得出,最后证明 是等腰直角三角形,得出 ,即可得出结论。
5.(2021八上·长沙期末)如图, 平分 ,点P在 上,且 ,垂足为D,若 ,则P到 的距离d满足( )
A. B. C. D.无法确定
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图所示,过点P作PE⊥AO于E,
∵OC平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥AO,
∴PE=PD=3cm,
∴d=PE=3cm,
故答案为:B.
【分析】过点P作PE⊥AO于E,由角平分线上的点到角两边的距离相等可得PE=PD=3cm,据此即得结论.
6.(2021八上·宜宾期末)如图,三条笔直的公路两两相交,交点分别在点A、B、C处,有两户村民分别在点D和点E处,现准备建造一个蓄水池,要求水池到两条公路AB、BC的距离相等,且到两户村民D、E的距离相等,则水池修建的位置应该是( )
A.在∠B的平分线与DE的交点处
B.在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C.在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D.在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
【答案】C
【知识点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解:作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线,它们相交于P点,如图,
则水池修建的位置应该为P点.
故答案为:C.
【分析】由题意可得点P在∠ABC的角平分线上,且在DE的垂直平分线上,据此解答.
7.(2021八上·岳阳期末)尺规作图:作 角等于已知角 .示意图如图所示,则说明 的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解:由作法可得OD=OC=OD′=OC′,CD=C′D′,
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′,
所以∠A′OB′=∠AOB.
故答案为:A.
【分析】由作法可得OD=OC=OD′=OC′,CD=C′D′,所以根据“SSS”即可判断.
8.(2022八上·柯桥期末)如图,已知AB=AD,AC=AE,若要判定△ABC≌△ADE,则下列添加的条件中正确的是( )
A.∠1=∠DAC B.∠B=∠D C.∠1=∠2 D.∠C=∠E
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解: , ,
则可通过 ,得到 ,
利用SAS证明△ABC≌△ADE.
故答案为:C.
【分析】根据角的和差关系可得∠BAC=∠DAE,然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
9.(2021八上·南京期末)如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:根据题意可得,已知一边和两个角仍保留,且边为两角的夹边,
根据两个三角形对应的两角及其夹边相等,两个三角形全等,即 ASA.
故答案为:C.
【分析】观察图形可知已知一边和两个角仍保留,且边为两角的夹边,由此可得答案.
10.(2021八上·南充期末)如图,点B,C,E在同一直线上,且 , , ,下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:∵AC⊥CD,
∴∠ACD=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠B=90°,
∴∠1+∠A=90°,
∴∠A=∠2,
同理∠1=∠E,
∵∠D=90°,
∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°,
在△ABC和△CDE中,
,
∴△ABC≌△CDE(AAS),
∴ ,
∴选项A、选项B,选项C都正确;
根据已知条件推出∠A=∠2,∠E=∠1,但是∠1=∠2不能推出,而∠BCD=90°+∠1,∠ACE=90°+∠2,所以 不一定成立故D错误;
故答案为:D.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ACD=90°,再利用余角的性质可证得∠A=∠2,可对A作出判断,同理可证∠1=∠E,可推出∠A+∠E=90°,可对B作出判断;再利用AAS证△ABC≌△CDE,利用全等三角形的对应边相等,可得BC=DE,可对C作出判断;不能推出∠1=∠2,由此不能证∠BCD=∠ACE,可对D作出判断.
二、填空题
11.(2021八上·南充期末)如图, 与 中,已知, ,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使 ,你添加的条件是 .
【答案】 或
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:所添加条件为: 或 ,
添加: ,
在 和 中,
,
;
添加: ,
在 和 中,
,
.
故答案为: 或 .
【分析】观察图形可知图形中隐含公共边BC=CB,可以添加其它两组角中的任意一组角对应相等,利用AAS,由此可得答案.
12.(2021八上·汉阴期末)如图,在 中, , 平分 , ,点D到 的距离为5.6,则 .
【答案】16.8
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,过D作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,
∴CD⊥AC,
∵AD平分∠BAC,
∴CD=DE,
∵D到AB的距离等于5.6cm,
∴CD=DE=5.6cm,
又∵BD=2CD,
∴BD=11.2cm,
∴BC=5.6+11.2= cm,
故答案为:16.8.
【分析】过D作DE⊥AB于E,利用角平分线上的点到角两边的距离相等,可证得CD=DE,同时可求出CD的长,然后根据BC=BD+CD,代入计算求出BC的长.
13.(2021八上·嵩县期末)如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE、BC相交于点F,若AB=BC=8,CF=2,连结DF,则图中阴影部分面积为 .
【答案】6
【知识点】三角形的面积;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解: , ,
,
又∵ ,
,
在 和 中,
,
,
,
, ,
,
.
故答案为:6.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF,再等角的余角相等可证得∠A=∠C;再利用ASA证明△ABF≌△CBD,利用全等三角形的性质可证得BD=BF,由此可求出BD,BF的长;然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积,可求出结果.
14.(2021八上·句容期末)如图,已知
中,
平分
,且
,则点D到
边的距离为 .
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC,
∴DE=CD=3,
故点D到AB边的距离是3.
故答案为:3.
【分析】过点D作DE⊥AB,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=CD=3,据此可得点D到AB边的距离.
15.(2021八上·遵义期末)如图,已知 的周长是22,PB、PC分别平分 和 , 于D,且 , 的面积是 .
【答案】33
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,连接AP,过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,
∵PB、PC分别平分
和
,
于D,
∴PD=PE,PD=PF,
∴PD=PE=PF=3,
∵ △ABC的周长是22,
∴ △ABC的面积是
.
故答案为:33.
【分析】连接AP,过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,由角平分线性质得PD=PE=PF=3,然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
16.(2021八上·松桃期末)如图,在 △ABC 中,BE平分 ∠ABC , AE⊥BE 于点E, △BCE 的面积为2,则 △ABC 的面积是 .
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:延长AE交BC于D,
∵BE平分
,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在
和
中,
,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
,
∴
故答案为:4.
【分析】延长AE交BC于D,根据ASA证明
,可得
,根据等底同高可得
,
,从而得出
,即可得解.
17.(2021八上·诸暨期末)如图,DE=AC,∠1=∠2,要使△DBE≌△ABC还需添加一个条件是 .(只需写出一种情况)
【答案】∠A=∠D或∠C=∠DEB
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE,
∴∠DBE=∠ABC,
∵DE=AC,
∴当∠A=∠D或∠C=∠DEB时,△DBE≌△ABC.
【分析】根据题意得出∠DBE=∠ABC,再根据全等三角形的判定定理即可得出答案.
18.(2021八上·宁波期末)如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,若△BCE的面积为5,则ED的长为 .
【答案】2
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过E作EF⊥BC于F,
∵CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,
∴DE=EF,
∵S△BCE=
×BC×EF=5,
∴×5×EF=5,
∴EF=DE=2,
故答案为:2.
【分析】过E作EF⊥BC于F,由角平分线的性质可得DE=EF,根据S△BCE=
×BC×EF=5即可求解.
19.(2021八上·南京期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=2cm,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若AE=3cm,则EF= cm.
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:∵∠ACB=90°
∴∠ECF+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B=90°
∴∠ECF=∠B
在△ABC和△FEC中
∵∠ECF=∠B,EC=BC,∠ACB=∠FEC=90°
∴△ABC≌△FCE(ASA)
∴AC=EF
∵AC=AE+CE=3+2=5cm,
∴EF=5cm
故答案为:5.
【分析】根据余角的性质可得∠ECF=∠B,根据ASA证明△ABC≌△FCE,可得AC=EF,由于AC=AE
+CE=5cm,即得EF的长.
20.(2021八上·林州期末)如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为10,BD平分∠ABC,若M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值为
【答案】5
【知识点】垂线段最短及其应用;三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作MN⊥BC于N.
∵BD平分∠ABC,ME⊥AB于点E,MN⊥BC于N,
∴MN=ME,
∴CE=CM+ME=CM+MN,
∴CE为CM+MN的最小值.
∵三角形ABC的面积为10,AB=4,
∴4 CE=10,
∴CE.
即CM+MN的最小值为5.
故答案为:5.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作MN⊥BC于N,由角平分线的性质可得MN=ME,从而得出CE=CM+ME=CM+MN,继而得出CE为CM+MN的最小值,利用三角形的面积求出CE的长即可.
三、解答题
21.(2021八上·南充期末)如图, 是 的中线,F为 上一点,E为 延长线上一点,且 .求证: .
【答案】证明: 是 边上的中线,
.
在 和 中,
,
.
.
.
【知识点】平行线的判定;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用三角形的中线,可证得BD=CD,再利用SAS证明△BDE≌△CDF,然后根据全等三角形的对应角相等可证得∠E=∠DFC,利用平行线的判定定理可证得结论.
22.(2021八上·汉阴期末)如图,已知点E、C在线段BF上, , , .求证: .
【答案】证明:
,即 .
∴在 和 中,
.
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠B=∠DEF,由BE=CF可推出BC=EF,再利用ASA证△ABC≌△DEF.
23.(2021八上·汉阴期末)如图,已知△ACD的周长是14,AB-AC=2,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,求AB和AC的长.
【答案】解: 的周长是14,
,
是 的垂直平分线,
,
,
,
,
, .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】利用垂直平分线的性质可证得BD=CD,由△ACD的周长为14得到AC+AB=14,再根据AB-AC=12,解方程组求出AB,AC的长.
24.(2021八上·南京期末)如图, 、 相交于点O, , .E、F分别为 、 的中点.求证 .
【答案】证明:在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC(AAS),
∴OB=OC,
∵点E,F分别是OB,OC的中点,
∴OE=OB,OF=OC,
∴OE=OF,
∴∠OEF=∠OFE.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】图形中隐含了对顶角相等,利用AAS可证得△ABO≌△DCO,利用全等三角形的对应边相等可证得OB=OC,再利用线段中点的定义去证明OE=OF;然后根据等边对等角可证得结论.
25.(2021八上·岳阳期末)已知:如图,点B,F在线段EC上, , , .求证: .
【答案】证明:∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,即 ,
在 与 中,
,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】平行线的判定;平行线的性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ACB=∠DFE,由BE=CF可得EF=BC,根据SAS证明△ABC≌△DEF,可得∠ABC=∠DEF,根据平行线的判定即证.
四、综合题
26.(2021八上·长沙期末)如图,点D在AC上,BC,DE交于点F, , , .
(1)求证: ;
(2)若 ,求∠CDE的度数.
【答案】(1)证明:∵∠ABD=∠CBE,
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,
即:∠ABC=∠DBE,
在△ABC和△DBE中,
,
∴△ABC≌△DBE(SAS);
(2)解:由(1)可知:△ABC≌△DBE,
∴∠C=∠E,
∵∠DFB=∠C+∠CDE,
∠DFB=∠E+∠CBE,
∴∠CDE=∠CBE,
∵∠ABD=∠CBE=20°,
∴∠CDE=20°.
【知识点】三角形的外角性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1) 由∠ABD=∠CBE,利用等式的性质求出∠ABC=∠DBE,根据SAS证明△ABC≌△DBE;
(2)由△ABC≌△DBE得∠C=∠E,利用三角形外角的性质得∠DFB=∠C+∠CDE,∠DFB=∠E+∠CBE,从而得出∠CDE=∠CBE=20°.
27.(2021八上·凉山期末)在
中,
,
,直线
经过点
,且
于
,
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,
①求证:
≌
;
②求证:
;
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时,(1)中的结论②还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
【答案】(1)证明:①∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE,
又∵AC=BC,
∴ ≌ ;
②∵ ≌ ,
∴CD=BE,AD=CE,
∵DE=CE+CD,
∴DE=AD+BE;
(2)解:DE=AD+BE不成立,此时应有DE=AD-BE,理由如下:
∵BE⊥MN,AD⊥MN,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠EBC+∠ECB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB+∠ACE=90°,
∴∠ACD=∠EBC,
又∵AC=BC,
∴ ≌ ,
∴AD=CE,CD=BE,
∵DE=CE-CD,
∴DE=AD-BE.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)①根据垂直的概念得∠ADC=∠BEC=90°,根据同角的余角相等得∠DAC=∠BCE,然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明;
②根据全等三角形的性质可得CD=BE,AD=CE,然后根据DE=CE+CD进行证明;
(2)同理证明△ADC≌△CEB,得到AD=CE,CD=BE,然后根据DE=CE-CD进行证明.
28.(2021八上·句容期末)如图,点D在
的BC边上,
,
,
.
(1)求证:
;
(2)若
,
,求CD的长,
【答案】(1)证明:∵ ,
∴ ,
在 和 中,
,
∴ ;
(2)解:∵ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】平行线的性质;三角形全等的判定-ASA;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)由平行线的性质可得∠ACB=∠DBE,然后利用全等三角形的判定定理ASA进行证明;
(2)由全等三角形的对应边相等可得AC=DB=4,然后根据CD=BC-BD进行计算.
29.(2020八上·东海期末)小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千,如图,小明坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他,若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m,∠BOC=90°.
(1)△OBD与△COE全等吗?请说明理由;
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的?
【答案】(1)解:△OBD与△COE全等.
理由如下:
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC,
∵∠BOC=90°,
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°.
∴∠COE=∠OBD,
在△COE和△OBD中, ,
∴△COE≌△OBD(AAS);
(2)解:∵△COE≌△OBD,
∴CE=OD,OE=BD,
∵BD、CE分别为1.6m和2m,
∴DE=OD﹣OE=CE﹣BD=2﹣1.6=0.4(m),
∵AD=1.2m,
∴AE=AD+DE=1.6(m),
答:爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)全等;由同角的余角相等可得∠COE=∠OBD,根据 AAS证明△COE≌△OBD;
(2)由全等三角形的性质可得CE=OD,OE=BD, 由DE=OD﹣OE=CE﹣BD及AE=AD+DE即可算出答案.
30.(2021八上·岳阳期末)直线l经过点A, 在直线l上方, .
(1)如图1, ,过点B,C作直线l的垂线,垂足分别为D、E.求证:
(2)如图2,D,A,E三点在直线l上,若 ( 为任意锐角或钝角),猜想线段DE、BD、CE有何数量关系?并给出证明.
(3)如图3, 过点B作直线l上的垂线,垂足为F,点D是BF延长线上的一个动点,连结AD,作 ,使得 ,连结DE,CE.直线l与CE交于点G.求证:G是CE的中点.
【答案】(1)证明:∵ , ,
∴ ,
∴
∵ ,
∴
∴ ,
在 与 中
,
∴
(2)解:猜想: ,
∵
∴ ,
∴ ,
在 与 中
∴ ,
∴ , ,
∴
(3)证明:分别过点C、E作 , ,
同(1)可证 , ,
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴
在 与 中
∴ ,
∴ ,
∴G为CE的中点.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由垂直的定义可得∠BDA=∠AEC=90°,利用同角的余角相等可得∠ABD=∠CAE,根据AAS证明△ABD≌△CAE;
(2)猜想:DE=BD+CE,理由:根据三角形内角和及平角定义得出∠ABD=∠CAE,根据AAS证明△ABD≌△CAE ,可得BD=AE,DA=EC,从而得出DE=AE+DA=BD+CE;
(3)分别过点C、E作CM⊥l,EN⊥l,利用AAS证△CMG≌△ENG,可得CG=EG,从而得出结论.
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