2022-2023学年浙教版数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习

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2022-2023学年浙教版数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
2．（2021八上·宜宾期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
3．（2021八上·凉山期末）如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（　　）
A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m
4．（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·顺义期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．（2021八上·庄河期末）如图所示，点E、F为网格中的格点，为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（　　）
A．4个 B．6个 C．9个 D．10个
7．（2021八上·昌平期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021八上·铁岭期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．无法确定
9．（2021八上·东莞期末）如图， 中， ， ，BD平分 交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （　　）
A．10 B．11 C．13 D．15
二、填空题
11．（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 　 　 .
12．（2021八上·句容期末）如图， 平分 交 于点E，若 ，则 　 　.
13．（2021八上·松桃期末）如图，在等边三角形ABC中，
的平分线与
的平分线相交于D，过点D作
交AB于E，交AC于F，
，则BC的长为　 　.
14．（2021八上·丰台期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为（，4），点的坐标为（，1），点为第一象限内的整点，不共线的，，三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是　 　（写出一个即可），满足题意的点的个数为　 　．
15．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为　 　时，的形状是等腰三角形.
16．（2021八上·松江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=　 　度．
17．（2021八上·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有　 　个．
18．（2021八上·道里期末）如图，在中，BD和CD分别是和的平分线，EF过点D，且，若，，则EF的长为　 　．
19．（2021八上·长春期末）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为　 　．
20．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有　 　（填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
三、解答题
21．（2021八上·泗洪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
22．（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．
23．（2021八上·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
24．（2021八上·吉林期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D，连接BD、CD．求∠CDA的度数．
四、综合题
25．（2021八上·遂宁期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
26．（2021八上·遵义期末）如图：点E、F在BC上， ， ， ，AF与DE交于点G.过点G作 ，垂足为H.
（1）求证：
（2）求证：
27．（2021八上·松桃期末）如图，在
中，
，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且
，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证：
；
（2）判断
是否是等边三角形，并说明理由.
28．（2021八上·川汇期末）如图，已知锐角.
（1）尺规作图：作的高（保留作图的痕迹，不要求写出作法）；
（2）若，与有什么关系？并说明理由.
29．（2021八上·川汇期末）如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：是等边三角形；
（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
C、有两边和夹角对应相等的两个三角形一定全等，故原命题错误，不符合题意；
D、到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据等边三角形的判定定理可判断B；根据全等三角形的判定定理可判断C；根据线段垂直平分线的性质可判断D.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴△PMN是等边三角形，
∵ ，
∴QN=PQ=
，∠QMN=30°，∠QNM=60°，
∵ ，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG=
，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵ 的周长为12，
，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.
故答案为：C.
【分析】易得△PMN是等边三角形，得QN=PQ=
MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=
MN，推出QM=QG，根据△MNP的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，据此求解.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.
故答案为：C.
【分析】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，分是三种情况，
当AP=AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1、P2，
当CA=CP时，以C为圆心， CA长为半径画圆，交直线l于点P3、 P4.
当PA=PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴直线l上任意一点(与AB的交点除外)与A B构成的三角形均为等腰三角形，
∴满足条件的点P的个数共有5个，
故答案为：C．
【分析】分三种情况：AP=AC、CA=CP、PA=CP。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平分线上，则这样的D点有5个，
当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个，
故符合条件的点D有9个，
故答案为：C．
【分析】当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平分线上，则这样的D点有5个，当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个，由此得出答案。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴点重合，
∴符合条件的点P有2个；
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出是等边三角形，最后求解即可。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAE=60°，
∵∠1=∠2，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：B．
【分析】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵BD平分 交AC于D，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∵ ，
∴ 是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和及角平分线分别求出∠C、∠CBD、∠ABD及∠BDC，再根据等腰三角形的判定方法求解即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【分析】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
11．【答案】5
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
【分析】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB，根据等角对等边得出DF=DB=3cm，同里得出EF=EC=2cm， 利用DE=DF+EF计算即可.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠BDE=∠DBE，
∴BE=DE，
∵DE=
，
∴EB=
.
故答案为：
.
【分析】根据角平分线的概念可得∠CBD=∠ABD，根据平行线的性质可得∠BDE=∠CBD，推出∠BDE=∠DBE，则BE=DE，据此解答.
13．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA=4，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6.
【分析】证得△AEF也是等边三角形，由等边三角形的性质可得AE=EF=FA=4，AB=AC=BC，从而得EB=FC，由角平分定义及平行线的性质得∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，利用等角对等边可得EB=ED=DF=FC=2，从而求出BC=AB=AE+EB=6.
14．【答案】（，）（答案不唯一）；7
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】建立如下坐标系，如图，则点
如图，根据题意不共线的，，三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得这样的点有7个，分别为：
故答案为：（3，1）；7
【分析】由不共线的，，三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，根据两圆一中垂即可得出结论。
15．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【分析】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
16．【答案】30
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则，
∵，
∴，
∵EF是的中线，
∴，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
故答案为：30．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则，根据中线的性质得出，再根据∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，得出是等边三角形，由此得出答案。
17．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：第一个图以C为圆心，AC长为半径，
∴为等腰三角形，符合题意；
第二个图为作的角平分线，无法得到为等腰三角形，不符合题意；
第三个图以B为圆心，AB长为半径，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，符合题意；
第四个图为作线段AC的垂直平分线，可得，
∴为等腰三角形，符合题意；
综上可得：有三个图使得为等腰三角形，
故答案为：3．
【分析】根据等腰三角形的判定定理判断各图形即可得出答案。
18．【答案】7
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
又∵BE=3，CF=4，
∴EF=DE+DF=BE+CF=7．
故答案为：7．
【分析】根据BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，得出BE=DE，CF=DF，再根据BE=3，CF=4，即可得出答案。
19．【答案】130°
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作法得OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵DE＝DC＝EC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠OEC＝70°+60°＝130°．
故答案为130°．
【分析】根据角平分线的性质、等边三角形的判定与性质即可得出答案。
20．【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①符合题意；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②符合题意；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③符合题意；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④不符合题意．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理判断即可。
21．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的高，
∴ ，
∴ 在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据高线的概念可得∠CEB=∠BDC=90°，然后用AAS证明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，最后根据等角对等边进行证明.
22．【答案】解：，
为等腰三角形，
，
由外角的性质得：，
，
再由外角的性质得：，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案。
23．【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
24．【答案】解：由作法得BD＝CD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵DB＝DC，AB＝AC，
∴AD垂直平分BC，
∵DB＝BC，
∴AD平分∠BDC，
∴∠CDA＝30°．
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明△BCD为等边三角形，再证明AD垂直平分BC，即可得到AD平分∠BDC，最后求出∠CDA的度数即可。
25．【答案】（1）证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
；
（2）证明： ，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
在 和 中， ，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由BF=CE得BC=EF，利用垂直的定义得∠B=∠E，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可知∠ACB=∠DFE，由此可证得△GFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠DFE，进而根据等角对等边证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等可证得AC=DF，结合（1）的结论可得AG=DG，再利用SAS证明△AFG≌△DCG.
26．【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFE=∠DEC，
∴EG=GF，
∵GH⊥BC，
∴∠EGH=∠FGH.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由BE=CF可证得BF=CE；再利用SAS证明△ABF≌△DCE.
（2）利用全等三角形的对应角相等可得到∠AFE=∠DEC，再利用等角对等边可证得EG=GF；然后根据等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
27．【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，
，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
28．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：，理由如下：
在DC上截取DE=BD，连接AE，如图所示：
∵，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴AE=EC=AB，
∵，
∴.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可求解；
（2） 在DC上截取DE＝DB，连接AE，如图，根据垂直平分线的性质得AB＝AE，根据等边对等角得∠AEB＝∠B，再证明∠C＝∠EAC得到EA＝EC，然后利用等线段代换得到AB＋BD＝CD．
29．【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：连接AG，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
∵，，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=∠AED=∠ACB=60°，根据有两个角为60度的三角形是等边三角形可得△ADE是等边三角形；
（2）连接AG，用边角边可证△ABF≌△ACG，则AF=AG，∠BAF=∠CAG，进而可得∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAG=∠BAC=60°，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可证△AFG是等边三角形，由等边三角形的性质可求解.
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2022-2023学年浙教版数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
2．（2021八上·宜宾期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
C、有两边和夹角对应相等的两个三角形一定全等，故原命题错误，不符合题意；
D、到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据等边三角形的判定定理可判断B；根据全等三角形的判定定理可判断C；根据线段垂直平分线的性质可判断D.
3．（2021八上·凉山期末）如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（　　）
A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴△PMN是等边三角形，
∵ ，
∴QN=PQ=
，∠QMN=30°，∠QNM=60°，
∵ ，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG=
，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵ 的周长为12，
，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.
故答案为：C.
【分析】易得△PMN是等边三角形，得QN=PQ=
MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=
MN，推出QM=QG，根据△MNP的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，据此求解.
4．（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.
故答案为：C.
【分析】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.
5．（2021八上·顺义期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，分是三种情况，
当AP=AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1、P2，
当CA=CP时，以C为圆心， CA长为半径画圆，交直线l于点P3、 P4.
当PA=PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴直线l上任意一点(与AB的交点除外)与A B构成的三角形均为等腰三角形，
∴满足条件的点P的个数共有5个，
故答案为：C．
【分析】分三种情况：AP=AC、CA=CP、PA=CP。
6．（2021八上·庄河期末）如图所示，点E、F为网格中的格点，为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（　　）
A．4个 B．6个 C．9个 D．10个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平分线上，则这样的D点有5个，
当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个，
故符合条件的点D有9个，
故答案为：C．
【分析】当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平分线上，则这样的D点有5个，当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个，由此得出答案。
7．（2021八上·昌平期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴点重合，
∴符合条件的点P有2个；
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出是等边三角形，最后求解即可。
8．（2021八上·铁岭期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAE=60°，
∵∠1=∠2，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：B．
【分析】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。
9．（2021八上·东莞期末）如图， 中， ， ，BD平分 交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵BD平分 交AC于D，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∵ ，
∴ 是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和及角平分线分别求出∠C、∠CBD、∠ABD及∠BDC，再根据等腰三角形的判定方法求解即可。
10．（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （　　）
A．10 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【分析】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
二、填空题
11．（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 　 　 .
【答案】5
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
【分析】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB，根据等角对等边得出DF=DB=3cm，同里得出EF=EC=2cm， 利用DE=DF+EF计算即可.
12．（2021八上·句容期末）如图， 平分 交 于点E，若 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠BDE=∠DBE，
∴BE=DE，
∵DE=
，
∴EB=
.
故答案为：
.
【分析】根据角平分线的概念可得∠CBD=∠ABD，根据平行线的性质可得∠BDE=∠CBD，推出∠BDE=∠DBE，则BE=DE，据此解答.
13．（2021八上·松桃期末）如图，在等边三角形ABC中，
的平分线与
的平分线相交于D，过点D作
交AB于E，交AC于F，
，则BC的长为　 　.
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA=4，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6.
【分析】证得△AEF也是等边三角形，由等边三角形的性质可得AE=EF=FA=4，AB=AC=BC，从而得EB=FC，由角平分定义及平行线的性质得∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，利用等角对等边可得EB=ED=DF=FC=2，从而求出BC=AB=AE+EB=6.
14．（2021八上·丰台期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为（，4），点的坐标为（，1），点为第一象限内的整点，不共线的，，三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是　 　（写出一个即可），满足题意的点的个数为　 　．
【答案】（，）（答案不唯一）；7
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】建立如下坐标系，如图，则点
如图，根据题意不共线的，，三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得这样的点有7个，分别为：
故答案为：（3，1）；7
【分析】由不共线的，，三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，根据两圆一中垂即可得出结论。
15．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为　 　时，的形状是等腰三角形.
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【分析】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
16．（2021八上·松江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=　 　度．
【答案】30
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则，
∵，
∴，
∵EF是的中线，
∴，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
故答案为：30．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则，根据中线的性质得出，再根据∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，得出是等边三角形，由此得出答案。
17．（2021八上·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有　 　个．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：第一个图以C为圆心，AC长为半径，
∴为等腰三角形，符合题意；
第二个图为作的角平分线，无法得到为等腰三角形，不符合题意；
第三个图以B为圆心，AB长为半径，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，符合题意；
第四个图为作线段AC的垂直平分线，可得，
∴为等腰三角形，符合题意；
综上可得：有三个图使得为等腰三角形，
故答案为：3．
【分析】根据等腰三角形的判定定理判断各图形即可得出答案。
18．（2021八上·道里期末）如图，在中，BD和CD分别是和的平分线，EF过点D，且，若，，则EF的长为　 　．
【答案】7
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
又∵BE=3，CF=4，
∴EF=DE+DF=BE+CF=7．
故答案为：7．
【分析】根据BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，得出BE=DE，CF=DF，再根据BE=3，CF=4，即可得出答案。
19．（2021八上·长春期末）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为　 　．
【答案】130°
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作法得OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵DE＝DC＝EC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠OEC＝70°+60°＝130°．
故答案为130°．
【分析】根据角平分线的性质、等边三角形的判定与性质即可得出答案。
20．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有　 　（填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①符合题意；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②符合题意；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③符合题意；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④不符合题意．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理判断即可。
三、解答题
21．（2021八上·泗洪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
【答案】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的高，
∴ ，
∴ 在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据高线的概念可得∠CEB=∠BDC=90°，然后用AAS证明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，最后根据等角对等边进行证明.
22．（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．
【答案】解：，
为等腰三角形，
，
由外角的性质得：，
，
再由外角的性质得：，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案。
23．（2021八上·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
24．（2021八上·吉林期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D，连接BD、CD．求∠CDA的度数．
【答案】解：由作法得BD＝CD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵DB＝DC，AB＝AC，
∴AD垂直平分BC，
∵DB＝BC，
∴AD平分∠BDC，
∴∠CDA＝30°．
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明△BCD为等边三角形，再证明AD垂直平分BC，即可得到AD平分∠BDC，最后求出∠CDA的度数即可。
四、综合题
25．（2021八上·遂宁期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
；
（2）证明： ，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
在 和 中， ，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由BF=CE得BC=EF，利用垂直的定义得∠B=∠E，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可知∠ACB=∠DFE，由此可证得△GFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠DFE，进而根据等角对等边证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等可证得AC=DF，结合（1）的结论可得AG=DG，再利用SAS证明△AFG≌△DCG.
26．（2021八上·遵义期末）如图：点E、F在BC上， ， ， ，AF与DE交于点G.过点G作 ，垂足为H.
（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFE=∠DEC，
∴EG=GF，
∵GH⊥BC，
∴∠EGH=∠FGH.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由BE=CF可证得BF=CE；再利用SAS证明△ABF≌△DCE.
（2）利用全等三角形的对应角相等可得到∠AFE=∠DEC，再利用等角对等边可证得EG=GF；然后根据等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
27．（2021八上·松桃期末）如图，在
中，
，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且
，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证：
；
（2）判断
是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，
，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
28．（2021八上·川汇期末）如图，已知锐角.
（1）尺规作图：作的高（保留作图的痕迹，不要求写出作法）；
（2）若，与有什么关系？并说明理由.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：，理由如下：
在DC上截取DE=BD，连接AE，如图所示：
∵，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴AE=EC=AB，
∵，
∴.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可求解；
（2） 在DC上截取DE＝DB，连接AE，如图，根据垂直平分线的性质得AB＝AE，根据等边对等角得∠AEB＝∠B，再证明∠C＝∠EAC得到EA＝EC，然后利用等线段代换得到AB＋BD＝CD．
29．（2021八上·川汇期末）如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：是等边三角形；
（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：.
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：连接AG，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
∵，，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=∠AED=∠ACB=60°，根据有两个角为60度的三角形是等边三角形可得△ADE是等边三角形；
（2）连接AG，用边角边可证△ABF≌△ACG，则AF=AG，∠BAF=∠CAG，进而可得∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAG=∠BAC=60°，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可证△AFG是等边三角形，由等边三角形的性质可求解.
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