2022-2023学年浙教版数学八年级上册1.6 尺规作图 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·嵩县期末）已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2021八上·诸暨期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．无
4．（2021八上·南京期末）如图，用直尺和圆规作ΔABC和ΔDBC，则ΔABC≌ΔDBC，理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．21 B．80 C．40 D．45
6．（2021八上·二道期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．用无刻度的直尺和圆规在△ABC内部作一个角∠α，下列作法中∠α不等于45°的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·燕山期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八上·绿园期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021八上·南阳月考）如图，在 中，分别以点A和B为圆心，大于 和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 ，交 于点D，连接 ，若 的周长为 ， ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八上·九台期中）在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线
B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画 的角
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
二、填空题
11．（2021八上·抚顺期末）如图，在△ABC中，∠C=30°，∠B=50°，AD平分∠CAB，那么∠ADC的度数是
12．（2020八上·于都期末）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
13．（2020八上·丹徒期中）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的长为 .
14．（2020八上·仙桃期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出 个.
15．（2020八上·武汉月考）如图，直线a、b、c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有 处.
16．（2020八上·泰州月考）如图，∠EAD为锐角，C是射线AE上一点，点B在射线AD上运动(点A与点B不重合)，设点C到AD的距离为d，BC长度为a，AC长度为b，在点B运动过程中，b、d保持不变，当a满足 条件时，△ABC唯一确定.
17．（2020八上·抚顺月考）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 .
18．（2020八上·抚顺月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 .
19．（2020八上·长白期末）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画 个三角形．
20．（2020八上·新乡期末）如图，已知钝角 ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以 为圆心， 为半径画弧①；步骤2：以 为圆心， 为半径画弧②；步骤3：连接 ，交 延长线于点 ；下列结论：① 垂直平分线段 ；② 平分 ；③ ；④ .其中一定正确的有 （只填序号）
三、解答题
21．（2021八上·河西期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要写明结论）
22．（2021八上·北仑期末）已知：两边及其夹角，线段 ， ， .
求作： ，使 ， ，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
请你根据所学的知识，说明尺规作图作出 ，用到的是三角形全等判定定理中的_▲_，作出的 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的_▲_.
23．（2020八上·桐城期中）求证：三角形的内角和等于 .
(要求，画图，据图写出已知，求证，证明)
24．（2020八上·北京期中）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路l1、l2的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
25．（2020八上·包河期中）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠ADE和∠DAE的度数．
26．（2020八上·渭源月考）某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器.如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？
四、综合题
27．（2022八上·新昌期末）如图，已知ABC.
（1）请用直尺和圆规作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，，求∠BDA的度数.
28．（2021八上·朝阳期末）下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：AB的垂线，使它经过点A．
作法：如图，
①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BA的延长线于点C；
②分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的点D；
③作直线AD．
所以直线AD就是所求作的垂线．
根据小军设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，BD．
∵BD= ▲ ，AB= ▲ ，
∴AD⊥AB（ ▲ ）（填推理的依据）．
29．（2021八上·丰台期末）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt中，°．
求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等．
作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点；
③画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接．
在和中，
∵，，，
∴≌（SSS）．
∴∠ ▲ =∠ ▲ .
∵∠=90°，
∴.
∵，
∴（ ▲ ）．
30．（2021八上·延庆期末）尺规作图：
已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQMN．
小智的作图思路如下：
①如何得到两条直线平行？
小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．
②如何得到两个角相等？
小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．
③画出示意图：
④根据示意图，确定作图顺序．
（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （ ① ）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （ ② ）．
（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解： ①作一个角的平分线的作法正确；
②作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误.
故答案为：A.
【分析】根据作一个角的平分线的作法以及作一条线段的垂直平分线的作法，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；作图-角
【解析】【解答】解：由图可知：∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，BC=BC
∴ΔABC≌ΔDBC（ASA）
故答案为：B.
【分析】由作图痕迹可知∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，由于BC=BC，根据ASA可证ΔABC≌ΔDBC.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H.
由作图可知，AP平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH=5，
∴S△ABD= AB DH=×16×5=40.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥AB于H，利用作图可知AP平分∠CAB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DH的长，再利用三角形的面积公式进行计算，可求出△ABD的面积.
6．【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：A．此选项是作直角∠ACB的平分线，∠α＝∠ACB＝45°，不符合题意；
B．此选项是作CA＝CD，由∠ACB＝90°知∠CAD＝∠CDA＝∠α＝45°，不符合题意；
C．此选项是作∠CAB的平分线，由∠CAB＜90°知∠α＝∠ACB＜45°，符合题意；
D．此选项是作∠CAB和∠CBA的平分线，∠α＝∠DAB＋∠EBA＝∠CAB＋∠CBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰直角三角形、直角三角形的性质逐一判断即可。
7．【答案】D
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接AP，由作图可知，所画直线垂直平分线段AC，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
故答案为：D．
【分析】连接AP，由作图可知，所画直线垂直平分线段AC，得出PA＝PC，从而得出答案。
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-垂线；作图-直线、射线、线段；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
B、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA=CD，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
D、由作图可知作的是线段AB的垂直平分线，能推出AD＝BD，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、由作图痕迹可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD；
B、由作图痕迹可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD；
C、由作图痕迹可知CD=CA，推不出AD＝BD；
D、由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线即可解答.
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作法可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵ 的周长为17，AB=7，
∴AC+BC=10，
∴ 的周长为：
AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=10，
故答案为：B.
【分析】利用作图可知MN是AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AD=BD，利用三角形的周长可知AC+BC=10，再证明△ADC的周长=AC+BC，即可求出△ADC的周长.
10．【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据尺规作图的定义逐项判断即可。
11．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵在 △ABC中，∠C=30°，∠B=50°
∴∠CAB=100°
∵AD平分 ∠CAB
∴∠CAD=∠DAB=50°
在 △ACD中，∠C=30°，∠CAD=50°
∴∠ADC=100°
【分析】用三角形内角和为180°可得出∠CAB=100°，AD平分 ∠CAB，得出∠CAD=50° ，△ACD内角和为180°，得出∠ADC=100°
12．【答案】“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得OD=OE，DC=EC，
而OC为公共边，
∴△OCD≌△OCE，
∴∠DOC=∠EOC，
即射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质进行作答即可。
13．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴CD=AC-AD=6-2=4，
由作图知MN是BC垂直平分线，
∴BD=CD=4.
故答案为：4.
【分析】利用CD=AC-AD先求出CD的长，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，从而求出结论.
14．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图：
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等.
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等.
所以可画出6个.
故答案为：6.
【分析】根据网格的特点及全等三角形的性质可以以AB和BC为公共边分别画出3个，而AC得不到，从而得出结论.
15．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图所示，可供选择的地址有4个.
故答案为：4.
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个.
16．【答案】a=d或a≥b
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.①当点B与点F重合时，即 时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；
②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD有两个交点 、 ，
∴△ABC不是唯一的；②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD只有唯一交点 ，
∴△ABC唯一确定.
故答案是： 或 .
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.分类讨论：①当点B与点F重合时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；②当 时，如图，△ABC不是唯一的；③当 时，如图，△ABC唯一确定.
17．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为：SSS.
【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等.
18．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DP′⊥AB于P′，
则此时DP′最小，即PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB，
∴DP′＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等解答即可.
19．【答案】10
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，
故答案为：10．
【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.
20．【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】连接CD，BD
由作图可知：CA=CD，BA=BD，
∴直线BC垂直平分线段AD，
∴AH=DH，
∴S△ABC= BC AH，
故①③④正确，
故答案为：①③④.
【分析】连接CD，BD,根据作图可得直线BC垂直平分线段AD，可得AH=DH，利用三角形的面积公式可得S△ABC= BC AH，据此判断即可.
21．【答案】如图，连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】 连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置。
22．【答案】解：如图所示：
;尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的|是三角形全等判定定理中的SAS.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；作图-三角形
【解析】【分析】根据已知条件可知利用全等三角形的判定SAS，由此先画出∠ABC=∠α，再在∠ABC的两边截取BC=a，AB=c，然后连接AC即可.
23．【答案】解：已知△ABC，求证：∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°.
证明：根据题意画出简单示意图，过点A作EF∥BC.
∵EF∥BC，
∴∠CAF=∠ACB，∠EAB=∠CBA.
∵∠CAF=∠ACB，∠EAB=∠CBA，∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°，
∴∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°，即三角形的内角和等于180°
【知识点】三角形内角和定理；作图-三角形
【解析】【分析】根据平行线的性质及三角形的内角和等于180°进行作答即可。
24．【答案】解：连接 ，作 的垂直平分线，再作 的平分线，
垂直平分线与角平分线的交点即为
P为油库所在地，如图所示.
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】连接 AB ，作 AB 的垂直平分线，再作 的平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为油库的所在地．
25．【答案】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD= ∠BAC= ×60°=30°，
∴∠ADE=∠BAD+∠B=80°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
【知识点】三角形内角和定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可求得结果．
26．【答案】利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，作任意两条路垂直平分线，交点就到三个路口相等.
解：作法：如图所示，A，B，C代替三个路口.
①连接AB，BC.
②分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P.则点P就是所求作的点.
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】抓住关键已知条件控仪器安装离三个路口的交叉点的距离相等，由此只需作出AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是监控器的位置。
27．【答案】（1）解：如图
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝28°，
∴，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝26°，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，与AB、BC交于两点，然后分别以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，交于一点，连接该点与点B，并延长，与AC交于点D，则BD为∠ABC的平分线；
（2）根据内角和定理可得∠ABC=52°，根据角平分线的概念可得∠DBC=26°，由外角的性质可得∠BDA=∠DBC+∠C，据此计算.
28．【答案】（1）解：补全的图形如图所示：
（2）证明：连接CD，BD．
∵BD=CD，AB=AC ，
∴AD⊥AB（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）（填推理的依据）．
故答案为：CD，AC，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质求解即可。
29．【答案】（1）解：补全的图形如下：
（2）解：过点作于点，连接．
在和中，
∵，，，
∴≌（SSS）．
∴∠PAM=∠PAN．
∴=90°，
∴.
∵，
∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：∠，∠，角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明。
30．【答案】（1）解：如图1，PQ即为所求；
（2）解：证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （等边对等角）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行；
（3）解：如图2，PQ为所求．
【知识点】平行线的判定；尺规作图的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质解决问题即可；
（3）根据要求作图即可。
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级上册1.6 尺规作图 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·嵩县期末）已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
2．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
3．（2021八上·诸暨期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．无
【答案】A
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解： ①作一个角的平分线的作法正确；
②作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误.
故答案为：A.
【分析】根据作一个角的平分线的作法以及作一条线段的垂直平分线的作法，即可得出答案.
4．（2021八上·南京期末）如图，用直尺和圆规作ΔABC和ΔDBC，则ΔABC≌ΔDBC，理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；作图-角
【解析】【解答】解：由图可知：∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，BC=BC
∴ΔABC≌ΔDBC（ASA）
故答案为：B.
【分析】由作图痕迹可知∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，由于BC=BC，根据ASA可证ΔABC≌ΔDBC.
5．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．21 B．80 C．40 D．45
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H.
由作图可知，AP平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH=5，
∴S△ABD= AB DH=×16×5=40.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥AB于H，利用作图可知AP平分∠CAB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DH的长，再利用三角形的面积公式进行计算，可求出△ABD的面积.
6．（2021八上·二道期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．用无刻度的直尺和圆规在△ABC内部作一个角∠α，下列作法中∠α不等于45°的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：A．此选项是作直角∠ACB的平分线，∠α＝∠ACB＝45°，不符合题意；
B．此选项是作CA＝CD，由∠ACB＝90°知∠CAD＝∠CDA＝∠α＝45°，不符合题意；
C．此选项是作∠CAB的平分线，由∠CAB＜90°知∠α＝∠ACB＜45°，符合题意；
D．此选项是作∠CAB和∠CBA的平分线，∠α＝∠DAB＋∠EBA＝∠CAB＋∠CBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰直角三角形、直角三角形的性质逐一判断即可。
7．（2021八上·燕山期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接AP，由作图可知，所画直线垂直平分线段AC，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
故答案为：D．
【分析】连接AP，由作图可知，所画直线垂直平分线段AC，得出PA＝PC，从而得出答案。
8．（2021八上·绿园期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-垂线；作图-直线、射线、线段；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
B、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA=CD，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
D、由作图可知作的是线段AB的垂直平分线，能推出AD＝BD，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、由作图痕迹可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD；
B、由作图痕迹可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD；
C、由作图痕迹可知CD=CA，推不出AD＝BD；
D、由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线即可解答.
9．（2021八上·南阳月考）如图，在 中，分别以点A和B为圆心，大于 和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 ，交 于点D，连接 ，若 的周长为 ， ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作法可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵ 的周长为17，AB=7，
∴AC+BC=10，
∴ 的周长为：
AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=10，
故答案为：B.
【分析】利用作图可知MN是AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AD=BD，利用三角形的周长可知AC+BC=10，再证明△ADC的周长=AC+BC，即可求出△ADC的周长.
10．（2021八上·九台期中）在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线
B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画 的角
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据尺规作图的定义逐项判断即可。
二、填空题
11．（2021八上·抚顺期末）如图，在△ABC中，∠C=30°，∠B=50°，AD平分∠CAB，那么∠ADC的度数是
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵在 △ABC中，∠C=30°，∠B=50°
∴∠CAB=100°
∵AD平分 ∠CAB
∴∠CAD=∠DAB=50°
在 △ACD中，∠C=30°，∠CAD=50°
∴∠ADC=100°
【分析】用三角形内角和为180°可得出∠CAB=100°，AD平分 ∠CAB，得出∠CAD=50° ，△ACD内角和为180°，得出∠ADC=100°
12．（2020八上·于都期末）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得OD=OE，DC=EC，
而OC为公共边，
∴△OCD≌△OCE，
∴∠DOC=∠EOC，
即射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质进行作答即可。
13．（2020八上·丹徒期中）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的长为 .
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴CD=AC-AD=6-2=4，
由作图知MN是BC垂直平分线，
∴BD=CD=4.
故答案为：4.
【分析】利用CD=AC-AD先求出CD的长，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，从而求出结论.
14．（2020八上·仙桃期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出 个.
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图：
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等.
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等.
所以可画出6个.
故答案为：6.
【分析】根据网格的特点及全等三角形的性质可以以AB和BC为公共边分别画出3个，而AC得不到，从而得出结论.
15．（2020八上·武汉月考）如图，直线a、b、c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有 处.
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图所示，可供选择的地址有4个.
故答案为：4.
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个.
16．（2020八上·泰州月考）如图，∠EAD为锐角，C是射线AE上一点，点B在射线AD上运动(点A与点B不重合)，设点C到AD的距离为d，BC长度为a，AC长度为b，在点B运动过程中，b、d保持不变，当a满足 条件时，△ABC唯一确定.
【答案】a=d或a≥b
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.①当点B与点F重合时，即 时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；
②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD有两个交点 、 ，
∴△ABC不是唯一的；②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD只有唯一交点 ，
∴△ABC唯一确定.
故答案是： 或 .
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.分类讨论：①当点B与点F重合时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；②当 时，如图，△ABC不是唯一的；③当 时，如图，△ABC唯一确定.
17．（2020八上·抚顺月考）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 .
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为：SSS.
【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等.
18．（2020八上·抚顺月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 .
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DP′⊥AB于P′，
则此时DP′最小，即PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB，
∴DP′＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等解答即可.
19．（2020八上·长白期末）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画 个三角形．
【答案】10
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，
故答案为：10．
【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.
20．（2020八上·新乡期末）如图，已知钝角 ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以 为圆心， 为半径画弧①；步骤2：以 为圆心， 为半径画弧②；步骤3：连接 ，交 延长线于点 ；下列结论：① 垂直平分线段 ；② 平分 ；③ ；④ .其中一定正确的有 （只填序号）
【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】连接CD，BD
由作图可知：CA=CD，BA=BD，
∴直线BC垂直平分线段AD，
∴AH=DH，
∴S△ABC= BC AH，
故①③④正确，
故答案为：①③④.
【分析】连接CD，BD,根据作图可得直线BC垂直平分线段AD，可得AH=DH，利用三角形的面积公式可得S△ABC= BC AH，据此判断即可.
三、解答题
21．（2021八上·河西期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要写明结论）
【答案】如图，连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】 连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置。
22．（2021八上·北仑期末）已知：两边及其夹角，线段 ， ， .
求作： ，使 ， ，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
请你根据所学的知识，说明尺规作图作出 ，用到的是三角形全等判定定理中的_▲_，作出的 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的_▲_.
【答案】解：如图所示：
;尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的|是三角形全等判定定理中的SAS.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；作图-三角形
【解析】【分析】根据已知条件可知利用全等三角形的判定SAS，由此先画出∠ABC=∠α，再在∠ABC的两边截取BC=a，AB=c，然后连接AC即可.
23．（2020八上·桐城期中）求证：三角形的内角和等于 .
(要求，画图，据图写出已知，求证，证明)
【答案】解：已知△ABC，求证：∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°.
证明：根据题意画出简单示意图，过点A作EF∥BC.
∵EF∥BC，
∴∠CAF=∠ACB，∠EAB=∠CBA.
∵∠CAF=∠ACB，∠EAB=∠CBA，∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°，
∴∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°，即三角形的内角和等于180°
【知识点】三角形内角和定理；作图-三角形
【解析】【分析】根据平行线的性质及三角形的内角和等于180°进行作答即可。
24．（2020八上·北京期中）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路l1、l2的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：连接 ，作 的垂直平分线，再作 的平分线，
垂直平分线与角平分线的交点即为
P为油库所在地，如图所示.
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】连接 AB ，作 AB 的垂直平分线，再作 的平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为油库的所在地．
25．（2020八上·包河期中）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠ADE和∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD= ∠BAC= ×60°=30°，
∴∠ADE=∠BAD+∠B=80°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
【知识点】三角形内角和定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可求得结果．
26．（2020八上·渭源月考）某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器.如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？
【答案】利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，作任意两条路垂直平分线，交点就到三个路口相等.
解：作法：如图所示，A，B，C代替三个路口.
①连接AB，BC.
②分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P.则点P就是所求作的点.
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】抓住关键已知条件控仪器安装离三个路口的交叉点的距离相等，由此只需作出AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是监控器的位置。
四、综合题
27．（2022八上·新昌期末）如图，已知ABC.
（1）请用直尺和圆规作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，，求∠BDA的度数.
【答案】（1）解：如图
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝28°，
∴，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝26°，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，与AB、BC交于两点，然后分别以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，交于一点，连接该点与点B，并延长，与AC交于点D，则BD为∠ABC的平分线；
（2）根据内角和定理可得∠ABC=52°，根据角平分线的概念可得∠DBC=26°，由外角的性质可得∠BDA=∠DBC+∠C，据此计算.
28．（2021八上·朝阳期末）下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：AB的垂线，使它经过点A．
作法：如图，
①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BA的延长线于点C；
②分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的点D；
③作直线AD．
所以直线AD就是所求作的垂线．
根据小军设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，BD．
∵BD= ▲ ，AB= ▲ ，
∴AD⊥AB（ ▲ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）解：补全的图形如图所示：
（2）证明：连接CD，BD．
∵BD=CD，AB=AC ，
∴AD⊥AB（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）（填推理的依据）．
故答案为：CD，AC，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质求解即可。
29．（2021八上·丰台期末）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt中，°．
求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等．
作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点；
③画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接．
在和中，
∵，，，
∴≌（SSS）．
∴∠ ▲ =∠ ▲ .
∵∠=90°，
∴.
∵，
∴（ ▲ ）．
【答案】（1）解：补全的图形如下：
（2）解：过点作于点，连接．
在和中，
∵，，，
∴≌（SSS）．
∴∠PAM=∠PAN．
∴=90°，
∴.
∵，
∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：∠，∠，角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明。
30．（2021八上·延庆期末）尺规作图：
已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQMN．
小智的作图思路如下：
①如何得到两条直线平行？
小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．
②如何得到两个角相等？
小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．
③画出示意图：
④根据示意图，确定作图顺序．
（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （ ① ）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （ ② ）．
（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）
【答案】（1）解：如图1，PQ即为所求；
（2）解：证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （等边对等角）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行；
（3）解：如图2，PQ为所求．
【知识点】平行线的判定；尺规作图的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质解决问题即可；
（3）根据要求作图即可。
1 / 1
