2022-2023学年浙教版数学八年级上册2.7 探索勾股定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·驻马店期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1， ， C．4，5，6 D．12，15，20
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、 ，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系定理排除选项A；再利用勾股定理的逆定理分别求出选项B，C，D中的较小两条线段的平方和和最大线段的平方，然后根据若较小两条线段的平方和=最大线段的平方，就能能构成直角三角形，可得答案.
2．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
3．（2021八上·南京期末）在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【知识点】算术平方根；实数在数轴上的表示；估算无理数的大小；勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
① 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③a是8的算术平方根，说法正确；
④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误；
所以说法正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.
4．（2021八上·嵩县期末）如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB= m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′= m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用勾股定理求出AB′的长；然后根据BB′=AB-AB′，代入计算可求解.
5．（2021八上·嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：SA=1，
由勾股定理得：SB＋SC=1，
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可证得SB＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.
6．（2021八上·宜宾期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，不能判定△ABC为直角三角形是的（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、
∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
故A选项符合题意；
B、
则
故B选项不符合题意；
C、
a：b：c＝5：12：13，设
则
所以能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、
∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理求出三角形中最大内角的度数，据此判断A、B、D；设a=5k，则b=12k，c=13k，利用勾股定理逆定理可判断C.
7．（2021八上·巴中期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知.
，
，
由勾股定理得
，
故离门4米远的地方，灯刚好打开.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.
8．（2021八上·巴中期末）有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）
A．10cm B．13cm C．18cm D．20cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
，
木条长度适合的是
.
故答案为：B.
【分析】直接利用勾股定理求解即可.
9．（2021八上·句容期末）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是（ ）
A． B． +1 C．1﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：
.
∴ .
∵
∴
∴点M表示的数是：1-
.
故答案为：C.
【分析】首先由勾股定理求出BC，根据同圆的半径相等得MB=BC，结合OB的值求出OM，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点M表示的数.
10．（2021八上·淳安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，点D是AB边上的中点，下列成立的有（ ）
①∠A+∠B=90° ②AC2+BC2=AB2③2CD=AB ④∠B= 30°
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB是直角，
∴∠A+∠B=90°，故①正确；
∴AC2+BC2=AB2，故②正确；
∵点D是AB边上的中点，
∴AB=2CD，故③正确；
只有当∠A=60°时，∠B=30°，故④错误；
正确结论的序号有：①②③.
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形的两锐角之和为90°，可对①④作出判断；利用勾股定理可对②作出判断；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
11．（2021八上·凤县期末）直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 cm.
【答案】4或5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当4是斜边时，斜边长就是4；
当4是直角边时，斜边是： ，
综上所述，这个直角三角形的斜边长为：4或5
答案是：4或5.
【分析】分情况讨论：①当4是斜边时；②当4是直角边时，利用勾股定理求出斜边的长，综合即可得出答案.
12．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 .
【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D=90°，
∴AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，
∵AB=20，AC=15，BC=7，
∴202 （7+CD）2=152 CD2，
∴CD=9，
∴ ，
∴点A到BC的距离是12；
故答案为：12.
【分析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理可得AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，据此建立方程，求出CD，从而求出AD.
13．（2021八上·宜宾期末）如图所示的长方体中，长AB＝5cm，宽BC＝3cm，高CD＝6cm，一只蚂蚁从顶点A处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为 .
【答案】10cm
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接AD
由题意得：
如图，蚂蚁从前面与上面经过时，连接AD
由题意得：
如图，蚂蚁从左面与上面经过时，连接AD
由题意得：
而
所以蚂蚁爬行的最短距离为10cm.
故答案为：10cm.
【分析】蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接AD，由题意得AC=8，CD=6，利用勾股定理可得AD；蚂蚁从前面与上面经过时，连接AD，由题意得AB=5，BD=9，利用勾股定理求出AD；蚂蚁从左面与上面经过时，连接AD，由题意得AG=3，DG=11，利用勾股定理求出AD，然后进行比较即可得到最短距离.
14．（2020八上·东海期末）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC.请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+ AD的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，
∴DE＝
AD，
∴CD+
AD＝CD+DE≥CF，
∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝1，
∴CF＝
，
∴CD+
AD的最小值为
.
故答案为：
.
【分析】作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝
AD，从而得出CD+
AD＝CD+DE≥CF，可知 CD+ AD的最小值 即为此时CF的长，利用勾股定理求出CF即可.
15．（2021八上·诸暨期末）如图，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点C关于AB的对称点D，交BA的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，交AB于点P，
则PM+CP=PM+DP=DM的值最小，
∵AB=AC，∠BAC＝120°，
∴∠B=30°，
∴CE=BC=3，∠DCM=60°，
∴CD=2CE=6，∠D=30°，
∴CM=CD=3，
∴DM=，
∴PM+CP的最小值为3.
故答案为：.
【分析】作点C关于AB的对称点D，交BA的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，交AB于点P，根据垂线段最短得出PM+CP的最小值为DM的长，根据等腰三角形的性质得出∠B=30°，从而得出CD=2CE=6，∠D=30°，CM=CD=3，根据勾股定理得出DM=3. 即可得出答案.
16．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
【答案】135°；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BH＝CH＝12，
∴AH＝ ＝5，
∵△AED与△ACD关于直线AD轴对称，
∴∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠ADB＝∠ADC，
∴90°+∠ADB＝180°﹣∠ADB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠ADB＝∠HAD＝45°，
∴AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝135°，
∴BD＝12+5＝17，
∴CD＝DE＝24﹣17＝7，
∴CE＝ ＝7.
故答案为：135°，7 .
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质可得BH＝CH＝12，由勾股定理求出AH，根据轴对称的性质可得∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，易得∠BDE＝90°，∠ADB＝45°，∠ADB＝∠HAD＝45°，则AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE，BD＝12+5＝17，CD＝DE＝7，然后利用勾股定理就可求出CE.
17．（2022八上·柯桥期末）三角形的三边长分别为3，4，5，则最长边上的高为 .
【答案】2.4
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵32+42=52，
∴此三角形是直角三角形，斜边为5.
设斜边上高为h，根据三角形的面积公式得： ×3×4= ×5×h，
解得：h=2.4.
故答案为： .
【分析】根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，斜边为5，设斜边上高为h，然后根据三角形的面积公式进行计算.
18．（2021八上·河南期末）如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为 .
【答案】或
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，PO=PO'=5，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=4，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（3- x），
解得，，
；
如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（x-3），
解得，，
；
故答案为：或.
【分析】分两种情况：①当点O'在直线n的上方；②当点O'在直线n的下方，据此画出图形并解答即可.
19．（2021八上·南京期末）如图，，，则的长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理分别求出OA1，OA2，OA3，OA4的长，然后利用勾股定理求出OA5的长.
20．（2021八上·鼓楼期末）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=DB=5，
∵∠C=90°，AC=8，BD=5，
∴AB=2BD=10，
由勾股定理得，BC==6，
则CE=8-AE=8-EB，
在Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8-BE）2+36，
解得，BE=，则AE=，
∴S△ABE=AE×BC=××6=，
∴△ADE的面积是S△ABE=.
故答案为：.
【分析】连接BE，利用垂直平分线的性质可证得EA=EB，AE=DB=5，从而可求出AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，可得到CE=8-EB；然后利用勾股定理可得到关于BE的方程，解方程求出BE的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABE的面积.
三、解答题
21．（2021八上·龙泉期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.AB=AC=3，AD=2，求BC的长.
【答案】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∴BD==，
∴BC=2BD=2.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，BD=DC，然后根据勾股定理求出BD，从而求出BC长即可.
22．（2021八上·延庆期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度．
【答案】解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．
∴∠DAC ＝∠DBF．
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°．
∴∠ABC＝∠DAB．
∴DA＝DB．
在△ADC与△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴AC＝BF＝．
在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，
∴BD2＋DF2＝BF2．
∵BD＝2，BF＝，
∴DF＝1
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用“ASA”证明△ADC≌△BDF，再利用全等三角形的性质可得AC＝BF＝，再利用勾股定理求出DF即可。
23．（2021八上·松江期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
【答案】解：过点A作AF⊥BC于F，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，AD=CD=6，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DE=，
∴CE＝AE＝=，
∴AC＝2EC＝，
∴AF=，
∵∠B＝45°，AF⊥BC，
∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-45°-90°=45°，
∴∠BAF=∠B，
∴BF=AF=
∴AB＝×．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于F，由线段垂直平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质求解AF的长，再利用等腰直角三角形以及勾股定理求解即可。
24．（2021八上·襄汾期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【答案】解：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
因为BC=1200米，AC=500米，
所以，根据勾股定理有AB==1300米，
因为S△ABC=AB CD=BC AC，
所以CD===米，
由于400米＜米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D，先利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式可得S△ABC=AB CD=BC AC，再将数据代入计算求出CD的长，再比较大小即可。
25．（2021八上·房山期末）数学课上，老师出示了一个题：如图，在中，，，，的平分线交CB于点D，求CD的长．
晓涵同学思索了一会儿，考虑到角平分线所在直线是角的对称轴这一特点，于是构造了一对全等三角形，解决了这个问题．请你在晓涵同学的启发下（或者独立思考后有自己的想法），解答这道题．
【答案】解：在AB上截取，连接DE
∵，，
∴，
∵AD平分，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
设，则，
∵
∴即，
解得，
∴CD的长为．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 ， 再求出BE=8，最后利用勾股定理计算求解即可。
四、综合题
26．（2021八上·海曙期末）如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
（2）解：①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，
同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.
27．（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得 ， ， ，且 ．
（1）试说明 ；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
【答案】（1）解：∵ 中，BC=16m，CD=12m，BD=20m，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ；
（2）解：过点A作 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，AB=26m，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，求出BC2+CD2和BD2的值，可得到BC2+CD2=BD2，由此可证得结论；
（2）过点A作AE⊥BD于点E，可知∠AEB=90°，利用等腰三角形的性质可求出BE的长，再利用勾股定理求出AE的长，利用三角形的面积公式分别求出△BDA，△BCD的面积，然后根据阴影部分的面积=△BDA的面积-△BCD的面积，代入计算可求出结果.
28．（2021八上·淳安期末）已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
【答案】（1）证明：∵a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
∴m2+1＞2m＞m2﹣1
∴(m2+1) 2＝m4+2m2+1
(m2﹣1)+( 2m) 2 ＝m4+2m2+1
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形
（2）解：当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的边长为5，12，13．（答案不唯一）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据a，b，c可知c＞b＞a，因此可求出c2及a2+b2，分别进行化简，可证得 a2+b2＝c2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
（2）再利用它们的边长均为正整数，可得到符合题意的m的值即此三角形的三边长.
29．（2022八上·柯桥期末）如图，在 中， ， ， ，CD与BE相交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠ADC=∠FDB=90°，根据同角的余角相等可得∠DBF=∠ACD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AD=DF=3，利用勾股定理求出BD，然后求出AB，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
30．（2022八上·西湖期末）如图，在中，，.
（1）求BC的长.
（2）在线段BC上取点M，使，求的面积.
【答案】（1）解：过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，BC＝2BD，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝AB＝2，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝4；
（2）解：如图，
∵BM＝AB＝4，BC＝4，
∴CM＝BC BM＝4 4，
∴＝CM AD＝×（4 4）×2＝4 4.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD＝60°，BC＝2BD，则∠B＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD＝AB＝2，利用勾股定理求出BD，进而可得BC；
（2）易得CM＝BC BM＝4 4，然后根据三角形的面积公式进行计算.
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级上册2.7 探索勾股定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·驻马店期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1， ， C．4，5，6 D．12，15，20
2．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2021八上·南京期末）在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
4．（2021八上·嵩县期末）如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022
6．（2021八上·宜宾期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，不能判定△ABC为直角三角形是的（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
7．（2021八上·巴中期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
8．（2021八上·巴中期末）有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）
A．10cm B．13cm C．18cm D．20cm
9．（2021八上·句容期末）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是（ ）
A． B． +1 C．1﹣ D．﹣
10．（2021八上·淳安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，点D是AB边上的中点，下列成立的有（ ）
①∠A+∠B=90° ②AC2+BC2=AB2③2CD=AB ④∠B= 30°
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③
二、填空题
11．（2021八上·凤县期末）直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 cm.
12．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 .
13．（2021八上·宜宾期末）如图所示的长方体中，长AB＝5cm，宽BC＝3cm，高CD＝6cm，一只蚂蚁从顶点A处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为 .
14．（2020八上·东海期末）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC.请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+ AD的最小值为 .
15．（2021八上·诸暨期末）如图，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为 ．
16．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
17．（2022八上·柯桥期末）三角形的三边长分别为3，4，5，则最长边上的高为 .
18．（2021八上·河南期末）如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为 .
19．（2021八上·南京期末）如图，，，则的长是 .
20．（2021八上·鼓楼期末）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是 .
三、解答题
21．（2021八上·龙泉期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.AB=AC=3，AD=2，求BC的长.
22．（2021八上·延庆期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度．
23．（2021八上·松江期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
24．（2021八上·襄汾期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
25．（2021八上·房山期末）数学课上，老师出示了一个题：如图，在中，，，，的平分线交CB于点D，求CD的长．
晓涵同学思索了一会儿，考虑到角平分线所在直线是角的对称轴这一特点，于是构造了一对全等三角形，解决了这个问题．请你在晓涵同学的启发下（或者独立思考后有自己的想法），解答这道题．
四、综合题
26．（2021八上·海曙期末）如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
27．（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得 ， ， ，且 ．
（1）试说明 ；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
28．（2021八上·淳安期末）已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
29．（2022八上·柯桥期末）如图，在 中， ， ， ，CD与BE相交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
30．（2022八上·西湖期末）如图，在中，，.
（1）求BC的长.
（2）在线段BC上取点M，使，求的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、 ，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系定理排除选项A；再利用勾股定理的逆定理分别求出选项B，C，D中的较小两条线段的平方和和最大线段的平方，然后根据若较小两条线段的平方和=最大线段的平方，就能能构成直角三角形，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
3．【答案】C
【知识点】算术平方根；实数在数轴上的表示；估算无理数的大小；勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
① 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③a是8的算术平方根，说法正确；
④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误；
所以说法正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB= m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′= m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用勾股定理求出AB′的长；然后根据BB′=AB-AB′，代入计算可求解.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：SA=1，
由勾股定理得：SB＋SC=1，
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可证得SB＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、
∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
故A选项符合题意；
B、
则
故B选项不符合题意；
C、
a：b：c＝5：12：13，设
则
所以能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、
∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理求出三角形中最大内角的度数，据此判断A、B、D；设a=5k，则b=12k，c=13k，利用勾股定理逆定理可判断C.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知.
，
，
由勾股定理得
，
故离门4米远的地方，灯刚好打开.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
，
木条长度适合的是
.
故答案为：B.
【分析】直接利用勾股定理求解即可.
9．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：
.
∴ .
∵
∴
∴点M表示的数是：1-
.
故答案为：C.
【分析】首先由勾股定理求出BC，根据同圆的半径相等得MB=BC，结合OB的值求出OM，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点M表示的数.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB是直角，
∴∠A+∠B=90°，故①正确；
∴AC2+BC2=AB2，故②正确；
∵点D是AB边上的中点，
∴AB=2CD，故③正确；
只有当∠A=60°时，∠B=30°，故④错误；
正确结论的序号有：①②③.
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形的两锐角之和为90°，可对①④作出判断；利用勾股定理可对②作出判断；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
11．【答案】4或5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当4是斜边时，斜边长就是4；
当4是直角边时，斜边是： ，
综上所述，这个直角三角形的斜边长为：4或5
答案是：4或5.
【分析】分情况讨论：①当4是斜边时；②当4是直角边时，利用勾股定理求出斜边的长，综合即可得出答案.
12．【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D=90°，
∴AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，
∵AB=20，AC=15，BC=7，
∴202 （7+CD）2=152 CD2，
∴CD=9，
∴ ，
∴点A到BC的距离是12；
故答案为：12.
【分析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理可得AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，据此建立方程，求出CD，从而求出AD.
13．【答案】10cm
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接AD
由题意得：
如图，蚂蚁从前面与上面经过时，连接AD
由题意得：
如图，蚂蚁从左面与上面经过时，连接AD
由题意得：
而
所以蚂蚁爬行的最短距离为10cm.
故答案为：10cm.
【分析】蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接AD，由题意得AC=8，CD=6，利用勾股定理可得AD；蚂蚁从前面与上面经过时，连接AD，由题意得AB=5，BD=9，利用勾股定理求出AD；蚂蚁从左面与上面经过时，连接AD，由题意得AG=3，DG=11，利用勾股定理求出AD，然后进行比较即可得到最短距离.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，
∴DE＝
AD，
∴CD+
AD＝CD+DE≥CF，
∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝1，
∴CF＝
，
∴CD+
AD的最小值为
.
故答案为：
.
【分析】作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝
AD，从而得出CD+
AD＝CD+DE≥CF，可知 CD+ AD的最小值 即为此时CF的长，利用勾股定理求出CF即可.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点C关于AB的对称点D，交BA的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，交AB于点P，
则PM+CP=PM+DP=DM的值最小，
∵AB=AC，∠BAC＝120°，
∴∠B=30°，
∴CE=BC=3，∠DCM=60°，
∴CD=2CE=6，∠D=30°，
∴CM=CD=3，
∴DM=，
∴PM+CP的最小值为3.
故答案为：.
【分析】作点C关于AB的对称点D，交BA的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，交AB于点P，根据垂线段最短得出PM+CP的最小值为DM的长，根据等腰三角形的性质得出∠B=30°，从而得出CD=2CE=6，∠D=30°，CM=CD=3，根据勾股定理得出DM=3. 即可得出答案.
16．【答案】135°；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BH＝CH＝12，
∴AH＝ ＝5，
∵△AED与△ACD关于直线AD轴对称，
∴∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠ADB＝∠ADC，
∴90°+∠ADB＝180°﹣∠ADB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠ADB＝∠HAD＝45°，
∴AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝135°，
∴BD＝12+5＝17，
∴CD＝DE＝24﹣17＝7，
∴CE＝ ＝7.
故答案为：135°，7 .
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质可得BH＝CH＝12，由勾股定理求出AH，根据轴对称的性质可得∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，易得∠BDE＝90°，∠ADB＝45°，∠ADB＝∠HAD＝45°，则AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE，BD＝12+5＝17，CD＝DE＝7，然后利用勾股定理就可求出CE.
17．【答案】2.4
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵32+42=52，
∴此三角形是直角三角形，斜边为5.
设斜边上高为h，根据三角形的面积公式得： ×3×4= ×5×h，
解得：h=2.4.
故答案为： .
【分析】根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，斜边为5，设斜边上高为h，然后根据三角形的面积公式进行计算.
18．【答案】或
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，PO=PO'=5，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=4，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（3- x），
解得，，
；
如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（x-3），
解得，，
；
故答案为：或.
【分析】分两种情况：①当点O'在直线n的上方；②当点O'在直线n的下方，据此画出图形并解答即可.
19．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理分别求出OA1，OA2，OA3，OA4的长，然后利用勾股定理求出OA5的长.
20．【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=DB=5，
∵∠C=90°，AC=8，BD=5，
∴AB=2BD=10，
由勾股定理得，BC==6，
则CE=8-AE=8-EB，
在Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8-BE）2+36，
解得，BE=，则AE=，
∴S△ABE=AE×BC=××6=，
∴△ADE的面积是S△ABE=.
故答案为：.
【分析】连接BE，利用垂直平分线的性质可证得EA=EB，AE=DB=5，从而可求出AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，可得到CE=8-EB；然后利用勾股定理可得到关于BE的方程，解方程求出BE的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABE的面积.
21．【答案】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∴BD==，
∴BC=2BD=2.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，BD=DC，然后根据勾股定理求出BD，从而求出BC长即可.
22．【答案】解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．
∴∠DAC ＝∠DBF．
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°．
∴∠ABC＝∠DAB．
∴DA＝DB．
在△ADC与△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴AC＝BF＝．
在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，
∴BD2＋DF2＝BF2．
∵BD＝2，BF＝，
∴DF＝1
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用“ASA”证明△ADC≌△BDF，再利用全等三角形的性质可得AC＝BF＝，再利用勾股定理求出DF即可。
23．【答案】解：过点A作AF⊥BC于F，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，AD=CD=6，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DE=，
∴CE＝AE＝=，
∴AC＝2EC＝，
∴AF=，
∵∠B＝45°，AF⊥BC，
∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-45°-90°=45°，
∴∠BAF=∠B，
∴BF=AF=
∴AB＝×．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于F，由线段垂直平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质求解AF的长，再利用等腰直角三角形以及勾股定理求解即可。
24．【答案】解：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
因为BC=1200米，AC=500米，
所以，根据勾股定理有AB==1300米，
因为S△ABC=AB CD=BC AC，
所以CD===米，
由于400米＜米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D，先利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式可得S△ABC=AB CD=BC AC，再将数据代入计算求出CD的长，再比较大小即可。
25．【答案】解：在AB上截取，连接DE
∵，，
∴，
∵AD平分，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
设，则，
∵
∴即，
解得，
∴CD的长为．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 ， 再求出BE=8，最后利用勾股定理计算求解即可。
26．【答案】（1）解：∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
（2）解：①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，
同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.
27．【答案】（1）解：∵ 中，BC=16m，CD=12m，BD=20m，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ；
（2）解：过点A作 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，AB=26m，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，求出BC2+CD2和BD2的值，可得到BC2+CD2=BD2，由此可证得结论；
（2）过点A作AE⊥BD于点E，可知∠AEB=90°，利用等腰三角形的性质可求出BE的长，再利用勾股定理求出AE的长，利用三角形的面积公式分别求出△BDA，△BCD的面积，然后根据阴影部分的面积=△BDA的面积-△BCD的面积，代入计算可求出结果.
28．【答案】（1）证明：∵a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
∴m2+1＞2m＞m2﹣1
∴(m2+1) 2＝m4+2m2+1
(m2﹣1)+( 2m) 2 ＝m4+2m2+1
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形
（2）解：当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的边长为5，12，13．（答案不唯一）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据a，b，c可知c＞b＞a，因此可求出c2及a2+b2，分别进行化简，可证得 a2+b2＝c2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
（2）再利用它们的边长均为正整数，可得到符合题意的m的值即此三角形的三边长.
29．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠ADC=∠FDB=90°，根据同角的余角相等可得∠DBF=∠ACD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AD=DF=3，利用勾股定理求出BD，然后求出AB，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
30．【答案】（1）解：过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，BC＝2BD，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝AB＝2，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝4；
（2）解：如图，
∵BM＝AB＝4，BC＝4，
∴CM＝BC BM＝4 4，
∴＝CM AD＝×（4 4）×2＝4 4.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD＝60°，BC＝2BD，则∠B＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD＝AB＝2，利用勾股定理求出BD，进而可得BC；
（2）易得CM＝BC BM＝4 4，然后根据三角形的面积公式进行计算.
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