2022-2023学年浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·川汇期末）如图，在中，，，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则周长的最小值等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，如图所示：
∴，，
∵，，
∴，
∵点D为边AB的中点，
∴，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线，即的最小值为HD的长，
∴的周长最小值为；
故答案为：C.
【分析】作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，由对称的性质并结合直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC=BH，用边角边可证△ABC≌△HBD，则AC=HD，而三角形PBD的周长=BP+PD+BD=HP+PD+BD，要使其最小，只需满足H、P、D三点共线，即BP+PD的最小值为HD的长.
2．（2021八上·海丰期末）如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，交OE于P，过P作PC⊥OB于C，此时的值最小，
∵为的角平分线，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∴=BD，
∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质求出PD=PC，再求出=BD，最后求出BD的值即可。
3．（2021八上·怀柔期末）已知：如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠CAB=30°，AB=6，则DE+DB的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB，
∴DE=CD，
∴DE+BD=CD+BD=BC，
又∵∠CAB=30°，AB=6，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出DE=CD，再根据∠CAB=30°，AB=6，求解即可。
4．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
则在△AED中，∵∠D=30°，
∴∠DAE=60°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，
∴BF=4，
连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠D=30°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4，
故答案为：B．
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质得出AF=BF，求出∠FAB=∠B=30°，即可得出答案。
5．（2021八上·铁岭期末）如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，
∴，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴，
∴
∵点C是OB上一个动点
∴当时，PC的值最小，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴最小值，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，再根据角平分线的性质和垂线段最短得出答案。
6．（2021八上·龙泉期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形
B．三个内角之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；三角形全等及其性质；角平分线的性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，错误；
B、∵最大角=180°×=75°≠90°，不是直角三角形，错误；
C、∵坐标值正负不确定，∴点的横坐标不一定是点到x轴的距离，错误；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判断A；根据三角形内角和定理求最大角判断B；根据坐标和点到直线的距离判断C；根据角平分线的性质判断D.
7．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
8．（2021八上·陇县期末）如图， 中， ， ， 平分 ，若 ，则点D到线段 的距离等于（ ）
A．6 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵ 平分 ，∠C=90°，
∴DC=DE，∠ABC=90°－∠BAC=30°
在Rt△BDE中，BD=2DE
∵BD＋DC=BC=15
∴2DE＋DE=15
解得：DE=5，即点D到线段 的距离等于5.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DC=DE，由余角的性质可得∠ABC=30°，则BD=2DE，结合BD＋DC=BC=15可得DE的值，据此解答.
9．（2021八上·临江期末）如图，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（ ）
A．40° B．20° C．18° D．38°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC=180°-36°-76°=68°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=34°，
∵AE⊥BC，
∴∠EAC=90°-76°=14°，
∴∠DAE=24°-14°=20°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理得出∠BAC=68°，根据角平分线的定义得出∠DAC=34°，根据直角三角形的性质得出∠EAC=14°，利用∠DAE=∠DAC-∠EAC=20°，即可得出答案.
10．（2021八上·惠民月考）如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵ME⊥AB，NF⊥AC，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴BM=AM=AN=MN=NC，
∵在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，
∴BM=2EM=4，
∴BM=MN=CN=4，
∴BC=12；
故答案为：D．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠C=∠B=30°，再求出△AMN是等边三角形，可得BM=AM=AN
=MN=NC，在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，可得BM=2EM=4，从而得解.
二、填空题
11．（2021八上·宁波期末）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km.据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 km.
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=1km，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2（km）.
故答案为：2.
【分析】根据30 °角所对的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
12．（2021八上·龙泉期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC.
（1）若D为AB中点，且 CD=2，则AB= .
（2）当CD= AB时，∠A=α ，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是 .
【答案】（1）4
（2）0< α <90°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：(1)∵△ABC为Rt△ABC，D为AB中点，
∴AB=2CD=4.
故答案为：4.
(2)∵CD= AB ，AD=BD，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠CBD，
∴∠ACB=∠ACD+∠CBD=90°，
∴∠A为锐角，
即0< α <90°.
故答案为：0< α <90°.
【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质求AB长即可；
(2)先求出∠A=∠ACD，∠B=∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠ACB=90°，则A为锐角，从而得出 α的取值范围.
13．（2021八上·滨城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求出三角形BCP周长的最小值为AB+BC=6.
14．（2021八上·朝阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B =30°，CD是高．若AD=2，则BD= ．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90° ∠B＝60°，
∴∠ACD＝90° ∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB AD＝8 2＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠ACB＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AD＝4，再根据∠B＝30°，可得AB＝2AC＝8，最后利用BD＝AB AD计算即可。
15．（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝ ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案为：4．
【分析】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．
16．（2021八上·大兴期末）如图，在中，，，，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是 ．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AF，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴ AF= FC ，
∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2，
∴BC=4，
∵根据两点之间线段最短，
∴PA+ PB= PB+ PC= BC，最小，此时点P与点F重合，
∴PA+PB的最小值是BC的长，即为4，
故答案为： 4．
【分析】根据线段垂直平分线先求出 AF= FC ，再求出BC=4，最后计算求解即可。
17．（2021八上·大兴期末）如图，在中，，， 交BC于点D．若，则 ．
【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴∠CAD=90°，
∵，
∴∠BAD=30°，
∵，
∴AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∴∠C=90°-∠ADC=30°，
∴CD=2AD=6，
∴BC=BD+CD=9．
故答案为：9
【分析】先求出∠CAD=90°，再求出∠C=30°，最后计算求解即可。
18．（2021八上·天津市期末）一个直角三角形房梁如图所示，其中，，AB=10m，，垂足为D，那么BD ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，。
19．（2021八上·密山期末）如上图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°．
∵PC∥OB，
∴∠BOP＝∠OPC＝15°，
∴∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，
又∵PC＝6，
∴PE＝PC＝3，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，
∴PD＝PE＝3，
故答案为3．
【分析】过点P作PE⊥OA于E，先求出∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得PE＝PC＝3，再根据PD=PE即可得到答案。
20．（2021八上·高港月考）如图，线段AB＝4，E为AB中点，点C、D为直线AB同侧不重合的两点，且∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CE、DE、CD，设△CDE的面积为S，则S的范围是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意知：，即S>0，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，AB＝4，
∴CE=AB=2，DE=BE=AB=2，
当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，
∴，即S的最大值为2，
∴.
故答案为：.
【分析】容易得出面积S>0，根据直角三角形斜边中点的性质分别求出CE和DE的长，则可得出当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，依此求出S的最大值，即可得出S的范围.
三、解答题
21．（2021八上·丰台期末）如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．
【答案】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据三角形的内角和得出，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可。
22．（2021八上·德州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度数；
（3）在（2）的条件下，求证：BE＝2AC．
【答案】（1）解：如图作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求
（2）解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B．
又∵∠CAE：∠EAB=4：1，
∴∠CAE：∠B=4：1，
∴∠CAB=5∠B．
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
得6∠B=90°，
∴∠B=15°
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=150°．
（3）解： ∵∠EAB=∠B=15°
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°
∵∠C＝90°
∴AE=2AC
∵EA=EB，
∴BE＝2AC
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求；
（2）根据DE是AB的垂直平分线，得出∠EAB=∠B．再根据∠CAE：∠EAB=4：1，得出∠CAB=5∠B．在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，得出∠B=15°，即可得出结论；
（3）根据∠EAB=∠B=15°，得出∠AEC=∠EAB+∠B=30°，再根据∠C＝90°，得出AE=2AC，即可得出结论。
23．（2021八上·余杭月考）如图，在中，，，是边上的点，且，过点作边的垂线交边于点，求的长.
【答案】解：，，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；线段的计算
【解析】【分析】 由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=60°，结合CD的值可得CE，然后根据AE=AC-CE进行计算.
24．（2021八上·鲁甸期中）如图，在 中， 于点D，若 ，求 的长．
【答案】解：由条件可设 ，
∴
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中，∠BAD=90°-∠B=30°，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 可设，根据三角形内角和可得，从而求出，由，可求出∠BAD=90°-∠B=30°，利用直角三角形的性质，先求出，再求，利用CD=BC-BD即可求解.
25．（2021八上·江津期中）如图，AF，AD分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数.
【答案】解：∵AF是 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用三角形内角和先求出∠FAC=14°，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，由角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=35°，利用∠DAF=∠DAC-∠FAC计算即得.
四、综合题
26．（2021八上·汉阴期末）如图， 和 中， ， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴△ABP为直角三角形，
∵∠B=30°，AB=6，
∴AP=3，
∴PD=AD-AP=3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE；
（3）解：设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°-30°-90°=60°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC= （90°-α）=45°- α，∠ICA= ∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（45°- α+30°）
=105°+ α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可推出△ABP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD的长；
（2）利用SAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠BAC=∠DAE，由此可推出结论；
（3）设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α， 利用三角形的内角和定理求出∠BCA=60°，再利用角平分线的定义可得到∠IAC和∠ICA的度数；再根据∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA），可表示出∠AIC的度数，然后根据0°＜α＜90°，可得到m，n的值.
27．（2020八上·东海期末）问题情境：
七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？
（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：
（2）变式拓展：
如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
（2）解：①解：结论：PE＝PF.
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，
∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
②解：结论：OE﹣OF＝OP.
理由：在△OPM和△OPN中， ，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵△PMF≌△PNE（ASA），
∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM＝ ∠AOB＝60°，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OE﹣OF＝OP.
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，由角平分线的性质可得PM＝PN，由同角的余角相等得∠MPF＝∠NPE，根据ASA证明△PMF≌△PNE，可得PF＝PE；
（2）①PE＝PF；理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N， 同（1）证法相同；
②OE﹣OF＝OP，理由：先利用AAS证明△POM≌△PON，得OM＝ON，由△PMF≌△PNE可得FM＝EN，从而得出OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM， 在Rt△OPM中 ，求出 ∠OPM＝30°， 可得 OP＝2OM， 即得 OE﹣OF＝OP.
28．（2021八上·遵义期末）如图： ，点P是 角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C， 于点D，若 .
（1）求证： 是等腰三角形.
（2）求 的长.
【答案】（1）证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠COP=∠DOP，
∵PC∥OA，
∴∠DOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP，
∴△OPC是等腰三角形.
（2）解：过点P作PE⊥OB ，垂足为E，
∵PD⊥OA，OP平分∠AOB，∠CEP=90°，
∴PE=PD，∠AOB=2∠COP
∵∠ECP=∠COP+∠CPO=2∠COP=∠AOB=30°，
∴PE=PD=PC=×6=3.
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠COP=∠DOP；利用平行线的性质可得到∠DOP=∠CPO，由此可证得∠COP=∠CPO；然后利用等角对等边可推出OC=CP，即可证得结论.
（2）过点P作PE⊥OB ，垂足为E，利用角平分线的性质和定义可证得PE=PD，∠AOB=2∠COP，再利用三角形的外角的性质可求出∠ECP=30°；然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PD的长.
29．（2021八上·鼓楼期末）如图，在
中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点.
（1）求证：
是等腰三角形；
（2）若
，
，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵BD，CE分别是AB、AC边上的高，
∴，
∵点F是BC中点，
∴， ，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
同理 ，
∵， ，
∴，
∴
又 是等腰三角形，
∴是等边三角形.
∴，
∴.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）易得∠BDC=∠BEC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得EF=FD=BF=CF，由此可证得△DEF是等腰三角形；
（2）利用等边对等角得∠EBF=∠BEF，∠FDC=∠DCF；再证明∠BFE=180°-2∠EBF，∠DFC=180°-2∠DCF，利用三角形的内角和定理可求出∠ABF+∠ACF的值，从而可求出∠DFE=60°，可推出△DEF是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出EF的长，即可得到BC的长.
30．（2021八上·望花期末）某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE＝30°．
（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；
（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
【答案】（1）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°，
∴，
∵AE=80m，
∴BE=40m，
即旋转木马E处到出口B处的距离为40m；
（2）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°，
∴∠AEB=∠DEC=60°，
∵∠C＝90°，
∴∠D=30°，
∵CE=40m，
∴，
∴DB=DE+BE=120m，
即海洋球D处到出口B处的距离为120m；
（3）解：入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，理由如下：
由（1）（2）可知：AE=DE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△DEC≌△AEB（AAS），
∴AB=DC，
即入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出BE的值；
（2）由（1）同理得出DE的值，从而求出BD的值；
（3）利用勾股定理求出AB、CD的长，即可判断。
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·川汇期末）如图，在中，，，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则周长的最小值等于（ ）.
A． B． C． D．
2．（2021八上·海丰期末）如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021八上·怀柔期末）已知：如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠CAB=30°，AB=6，则DE+DB的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2021八上·铁岭期末）如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·龙泉期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形
B．三个内角之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
7．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
8．（2021八上·陇县期末）如图， 中， ， ， 平分 ，若 ，则点D到线段 的距离等于（ ）
A．6 B．5 C．8 D．10
9．（2021八上·临江期末）如图，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（ ）
A．40° B．20° C．18° D．38°
10．（2021八上·惠民月考）如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11．（2021八上·宁波期末）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km.据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 km.
12．（2021八上·龙泉期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC.
（1）若D为AB中点，且 CD=2，则AB= .
（2）当CD= AB时，∠A=α ，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是 .
13．（2021八上·滨城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 ．
14．（2021八上·朝阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B =30°，CD是高．若AD=2，则BD= ．
15．（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝ ．
16．（2021八上·大兴期末）如图，在中，，，，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是 ．
17．（2021八上·大兴期末）如图，在中，，， 交BC于点D．若，则 ．
18．（2021八上·天津市期末）一个直角三角形房梁如图所示，其中，，AB=10m，，垂足为D，那么BD ．
19．（2021八上·密山期末）如上图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=
20．（2021八上·高港月考）如图，线段AB＝4，E为AB中点，点C、D为直线AB同侧不重合的两点，且∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CE、DE、CD，设△CDE的面积为S，则S的范围是 .
三、解答题
21．（2021八上·丰台期末）如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．
22．（2021八上·德州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度数；
（3）在（2）的条件下，求证：BE＝2AC．
23．（2021八上·余杭月考）如图，在中，，，是边上的点，且，过点作边的垂线交边于点，求的长.
24．（2021八上·鲁甸期中）如图，在 中， 于点D，若 ，求 的长．
25．（2021八上·江津期中）如图，AF，AD分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数.
四、综合题
26．（2021八上·汉阴期末）如图， 和 中， ， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
27．（2020八上·东海期末）问题情境：
七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？
（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：
（2）变式拓展：
如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.
28．（2021八上·遵义期末）如图： ，点P是 角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C， 于点D，若 .
（1）求证： 是等腰三角形.
（2）求 的长.
29．（2021八上·鼓楼期末）如图，在
中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点.
（1）求证：
是等腰三角形；
（2）若
，
，求BC的长.
30．（2021八上·望花期末）某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE＝30°．
（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；
（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，如图所示：
∴，，
∵，，
∴，
∵点D为边AB的中点，
∴，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线，即的最小值为HD的长，
∴的周长最小值为；
故答案为：C.
【分析】作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，由对称的性质并结合直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC=BH，用边角边可证△ABC≌△HBD，则AC=HD，而三角形PBD的周长=BP+PD+BD=HP+PD+BD，要使其最小，只需满足H、P、D三点共线，即BP+PD的最小值为HD的长.
2．【答案】A
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，交OE于P，过P作PC⊥OB于C，此时的值最小，
∵为的角平分线，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∴=BD，
∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质求出PD=PC，再求出=BD，最后求出BD的值即可。
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB，
∴DE=CD，
∴DE+BD=CD+BD=BC，
又∵∠CAB=30°，AB=6，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出DE=CD，再根据∠CAB=30°，AB=6，求解即可。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
则在△AED中，∵∠D=30°，
∴∠DAE=60°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，
∴BF=4，
连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠D=30°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4，
故答案为：B．
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质得出AF=BF，求出∠FAB=∠B=30°，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，
∴，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴，
∴
∵点C是OB上一个动点
∴当时，PC的值最小，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴最小值，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，再根据角平分线的性质和垂线段最短得出答案。
6．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；三角形全等及其性质；角平分线的性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，错误；
B、∵最大角=180°×=75°≠90°，不是直角三角形，错误；
C、∵坐标值正负不确定，∴点的横坐标不一定是点到x轴的距离，错误；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判断A；根据三角形内角和定理求最大角判断B；根据坐标和点到直线的距离判断C；根据角平分线的性质判断D.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
8．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵ 平分 ，∠C=90°，
∴DC=DE，∠ABC=90°－∠BAC=30°
在Rt△BDE中，BD=2DE
∵BD＋DC=BC=15
∴2DE＋DE=15
解得：DE=5，即点D到线段 的距离等于5.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DC=DE，由余角的性质可得∠ABC=30°，则BD=2DE，结合BD＋DC=BC=15可得DE的值，据此解答.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC=180°-36°-76°=68°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=34°，
∵AE⊥BC，
∴∠EAC=90°-76°=14°，
∴∠DAE=24°-14°=20°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理得出∠BAC=68°，根据角平分线的定义得出∠DAC=34°，根据直角三角形的性质得出∠EAC=14°，利用∠DAE=∠DAC-∠EAC=20°，即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵ME⊥AB，NF⊥AC，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴BM=AM=AN=MN=NC，
∵在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，
∴BM=2EM=4，
∴BM=MN=CN=4，
∴BC=12；
故答案为：D．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠C=∠B=30°，再求出△AMN是等边三角形，可得BM=AM=AN
=MN=NC，在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，可得BM=2EM=4，从而得解.
11．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=1km，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2（km）.
故答案为：2.
【分析】根据30 °角所对的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
12．【答案】（1）4
（2）0< α <90°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：(1)∵△ABC为Rt△ABC，D为AB中点，
∴AB=2CD=4.
故答案为：4.
(2)∵CD= AB ，AD=BD，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠CBD，
∴∠ACB=∠ACD+∠CBD=90°，
∴∠A为锐角，
即0< α <90°.
故答案为：0< α <90°.
【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质求AB长即可；
(2)先求出∠A=∠ACD，∠B=∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠ACB=90°，则A为锐角，从而得出 α的取值范围.
13．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求出三角形BCP周长的最小值为AB+BC=6.
14．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90° ∠B＝60°，
∴∠ACD＝90° ∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB AD＝8 2＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠ACB＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AD＝4，再根据∠B＝30°，可得AB＝2AC＝8，最后利用BD＝AB AD计算即可。
15．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案为：4．
【分析】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．
16．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AF，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴ AF= FC ，
∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2，
∴BC=4，
∵根据两点之间线段最短，
∴PA+ PB= PB+ PC= BC，最小，此时点P与点F重合，
∴PA+PB的最小值是BC的长，即为4，
故答案为： 4．
【分析】根据线段垂直平分线先求出 AF= FC ，再求出BC=4，最后计算求解即可。
17．【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴∠CAD=90°，
∵，
∴∠BAD=30°，
∵，
∴AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∴∠C=90°-∠ADC=30°，
∴CD=2AD=6，
∴BC=BD+CD=9．
故答案为：9
【分析】先求出∠CAD=90°，再求出∠C=30°，最后计算求解即可。
18．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，。
19．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°．
∵PC∥OB，
∴∠BOP＝∠OPC＝15°，
∴∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，
又∵PC＝6，
∴PE＝PC＝3，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，
∴PD＝PE＝3，
故答案为3．
【分析】过点P作PE⊥OA于E，先求出∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得PE＝PC＝3，再根据PD=PE即可得到答案。
20．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意知：，即S>0，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，AB＝4，
∴CE=AB=2，DE=BE=AB=2，
当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，
∴，即S的最大值为2，
∴.
故答案为：.
【分析】容易得出面积S>0，根据直角三角形斜边中点的性质分别求出CE和DE的长，则可得出当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，依此求出S的最大值，即可得出S的范围.
21．【答案】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据三角形的内角和得出，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可。
22．【答案】（1）解：如图作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求
（2）解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B．
又∵∠CAE：∠EAB=4：1，
∴∠CAE：∠B=4：1，
∴∠CAB=5∠B．
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
得6∠B=90°，
∴∠B=15°
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=150°．
（3）解： ∵∠EAB=∠B=15°
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°
∵∠C＝90°
∴AE=2AC
∵EA=EB，
∴BE＝2AC
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求；
（2）根据DE是AB的垂直平分线，得出∠EAB=∠B．再根据∠CAE：∠EAB=4：1，得出∠CAB=5∠B．在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，得出∠B=15°，即可得出结论；
（3）根据∠EAB=∠B=15°，得出∠AEC=∠EAB+∠B=30°，再根据∠C＝90°，得出AE=2AC，即可得出结论。
23．【答案】解：，，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；线段的计算
【解析】【分析】 由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=60°，结合CD的值可得CE，然后根据AE=AC-CE进行计算.
24．【答案】解：由条件可设 ，
∴
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中，∠BAD=90°-∠B=30°，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 可设，根据三角形内角和可得，从而求出，由，可求出∠BAD=90°-∠B=30°，利用直角三角形的性质，先求出，再求，利用CD=BC-BD即可求解.
25．【答案】解：∵AF是 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用三角形内角和先求出∠FAC=14°，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，由角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=35°，利用∠DAF=∠DAC-∠FAC计算即得.
26．【答案】（1）解：∵ ，
∴△ABP为直角三角形，
∵∠B=30°，AB=6，
∴AP=3，
∴PD=AD-AP=3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE；
（3）解：设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°-30°-90°=60°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC= （90°-α）=45°- α，∠ICA= ∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（45°- α+30°）
=105°+ α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可推出△ABP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD的长；
（2）利用SAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠BAC=∠DAE，由此可推出结论；
（3）设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α， 利用三角形的内角和定理求出∠BCA=60°，再利用角平分线的定义可得到∠IAC和∠ICA的度数；再根据∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA），可表示出∠AIC的度数，然后根据0°＜α＜90°，可得到m，n的值.
27．【答案】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
（2）解：①解：结论：PE＝PF.
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，
∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
②解：结论：OE﹣OF＝OP.
理由：在△OPM和△OPN中， ，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵△PMF≌△PNE（ASA），
∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM＝ ∠AOB＝60°，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OE﹣OF＝OP.
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，由角平分线的性质可得PM＝PN，由同角的余角相等得∠MPF＝∠NPE，根据ASA证明△PMF≌△PNE，可得PF＝PE；
（2）①PE＝PF；理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N， 同（1）证法相同；
②OE﹣OF＝OP，理由：先利用AAS证明△POM≌△PON，得OM＝ON，由△PMF≌△PNE可得FM＝EN，从而得出OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM， 在Rt△OPM中 ，求出 ∠OPM＝30°， 可得 OP＝2OM， 即得 OE﹣OF＝OP.
28．【答案】（1）证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠COP=∠DOP，
∵PC∥OA，
∴∠DOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP，
∴△OPC是等腰三角形.
（2）解：过点P作PE⊥OB ，垂足为E，
∵PD⊥OA，OP平分∠AOB，∠CEP=90°，
∴PE=PD，∠AOB=2∠COP
∵∠ECP=∠COP+∠CPO=2∠COP=∠AOB=30°，
∴PE=PD=PC=×6=3.
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠COP=∠DOP；利用平行线的性质可得到∠DOP=∠CPO，由此可证得∠COP=∠CPO；然后利用等角对等边可推出OC=CP，即可证得结论.
（2）过点P作PE⊥OB ，垂足为E，利用角平分线的性质和定义可证得PE=PD，∠AOB=2∠COP，再利用三角形的外角的性质可求出∠ECP=30°；然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PD的长.
29．【答案】（1）证明：∵BD，CE分别是AB、AC边上的高，
∴，
∵点F是BC中点，
∴， ，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
同理 ，
∵， ，
∴，
∴
又 是等腰三角形，
∴是等边三角形.
∴，
∴.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）易得∠BDC=∠BEC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得EF=FD=BF=CF，由此可证得△DEF是等腰三角形；
（2）利用等边对等角得∠EBF=∠BEF，∠FDC=∠DCF；再证明∠BFE=180°-2∠EBF，∠DFC=180°-2∠DCF，利用三角形的内角和定理可求出∠ABF+∠ACF的值，从而可求出∠DFE=60°，可推出△DEF是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出EF的长，即可得到BC的长.
30．【答案】（1）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°，
∴，
∵AE=80m，
∴BE=40m，
即旋转木马E处到出口B处的距离为40m；
（2）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°，
∴∠AEB=∠DEC=60°，
∵∠C＝90°，
∴∠D=30°，
∵CE=40m，
∴，
∴DB=DE+BE=120m，
即海洋球D处到出口B处的距离为120m；
（3）解：入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，理由如下：
由（1）（2）可知：AE=DE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△DEC≌△AEB（AAS），
∴AB=DC，
即入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出BE的值；
（2）由（1）同理得出DE的值，从而求出BD的值；
（3）利用勾股定理求出AB、CD的长，即可判断。
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