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专题2.3 有理数的乘法
模块一：知识清单
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
注意：有理数乘法运算分两步走，第一步，定符号，第二步，定数值；
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即：
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：
注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为相反数的因数，往往会起到事半功倍的效果；3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
2）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
（1）非零整数可以看作分母为的分数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
注意：1.注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；2.互为倒数的两个数的符号一定是相同的；
3.倒数等于本身的数有：1、-1；
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021 红桥区二模）计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【思路点拨】根据有理数的乘法法则计算即可解答本题．
【答案】解：（﹣3）×（﹣2）＝+（3×2）＝6．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
2. （2021·重庆市·七年级期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法法则及乘法的分配律，分别进行判断．
【详解】解：A、，正确；
B、，应用了乘法分配律，正确；
C、，有三个负因数，结果应为负数，错误；
D、，逆用分配律，正确．故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则及乘法的分配律，熟练掌握“几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”．
3.（2022·山东淄博·二模）若，则“□”内应填的实数是（ ）
A． B．2022 C． D．
【答案】C
【分析】根据互为倒数的两数的乘积等于1，即可求解．
【详解】解：∵．故选：C
【点睛】本题主要考查了倒数的性质，熟练掌握互为倒数的两数的乘积等于1是解题的关键．
4．（2021·新安外国语学校七年级月考）计算 时，可以使运算简便的是 ( )
A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律
【答案】B
【分析】根据乘法分配律简便运算即可.
【详解】用乘法分配律可简便运算，
==-12+27-6=9故选B
【点睛】本题考查有理数乘法的简便运算，熟练掌握运算技巧是解题的关键.
5．（2021春 松北区期末）有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．ab＜0 C．﹣a＞b D．a﹣b＞0
【思路点拨】本题可先对数轴进行分析，找出a、b之间的大小关系，然后分别分析A、B、C、D即可得出答案．
【答案】解：根据数轴，知a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，ab＜0，﹣a＞b，a﹣b＜0，∴只有D不正确，故选：D．
【点睛】此题考查了数轴和绝对值，有理数的加减法，乘法运算，根据数轴正确判断数的符号以及绝对值的大小是解题的关键．
6.（2022·成都市·七年级期中）在，2，，，这四个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．8 D．24
【答案】D
【分析】要使任意三数之积最大所选择的数必须有偶数个负数且绝对值尽可能大，由此即可得到结果．
【详解】解：∵有四个数-1，2，-3，-4，
∴三数之积的最大值是（-3）×（-4）×2=24．故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.（2022 成都市温江区七年级月考）下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；
③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可．
【解答过程】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0，不一定是正数，该小题说法错误；故选：A．
8.（2022·江苏苏州·七年级期末）某超市出售一种方便面，原价为每箱24元．现有三种调价方案：方案一，先提价20%，再降价20%；方案二，先降价20%，再提价20%；方案三，先提价15%，再降价15%．三种调价方案中，最终价格最高的是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意，算出每种方案的最终价格，然后比较即可．
【详解】解：方案一的最终价格为：元；
方案二的最终价格为：元；方案三的最终价格为：元；因为，则选方案三，故选：C
【点睛】此题考查了列出代数式计算的能力，读懂题意，找出题中的数量关系，列出式子正确计算是解题的关键．
9.（2022 九台区期中）已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论判断正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＞0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
【解题思路】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负，即可判定．
【解答过程】解：∵a＞0，ac＜0，∴c＜0，∵abc＞0，∴b＜0；故选：D．
10.（2021·河北张家口市·七年级期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则的值为（ ）
A． B．99 C．9900 D．2
【答案】C
【分析】根据运算的定义，可以把100！和98！写成连乘积的形式，然后约分即可求解．
【详解】解：原式==99×100 =9900．故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确理解题意，理解运算的定义是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏·常州市朝阳中学二模）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费_______元．
【答案】19
【分析】根据题意列出算式，计算求值即可．
【详解】解：圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，超过了5千克，
需付费（元），故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，读懂题意，准确判断付费标准是解决问题的关键．
12．（2022·湖南·吉首市教育科学研究所模拟预测）的倒数是_____．
【答案】-2022
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数解答即可．
【详解】解：的倒数是-2022．故答案为：-2022．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键．
13.（2022·广东广州·七年级期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则*（﹣2*5）＝_____．
【答案】﹣15
【分析】根据a*b＝3ab，可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵a*b＝3ab，
∴*（﹣2*5）＝*[3×（﹣2）×5]＝*（﹣30）＝3××（﹣30）＝﹣15，故答案为：﹣15．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
14．（2021·湖北鄂州·七年级期中）从－9，－7，－5，0，3，6，8中任取三个数做乘积，那么最小的乘积是_________．
【答案】-432
【分析】根据有理数的乘法和有理数的大小比较确定出乘积最小的三个数，然后进行计算即可得解．
【详解】解：根据有理数的乘法，乘积最小的三个数或三个都是负数，或一负二正，
-9×(-7)×(-5)=-315；-9×6×8=-432．故最小的乘积是-432．故答案为：-432．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，确定出乘积最小的三个数是解题的关键．
15. （2021·重庆市·七年级期中）绝对值小于4.5的所有整数的积为_____．
【答案】0
【分析】先找出绝对值小于4.5的整数，然后利用有理数的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：绝对值小于4.5的整数有-4，-3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4.
∵这些因数中有一个是0，∴积为0．故答案为：0．
【点睛】本题考查了绝对值的定义、有理数的乘法法则，求得符合条件的数是解题的关键．
16．（2021·临海市外国语学校七年级期中）若四个互不相同的正整数，，，满足，则的值为_________
【答案】20.
【分析】根据题意确定出a，b，c，d的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵四个互不相同的正整数a，b，c，d，
∴（5﹣a）、（5﹣b）、（5﹣c）、（5﹣d）也为四个互不相同的整数，
∵4=（-1）×1×（-2）×2，只有这一种情况
∴可设，5﹣a＝1，5﹣b＝﹣1，5﹣c＝2，5﹣d＝﹣2，
解得：a＝4，b＝6，c＝3，d＝7，则a+b+c+d＝20，故答案为：20．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，把4拆成四个不同整数的积是解本题的关键．
17．（2020·浙江金华市·七年级开学考试）已知：=3，=10，=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：=___．
【答案】4
【分析】根据计算可得．
【详解】解：=4，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是根据已知等式得出计算公式．
18.（2021·北京顺义区·九年级二模）某快餐店的价目表如下：
菜品 价格
汉堡（个） 21元
薯条（份） 9元
汽水（杯） 12元
1个汉堡＋1份薯条（A套餐） 28元
1个汉堡＋1杯汽水（B套餐） 30元
1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C套餐） 38元
小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元．
【答案】300
【分析】由题意可知，A、B、C套餐的优惠力度分别为2元、3元、4元，如果三样商品数量比较接近的话，选择C套餐会更划算，但是本题汉堡的数量接近于薯条和汽水之和，所以应该选择套餐搭配的方式，尽量保证每个商品都能在套餐里购买，所以，选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐，会更优惠．
【详解】选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐价格最低，需要花费30×5+28×4+38×1=300元，
故答案为：300．
【点睛】本题属于创新题型，主要考查的了方案选择，比较贴合生活实际，需要学生梳理出有哪些方案，根据一定的规律找到最优方案．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·全国·七年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）； （6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6）
【分析】按照有理数乘法计算逐一求出答案即可．
【详解】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
20．（2021·山东省平原县第五中学七年级月考）简便计算：
（1）； （2）．
（3）； （4）．
【答案】（1）﹣2；（2）﹣559；（3）﹣；（4）0
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果；（3）分子分母直接进行约分可得出答案；（4）0乘以任何数，答案都为0．
【详解】解：（1）
=3+1-6
=﹣2；
（2）
=（-70+）×8=﹣560+
=﹣559；
（3）
=
=
=﹣；
（4）
=0．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2020·湖南师大附中梅溪湖中学七年级月考）简便方法计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）5；（2）-3．
【分析】（1）运用乘法分配律进行计算即可；（2）逆用乘法分配律进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，掌握并能灵活运用乘法分配律是解答此题的关键．
22．（2021·吉林省初一月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
【答案】（1）-6；（2）；（3）不满足，举例见解析
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义分两步列式计算即可；
（3）根据新运算可知运用交换律出的结果和原来的结果不同，所以不满足，举例说明即可．
【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6
（2）
（3）∵新运算 ∴运用加法加法交换律可得：
假设，则=3×4-3=9
=4×3-4=8 ∴不能用交换律．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题关键是掌握新定义规定的运算法则、有理数乘方法则等知识．
23．（2021春 浦东新区期中）阅读理解题
在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如：
你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，e＝ ，f＝ ．
【思路点拨】根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位．“即可得到答案．
【答案】解：（1）由题意得，
第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，
第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，
第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，
如第二个表格：2×8+3×7＝16+21＝37，
第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位，
∵64×87＝5568，6×8＝48，4×7＝28，6×7+4×8＝42+32＝74，
∴a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4，故答案为4，8，2，8，7，4．
【点睛】本题属于与有理数乘法有关的规律探索题，根据表格发现规律是解决问题的关键．
24．（2022 广信区期中）阅读理解：
计算×﹣×时，若把与（分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设为A，为B，
则原式＝B（1+A）﹣A（1+B）＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝．请用上面方法计算：
①
②．
【思路点拨】（1）根据题意设（++++）为A，（+++++）为B，原式变形后计算即可求出值；
（2）根据题意设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式变形后计算即可求出值．
【答案】解：（1）设（++++）为A，（+++++）为B，
原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝；
（2）设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，
原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键
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专题2.3 有理数的乘法
模块一：知识清单
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
注意：有理数乘法运算分两步走，第一步，定符号，第二步，定数值；
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即：
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：
注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为相反数的因数，往往会起到事半功倍的效果；3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
2）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
（1）非零整数可以看作分母为的分数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
注意：1.注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；2.互为倒数的两个数的符号一定是相同的；
3.倒数等于本身的数有：1、-1；
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021 红桥区二模）计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
2. （2021·重庆市·七年级期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2022·山东淄博·二模）若，则“□”内应填的实数是（ ）
A． B．2022 C． D．
4．（2021·新安外国语学校七年级月考）计算 时，可以使运算简便的是 ( )
A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律
5．（2021春 松北区期末）有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．ab＜0 C．﹣a＞b D．a﹣b＞0
6.（2022·成都市·七年级期中）在，2，，，这四个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．8 D．24
7.（2022 成都市温江区七年级月考）下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；
③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.（2022·江苏苏州·七年级期末）某超市出售一种方便面，原价为每箱24元．现有三种调价方案：方案一，先提价20%，再降价20%；方案二，先降价20%，再提价20%；方案三，先提价15%，再降价15%．三种调价方案中，最终价格最高的是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不确定
9.（2022 九台区期中）已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论判断正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＞0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
10.（2021·河北张家口市·七年级期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则的值为（ ）
A． B．99 C．9900 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏·常州市朝阳中学二模）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费_______元．
12．（2022·湖南·吉首市教育科学研究所模拟预测）的倒数是_____．
13.（2022·广东广州·七年级期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则*（﹣2*5）＝_____．
14．（2021·湖北鄂州·七年级期中）从－9，－7，－5，0，3，6，8中任取三个数做乘积，那么最小的乘积是_________．
15. （2021·重庆市·七年级期中）绝对值小于4.5的所有整数的积为_____．
16．（2021·临海市外国语学校七年级期中）若四个互不相同的正整数，，，满足，则的值为_________
17．（2020·浙江金华市·七年级开学考试）已知：=3，=10，=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：=___．
18.（2021·北京顺义区·九年级二模）某快餐店的价目表如下：
菜品 价格
汉堡（个） 21元
薯条（份） 9元
汽水（杯） 12元
1个汉堡＋1份薯条（A套餐） 28元
1个汉堡＋1杯汽水（B套餐） 30元
1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C套餐） 38元
小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·全国·七年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）； （6）
20．（2021·山东省平原县第五中学七年级月考）简便计算：
（1）； （2）．
（3）； （4）．
21．（2020·湖南师大附中梅溪湖中学七年级月考）简便方法计算：
（1）；（2）．
22．（2021·吉林省初一月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
23．（2021春 浦东新区期中）阅读理解题
在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如：
你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，e＝ ，f＝ ．
24．（2022 广信区期中）阅读理解：
计算×﹣×时，若把与（分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设为A，为B，
则原式＝B（1+A）﹣A（1+B）＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝．请用上面方法计算：
①
②．
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