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专题02 二次函数y=ax^2的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2的图象
1．抛物线y=-2x2的对称轴是（ ）
A．直线x=B．直线x=-C．直线x=0D．直线y=0
2．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是( )
A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②
3．若抛物线的开口向下，则m的值为( )
A． B． C．3 D．﹣3
4．已知点（-2，），（0，），（1，）都在函数的图象上，则( )
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
5．对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称
D．无论x取何值，y的值总是正的
6．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．当时，有最大值为 D．它的图象的对称轴是直线
7．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
8．顶点为（-2,0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是( )
A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定
10．关于二次函数图象，下列叙述正确的有（ ）
①它的图象是抛物线； ②它的图象有最低点；
③它的图象经过； ④它的图象开口向上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考查题型二 二次函数y=ax^2的性质
11．在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是( )
A． B．
C． D．
12．在平面直角坐标系中，点的图象如图所示，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
13．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C．D．
14．对于y＝ax2(a≠0)的图象，下列叙述正确的是( )
A．a越大开口越大，a越小开口越小
B．a越大开口越小，a越小开口越大
C．|a|越大开口越小，|a|越小开口越大
D．|a|越大开口越大，|a|越小开口越小
15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．4π D．都不对
16．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（ ）
A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1
17．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
18．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或a≥2 B．≤a≤2
C．﹣1≤a＜0或＜a≤1 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2
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专题02 二次函数y=ax^2的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2的图象
1．抛物线y=-2x2的对称轴是（ ）
A．直线x=B．直线x=-C．直线x=0D．直线y=0
【详解】
解：对称轴为y轴，
即直线x=0．
故选C．
2．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是( )
A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②
【详解】
解：∵1＜|﹣2|＜3，
∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故选A．
3．若抛物线的开口向下，则m的值为( )
A． B． C．3 D．﹣3
【详解】
解：的开口向下，
∴且，
∴且m＜﹣3，
∴m＝，
故选B．
4．已知点（-2，），（0，），（1，）都在函数的图象上，则( )
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
【详解】
函数的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，所以离原点越远，函数值就越大.
因为|-2|＞1＞0，所以y1＞y3＞y2.
故选B.
5．对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称
D．无论x取何值，y的值总是正的
【详解】
∵在函数中，，
∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0．
综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的．
故选C．
6．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．当时，有最大值为 D．它的图象的对称轴是直线
【详解】
由题意得：
当x=-1时，y=2，故A选项错误；
当时，随的增大而减小，故B选项正确；
当时，有小值为，故C选项错误；
图象的对称轴是直线，故D选项错误；
故选B．
7．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
【详解】
当y=5时，则，解之得（负值舍去），故选C
8．顶点为（-2,0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
解：由开口方向、形状与函数的图象相同，
∴，
∵顶点为（-2,0），
∴抛物线的表达式为.
故选择：C.
9．抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是( )
A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定
【详解】
解：抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象中|4|＝4，|﹣2|＝2，
∵
∴抛物线的开口小于的开口，
故选A．
10．关于二次函数图象，下列叙述正确的有（ ）
①它的图象是抛物线； ②它的图象有最低点；
③它的图象经过； ④它的图象开口向上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【详解】
解：二次函数图象是抛物线；①正确；
函数的图像有最低点；②正确；
函数的图像经过点（0，0）；③正确；
函数的图像开口向上；④正确；
∴正确的选项有4个；
故选：A．
考查题型二 二次函数y=ax^2的性质
11．在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是( )
A． B．
C． D．
【详解】
根据题意可得：和开口向上，开口向下，的开口大于的开口，故选D．
12．在平面直角坐标系中，点的图象如图所示，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：将代入中时，得：，将代入中时，得：，
根据图像可知，时的函数值，当时，的函数值，
则有： ，解得：，
故选B．
13．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C．D．
【详解】
解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
14．对于y＝ax2(a≠0)的图象，下列叙述正确的是( )
A．a越大开口越大，a越小开口越小
B．a越大开口越小，a越小开口越大
C．|a|越大开口越小，|a|越小开口越大
D．|a|越大开口越大，|a|越小开口越小
【详解】
函数（a）中|a|越大开口越小，|a|越小开口越大，选C.
15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．4π D．都不对
【详解】
解：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，
∴两函数图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴面积为：π×22=2π．
故选B．
16．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（ ）
A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1
【详解】
解：把(1,2)代入y=ax2得a=2，
把点(2,1)代入y=ax2得，
则a的范围介于这两点之间，故，
故选：A．
17．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【详解】
解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线与二次函数交于A、B，
∴当时， ，得，
∴，
∴,
∵，
∴CD=4，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2，
∴D（2，2），
将点D的坐标代入，得8a=2，
解得a=，
故选：B．
18．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3，
当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=，
观察图象可知：，
故选：A．
19．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【详解】
∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2，
∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，
故1=x2，
解得：x=±，
故A(，1)，C(﹣，1)，
∴AC=2，
故菱形OABC的面积是：ACOB=×2×2=2．
故选：B．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或a≥2 B．≤a≤2
C．﹣1≤a＜0或＜a≤1 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2
【详解】
如图，
当抛物线经过点A时，
当抛物线经过点B时，
当抛物线经过点C时，
由二次函数图象的性质，分以下两种情况：
（1）当时，抛物线开口向上，且a越大，开口越小
则抛物线经过点A是临界位置
因此，时，抛物线必经过区域
（2）当时，抛物线开口向下，且a越大，开口越大
则抛物线经过点B是临界位置
因此，时，抛物线必经过区域
综上，a的取值范围为或
故选：D．
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