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专题2.9 有理数的运算 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021 松桃县期末）经专家估算，我国南海的油气资源约合15000亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，用科学记数法表示15000亿美元是（ ）美元．
A．1.5×1012 B．1.5×1013 C．15×105 D．1.5×104
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于15000亿有13位，所以可以确定n＝13﹣1＝12．
【答案】解：15000亿＝1500000000000＝1.5×1012．故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n的值是关键．
2．（2021 浦东新区期中）春节假期期间某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了8℃，则中午的气温是（ ）
A．﹣5℃ B．5℃ C．11℃ D．﹣11℃
【思路点拨】根据题意可知，中午的气温是﹣3+8，然后计算即可．
【答案】解：由题意可得，中午的气温是：﹣3+8＝8﹣3＝5（℃），故选：B．
【点睛】本题考查有理数的加法，解答本题的关键是明确有理数加法的计算方法．
3．（2021 荆门）2021的相反数的倒数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【思路点拨】先求出2021的相反数，再求这个数的倒数即可．
【答案】解：2021的相反数是﹣2021，﹣2021的倒数是﹣，故选：C．
【点睛】本题考查了倒数和相反数的定义，注意倒数和相反数的定义的区别．
4．（2021 松北区期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣（﹣3）2＝9 B． C．﹣32＝9 D．（﹣3）3＝﹣9
【思路点拨】根据有理数的乘方运算法则进行计算，然后作出判断．
【答案】解：A．﹣（﹣3）2＝﹣9，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；C．﹣32＝﹣9，故此选项不符合题意；
D．（﹣3）3＝﹣27，故此选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，掌握运算法则准确计算是解题关键．
5．（2021 宣化区期末）对于任意的底数a，b，当n是正整数时，
其中，第二步变形的依据是（ ）
A．乘法交换律与结合律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘方的定义
【思路点拨】根据题目中的运算过程，可以发现第二步的依据是乘法交换律和结合律．
【答案】解：由题意可得，第二步变形的依据是乘法交换律和结合律，故选：A．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确乘法的运算法则．
6．（2021 上城区期末）计算42×2021+48×2021+62×2021的结果为（ ）
A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000
【思路点拨】先提取公因式2021，变形为2021×（42+2×4×6+62），再利用完全平方公式计算即可．
【答案】解：原式＝2021×（42+2×4×6+62）＝2021×（4+6）2＝2021×102＝2021×100＝202100，故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
7．（2021 鼓楼区二模）算式 2□0.5的值最小时，“□”中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【思路点拨】首先求出﹣2+0.5、﹣2﹣0.5、﹣2×0.5、﹣2÷0.5的值分别是多少；然后比较大小，判断出算式 2□0.5的值最小时，“□”中填入的运算符号是哪个即可．
【答案】解：﹣2+0.5＝﹣1.5，﹣2﹣0.5＝﹣2.5，﹣2×0.5＝﹣1，﹣2÷0.5＝﹣4，
∵﹣4＜﹣2.5＜﹣1.5＜﹣1，∴算式 2□0.5的值最小时，“□”中填入的运算符号是÷．故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握运算方法，解答此题的关键是求出﹣2+0.5、﹣2﹣0.5、﹣2×0.5、﹣2÷0.5的值分别是多少．
8．（2021 哈尔滨期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．ab＜0 B．b+a＜0 C．＞0 D．b﹣a＜0
【思路点拨】根据有理数的加减乘除运算法则判断即可．
【答案】解：∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴A选项符合题意；
∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，∴b+a＞0，∴B选项不符合题意；
∵a＜0，b＞0，∴＜0，∴C选项不符合题意；
∵b＞a，∴b﹣a＞0，∴D选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加减乘除法则，熟记有理数的加减乘除法则是解题的关键．
9．（2021 铜仁市期末）求1+2+22+23+…+22016的值，可令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．参照以上推理，计算4+42+43+…+42018+42019的值为（ ）
A．42020﹣1 B．42020﹣4 C． D．
【思路点拨】设S＝4+42+43+…+42018+42019，然后可以得到4S，再作差变形，即可求得所求式子的值．
【答案】解：设S＝4+42+43+…+42018+42019，则4S＝42+43+…+42019+42020，
∴4S﹣S＝42020﹣4，∴3S＝42020﹣4，∴S＝，
即4+42+43+…+42018+42019的值为．故选：C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是找出其中规律，利用错位相减求解．
10．（2021 达州）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（ ）
A．28 B．62 C．238 D．334
【思路点拨】根据题干十六进制与十进制的运算方法求解．
【答案】解：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是正确理解十六进制与十进制的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021 盘龙区期末）下列各数﹣0.2，|﹣2|，﹣（﹣2），﹣（﹣2）2，（﹣2）3中，负数的个数有 个．
【思路点拨】先将各数化简，然后根据负数的定义即可求出答案．
【答案】解：由于|﹣2|＝2，﹣（﹣2）＝2，﹣（﹣2）2＝﹣4，（﹣2）3＝﹣8，
所以﹣0.2，﹣（﹣2）2，（﹣2）3是负数，故答案为：3．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．
12．（2021 富拉尔基区期末）已知|y﹣3|与（x2﹣4）2互为相反数，则xy的值为 ．
【思路点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【答案】解：∵|y﹣3|与（x2﹣4）2互为相反数，∴|y﹣3|+（x2﹣4）2＝0，
又|y﹣3|≥0，（x2﹣4）2≥0，∴y﹣3＝0，x2﹣4＝0，解得x＝±2，y＝3，
所以，xy＝（±2）3＝±8．故答案为：±8．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13．（2022 衢州期末）有一种“24点”游戏的规则：用4个整数进行有理数运算（可用括号和乘方）列出一个计算结果为24的算式，现有数2，﹣3，4，5，请列出“24点”的算式： （写出一个算式即可）．
【思路点拨】写一个算式，可以用加减乘除，乘方，括号，使最后结果为24．
【答案】解：﹣2×（﹣3﹣4﹣5）＝﹣2×[（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）]＝﹣2×（﹣12）＝24．
故答案为：﹣2×（﹣3﹣4﹣5）＝24．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，考核学生的计算能力，注意运算顺序．
14．（2021 萧山区月考）已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝ ．
【思路点拨】由4个不相等的整数a、b、c、d，将25进行因数分解可知25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），即可求解．
【答案】解：∵a、b、c、d是4个不相等的整数，
∴25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），∴a+b+c+d＝1+5+（﹣1）+（﹣5）＝0；故答案为0．
【点睛】本题考查有理数的乘法；能够将25进行准确的因数分解是解题的关键．
15．（2022 台州期末）已知a，m，n均为有理数，且满足|a﹣m|＝5，|n﹣a|＝3，那么|m﹣n|的值为 ．
【思路点拨】由|a﹣m|＝5，|n﹣a|＝3可知a﹣m＝±5，n﹣a＝±3，再表达出m，n，分四种情况讨论计算即可．
【答案】解：∵|a﹣m|＝5，|n﹣a|＝3，∴a﹣m＝±5，n﹣a＝±3
∴m＝a±5，n＝a±3∴|m﹣n|＝|（a±5）﹣（a±3）|，于是可分类计算：
①|m﹣n|＝|5﹣3|＝2 ②|m﹣n|＝|﹣5﹣3|＝8 ③|m﹣n|＝|5﹣（﹣3）|＝8
④|m﹣n|＝|﹣5﹣（﹣3）|＝2故答案为2或8．
【点睛】本题考查的是绝对值的相关计算，正确去掉绝对值符号是解题的关键，用分类讨论的方法可以避免解题中出现错误．
16．（2021 铜官区期末）在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，则a+b＝ ．
【思路点拨】从四个数中取三个数相乘，分别求出它们的积即可得到a、b的值，从而得出答案．
【答案】解：在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，一共有四种情况：
①（﹣2）×3×4＝﹣24，②（﹣2）×3×（﹣6）＝36，
③（﹣2）×4×（﹣6）＝48，④3×4×（﹣6）＝﹣72，
∵所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，
∴a＝48，b＝﹣72，∴a+b＝﹣24，故答案为：﹣24．
【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是分别求出三个数相乘的积，得到a、b的值．
17．（2021 碑林区校级月考）若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝ ．
【思路点拨】先根据绝对值的意义及绝对值的非负性综合确定x、y、z的值，再代入计算即可．
【答案】解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，∴x＝±11，y＝±14，z＝±20．
∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），∴x+y≥0，y+z≤0．
∵x+y≥0．∴x＝±11，y＝14．∵y+z≤0，∴z＝﹣20．
当x＝11，y＝14，z＝﹣20时，x+y﹣z＝11+14+20＝45；
当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时，x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23．
故答案为：45或23．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的符号法则是解决本题的关键．
18．（2021 淮滨县月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，则c＝ ，第200个格子中的数为 ．
【思路点拨】根据任意三个相邻格中所填整数之和都相等，以及格子中已知数，可求出a、b、c的值，再根据规律得出第200个数即可．
【答案】解：∵任意三个相邻格中所填整数之和都相等，∴3+a+b＝a+b+c，∴c＝3，
又∵a+b+c＝b+c+（﹣1），∴a＝﹣1，根据排列规律可得，b＝2，
故这列数为3，﹣1，2，3，﹣1，2，……3，﹣1，2，
∵200÷3＝66……2，∴第200个数为﹣1，故答案为：3，﹣1．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 呼和浩特期末）计算、求解：
（1）（﹣8）×（）； （2）×（﹣6）÷（﹣）×7；
（3）（﹣2）3÷×|1﹣（﹣4）2|；（4）﹣12﹣（）÷×[﹣2+（﹣3）2]．
【思路点拨】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式从左到右依次计算即可求出值；
（3）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【答案】解：（1）原式＝﹣8×+8×﹣8×
＝﹣4+10﹣1
＝5；
（2）原式＝﹣1×（﹣7）×7
＝49；
（3）原式＝﹣8×+×|1﹣16|
＝﹣10+×15
＝﹣10+20
＝10；
（4）原式＝﹣1+×3×（﹣2+9）
＝﹣1+×7
＝﹣1+
＝．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2022 兴化市月考）用简便方法计算：
（1）（﹣9）×31﹣（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；（2）99×（﹣36）．
【思路点拨】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．
【答案】解：（1）原式＝31×（﹣9﹣8+16）
＝31×（﹣1）
＝﹣31；
（2）原式＝（100﹣）×（﹣36）
＝100×（﹣36）﹣×（﹣36）
＝﹣3600+
＝﹣3599．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2020秋 乾安县期末）已知：|a|＝3，|b|＝5．
（1）若ab＞0，求a+b值；（2）若ab＜0，求（a+b﹣2）2．
【思路点拨】（1）根据两数相乘，同号得正可知有a，b都为正数或a，b都为负数两种情况；
（2）根据两数相乘，异号得负可知有a为正数，b为负数或a为负数，b为正数两种情况．
【答案】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5．
（1）当ab＞0时，a和b同号，
当a＝3，b＝5时，a+b＝3+5＝8；
当a＝﹣3，b＝﹣5时，a+b＝﹣3﹣5＝﹣8．
∴a+b的值为±8；
（2）当ab＜0时，a和b异号，
当a＝3，b＝﹣5时，（a+b﹣2）2＝（3﹣5﹣2）2＝16；
当a＝﹣3，b＝5时，（a+b﹣2）2＝（﹣3+5﹣2）2＝0．
∴（a+b﹣2）2＝16或0．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，分类时注意做到不重不漏．
22．（2020秋 紫阳县期末）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：（1）（﹣2）☆4；（2）（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
【思路点拨】（1）根据m☆n＝mn+mn﹣n，可以求得所求式子的值；
（2）根据m☆n＝mn+mn﹣n，可以求得所求式子的值．
【答案】解：（1）∵m☆n＝mn+mn﹣n，∴（﹣2）☆4
＝（﹣2）4+（﹣2）×4﹣4
＝16+（﹣8）+（﹣4）
＝4；
（2）∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣1）☆[（﹣5）☆2]
＝（﹣1）☆[（﹣5）2+（﹣5）×2﹣2]
＝（﹣1）☆（25﹣10﹣2）
＝（﹣1）☆13
＝（﹣1）13+（﹣1）×13﹣13
＝（﹣1）+（﹣13）+（﹣13）
＝﹣27．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
23．（2022 江北区校级期中）观察下列等式：，，．
将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝ ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：①＝ ．
②＝ ．
（3）探究并计算，请写出计算过程：．
【思路点拨】（1）观察第一行等式，可得答案；（2）①仿照第二行等式的运算结合（1）中等式可得答案；②式子前面整体乘以，可仿照①进行计算；
（3）式子前面整体乘以，则可按（2）中规律计算．
【答案】解：（1）＝﹣故答案为：﹣；
（2）①＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝；
②＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣）
＝．
（3）
＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝×
＝．
【点睛】本题考查裂项法在有理数混合运算中的应用，读懂题意，明确裂项法的原理，是解题的关键．
24．（2022 潍城区期中）出租车司机小王某天下午的一段时间内营运全是在南北走向的北海路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这段时间内行车情况如下：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？（2）若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，且3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收1.8元钱．那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？（3）若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油5元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你帮小王计算一下这段时间他赚了多少钱？
【思路点拨】（1）根据小王这段时间内行车情况，将：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8相加即可得出答案；（2）根据题意共行车6次，每次起步价8元，故收到所给车费8×6＝48（元），超过3公里的有：﹣4，+7，﹣8，+8，即1.8+1.8×（7﹣3）+1.8×2×（8﹣3）计算即可得出答案；
（3）根据题意小王共行车，|﹣4|+|7|+|﹣2|+|﹣3|+|﹣8|+|8|＝32（km），即可算出汽油钱，用收到的费用减去汽油钱即可得出答案．
【答案】解：（1）﹣4+7﹣2﹣8+8＝﹣2，
故小王在下午出车的出发地的北方，距离出发地2km处；
（2）8×6+1.8+1.8×（7﹣3）+1.8×2×（8﹣3）＝75（元），
所以小王这天下午收到乘客所给的车费共75元；
（3）|﹣4|+|7|+|﹣2|+|﹣3|+|﹣8|+|8|＝4+7+2+3+8+8＝32（km），
32×0.1×5＝16（元），75﹣16＝59（元），
所以小王这天下午赚了59元．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算及数轴，合理应用法则进行计算是解决本题的关键
25．（2021 江岸区校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，++值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是 ；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．
【思路点拨】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；
（2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
【答案】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0，
当a＞0，b＜0时，；
当 a＜0，b＞0时，．故答案为：0．
（2）abc＜0，∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则＝﹣1+1+1＝1
（3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a．
a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
＝1﹣1﹣1＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键．
26．（2021·重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢 借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
【答案】（1）3；（2）；（3）
【分析】设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.
参照题目中的解题方法进行计算即可.
由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值
【解析】设塔的顶层共有盏灯，由题意得.
解得，顶层共有盏灯.
设,
,
即： . 即
由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n 1第n项，
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为
所有项数的和为
由题意可知：为2的整数幂，只需将 2 n消去即可，
则①1+2+( 2 n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，
②1+2+4+( 2 n)=0,解得：n=5,总共有 满足，
③1+2+4+8+( 2 n)=0,解得：n=13,总共有 满足，
④1+2+4+8+16+( 2 n)=0,解得：n=29,总共有 不满足，
∴
【点睛】考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.
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专题2.9 有理数的运算 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021 松桃县期末）经专家估算，我国南海的油气资源约合15000亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，用科学记数法表示15000亿美元是（ ）美元．
A．1.5×1012 B．1.5×1013 C．15×105 D．1.5×104
2．（2021 浦东新区期中）春节假期期间某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了8℃，则中午的气温是（ ）
A．﹣5℃ B．5℃ C．11℃ D．﹣11℃
3．（2021 荆门）2021的相反数的倒数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
4．（2021 松北区期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣（﹣3）2＝9 B． C．﹣32＝9 D．（﹣3）3＝﹣9
5．（2021 宣化区期末）对于任意的底数a，b，当n是正整数时，
其中，第二步变形的依据是（ ）
A．乘法交换律与结合律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘方的定义
6．（2021 上城区期末）计算42×2021+48×2021+62×2021的结果为（ ）
A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000
7．（2021 鼓楼区二模）算式 2□0.5的值最小时，“□”中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
8．（2021 哈尔滨期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．ab＜0 B．b+a＜0 C．＞0 D．b﹣a＜0
9．（2021 铜仁市期末）求1+2+22+23+…+22016的值，可令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．参照以上推理，计算4+42+43+…+42018+42019的值为（ ）
A．42020﹣1 B．42020﹣4 C． D．
10．（2021 达州）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（ ）
A．28 B．62 C．238 D．334
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021 盘龙区期末）下列各数﹣0.2，|﹣2|，﹣（﹣2），﹣（﹣2）2，（﹣2）3中，负数的个数有 个．
12．（2021 富拉尔基区期末）已知|y﹣3|与（x2﹣4）2互为相反数，则xy的值为 ．
13．（2022 衢州期末）有一种“24点”游戏的规则：用4个整数进行有理数运算（可用括号和乘方）列出一个计算结果为24的算式，现有数2，﹣3，4，5，请列出“24点”的算式： （写出一个算式即可）．
14．（2021 萧山区月考）已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝ ．
15．（2022 台州期末）已知a，m，n均为有理数，且满足|a﹣m|＝5，|n﹣a|＝3，那么|m﹣n|的值为 ．
16．（2021 铜官区期末）在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，则a+b＝ ．
17．（2021 碑林区校级月考）若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝ ．
18．（2021 淮滨县月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，则c＝ ，第200个格子中的数为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 呼和浩特期末）计算、求解：
（1）（﹣8）×（）； （2）×（﹣6）÷（﹣）×7；
（3）（﹣2）3÷×|1﹣（﹣4）2|；（4）﹣12﹣（）÷×[﹣2+（﹣3）2]．
20．（2022 兴化市月考）用简便方法计算：
（1）（﹣9）×31﹣（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；（2）99×（﹣36）．
21．（2020秋 乾安县期末）已知：|a|＝3，|b|＝5．
（1）若ab＞0，求a+b值；（2）若ab＜0，求（a+b﹣2）2．
22．（2020秋 紫阳县期末）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：（1）（﹣2）☆4；（2）（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
23．（2022 江北区校级期中）观察下列等式：，，．
将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝ ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：①＝ ．
②＝ ．
（3）探究并计算，请写出计算过程：．
24．（2022 潍城区期中）出租车司机小王某天下午的一段时间内营运全是在南北走向的北海路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这段时间内行车情况如下：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？（2）若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，且3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收1.8元钱．那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？（3）若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油5元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你帮小王计算一下这段时间他赚了多少钱？
25．（2021 江岸区校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，++值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是 ；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．
26．（2021·重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢 借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
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