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专题03 二次函数y=ax^2+k的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2+k的性质
1．抛物线顶点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上
【详解】
∵抛物线y=2x2-3的顶点坐标为（0，-3），
∴抛物线y=2x2-3的顶点在y轴上．
故选D．
2．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
3．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选：A．
4．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵的对称点为，且，
∴．
故选：D．
5．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
【详解】
A.因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误，不符合题意；
C.抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误，不符合题意；
故选A．
6．下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．当时，有最小值是3
【详解】
∵的一次项系数大于0
∴函数开口向上，故选项A错误；
∵的顶点坐标为 ，即最小值为3
∴选项B错误，选项D正确；
的对称轴为
当时，随的增大而减小
∴选项C错误；
故选：D．
7．二次函数在内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
【详解】
解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29．
故选：C．
8．将抛物线绕顶点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
∵抛物线的顶点坐标为(0，1)，开口向上，
∴抛物线绕顶点旋转后所得的抛物线顶点坐标为(0，1)，开口向下，
∴旋转后的抛物线的解析式为：．
故选C．
9．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
【详解】
解：∵二次函数y=x2-1，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴是y轴，故选项B正确；
当x=0时，y=-1，故选项C错误；
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误；
故选：B．
10．若是二次函数，且开口向下，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【详解】
解：∵是二次函数，且开口向下，
∴，
∴，
∴．
故选：C
考查题型二 二次函数y=ax^2+k的图象
11．二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【详解】
解：二次函数y＝x2＋1中，
a＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图象是B．
故选B．
12．点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】
解：由图象，根据二次函数的性质，有
A．若，则，原说法错误；
B．若，则，原说法错误；
C．若，则，原说法错误；
D．若，则，原说法正确．
故选D．
13．在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由一次函数的性质可知，y= 3x的函数图像过一、三象限，由二次函数性质可得y= －x2+1中a<0，抛物线开口向下，故选D.
14．在同一直角坐标系中与图象大致为
A． B． C． D．
【详解】
解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误．
故选A．
15．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【详解】
解：若函数y=mx+n经过一二三象限，m＞0，n＞0，则二次函数y=mx2-nx的图象开口向上，对称轴x=-＞0，在y轴的右侧；
若函数y=mx+n经过一二四象限，m＜0，n＞0，则二次函数y=mx2-nx的图象开口向下，对称轴x=-＜0，在y轴的左侧；
故选：C．
16．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）
A．B． C．D．
【详解】
解：A选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，A错误；
B选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；
C选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；
D选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．
17．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【详解】
解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；
故选D．
18．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
解：由题意得 ，
解得 ，
所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0，1），（1，0），
∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．
∴①当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M＝y1；故此选项正确；
②当1＞x＞0时，y1＞y2，M＝y2，直线y2＝﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项错误；
③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；
④当﹣1＜x＜0，M＝时，即y1＝﹣x2+1＝，
解得：x1＝﹣，x2＝（不合题意舍去），
当0＜x＜1，M＝时，即y2＝﹣x+1＝，
解得：x＝，
故使得M＝的值是﹣或，此选项正确．
故正确的有3个．
故选：C．
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专题03 二次函数y=ax^2+k的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2+k的性质
1．抛物线顶点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上
2．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
3．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
6．下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．当时，有最小值是3
7．二次函数在内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
8．将抛物线绕顶点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
10．若是二次函数，且开口向下，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
考查题型二 二次函数y=ax^2+k的图象
11．二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
12．点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
14．在同一直角坐标系中与图象大致为
A． B． C． D．
15．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
16．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）
A．B． C．D．
17．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
18．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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