2022-2023学年浙教版数学八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2022八上·岑溪期末）如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（ ）
A．BD＝AD B．∠B＝∠C
C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在
与
中，
，
∴，
∴，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据HL证明
，利用全等三角形的性质进行判断即可.
2．（2021八上·浦东期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
3．（2021八上·建华期末）如图， 的外角 的平分线CE与内角 的平分线BE交于点E，若 ，则 的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=（x-40）°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- （x° - 40°） - （x° - 40°） = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA （HL），
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故答案为：D
【分析】先求出EF = EM，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
4．（2021八上·绿园期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，
∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°﹣28°=62°，
∵∠AEC=90°﹣∠CAB=90°﹣31°=59°．
故答案为：B．
【分析】根据HL证明△CAE≌△DAE，可得∠CAE=∠DAE=∠CAB，在Rt△ABC中，求出∠CAB=90°﹣∠B=62°，利用∠AEC=90°﹣∠CAE即可求解.
5．（2021八上·江油期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴DE=CD，
∵S△ABD＝AB×DE=25，
∴DE=2.5，
∴CD=DE=2.5.
故答案为：C.
【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质求出DE=CD，然后根据三角形面积公式求出DE长，则可解答.
6．（2021八上·惠民月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
7．（2020八上·荣县月考）如图，是△的角平分线，于，点分别是上的点， ， △与△的面积分别是和，则△的面积是（ ）
A．a-b B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC，交于点H
是△的角平分线，于，
则
由可以证明≌
≌
.
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥AC，交于点H，由角平分线的性质可得DE=DH，由HL证Rt△ADE≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DHG，得，再由即可求出答案.
8．（2021八上·重庆月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm. D．16cm
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ， ， 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
在 中， ，
.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质可得DC=DE，证明△ACD≌△AED，得到AE=AC=6cm，进而求出BE，然后根据勾股定理求出BC，则可将△BED的周长转化为BE+BC，据此计算.
9．（2021八上·千山期中）如图， ， ，垂足分别为D、E，且 ，则直接判定 与 全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ， ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得：，再结合PD=PE，AP=AP，可利用“HL”证明全等。
10．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
11．（2021八上·丹东期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得BE=BC=9，进而求出AE的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。
12．（2021八上·延庆期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的判定方法求解即可。
13．（2021八上·平谷期末）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论 ．
【答案】BC＝BD
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ACB和Rt△ADB中， ，
∴△ACB≌△ADB（HL），
∴BC＝BD，
故答案为：BC＝BD（答案不唯一）．
【分析】利用HL求出△ACB≌△ADB，再求解即可。
14．（2021八上·南阳月考）如图， ， ， ，则 .
【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠1=∠CAD=40°，
∴∠2=90°-∠CAD=50°.
故答案为：50°.
【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，利用全等三角形的性质，可求出∠CAD的度数，再利用直角三角形的两锐角之和为90°，可求出∠2的度数.
15．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图所示，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝13cm，则△DBE的周长为 .
【答案】13cm
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵ ，
∴ ，
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴BC=AE，AB＝13cm，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=13cm.
故答案为：13cm.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DC，证明△CAD≌△EAD，得到AC=AE，结合AC=BC可得BC=AE，然后将△DBE的周长转化为AB，据此解答.
16．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝ .
【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中， ，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BE＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CD，BD，由角平分线的性质可得DF＝DE，证明△ADF≌△ADE，得到AE＝AF，由线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE＝CF，则AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，据此进行计算.
17．（2021八上·红桥期中）如图， 是 的角平分线， 垂足为 ， ， 和 的面积分别为68和42，则 的面积为 ．
【答案】13
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为68和42，
∴42＋SRt△DEF＝68 SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝13．
故答案为13．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出DF＝DH，再利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，再根据全等三角形的面积相等列方程求解即可。
18．（2021八上·高安期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 .（写一种即可）
【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC=BD或AD=BC都可以.
【分析】根据“HL”的证明方法求解即可。
19．（2021八上·平阳期中）直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝ .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝ ＝6，
过D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝8，
∴BE＝2，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴（6﹣BD）2+22＝BD2，
∴BD＝ .
故答案为： .
【分析】首先由勾股定理求出BC，过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质可得CD＝DE，证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到AE＝AC＝8，求出BE的值，然后在Rt△BED中，根据勾股定理求解即可.
20．（2021八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 .
【答案】8cm
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△BED的周长＝DE+BD+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝8cm，
∴△BED的周长是8cm.
故答案为：8cm.
【分析】由角平分线的性质可得CD＝DE，证明△ACD≌△AED，得到AC＝AE，则可将△BED的周长转化为AB，据此解答.
三、解答题
21．（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
22．（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
【答案】解：（Ⅰ）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴≌（HL)．
∴．
∴ 点在的平分线上．
∴是的角平分线．
（Ⅱ）∵是的角平分线，，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴≌（HL)．
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“HL”证明≌，可得DE=DF，再利用角平分线的判定证明即可；
（Ⅱ）根据“HL”证明≌，即可得到BE=CF。
23．（2021八上·博兴期中）如图所示，在 中， ，AD平分 交BC于D， 于E，求证 的周长等于AB的长
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∴ 的周长等于AB的长.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性质得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周长，即可得出结论。
24．（2021八上·乐陵期中）如图所示，点B，E，C，F在同一条直线上，能否由 ， 来证明AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．供选择的四个条件：① ；② ；③AB∥DF；④ ．
【答案】解：由AC=DE，BE=FC无法证明 ，
选择条件②AB=DF进行证明，
∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ；
选择条件④ ，
∵ ，
∴三角形ABC和三角形DFE都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DFE中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用三角形全等的判定及性质求解即可。
四、综合题
25．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用HL证明△ABE≌△CBF.
（2）利用等腰直角三角形的性质可证得∠BAC=∠BCA=45°，由此可求出∠BAE的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BCF的度数；然后根据∠CFA=90°-∠BCF，代入计算求出∠CFA的度数.
26．（2021八上·句容期末）如图， ， 于E， 交AD的延长线于F，且 .
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
（2）若 ， ，则AB的长为 cm.
【答案】（1）解：BE=DF，理由是：
∵∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
∴ ，
∴BE=DF；
（2）5
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：（2）在Rt△AFC和Rt△AEC中
，AC=AC，CF=CE
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AE=AF，
∵AD=3cm，DF=1cm，
∴AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，
∴AB=AE+BE=5cm.
故答案为：5.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得CE=CF，然后利用HL证明△CEB≌△CFD，据此可得结论；
（2）易证△AFC≌△AEC，得到AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，然后根据AB=AE+BE进行计算.
27．（2022八上·西湖期末）如图，在中，，点D为边BC上一点，且，过点D作BC的垂线交AC于点E.
（1）求证：
（2）当时，求证：.
【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AE＝DE.
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABC＝2∠DBE，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠DBE＝∠C，
∴CE＝BE，
∵ED⊥BC，
∴CD＝BD，
又∵AB＝BD，
∴AB＝CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用HL证Rt△ABE≌Rt△DBE，然后根据全等三角形的性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE＝∠DBE，则∠ABC＝2∠DBE，结合已知条件可得CE＝BE，根据等腰三角形的性质可得CD＝BD，然后结合AB＝BD可得结论.
28．（2021八上·峄城期末）如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，求证：AB∥CD.
【答案】（1）解：∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°.
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF.
（2）解：∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠B＋∠D＝180°－2∠1＋180°－2∠4＝360°－2（∠1＋∠4）＝180°，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、角平分线的定义解答即可；
（2）根据平行线的判定解答即可。
29．（2021八上·南充期末）
（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， .求证： .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题.
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.
【答案】（1）解：方法1：在 上截 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
，
， .
， .
.
，
.
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
.
， .
，
.
，
，
.
（2）解： 、 、 之间的数量关系为： .
（或者： ， ）.
延长 到点P，使 ，连接 ，如图2所示.
由（1）可知 ，
.
为等边三角形.
， .
，
.
.
，
为等边三角形.
， .
，
，
即 .
在 和 中， ，
.
，
，
.
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3） AB，CE，BC之间的数量关系为： .
（或者： ， ）
连接BD ，过点D作DF⊥AC于F，如图3所示.
， .
.
在 和 中， ，
，
， .
在 和 中，DF=DE，AF=CE，
，
.
，
，
.
【分析】（1）方法一：在BC上截取BM=BA，连接DM，利用角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，由SAS证明△ABD≌△MBD，利用全等三角形的性质得∠A=∠BMD，AD=MD；由此可推出DM=DC，即可证得结论；方法二：延长BA至点N，使BN=BC，连接DN，由角平分线定义得∠NBD=∠CBD，利用SAS证明△NBD≌△CBD，利用全等三角形的性质可得到∠C=∠BND，ND=CD；利用补角的性质可得∠BND=∠NAD，利用等角对等边可得到DN=DA，即可证得结论；
（2）延长CB到点P，使BP=BC，连接AP，易证△ADC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AC=AD，∠ADC=60°，再求出∠ABC，∠PBA的度数；再证明△ABP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠PAB=60°，AB=AP，可推出∠PAC=∠BAD；然后利用SAS证明△PAC≌△BAD，利用全等三角形的性质可推出PC=BD，由此可得到AB，BC，BD之间的数量关系；
（3） 连接BD，过点D作DF⊥AC于点F，由补角的性质得∠FAD=∠C，利用AAS证明△DFA≌△DEC，利用全等三角形的性质可得到利用HL证明△BDF≌△BDE，利用全等三角形的性质可推出BF=BE，由此可推出BC=BA+2CE，由此可证得结论.
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2022八上·岑溪期末）如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（ ）
A．BD＝AD B．∠B＝∠C
C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD
2．（2021八上·浦东期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
3．（2021八上·建华期末）如图， 的外角 的平分线CE与内角 的平分线BE交于点E，若 ，则 的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
4．（2021八上·绿园期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
5．（2021八上·江油期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
6．（2021八上·惠民月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020八上·荣县月考）如图，是△的角平分线，于，点分别是上的点， ， △与△的面积分别是和，则△的面积是（ ）
A．a-b B． C． D．
8．（2021八上·重庆月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm. D．16cm
9．（2021八上·千山期中）如图， ， ，垂足分别为D、E，且 ，则直接判定 与 全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
10．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
二、填空题
11．（2021八上·丹东期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
12．（2021八上·延庆期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
13．（2021八上·平谷期末）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论 ．
14．（2021八上·南阳月考）如图， ， ， ，则 .
15．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图所示，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝13cm，则△DBE的周长为 .
16．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝ .
17．（2021八上·红桥期中）如图， 是 的角平分线， 垂足为 ， ， 和 的面积分别为68和42，则 的面积为 ．
18．（2021八上·高安期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 .（写一种即可）
19．（2021八上·平阳期中）直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝ .
20．（2021八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 .
三、解答题
21．（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
22．（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
23．（2021八上·博兴期中）如图所示，在 中， ，AD平分 交BC于D， 于E，求证 的周长等于AB的长
24．（2021八上·乐陵期中）如图所示，点B，E，C，F在同一条直线上，能否由 ， 来证明AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．供选择的四个条件：① ；② ；③AB∥DF；④ ．
四、综合题
25．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
26．（2021八上·句容期末）如图， ， 于E， 交AD的延长线于F，且 .
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
（2）若 ， ，则AB的长为 cm.
27．（2022八上·西湖期末）如图，在中，，点D为边BC上一点，且，过点D作BC的垂线交AC于点E.
（1）求证：
（2）当时，求证：.
28．（2021八上·峄城期末）如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，求证：AB∥CD.
29．（2021八上·南充期末）
（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， .求证： .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题.
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在
与
中，
，
∴，
∴，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据HL证明
，利用全等三角形的性质进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=（x-40）°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- （x° - 40°） - （x° - 40°） = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA （HL），
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故答案为：D
【分析】先求出EF = EM，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
4．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，
∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°﹣28°=62°，
∵∠AEC=90°﹣∠CAB=90°﹣31°=59°．
故答案为：B．
【分析】根据HL证明△CAE≌△DAE，可得∠CAE=∠DAE=∠CAB，在Rt△ABC中，求出∠CAB=90°﹣∠B=62°，利用∠AEC=90°﹣∠CAE即可求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴DE=CD，
∵S△ABD＝AB×DE=25，
∴DE=2.5，
∴CD=DE=2.5.
故答案为：C.
【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质求出DE=CD，然后根据三角形面积公式求出DE长，则可解答.
6．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC，交于点H
是△的角平分线，于，
则
由可以证明≌
≌
.
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥AC，交于点H，由角平分线的性质可得DE=DH，由HL证Rt△ADE≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DHG，得，再由即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ， ， 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
在 中， ，
.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质可得DC=DE，证明△ACD≌△AED，得到AE=AC=6cm，进而求出BE，然后根据勾股定理求出BC，则可将△BED的周长转化为BE+BC，据此计算.
9．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ， ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得：，再结合PD=PE，AP=AP，可利用“HL”证明全等。
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
11．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得BE=BC=9，进而求出AE的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。
12．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的判定方法求解即可。
13．【答案】BC＝BD
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ACB和Rt△ADB中， ，
∴△ACB≌△ADB（HL），
∴BC＝BD，
故答案为：BC＝BD（答案不唯一）．
【分析】利用HL求出△ACB≌△ADB，再求解即可。
14．【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠1=∠CAD=40°，
∴∠2=90°-∠CAD=50°.
故答案为：50°.
【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，利用全等三角形的性质，可求出∠CAD的度数，再利用直角三角形的两锐角之和为90°，可求出∠2的度数.
15．【答案】13cm
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵ ，
∴ ，
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴BC=AE，AB＝13cm，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=13cm.
故答案为：13cm.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DC，证明△CAD≌△EAD，得到AC=AE，结合AC=BC可得BC=AE，然后将△DBE的周长转化为AB，据此解答.
16．【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中， ，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BE＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CD，BD，由角平分线的性质可得DF＝DE，证明△ADF≌△ADE，得到AE＝AF，由线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE＝CF，则AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，据此进行计算.
17．【答案】13
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为68和42，
∴42＋SRt△DEF＝68 SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝13．
故答案为13．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出DF＝DH，再利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，再根据全等三角形的面积相等列方程求解即可。
18．【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC=BD或AD=BC都可以.
【分析】根据“HL”的证明方法求解即可。
19．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝ ＝6，
过D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝8，
∴BE＝2，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴（6﹣BD）2+22＝BD2，
∴BD＝ .
故答案为： .
【分析】首先由勾股定理求出BC，过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质可得CD＝DE，证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到AE＝AC＝8，求出BE的值，然后在Rt△BED中，根据勾股定理求解即可.
20．【答案】8cm
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△BED的周长＝DE+BD+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝8cm，
∴△BED的周长是8cm.
故答案为：8cm.
【分析】由角平分线的性质可得CD＝DE，证明△ACD≌△AED，得到AC＝AE，则可将△BED的周长转化为AB，据此解答.
21．【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
22．【答案】解：（Ⅰ）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴≌（HL)．
∴．
∴ 点在的平分线上．
∴是的角平分线．
（Ⅱ）∵是的角平分线，，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴≌（HL)．
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“HL”证明≌，可得DE=DF，再利用角平分线的判定证明即可；
（Ⅱ）根据“HL”证明≌，即可得到BE=CF。
23．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∴ 的周长等于AB的长.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性质得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周长，即可得出结论。
24．【答案】解：由AC=DE，BE=FC无法证明 ，
选择条件②AB=DF进行证明，
∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ；
选择条件④ ，
∵ ，
∴三角形ABC和三角形DFE都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DFE中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用三角形全等的判定及性质求解即可。
25．【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用HL证明△ABE≌△CBF.
（2）利用等腰直角三角形的性质可证得∠BAC=∠BCA=45°，由此可求出∠BAE的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BCF的度数；然后根据∠CFA=90°-∠BCF，代入计算求出∠CFA的度数.
26．【答案】（1）解：BE=DF，理由是：
∵∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
∴ ，
∴BE=DF；
（2）5
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：（2）在Rt△AFC和Rt△AEC中
，AC=AC，CF=CE
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AE=AF，
∵AD=3cm，DF=1cm，
∴AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，
∴AB=AE+BE=5cm.
故答案为：5.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得CE=CF，然后利用HL证明△CEB≌△CFD，据此可得结论；
（2）易证△AFC≌△AEC，得到AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，然后根据AB=AE+BE进行计算.
27．【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AE＝DE.
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABC＝2∠DBE，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠DBE＝∠C，
∴CE＝BE，
∵ED⊥BC，
∴CD＝BD，
又∵AB＝BD，
∴AB＝CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用HL证Rt△ABE≌Rt△DBE，然后根据全等三角形的性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE＝∠DBE，则∠ABC＝2∠DBE，结合已知条件可得CE＝BE，根据等腰三角形的性质可得CD＝BD，然后结合AB＝BD可得结论.
28．【答案】（1）解：∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°.
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF.
（2）解：∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠B＋∠D＝180°－2∠1＋180°－2∠4＝360°－2（∠1＋∠4）＝180°，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、角平分线的定义解答即可；
（2）根据平行线的判定解答即可。
29．【答案】（1）解：方法1：在 上截 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
，
， .
， .
.
，
.
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
.
， .
，
.
，
，
.
（2）解： 、 、 之间的数量关系为： .
（或者： ， ）.
延长 到点P，使 ，连接 ，如图2所示.
由（1）可知 ，
.
为等边三角形.
， .
，
.
.
，
为等边三角形.
， .
，
，
即 .
在 和 中， ，
.
，
，
.
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3） AB，CE，BC之间的数量关系为： .
（或者： ， ）
连接BD ，过点D作DF⊥AC于F，如图3所示.
， .
.
在 和 中， ，
，
， .
在 和 中，DF=DE，AF=CE，
，
.
，
，
.
【分析】（1）方法一：在BC上截取BM=BA，连接DM，利用角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，由SAS证明△ABD≌△MBD，利用全等三角形的性质得∠A=∠BMD，AD=MD；由此可推出DM=DC，即可证得结论；方法二：延长BA至点N，使BN=BC，连接DN，由角平分线定义得∠NBD=∠CBD，利用SAS证明△NBD≌△CBD，利用全等三角形的性质可得到∠C=∠BND，ND=CD；利用补角的性质可得∠BND=∠NAD，利用等角对等边可得到DN=DA，即可证得结论；
（2）延长CB到点P，使BP=BC，连接AP，易证△ADC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AC=AD，∠ADC=60°，再求出∠ABC，∠PBA的度数；再证明△ABP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠PAB=60°，AB=AP，可推出∠PAC=∠BAD；然后利用SAS证明△PAC≌△BAD，利用全等三角形的性质可推出PC=BD，由此可得到AB，BC，BD之间的数量关系；
（3） 连接BD，过点D作DF⊥AC于点F，由补角的性质得∠FAD=∠C，利用AAS证明△DFA≌△DEC，利用全等三角形的性质可得到利用HL证明△BDF≌△BDE，利用全等三角形的性质可推出BF=BE，由此可推出BC=BA+2CE，由此可证得结论.
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