2022-2023学年浙教版数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点P，若∠B=x°，则∠APE的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·义乌期末）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）.
A．20°或70° B．20°、70°或100°
C．40°或100° D．40°、70°或100°
3．（2021八上·开化期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（ )
A．36° B．46° C．54° D．72°
4．（2021八上·嘉兴期末）如图，在 中， 是BC边上的高，点 在AD上，且 ，则△ABC的面积为s，则是△ABE的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·金昌期末）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=35°，则∠BAD=（ ）
A．110° B．70° C．55° D．35°
6．（2021八上·二道期末）如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，则∠ADF的度数为（ ）
A．54° B．91° C．81° D．101°
7．（2021八上·蚌埠期末）若一个等腰三角形的两边长分别为2、3，则这个等腰三角形的周长为( )．
A．7 B．8 C．6或8 D．7或8
8．（2021八上·牡丹江期末）如图所示，△ABC与△ADE顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50
9．（2021八上·平谷期末）等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80°
10．（2021八上·门头沟期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点D，E，连接CD．有以下四个结论：①∠BCD＝∠ACD＝36°；②AD＝CD＝CB；③△BCD的周长等于AC＋BC；④点D是线段AB的中点．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．（2021八上·南京期末）如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是 海里.
12．（2021八上·芜湖期末）一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是 ．
13．（2021八上·顺义期末）等腰三角形中，一条边长是2cm，另一条边长是3cm，这个等腰三角形的周长是 ．
14．（2021八上·丰台期末）等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为 ．
15．（2021八上·徐汇期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °．
16．（2021八上·甘南期末）已知等腰△ABC，AB＝AC，∠ABC＝20°，P为直线上一点，BP＝AB，则∠PAC的度数为 ．
17．（2021八上·牡丹江期末）AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
18．（2021八上·宜春期末）如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是 ．
19．（2021八上·宜春期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为 ．
20．（2021八上·海淀期末）若等腰三角形的一个外角为40°，则它的顶角的度数为 .
三、解答题
21．（2021八上·乌兰察布期末）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长.
22．（2021八上·思南月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？
23．（2021八上·浦口月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF.求证：AF＝BF.
24．（2021八上·浦口月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A.求证：∠1＝∠2
四、综合题
25．（2022八上·西湖期末）已知：如图，，相交于点O，，.
求证：
（1）
（2）.
26．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，∠C＝75°.
（1）求∠A的度数；
（2）求∠CBD的度数.
27．（2021八上·开化期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE.
（2）若∠DAE=∠B=28 °，求∠BAD的度数.
28．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB=BC，∠B=x°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠ACB=（180°-∠B）=（180°-x°）=90°-x°；
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCP=∠ACB=（90°-x°）=45°-x°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠APE=∠DPC=90°-∠DCP=90°-（45°-x°）=45°+x°.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACB，利用三角形的内角和为180°，可表示出∠ACB的度数；利用角平分线的定义表示出∠DCP的度数；然后利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余，可表示出∠APE的度数.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
.
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或.
故答案为：D.
【分析】当BC=CD时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=80°，根据角平分线的概念可得∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质可得∠BDC的度数；当BD=BC时，同理可得∠ABC=80°，∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC的度数；当DB=DC时，同理可得∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC的度数.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C==72°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=36°.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠BDC，最后根据三角形外角的性质求∠ABD的度数即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD是BC边上的中线，即BD=DC，
又∵△ABC的面积为S，
∴△ABD面积为，
∵AE=，
∴△ABE 的面积为，
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形三线合一性质求出△ABD面积，再根据AE=求出△ABE的面积 即可.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝90° 35°＝55°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，再根据直角三角形两锐角互余可求解.
6．【答案】C
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BC=BD=DA，
∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，
∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ECF=27°，
∴∠ADF=∠C+∠BAD=3∠ECF=81°．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系逐步推出，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设这个等腰三角形的第三边边长为a
则，即
因此，由等腰三角形的定义可知，或
（1）当时
这个等腰三角形的周长为
（2）当时
这个等腰三角形的周长为
综上，这个等腰三角形的周长为7或8
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系分情况求解即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠ADE＝40°
∴∠DEA＝70°，
∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠DEA=∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠DEA-∠C＝30°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠C＝∠B＝40°，最后求出 ∠EDC的度数即可。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个角是80°，
当80°为底角时，它的一个底角是80°，
当80°为顶角时，它的一个底角是，
则它的一个底角是50°或80°．
故答案为：C．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可。
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： AB＝AC，∠A＝36°，
，
根据作图可知是的垂直平分线，
，
，
.，
∠BCD＝∠ACD＝36°， AD＝CD＝CB；；
故①②符合题意
△BCD的周长等于AC＋BC；
故③符合题意
若点D是线段AB的中点
是等边三角形
而
点D不是线段AB的中点
故④不符合题意
故正确的有①②③
故答案为：C
【分析】利用垂直平分线的性质，等边三角形的性质，线段的中点，对每个结论一一判断即可。
11．【答案】20
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：据题意得，.
∵，即，
∴，
∴.
由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）.
∴（海里），
∴（海里）.
故答案为：20.
【分析】利用三角形外角的性质可求出∠C的度数，由此可证得∠A=∠C，利用等角对等边可证得AB=BC，利用船的运动速度和时间，可求出AB的长，即可得到BC的长.
12．【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．
故答案为：20．
【分析】利用三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质求解即可。
13．【答案】或
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
②当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
故答案为：或．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
14．【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的两边长分别是和，
当腰长为时，此时 不符合题意，舍去，
当腰长为时，此时 符合题意，
所以三角形的周长为：
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
15．【答案】74
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵DE垂直平分BC，AB=CD，
∴BD=CD=AB，
∵∠C=37°，
∴∠DBC=∠C=37°，
∴∠ADB=2∠C=74°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=74°，
故答案为74．
【分析】连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD=AB，再利用等边对等角的性质可得∠DBC=∠C=37°，∠A=∠ADB=74°。
16．【答案】60°或150°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
，，
，
，
，
，
，
如图2，
，，
，
，
，
，
．
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得出，，由等腰三角形的性质得出，即可求出。
17．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM最小值为8，
故答案为：8．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出点B关于直线EF的对称点为点A，再求出AD的长为BM+MD的最小值，最后求解即可。
18．【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PC，
∵AB=AC，AD是的两条中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6，
故答案为：6
【分析】连接PC，P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6。
19．【答案】45°或15°或75°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；
如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，
AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，，
∴AD=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴底角∠B=45°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．
故答案为：或或．
【分析】根据题意画出符合的三种情况，再根据含30度角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角和的外角性质、等腰三角形的性质，求出即可。
20．【答案】140°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由等腰三角形的一个外角为40°，可得这个等腰三角形的一个内角为140°，根据三角形的内角和定理可得这个角为等腰三角形的顶角，即这个等腰三角形顶角的度数为140°.
故答案为：140°.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可。
21．【答案】解：如答图所示．设AD=DC=x，BC=y，由题意得
或
解得 或
当时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系．
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
∴这个等腰三角形的底边长是5．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】作出图形，设AD=DC=x，BC=y，再分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解。
22．【答案】解：设∠A=x°，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠A=36°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 设∠A=x°， 由等腰三角形的性质得∠ABD=∠A=x°，由三角形外角的性质得∠BDC=∠A+
∠ABD=2x°， 由BD=BC ， AB=AC， 可得∠C=∠BDC=2x°，∠ABC=∠C=2x°，在△ABC中利用三角形的内角和列出方程，解出x值即可.
23．【答案】证明：连接FC，如图
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC
∵FE是AC的垂直平分线
∴AF=FC
∴AF=BF
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】连接FC，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，BD=CD，利用垂直平分线的性质可证得BF=CF，AF=FC，由此可证得结论.
24．【答案】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∵AF⊥AD，
∴AF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠1＝∠2.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可证得AD⊥BC，∠B=∠C，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AF∥BC，利用平行线的性质可证得∠1=∠B，∠2=∠C，由此可证得结论.
25．【答案】（1）证明：在△ABO与△DCO中，
∵，
∴（AAS）
（2）证明：∵，
∴OB=OC，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，结合已知条件AB=DC，∠ABO=∠DCO，用全等三角形的判定方法AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得OB=OC，然后根据等腰三角形的性质可得结论.
26．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠C=75°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠A=180°-75°-75°=30°，
∴∠A的度数30°；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-30°=45°，
∴∠CBD的度数为45°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=75°，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数即可；
（2） 由线段垂直平分线的性质可得DA=DB，利用等腰三角形的性质可得∠DBA=∠A=30°， 根据∠CBD=∠ABC-∠ABD 即可求解.
27．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △ABD和△ACE中，
∵，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）.
（2）解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵ ∠DAE=∠B=28 °，
∴∠C=∠B=28°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴2∠BAD+∠DAE+∠B+∠C=180°，
∴∠BAD==53°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，然后根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAD=∠CAE，则可求出∠C的度数，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理和角的和差的关系求∠BAD即可.
28．【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点P，若∠B=x°，则∠APE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB=BC，∠B=x°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠ACB=（180°-∠B）=（180°-x°）=90°-x°；
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCP=∠ACB=（90°-x°）=45°-x°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠APE=∠DPC=90°-∠DCP=90°-（45°-x°）=45°+x°.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACB，利用三角形的内角和为180°，可表示出∠ACB的度数；利用角平分线的定义表示出∠DCP的度数；然后利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余，可表示出∠APE的度数.
2．（2022八上·义乌期末）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）.
A．20°或70° B．20°、70°或100°
C．40°或100° D．40°、70°或100°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
.
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或.
故答案为：D.
【分析】当BC=CD时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=80°，根据角平分线的概念可得∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质可得∠BDC的度数；当BD=BC时，同理可得∠ABC=80°，∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC的度数；当DB=DC时，同理可得∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC的度数.
3．（2021八上·开化期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（ )
A．36° B．46° C．54° D．72°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C==72°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=36°.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠BDC，最后根据三角形外角的性质求∠ABD的度数即可.
4．（2021八上·嘉兴期末）如图，在 中， 是BC边上的高，点 在AD上，且 ，则△ABC的面积为s，则是△ABE的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD是BC边上的中线，即BD=DC，
又∵△ABC的面积为S，
∴△ABD面积为，
∵AE=，
∴△ABE 的面积为，
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形三线合一性质求出△ABD面积，再根据AE=求出△ABE的面积 即可.
5．（2021八上·金昌期末）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=35°，则∠BAD=（ ）
A．110° B．70° C．55° D．35°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝90° 35°＝55°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，再根据直角三角形两锐角互余可求解.
6．（2021八上·二道期末）如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，则∠ADF的度数为（ ）
A．54° B．91° C．81° D．101°
【答案】C
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BC=BD=DA，
∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，
∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ECF=27°，
∴∠ADF=∠C+∠BAD=3∠ECF=81°．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系逐步推出，即可得出答案。
7．（2021八上·蚌埠期末）若一个等腰三角形的两边长分别为2、3，则这个等腰三角形的周长为( )．
A．7 B．8 C．6或8 D．7或8
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设这个等腰三角形的第三边边长为a
则，即
因此，由等腰三角形的定义可知，或
（1）当时
这个等腰三角形的周长为
（2）当时
这个等腰三角形的周长为
综上，这个等腰三角形的周长为7或8
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系分情况求解即可。
8．（2021八上·牡丹江期末）如图所示，△ABC与△ADE顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠ADE＝40°
∴∠DEA＝70°，
∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠DEA=∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠DEA-∠C＝30°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠C＝∠B＝40°，最后求出 ∠EDC的度数即可。
9．（2021八上·平谷期末）等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个角是80°，
当80°为底角时，它的一个底角是80°，
当80°为顶角时，它的一个底角是，
则它的一个底角是50°或80°．
故答案为：C．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可。
10．（2021八上·门头沟期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点D，E，连接CD．有以下四个结论：①∠BCD＝∠ACD＝36°；②AD＝CD＝CB；③△BCD的周长等于AC＋BC；④点D是线段AB的中点．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： AB＝AC，∠A＝36°，
，
根据作图可知是的垂直平分线，
，
，
.，
∠BCD＝∠ACD＝36°， AD＝CD＝CB；；
故①②符合题意
△BCD的周长等于AC＋BC；
故③符合题意
若点D是线段AB的中点
是等边三角形
而
点D不是线段AB的中点
故④不符合题意
故正确的有①②③
故答案为：C
【分析】利用垂直平分线的性质，等边三角形的性质，线段的中点，对每个结论一一判断即可。
二、填空题
11．（2021八上·南京期末）如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是 海里.
【答案】20
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：据题意得，.
∵，即，
∴，
∴.
由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）.
∴（海里），
∴（海里）.
故答案为：20.
【分析】利用三角形外角的性质可求出∠C的度数，由此可证得∠A=∠C，利用等角对等边可证得AB=BC，利用船的运动速度和时间，可求出AB的长，即可得到BC的长.
12．（2021八上·芜湖期末）一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是 ．
【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．
故答案为：20．
【分析】利用三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质求解即可。
13．（2021八上·顺义期末）等腰三角形中，一条边长是2cm，另一条边长是3cm，这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】或
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
②当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
故答案为：或．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
14．（2021八上·丰台期末）等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为 ．
【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的两边长分别是和，
当腰长为时，此时 不符合题意，舍去，
当腰长为时，此时 符合题意，
所以三角形的周长为：
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
15．（2021八上·徐汇期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °．
【答案】74
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵DE垂直平分BC，AB=CD，
∴BD=CD=AB，
∵∠C=37°，
∴∠DBC=∠C=37°，
∴∠ADB=2∠C=74°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=74°，
故答案为74．
【分析】连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD=AB，再利用等边对等角的性质可得∠DBC=∠C=37°，∠A=∠ADB=74°。
16．（2021八上·甘南期末）已知等腰△ABC，AB＝AC，∠ABC＝20°，P为直线上一点，BP＝AB，则∠PAC的度数为 ．
【答案】60°或150°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
，，
，
，
，
，
，
如图2，
，，
，
，
，
，
．
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得出，，由等腰三角形的性质得出，即可求出。
17．（2021八上·牡丹江期末）AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM最小值为8，
故答案为：8．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出点B关于直线EF的对称点为点A，再求出AD的长为BM+MD的最小值，最后求解即可。
18．（2021八上·宜春期末）如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PC，
∵AB=AC，AD是的两条中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6，
故答案为：6
【分析】连接PC，P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6。
19．（2021八上·宜春期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为 ．
【答案】45°或15°或75°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；
如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，
AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，，
∴AD=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴底角∠B=45°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．
故答案为：或或．
【分析】根据题意画出符合的三种情况，再根据含30度角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角和的外角性质、等腰三角形的性质，求出即可。
20．（2021八上·海淀期末）若等腰三角形的一个外角为40°，则它的顶角的度数为 .
【答案】140°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由等腰三角形的一个外角为40°，可得这个等腰三角形的一个内角为140°，根据三角形的内角和定理可得这个角为等腰三角形的顶角，即这个等腰三角形顶角的度数为140°.
故答案为：140°.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可。
三、解答题
21．（2021八上·乌兰察布期末）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长.
【答案】解：如答图所示．设AD=DC=x，BC=y，由题意得
或
解得 或
当时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系．
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
∴这个等腰三角形的底边长是5．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】作出图形，设AD=DC=x，BC=y，再分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解。
22．（2021八上·思南月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？
【答案】解：设∠A=x°，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠A=36°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 设∠A=x°， 由等腰三角形的性质得∠ABD=∠A=x°，由三角形外角的性质得∠BDC=∠A+
∠ABD=2x°， 由BD=BC ， AB=AC， 可得∠C=∠BDC=2x°，∠ABC=∠C=2x°，在△ABC中利用三角形的内角和列出方程，解出x值即可.
23．（2021八上·浦口月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF.求证：AF＝BF.
【答案】证明：连接FC，如图
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC
∵FE是AC的垂直平分线
∴AF=FC
∴AF=BF
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】连接FC，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，BD=CD，利用垂直平分线的性质可证得BF=CF，AF=FC，由此可证得结论.
24．（2021八上·浦口月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A.求证：∠1＝∠2
【答案】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∵AF⊥AD，
∴AF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠1＝∠2.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可证得AD⊥BC，∠B=∠C，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AF∥BC，利用平行线的性质可证得∠1=∠B，∠2=∠C，由此可证得结论.
四、综合题
25．（2022八上·西湖期末）已知：如图，，相交于点O，，.
求证：
（1）
（2）.
【答案】（1）证明：在△ABO与△DCO中，
∵，
∴（AAS）
（2）证明：∵，
∴OB=OC，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，结合已知条件AB=DC，∠ABO=∠DCO，用全等三角形的判定方法AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得OB=OC，然后根据等腰三角形的性质可得结论.
26．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，∠C＝75°.
（1）求∠A的度数；
（2）求∠CBD的度数.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠C=75°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠A=180°-75°-75°=30°，
∴∠A的度数30°；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-30°=45°，
∴∠CBD的度数为45°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=75°，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数即可；
（2） 由线段垂直平分线的性质可得DA=DB，利用等腰三角形的性质可得∠DBA=∠A=30°， 根据∠CBD=∠ABC-∠ABD 即可求解.
27．（2021八上·开化期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE.
（2）若∠DAE=∠B=28 °，求∠BAD的度数.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △ABD和△ACE中，
∵，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）.
（2）解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵ ∠DAE=∠B=28 °，
∴∠C=∠B=28°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴2∠BAD+∠DAE+∠B+∠C=180°，
∴∠BAD==53°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，然后根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAD=∠CAE，则可求出∠C的度数，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理和角的和差的关系求∠BAD即可.
28．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
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