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专题05 二次函数y=a（x-h）^2+k的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数a（x-h）^2+k的性质
1．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
2．抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y1)，(0，y2)， (，y3)三点，则大小关系是( )
A． B．
C． D．
3．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
4．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3 C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点
6．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x=﹣2 D．当x＜2时y随x的增大而减小
8．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
9．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，x的取值范围是
10．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1：
③顶点坐标为（﹣1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考查题型二 二次函数a（x-h）^2+k的图象
11．二次函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
13．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
14．如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
16．二次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
17．已知抛物线，如图所示，下列命题：①；②对称轴为直线；③抛物线经过，两点，则；④顶点坐标是（，其中真命题的概率是（ ）
A． B． C． D．1
18．二次函数的图象大致是
A．B．C．D．
19．如图，已知抛物线与轴交于两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
20．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是( )
A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②
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专题05 二次函数y=a（x-h）^2+k的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数a（x-h）^2+k的性质
1．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
【详解】
∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)．
故选C．
2．抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y1)，(0，y2)， (，y3)三点，则大小关系是( )
A． B．
C． D．
【详解】
解：∵y=2(x-1)2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；(，y3)关于直线x=1的对称点是(，y3)，
∵-2<<0<1
∴y1＞y3＞y2，
故选D．
3．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【详解】
解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
4．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
5．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3 C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点
【详解】
二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误，不符合题意；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确，符合题意；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误，不符合题意；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，不符合题意，
故答案选B
6．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】
解：二次函数的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
7．对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x=﹣2 D．当x＜2时y随x的增大而减小
【详解】
二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y=1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误，
当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选D．
8．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
【详解】
顶点坐标（m,m+1）在第一象限，则有
解得：m>0,
故选B.
9．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，x的取值范围是
【详解】
解：将代入抛物线的解析式得；
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：，
A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
10．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1：
③顶点坐标为（﹣1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
①∵a=－2，∴抛物线的开口向下，故本小题正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），故本小题正确；
④∵对称轴为直线x=﹣1，抛物线开口向下，∴x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小，故本小题正确．
综上所述：正确的有①③④．
故选C．
考查题型二 二次函数a（x-h）^2+k的图象
11．二次函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
解：∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
【详解】
由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；
故选D．
13．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【详解】
解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确；
对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误；
对于③，，当x=0时，，③错误；
对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．
故选D．
14．如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】
解：∵抛物线与交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：a=，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3=，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵=时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
15．二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【详解】
解：观察函数图象，可知：m＞0，n＞0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限．
故选A．
16．二次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由二次函数可得：开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
故选C．
17．已知抛物线，如图所示，下列命题：①；②对称轴为直线；③抛物线经过，两点，则；④顶点坐标是（，其中真命题的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【详解】
∵抛物线开口向上，∴a＞0，①是真命题；
对称轴为直线x=1，②是真命题；
当x＞1时，y随x的增大而增大，∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题；
顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；
∴真命题的概率．
故选C．
18．二次函数的图象大致是
A．B．C．D．
【详解】
在y=（x+1）2-2中由a=1＞0知抛物线的开口向上，故A错误；
其对称轴为直线x=-1，在y轴的左侧，故B错误；
由y=（x+1）2-2=x2+2x-1知抛物线与y轴的交点为（0，-1），在y轴的负半轴，故D错误；
故选C．
19．如图，已知抛物线与轴交于两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【详解】
如图，连接BG，
由题意可得：A(1,0)，B(9,0)，D是AB的中点，
AB=8，
BD=4，
=，
C(5,3)，
CD=3，
由D、P分别是AB、AG的中点可得：DP是的中位线，
DP=BG，
要求DP的最大值，即要求BG的最大值，
当G、C、B三点共线时，BG最大，
BC=，
BG=5+2=7，
DP=BG=．
故选：C．
20．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是( )
A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②
【详解】
抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x-4）2-3交于点A（1，3），
∴3=a（1-4）2-3，
解得：a=，故①正确；
过点E作EF⊥AC于点F，
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，E（4，-3），
∴AF=3，EF=6，
∴AE=，AC=2AF=6，
∴AC≠AE，故②错误；
当y=3时，3=（x+1）2+1，
解得：x1=1，x2=-3，
故B（-3，3），D（-1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）2+1=（x-4）2-3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
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