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专题2.5 有理数的乘方
模块一：知识清单
1. 有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
2．有理数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.
模块二：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （2021·浙江七年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．的底数是 B．读作：2的3次方 C．27的指数是0 D．负数的任何次幂都是负数
【答案】B
【分析】根据有理数乘方的定义解答．
【详解】解：A、-23的底数是2，故本选项错误；B、23读作：2的3次方，故本选项正确；
C、27的指数是1，故本选项错误；D、负数的偶数次幂是正数，故本选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，要知道，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数．
2.（2021·兴化市七年级期中）对于与，下列说法正确的是
A．它们的意义相同 B．它们的结果相等
C．它们的意义相同，结果相等 D．它们的意义不同，结果不相等
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方表示的意义，根据有理数的乘方表示的意义，即可求得答案．
【详解】解：表示的相反数，结果是，表示的4次方，结果是，
因此二者意义不同，结果也不相同，故选D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
3．（2022 鄞州区期末）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．﹣|23|和|﹣23| C．（﹣3）2和﹣32 D．23和32
【思路点拨】根据有理数乘方的运算法则即可求出答案．
【答案】解：∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，∴选项A符合题意；
∵﹣|23|＝﹣8，|﹣23|＝8，∴选项B不符合题意；
∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴选项C不符合题意；
∵23＝8，32＝9，∴选项，D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数乘方的法则是解决问题的关键．
4.（2021·湖北襄阳市·九年级二模）的倒数是（ ）
A．－4 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据有理数的乘方和倒数定义计算即可．
【详解】解：，的倒数为－4；故选：A．
【点睛】本题考查有理数的乘方和倒数的定义，解题关键是明确倒数的定义，熟练运用相关法则进行计算．
5.（2021·山东德州市·七年级期中）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的运算进行计算即可；
【详解】，故答案选B．
【点睛】本题主要考查了幂的定义，准确计算是解题的关键．
6.（2021·江苏苏州市·七年级月考）互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（ ）
A．与 B．与 C．与（为正整数） D．与（为正整数）
【答案】D
【分析】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可．
【详解】解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；
B、a，b互为相反数，则a3＝ b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B错误；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；
D、a，b互为相反数，由于2n＋1是奇数，则a2n＋1与b2n＋1互为相反数，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数．
7.（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）计算的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据乘方的逆运算进行计算．
【详解】解：原式=故选B
【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．
8.（2022·全国·七年级单元测试）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（ ）
A．3 B．9 C．7 D．1
【答案】A
【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【详解】解：已知31=3，末位数字为3， 32=9，末位数字为9， 33=27，末位数字为7，
34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3， 36=729，末位数字为9，
37=2187，末位数字为7， 38=6561，末位数字为1， …
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又2021÷4=505…1， 所以32019的末位数字与33的末位数字相同是3． 故选:A．
【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
9．（2021春 浦东新区校级期中）在有理数：﹣（﹣2），﹣|﹣|，（﹣5）2，（﹣1）5，﹣22中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】根据乘方，相反数，绝对值的定义化简各数，再根据负数的特征可求解．
【答案】解：∵﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣|＝，（﹣5）2＝25，（﹣1）5＝﹣1，﹣22＝﹣4，
∴负数有﹣|﹣|，（﹣1）5，﹣22，共3个，故选：B．
【点睛】本题主要考查正数与负数，相反数，绝对值，有理数的乘方，正确化简各数是解题的关键．
10．（2022·山东聊城·七年级期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为，10C对应十进制的数为，那么十六进制中14E对应十进制的数为（ ）
A．328 B．362 C．338 D．334
【答案】D
【分析】根据题干十六进制与十进制的运算方法求解．
【详解】解：由题意得．故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是正确理解十六进制与十进制的关系．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021春 阳江期末）计算：﹣（﹣1）4＝ ．
【思路点拨】根据乘方的意义直接得出．
【答案】解：﹣（﹣1）4＝﹣1．故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了乘方的意义，准确的计算是解决本题的关键．
12.（2021·天津市静海区七年级期中）的底数是____;指数是 _______;结果是 ______.
【答案】 -3 3 ﹣27
【分析】根据乘方的定义进行判断．
【详解】解：根据题意得：，
∴底数为-3，指数为3，结果为﹣27，故答案为-3，3，﹣27．
【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
13．（2021 邯郸模拟）22+22+22+22＝2m，则m＝ ．
【思路点拨】根据有理数乘法定义解答，有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
【答案】解：∵22+22+22+22＝4+4+4+4＝4×4＝16＝24，∴m＝4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了乘方的意义，掌握乘方的法则是解题的关键．
14．（2021春 靖江市月考）计算：＝ ．
【思路点拨】先根据积的乘方的逆运算变形为[（﹣）]9，然后再根据乘方运算法则计算即可．
【答案】解：原式＝[（﹣）]9＝（﹣1）9＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
15．（2021·江苏南通·七年级阶段练习）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），经过两个小时，这种细菌由两个分裂成________个．
【答案】32
【分析】根据题意求出这种细菌分裂的周期，然后用2除以周期得到细菌分裂的次数，然后利用乘方即2的4次方即可求出经过2小时细菌分裂的个数．
【详解】解：解：由细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），
得到细菌分裂的周期为半小时即0.5小时，∴经过两小时，这种细菌分裂了4次，
故经过两小时，这种细菌由两个可分裂繁殖成2×24=32个．故答案为：32．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，细菌分裂1次，细菌个数为21；分裂2次，细菌个数为22；…；分裂n次，细菌个数为2n．学生做题时总结出此规律是解本题的关键．
16.（2022·山东临沂·八年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．
【答案】109
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”计算．
【详解】解：，
故答案为：109．
【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，考查有理数乘方应用，解题的关键是根据图中的点列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
17．（2021·河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.
【答案】
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．
【解析】依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为，
∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.故答案为．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分
发生了变化，是按照什么规律变化的．
18．（2021·浙江温州市·七年级期中）如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．
【答案】-6
【分析】先将3x2+x+1配方得原式=3（x+）2+，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入x的值．
【详解】解：3x2+x+1＝3（x+）2+，∵输入的x值为整数，要使输出结果最小，
∴3（x+）2+＞100，即（x+）2＞＝33，
∴应输入x的值为﹣6．故答案为：﹣6．
【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的到式子的最小值，进一步判断x的取值．
三、解答题（本大题共7小题，共49分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·广东梅州·七年级期末）计算：
【答案】17
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
＝﹣1＋1＋9－（﹣8）
＝﹣1＋1＋9＋8
＝17
【点睛】此题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（2021·江苏七年级月考）计算：
（1）， （2），
（3）， （4）
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）按照有理数加减混合运算法则计算即可；（2）先算括号内的，然后在进行加减混合运算即可；
（3）先算除法和乘方，然后按照有理数加减法运算法则计算即可；
（4）先利用乘法分配律，然后根据有理数加减法运算法则计算即可．
【详解】（1）原式=
（2）原式=
=
=
（3）原式=
=
=
（4）原式=
=
=
【点睛】本题考查含乘方的有理数加减乘除混合运算，乘法运算律，熟练掌握运算法则是本题的关键．
21．（2021 九龙坡区校级月考）对于一个正整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数b，则称b是a的“荣耀数”．例如：a＝123，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、27，则其个位数字分别为1、8、7，那么a的“荣耀数”b为187．
（1）16的“荣耀数”为 ；2023的“荣耀数”为 ；
（2）请求出“荣耀数”等于本身，且不大于50的数的个数．
【思路点拨】（1）根据“荣耀数”的定义进行计算求解；
（2）通过分析立方后等于本身的个位数有0、1、4、5、6、9，然后再根据不大于50的正整数这个条件分析确定符合题意的数的个数．
【答案】解：（1）13＝1，63＝216，其个位数字分别为1、6，
∴16的“荣耀数”为16，
23＝8，03＝0，33＝27，其个位数字分别为8、0、8、7，
∴2023的“荣耀数”为8087，故答案为：16；8087；
（2）立方后其个位数字等于本身的数有0、1、4、5、6、9，
又∵该数为不大于50的正整数，∴十位数字可以是1、4、5，
个位数字可以是0、1、4、5、6、9，
符合要求的数有1、4、5、6、9、10、11、14、15、16、19、40、41、44、45、46、49、50，
∴符合要求的数共18个．
【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数的乘方运算，理解“荣耀数”的定义，掌握有理数乘方的运算法则，确定出立方后其各位数字等于本身的数有0、1、4、5、6、9是解题关键．
22．（2021·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
【答案】（1）3；2；3；（2）见解析
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2，
（-2）3=-8，（-2，-8）=3， 故答案为：3；2；3；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x 3y=20，
∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
23．（2020·浙江七年级开学考试）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：
（1）二进制中的数等于十进制的数多少？
（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算．
【详解】解：（1）．
答：二进制中的数等于十进制的数是．
（2）．
答：八进制中的数等于十进制的数是．
【点睛】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化．
24．（2021·湖北孝感市·七年级期末）阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设M=，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据材料，设M=①，
∴将等式两边同时乘以3，则3M=②，
由②①，得：，∴；
∴.
（2）根据材料，设N=③，
∴将等式两边同时乘以5，④，
由④③，得：，∴；
∴.
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
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专题2.5 有理数的乘方
模块一：知识清单1. 有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
2．有理数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.
模块二：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （2021·浙江七年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．的底数是 B．读作：2的3次方 C．27的指数是0 D．负数的任何次幂都是负数
2.（2021·兴化市七年级期中）对于与，下列说法正确的是
A．它们的意义相同 B．它们的结果相等
C．它们的意义相同，结果相等 D．它们的意义不同，结果不相等
3．（2022 鄞州区期末）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．﹣|23|和|﹣23| C．（﹣3）2和﹣32 D．23和32
4.（2021·湖北襄阳市·九年级二模）的倒数是（ ）
A．－4 B． C． D．4
5.（2021·山东德州市·七年级期中）计算（ ）
A． B． C． D．
6.（2021·江苏苏州市·七年级月考）互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（ ）A．与 B．与 C．与（为正整数） D．与（为正整数）
7.（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）计算的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
8.（2022·全国·七年级单元测试）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（ ）
A．3 B．9 C．7 D．1
9．（2021春 浦东新区校级期中）在有理数：﹣（﹣2），﹣|﹣|，（﹣5）2，（﹣1）5，﹣22中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2022·山东聊城·七年级期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为，10C对应十进制的数为，那么十六进制中14E对应十进制的数为（ ）
A．328 B．362 C．338 D．334
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021春 阳江期末）计算：﹣（﹣1）4＝ ．
12.（2021·天津市静海区七年级期中）的底数是____;指数是 _______;结果是 ______.
13．（2021 邯郸模拟）22+22+22+22＝2m，则m＝ ．
14．（2021春 靖江市月考）计算：＝ ．
15．（2021·江苏南通·七年级阶段练习）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），经过两个小时，这种细菌由两个分裂成________个．
16.（2022·山东临沂·八年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．
17．（2021·河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.
18．（2021·浙江温州市·七年级期中）如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．
三、解答题（本大题共7小题，共49分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·广东梅州·七年级期末）计算：
20．（2021·江苏七年级月考）计算：
（1）， （2），
（3）， （4）
21．（2021 九龙坡区校级月考）对于一个正整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数b，则称b是a的“荣耀数”．例如：a＝123，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、27，则其个位数字分别为1、8、7，那么a的“荣耀数”b为187．
（1）16的“荣耀数”为 ；2023的“荣耀数”为 ；
（2）请求出“荣耀数”等于本身，且不大于50的数的个数．
22．（2021·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
23．（2020·浙江七年级开学考试）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：
（1）二进制中的数等于十进制的数多少？
（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？
24．（2021·湖北孝感市·七年级期末）阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：（1） （2）
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