【专题训练】二次函数应用动态图形分类练习(含解析）
文档属性
| 名称 | 【专题训练】二次函数应用动态图形分类练习(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-10 06:09:47 | ||
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文档简介
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二次函数应用动态图形分类练习
一、二次函数——周长线段之和最小
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 轴上的 点，直线 与抛物线在第一象限交于点 ．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）已知点 是抛物线的对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求 的面积；
（3）若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标是________．
2.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于点 和点 （点 在点 的左侧），交 轴于点 ．点 是线段 上的一个动点，沿 以每秒1个单位长度的速度由点 向点 运动，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交直线 于点 ，连接 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）在点 运动过程中，运动时间 为何值时， ？
（3）在点 运动过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.综合与探究
如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ， ， ，直线 是抛物线的对称轴，在直线 右侧的抛物线上有一动点 ，连接 ， ， ， ．
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）若点 在 轴的下方，当 的面积是 时，求 的面积；
（3）在直线 上有一点 ，连接 ， ，则 的最小值为________；
（4）在（2）的条件下，点 是 轴上一点，点 是抛物线上一动点，是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ． 、 的长是不等式组 的整数解 ，点 在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式及 的值；
（2） 轴上的点 使 + 的值最小，则 ________；
（3）将抛物线向上平移，使点 落在点 处．当 时，抛物线向上平移了________个单位；
（4）点 在 轴上，平面直角坐标系内存在点 使以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 的坐标．
二、二次函数——线段最值、面积倍数、最值
5.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E ， 求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D ， 使得以点A ， C ， D ， F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
6.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其项点为D．
（1）填空：抛物线的解析式为________；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
7.如图所示，抛物线 经过点 ，点 ，与 轴交于点 ，连接 ， ．点 是线段 上不与点 、 重合的点，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交 于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点 作 ，垂足为点 ．设 点的坐标为 ，请用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时 有最大值，最大值是多少？
（3）试探究是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C ． 在x轴上有一动点E（m ， 0）（0 m 3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M ．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N ， 连接AM ， OM ， 设△AEM的面积为S1 ， △MON的面积为S2 ， 若S1＝2S2 ， 求m的值．
9.如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点为 ，连接 ， ， ，直线 与抛物线的对称轴 交于点 ．
（1）求抛物线的解析式和直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积；
（3） 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ，当 时，求点 的坐标；
（4）在抛物线的对称轴 上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大.求出点P的坐标
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q.使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在.请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
11.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C ．
（1）求抛物线的二次函数解析式：
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）如图2，点H是直线 下方抛物线上的动点，连接 ， ，当 的面积最大时，求点H的坐标．
三、二次函数——等腰三角形
12.如图，在平面直角坐标系中，已知点C(0，4)，点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB ， 动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P ， 使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及ΔPAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q ， 使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13.在平面直角坐标系中，直线 与x轴相交于点A ， 与y轴相交于点C ， 点B在x轴的负半轴上，且 ，抛物线经过点A ， B ， C ， 点M为第一象限内抛物线上的一动点，过点M作直线 轴，交x轴于点 ．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当l经过抛物线顶点时，点D是抛物线对称轴上一点，若以C ， B ， D为顶点的三角形是等腰三角形，求点D坐标；
（3）如图2，连接 交y轴于点F ， 连接 ， ，若 的面积等于 的面积，求n的值．
14.如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 与 轴交于点 .若点 ， 同时从 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 ， 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.
（1）求该二次函数的解析式及点 的坐标；
（2）当点 运动到 点时，点 停止运动，这时，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由.
（3）当 ， 运动到 秒时， 沿 翻折，点 恰好落在抛物线上 点处，请判定此时四边形 的形状，并求出 点坐标.
15.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．抛物线 经过 、 两点，且与 轴交于另一点 （点 在点 右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点 坐标；
（2）设该抛物线的顶点为点 ，则 ________；
（3）若点 是线段 上一动点，过点 的直线 平行 轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．求 长的最大值及点 的坐标；
（4）在（3）的条件下：当 取得最大值时，在 轴上是否存在这样的点 ，使得以点 、点 、点 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．
四、二次函数——直角三角形
16.如图，已知抛物线 ，与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）坐标轴上是否存在点 ，使得 是直角三角形？若存在，求出点 的坐标：若不存在，说明理由．
17.如图10-1，以点 为顶点的抛物线与直线 交于 两点，且点A坐标为 ，点B在y轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点D是抛物线上位于直线 上方的一点（如图10-2），过点D作 轴于点E ， 交直线 点F ， 求线段 长度的最大值；
（3）在抛物线的对称轴 上是否存在点P ， 使以点 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 过A ， B ， C三点，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，动点P在抛物线上．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）是否存在点P ， 使得 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设动点P的横坐标为m ， 的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．
五、二次函数——等腰直角三角形（正方形）
19.如图，二次函数 的图象过点 ，交y轴于点C（0，－4）．直线BO与抛物线相交于另一点D ， 连接AB ， AD ， 点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F ．
（1）求二次函数 的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G ， 使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点在抛物线的对称轴上，是否存在点Q ， 使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
六、二次函数——平行四边形
20.如图，抛物线 的图象经过 三点，直线 经过点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在线段 上，且满足 ，点 在 轴下方的抛物线上，设点 的横坐标为 ，当 为何值时， 的面积最大？并求出最大值；
（3） 为抛物线上的一动点， 为对称轴上一动点，若以 为顶点的四边形为平行四边形，求出点 的坐标．
21.如图，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于点A和点B ， 与y轴交于点C（0，﹣4），顶点为D ， 其对称轴直线x＝1交x轴于点P ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，线段MN的两端点M ， N都在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧），且MN＝4，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标；
（3）如图2，点Q是直线l：y＝kx+1上一点，当以Q ， A ， C ， B为顶点的四边形是平行四边形时，确定点Q的坐标和k的值．
22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求 面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线 沿射线AD平移 个单位，得到新的抛物线 ，点E为点P的对应点，点F为 的对称轴上任意一点，在 上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.
七、二次函数——矩形、菱形、正方形
23.如图，已知抛物线y＝a ＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为________；
（3）点N为第二象限抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标；
（4）点P是y轴上的一点，在坐标平面内存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．
24.如图，抛物线 与x轴交于A ， B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C ．
（1）求A ， B ， C三点的坐标；
（2）连接 ，直线 与该抛物线交于点E ， 与 交于点D ， 连接 ．当 时，求线段 的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线 上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ， 使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B ， 与y轴交于点C ， 连接BC ， ，对称轴为 ，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C ， D两点之间的距离是________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE ． 求 面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ， 使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
26.如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C ， 动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P ， B ， C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ， 使得以A ， C ， P ， Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27.如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．直线 经过抛物线上两点 ， ．已知点 ， 的横坐标分别为 ， 且满足 ，直线 的表达式为 ．
（1）求 的值及抛物线的表达式；
（2）设点 是直线 上一动点，问：点 在什么位置上时， 的周长最小？求出点 的坐标及 周长的最小值；
（3）如图2， 是线段 上的一个动点，过点 作垂直于 轴的直线与直线 和抛物线分别交于点 ， ．若点 是直线 上一个动点，当点 恰好是线段 的中点时，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、二次函数——周长线段之和最小
1.【答案】 （1）解：当y=0时， ，
解得x1=-4，x2=0，
点A（-4，0），
设直线 的函数解析式 ,过A、B两点，代入得
，
解方程组得 ，
直线 的函数解析式为 ；
（2）解：∵点 是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线对称轴为x= =-2,
∵C△BOQ的周长=OQ+QB+OB，点O，点B是定点，OB长是定值，
∴当 的周长最小时，就是OQ+QB最小，
∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，
∴点A，点Q，点B三点共线时，OQ+QB=AQ+QB≥AB最短，
当x =-2式， ，
点Q（-2，2），
S△BOQ的面积=S△BAO-S△QAO= ；
（3）（6，6）或（-2，6）或（-6，-6）
【解析】【解答】解：（3）以点A， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
当以OB为对角线，四边形AONB为平行四边形，BN∥AO，且BN=AO，
设N1（x,y），
则y=6, x-4=2, x=6，
∴点N1（6，6）；
当以AB为对角线，四边形AOBN为平行四边形是，NB∥AO，且NB=AO=4，
设N2（x,y），
则y=6, x+4=2, x=-2，
∴点N2（-2，6）；
当以AO为对角线，四边形ANOB为平行四边形，AB∥ON，且AB=ON，
设N3（x,y），
∵6-0=0-y，2-0=-4-x，
∴y=-6, x=-6，
∴点N3（-6，-6）；
∴以点A， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标是（6，6）或（-2，6）或（-6，-6）．
故答案为（6，6）或（-2，6）或（-6，-6）．
【分析】（1）先求出 点A（-4，0）， 再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 点A，点Q，点B三点共线时，OQ+QB=AQ+QB≥AB最短， 再求出 点Q（-2，2）， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行四边形的性质，列方程计算求解即可。
2.【答案】 （1）解：∵抛物线 与 轴分别交于点 和点 ，交 轴于点 ，
∴当 时， ，即 ，
当 时， ， ， ，即 ， ，
设直线 的解析式为：
则 ，
∴ ，
∴直线 的表达式： ．
（2）解：∵点 沿 以每秒1个单位长度的速度由点 向点 运动，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴ ，由勾股定理得： ，
∵ 轴，
在 中， ，
∴△AEP也是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时，即 或 时， ．
（3）解：在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长： ．
∴当 最小时 的周长最小．
当 时， 最小，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出 ，再求出 △AOC是等腰直角三角形， 最后进行求解即可；
（3）先求出 当 最小时 的周长最小 ，再求出 ， 最后进行求解即可。
3.【答案】 （1）解：∵抛物线 与 轴相交于 ， 两点， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：如图，过 作 轴于 ，交 于 ，
当 时， ，
∴ ，
设 的解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴ 的解析式为： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或3，
∵点 在直线 右侧的抛物线上，
∴ ，
∴ 的面积
（3）
（4）解：①当MB为对角线时，MN//BD，MN=BD，
过点N作NE⊥x轴于E，过当D作DF⊥x轴于F，
∵点D（3， ），
∴DF= ，
在△MNE和△BDF中， ，
∴△MNE≌△BDF，
∴DF=NE= ，
∵点D在x轴下方，MB为对角线，
∴点N在x轴上方，
∴点N纵坐标为 ，
把y= 代入抛物线解析式得： ，
解得： ， ，
∴ （ ， ）， （ ， ）
如图，当BM为边时，MB//ND，MB=ND，
∵点D（3， ），
∴点N纵坐标为 ，
∴ ，
解得： ， （与点D重合，舍去），
∴ （ ， ），
综上所述：存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为： 或 或
【解析】【解答】（3）∵抛物线 与 轴相交于 ， 两点，
∴点A与点B关于直线l对称，
∴BC为AP+CP的最小值，
∵B（4，0），C（0，-6），
∴AP+CP的最小值=BC= = ．
故答案为：
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 的解析式为： ， 再求出 或3， 最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）先求出点A与点B关于直线l对称，再求出BC为AP+CP的最小值，最后利用勾股定理求解即可；
（4）分类讨论，利用全等三角形的性质与判定，再结合图象求解即可。
4.【答案】 （1）解：所给不等式组的解集为 ， 其整数解为2,3．
∵OA，OB的长是所给不等式组的整数解，且OA∴ ，则A（-2，0），B（3，0）
∵点A、B在抛物线上，
∴ ，解得， ．
∴所求的抛物线的解析式为
∵点D（2，m）在抛物线上，
∴
（2）2
（3）9
（4）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，
由∵
∴AB与MN不能作为一组对角线．
∴分两种情况：
①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②．
如图2①，AB=OA+OB=2+3=5，
∵四边形ABMN是菱形，
∴MN∥AB∥x轴，MN=MB=AB=5．
在 中，
∴M（0,4）．
∴N（-5,4）．
如图2②，同理可得：N（-5，-4）．
②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④．
如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，
∵
∴
∴
如图2④，同理可得：
综合上述①、②两种情况，符合条件的点N的坐标为：
【解析】【解答】（2）如图1所示，连接AD交y轴于点E ， 则此时AE+ED最小．
设直线AD的解析式为
∵点A（-2,0），D（2,-4）在直线 AD上，
∴ ，解得， ．
∴直线AD的函数解析式为
当x=0时，y=-2,．即E（0， -2）．
∴
故答案为：2
（3）如图1，
∵AD//FB ，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴抛物线向上平移9个单位．
故答案为：9
【分析】（1）利用待定系数法求出 抛物线的解析式为 再计算求解即可；
（2）先求出直线AD的函数解析式为 再求出E（0， -2），最后计算求解即可；
（3）先求出再求出最后求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用勾股定理求解即可。
二、二次函数——线段最值、面积倍数、最值
5.【答案】 （1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，
＝﹣（x ）2 ，
∵﹣1＜0，
∴当x 时，PE的最大值 ，此时P（ ， ）
（3）解：存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1± ，
∴F3（1 ，3），F4（1 ，3），
由平移的性质可知D3（4 ，0），D4（4 ，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4 ，0）或（4 ，0）．
【解析】【分析】
（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，可以得到关于b和c的方程组，解方程组求出b和c，然后写出解析式即可；
（2）将点 点C（2，m） 代入解析式求出坐标，直线经过A、C两点，利用待定系数法求出直线解析式，设P点横坐标为x，利用直线AC解析式表示出纵坐标，E点横坐标也为x，纵坐标代入抛物线解析式表示出来，然后PE=两点纵坐标之差，整理出表达式，再求最值及点P的坐标即可；
（3）分情况讨论，四点中只有点A与点C是固定的，分别确定当AC为一边，当AC为对角线时，平行四边形的几种位置，然后计算的坐标。
6.【答案】 （1）y＝﹣x2+2x+3
（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣1，0），C（2，3）代入得，
，
解得， ，
直线AC的解析式为y=x+1，
依题意得，P（t，﹣t2+2t+3），M（t,t+1）,
PM=﹣t2+2t+3-（t+1）= ﹣t2+t+2=-（t- ）2+ ,
当t= 时，PM有最大值，最大值为
（3）解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4），把x=1代入y=x+1得，y=2，
∴B（1，2），BD＝2，
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝ ，
∵EF∥BD，
∴当EF＝BD时，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形．
∴ ＝2，
当 时，
解得：m1＝0，m2＝1（舍去），
当 时，
解得m3＝ ，m4＝ ；
∴点E的坐标为：（0，1）或（ ， ）或（ ， ）．
【解析】【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得， ，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
【分析】（1）先求出 ， 再求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+1，再求解即可；
（3） 先求出 ＝2， 再分类讨论求解即可。
7.【答案】 （1）解：将点 、 的坐标代入抛物线表达式得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为：
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
设直线 的表达式为： ，
， ，
则 ，
解得： ，
直线 的表达式为： ；
设点 ，则点 ，点 ，
∴ ，
∵ ，故 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为 ；
（3）解：存在，理由：
点 、 的坐标分别为 、 ，
则 ，过点 作 轴于点 ，
①当 时，
在 中， 由勾股定理得 ，
即 ，
解得： ， （舍去），
故点 ；
②当 时，则 ，连接 ．
在 中， 由勾股定理得 ．
即 ，
解得： ， （舍去），
则 ，
故点 ；
③当 时， ，
即 ，
解得： ；
则 ，
故点 ，
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【解析】【分析】（1）先求出a=-1，b=3，再求抛物线的解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线 的表达式为： ，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图象，利用勾股定理计算求解即可。
8.【答案】 （1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得 ，
解得 ，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）解：当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝ ，
同理可得：AD＝ ，CD＝ ，
①当CD＝AD时，即 ＝ ，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝ （舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1， ）；
（3）解：∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），
设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则 ，
解得： ，
故直线BM的表达式为y＝﹣ x＋ ，
当x＝0时，y＝ ，故点N（0， ），则ON＝ ；
S1＝ AE×yM＝ ×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
2S2＝ON xM＝ ×m＝S1＝ ×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
解得m＝﹣2± （舍去负值），
经检验m＝ ﹣2是方程的根，
故m＝ ﹣2．
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得 ， 解得即可得到抛物线的表达式；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a）， 由点A、C、D的坐标得，AC＝ ，同理可得：AD＝ ，CD＝ ，①当CD＝AD时；②当AC＝AD时，可得点D的坐标为（1，1）或（1， ）；
（3）S1＝ AE×yM，2S2＝ON xM，即可求解。
9.【答案】 （1）解： 抛物线 过点 和 ，
解得
抛物线的解析式为 ．
令 ，得 ．
解得 ， ．
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ．
把点 ， 分别代入 ，得
解得
直线 的解析式为
（2）解：如图，设抛物线的对称轴 与 轴交于点 ．
抛物线的解析式为 ，
顶点 的坐标为 ．
四边形 四边形
．
（3）解： ．
．
如图，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ．
设点 ．
点 在直线 上，
．
．
．
．
解得 ， ．
，
（4）解：存在．
直线 的解析式为
对称轴 为：
①当 时，点M与点H重合，
②当 时，
或者
③当 时， ,
点 的坐标为 或 或 或
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式为 ，再求出 点 的坐标为 ，最后求函数解析式即可；
（2）先求出顶点 的坐标为 ，再利用三角形的面积公式和四边形面积公式计算求解即可；
（3） 先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可；
（4）先利用勾股定理求出BE的值，再分类讨论，求点的坐标即可。
10.【答案】 （1）解：∵OB=OC=3OA，AC= ，
∴ ，即 ，
解得：OA=1，OC=OB=3，
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入 中，
则 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积，
而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，
则 ，解得： ，
∴直线BC的表达式为y=x+3，
设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），
S△BPC= = = ，
∵ ，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，
此时x= ，代入 得 ，
∴P（ ， ）
（3）解：若BP为平行四边形的对角线，
则PQ∥BM，PQ=BM，
则P、Q关于直线x=-1对称，
∴Q（ ， ）；
若BP为平行四边形的边，
如图，QP∥BM，QP=BM，
同上可得：Q（ ， ）；
如图，BQ∥PM，BQ=PM，
∵点Q的纵坐标为 ，代入 中，
解得： 或 （舍），
∴点Q的坐标为（ ， ）；
如图，BP∥QM，BP=QM，
∵点Q的纵坐标为 ，代入 中，
解得： （舍）或 ，
∴点Q的坐标为（ ， ）；
综上：点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）
【解析】【分析】（1）由已知易求得OA、OC=OB的值，于是可得点A、B、C的坐标，用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）由图知：S四边形PBAC=S△BCA+S△PBC ， 而△ABC的面积是定值，所以要使四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可；结合二次函数的性质可求解；
（3）由题意可分三种情况讨论：
①若BP为平行四边形的对角线，则PQ∥BM，PQ=BM，则P、Q关于直线x=-1对称，于是可得点Q的坐标；
②若BP为平行四边形的边，则BQ∥PM，BQ=PM，同理可求解；
③若BP为平行四边形的边，则 BP∥QM，BP=QM，同理可求解.
11.【答案】 （1）解：∵点 ， 在抛物线 上，
∴将 ， 代入解析式，
得 ，
∴ ，
∴抛物线的二次函数解析为
（2）解：运用平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式求解，
设点 ， ，
①当 为对角线时，则 ，即 ,
代入得 ，
解得 或 ,
∴得点 ， ；
②当 为对角线时，则 ，
同理求得点 ，
③当 为对角线时，则
同理求得点 与点 重合，即 ；
综上所述， ， ，
（3）解：如图，过点C作x轴的平行线，交 于点M；过点H作y轴的平行线，交 于点E，交 于点F，交x轴于点G．
设点H的坐标为 ，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点F的坐标为 ．
∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点M的坐标为 ．
求 的面积表达式有以下二种方法：
解法1：水平分割时，
．
当 时， 的面积最大，此时 ；
解法2：垂直分割时，
，
当 时，面积最大，此时 ，
解法3：如图下图，过点H作 的平行线l，
∵直线 的解析式为 ，直线l与直线平行，
∴直线l解析式的k=1，
∴设直线l的解析式为 ，
当直线l与抛物线相切时， 面积最大，
由 ，
消去y，得： ，①
当方程①的 时，直线l与抛物线相切，
， ，
∴ 为所求．
【解析】【分析】（1）把点 ， 在抛物线 得抛物线为 ；
（2）①当 为对角线时，②当 为对角线时，③当 为对角线时，分三种情况讨论即可；
（3）设点H的坐标为 ， ， 由B、C的坐标得出直线 的解析式，由B、H的坐标得出直线 的解析式，即可得到点M的坐标，可利用水平分割、垂直分割两种方法都可求出 的面积表达式，由此得出当 的面积最大时，求出H的坐标。
三、二次函数——等腰三角形
12.【答案】 （1）解：∵C(0,4)，∴OC＝4．
∵OA＝OC＝4OB，∴OA＝4，OB＝1，
∴A(4,0),B( 1,0)，
设抛物线解析式：y＝a(x＋1)(x 4)，
∴4＝ 4a，∴a＝ 1．
∴y＝ x2＋3x＋4．
（2）解：存在．
作PN⊥x轴交AC于N，
AC的解析式为y＝－x＋4 ，
设P（x， x2＋3x＋4），则N(x,－x＋4),
得PN＝（ x2＋3x＋4）－(－x＋4)＝ x2＋4x ，
∴S△PAC＝ PN×4＝2PN＝2( x2＋4x)＝－2(x－2)2＋8 ，
当x=2时，ΔPAC面积的最大值为8，此时点P的坐标为（2，6）.
∴P点坐标为（2，6）时，ΔPAC面积有最大值，最大面积是8 .
（3）Q(0,0),(－4,0),
【解析】【解答】解：(3) 设 根据勾股定理得：
①当 时，
此时可得Q的坐标为（4+4 ，0）、（4-4 ，0）；
②当 时，
当 时，不合题意舍去，
③当 时，
综上，符合条件的点Q的坐标为：(0,0)，(－4,0)， ．
【分析】（1）由C的坐标，得出OC的值，由OA＝OC＝4OB，得出OA＝4，OB＝1，以及A、B的坐标，设抛物线解析式：y＝a(x＋1)(x 4)，解出a的值，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）存在，作PN⊥x轴交AC于N，由A和C的坐标，得出AC的解析式，设P（x， x2＋3x＋4），则N(x,－x＋4),得PN＝（ x2＋3x＋4）－(－x＋4)＝ x2＋4x ，得出S△PAC的值，当x=2时，ΔPAC面积的最大值为8，此时点P的坐标为（2，6）.
（3）设 根据勾股定理得出 ， ①当 时，②当 时，③当 时，三种情况分析即可得到点Q的坐标。
13.【答案】 （1）解：对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝3，
得，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∵AB＝4，点B在x轴的负半轴上，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∵抛物线经过点A（3，0），C（﹣1，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），
将C（0，3）代入，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），
即：y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：由题意得：BC= ，设D（1，m），
①当BD＝CD时，BD2＝CD2 ，
即：22+m2＝12+（3﹣m）2 ，
解得：m＝1，
∴D1（1，1）；
②当BD＝BC时，4+m2＝10，解得 ，
∴ ， ；
③当CD＝BC时，1+（m﹣3）2＝10，
解得：m1＝6（舍去），m2＝0，
∴D4（1，0）；
综上所述，满足条件的D点的坐标是：D1（1，1）， ， ，D4（1，0）；
（3）解：点M的坐标为（n，﹣n2+2n+3），
由题意得：tan∠MBN ，
∴OF 3﹣n，
∵S△MAN＝S△MOF ，
∴ AN MN OF xM ， 即 （3﹣n）（﹣n2+2n+3） （3﹣n）n，
即：﹣n2+2n+3＝n，
解得： ， （舍去），
∴n ．
【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）分BD＝CD、BD＝BC、CD＝BC三种情况，分别求解即可；
（3）由S△MAN＝S△MOF， 得到 AN MN OF xM， 即可求解。
14.【答案】 （1）解：∵二次函数 的图象与 轴交于 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴该二次函数的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（2）解：如图1，存在满足条件的点 ，
∵ ， ，
∴ ，
当点 运动到 点时，此时 ，
∴存在以下3种情况：
图1
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 坐标 ；
② ，此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 坐标 ；
③当 时，
设此时 的坐标为 ，
则 ，
解得， 或 ，
∴ 或 ，
综上所述：点 坐标为 、 或 或 ；
（3）解：四边形 为菱形，
图2
如图2， 点关于 与 点对称，过点 作 于 ，
∵ ， 沿 翻折，点 恰好落在抛物线上 点处，
∴ ，
∴平行四边形 为菱形，且 ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 在二次函数 上，
代入解得 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据韦达定理即可求得 、 的值，即可得到该二次函数的解析式，然后令 ，即可得到点 的纵坐标，此题得解；（2）由题目已知条件可知，存在满足条件的点 ，根据已知条件以及第（1）问可得 ，分以下三种情况分别讨论即可：① ；② ；③ ，即可得到点 的坐标；（3）如图2， 点关于 与 点对称，过点 作 于 ，根据题目已知条件以及翻折的意义可知四边形 为菱形；根据 可得 ∽ ，根据相似比即可求得 、 的值（用 表示），即可求得点 的坐标（用 表示），根据 ，即可求得点 的坐标（用 表示），再根据 在二次函数 上，即可求得 的值，进而可得点 的坐标.
15.【答案】 （1）∵直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，
当 时，
∴
当 时，
∴
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，
∴
∴
∴抛物线的解析式是：
当 时，
解得：
∴
（2）3
（3）由（1）知 ， 直线 的解析式是：
设 ，则
∴
当 时， 的最大值
∴点 的坐标为
（4）存在，如图，
由（2）得，当ME最大时，则D（ ，0），M（ ， ），
∴DO=DB=DM= ；
∵∠BDM=90°，
∴OM=BM= ．
点P1、P2、P3、P4在x轴上，
当点P1与原点O重合时，则P1M=BM= ，P1（0，0）；
当BP2=BM= 时，则OP2= ，
∴P2（ ，0）；
当点P3与点D重合时，则P3M=P3B= ，
∴P3（ ，0）；
当BP4=BM= 时，则OP4= ，
∴P4 ．
综上所述， ．
【解析】【解答】设抛物线的对称轴交BC于点F ， 交x轴于点G ．
设直线BC的解析式为y=kx-3，则3k-3=0，解得k=1，
∴y=x-3；
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点H（1，-4），
当x=1时，y=1-3=-2，
∴F（1，-2），
∴FH=-2-（-4）=2，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】（1）直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，当 时， ， 当 时， ， 得出A、C的坐标，因为抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，得出b、c的值，即可得出抛物线的解析式，当 时， ， 解得即可得出B的坐标；
（2）设抛物线的对称轴交BC于F点，求得直线BC的解析式，即可得出k=1，得到抛物线的顶点H，当x=1时，y=1-3=-2，即可求得 的面积；
（3）由（1）知 ， 直线 的解析式是： ， 设 ， 则 ， 当 时， 的最大值 ， 即可得出点 的坐标；
（4）当点P1与原点O重合、当BP2=BM= 、当点P3与点D重合、当BP4=BM= 时，分情况讨论即可得出答案。
四、二次函数——直角三角形
16.【答案】 （1）解：根据题意得，
解得： ，
所以抛物线的解析式为：
（2）解：存在
分3种情况讨论：
①若 ，此时点 与原点 重合，所以
②若 ，过点 作 交 轴于点
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，即
∴ ，故
③若 ，过点 作 交 轴于点
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，即
∴ ，故
综上：存在点 ， ， 满足题意．
【解析】【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）分情况讨论，结合函数图象，利用相似三角形的性质分别求解即可。
17.【答案】 （1）解：设抛物线的解析式为
顶点
把 代入解析式得：
抛物线的解析式 ；
（2）解：
设 ，则F的坐标为
当 时， 有最大值为2；
（3）解：存在，
①过点A作 于点
点 在对称轴直线 上
设 的坐标为
点A的坐标为
点 的坐标为
②过点A作 于点A，交直线 于点
于点A
于点
点 在对称轴直线 上
设 的坐标为
解此方程得：
点 的坐标为
综上所述，点P的坐标分别为 或 ．
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为 ， 由顶点 ， 得出 ， 把 代入解析式得： ， 由此得出a的值，即可得出抛物线解析式；
（2）由解析式得出 ， 设 ， 则F的坐标为 ， 得出 ， 当 时， 有最大值为2；
（3）存在，①过点A作 于点 ， 由点 在对称轴直线 上，可设 的坐标为 ， 因为 点A的坐标为 ， 得出m的值，由此得出的坐标；②过点A作 于点A，交直线 于点 ， 由 于点A，得出 ， ， 得出 ， ， 因为 ， 点 在对称轴直线 上，得出设 的坐标为 ， ， ， 解此方程得： ， 得出点 的坐标为 。
18.【答案】 （1）解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：
∴
∴此抛物线的解析式 ．
∵ ，
∴顶点D的坐标为 ；
（2）解：存在；
①当 时：（如图1）
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，即
∴ ， （舍）
∴ ；
②当 时：（如图2）
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ， （舍）
∴ ．
∴符合条件的点P的坐标为 或 ；
（3） 或
【解析】【解答】解：（3）由图象可得 时， 的面积为S随着m的增大而减小；
∵顶点D的坐标为 ，点A的坐标是 ，
∴由图象可得 时，过点P作 轴交 于点N ，
设直线 的解析式 ，
∵点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，
∴线 的解析式 ，
设点P的坐标是 ，则点 ，
∴ 的面积为 ，
当 时， 的面积有最大值，
∴ 时，S随着m的增大而减小．
∴面积S随着m的增大而减小时m的取值范围为 或 ．
【分析】（1）先求出 再求出 此抛物线的解析式 ，最后求点的坐标即可；
（2）分类讨论，作图求解即可；
（3）先求出直线 的解析式 ，再利用三角形的面积公式进行计算求解即可。
五、二次函数——等腰直角三角形（正方形）
19.【答案】 （1）解：∵二次函数 的图象经过点A、点C，
∴ ，解得 ．
∴二次函数的解析式为 ．
（2）解：△ABD是直角三角形．理由如下：
∵点B（-2，m）在抛物线 上，
∴m= ．
∴B（-2，-1）．
∴直线OB的解析式为： ，
联立 ，解得： （即B点）或 ，
∴D（8，4），
∵A（4，-4），
∴由两点间距离公式得：
， ， ，
∵ ，
∴△ABD是以BD为斜边的直角三角形；
（3）解：如图所示，
∵四边形AFGE为矩形，
∴EG∥AD，FG∥AB，
∵EF∥BD，
∴四边形EFDG和四边形FEBG都是平行四边形，
∴EF=GD，EF=BG，
∴BG=GD，
由（2）得△ABD为直角三角形，
∴AG= BD，
∵EG∥AD，
∴点E是AB的中点，
∴E ；
（4）存在，Q（2，﹣4）或（2， ）
【解析】【解答】解：（4）如图，设EF的中点为K ， P（x ， y），连接PK ，
∵EF∥BD ，
∴ ，
又∵ ，
∴AF=FD ， F为AD的中点，
由中点坐标公式可得，F（6，0），E ，
∵K为EF的中点，
∴K ，
根据两点间的距离公式可得： ，
∵∠EPF=90°，
∴点P在以K为圆心，EF为直径的圆上运动，
∵△PQH为等腰直角三角形，∠PQH=90°，
∴∠QHP=45°，
∴PQ∥x轴，
∴直线PH可看做由直线y=x平移得到，
则设直线PH的解析式为：y=x+b ，
∵抛物线的顶点为H（2，-5）,
∴代入PH解析式得：b=-7，
∴直线PH的解析式为：y=x-7，
∵PK= EF ，
∴ ，
即： ，
解得： 或 ，
∵PQ∥x轴，
∴Q（2，﹣4）或（2， ）．
【分析】（1）利用待定系数法计算求解即可；
（2）先求出直线OB的解析式为： ， 再求出 ， ， ， 最后求解即可；
（3）先求出四边形EFDG和四边形FEBG都是平行四边形，再求出点E是AB的中点，最后求点的坐标即可；
（4） 利用中点坐标公式，两点间的距离公式和勾股定理进行计算求解即可。
六、二次函数——平行四边形
20.【答案】 （1）解：∵抛物线 的图象经过点 ，
∴设抛物线的解析式为 ．
把点 代入，
．
．
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵直线 经过点 ，
．
∴直线 的解析式为 ．
联立
解得 ，
∴点
．
设点 ．
，
．
．
．
∴点 ．
∴直线 的解析式为 ．
如图，过点 作 轴交直线 于点 ．
∵点 ，
．
设点B的横坐标为xB ， 点E的坐标为xE ，
．
∴当 时，
有最大值为 ．
（3）解：∵ ，
∴点Q的横坐标为2，
设点A，D，P，Q的横坐标分别为xA,xD,xP,xQ ，
若 为平行四边形的边，
∵以 为顶点的四边形为平行四边形，
．
或 ．
或 ．
∴点 的坐标为 或 ；
若 为平行四边形的对角线，
∵以 为顶点的四边形为平行四边形，
与 互相平分．
．
．
∵点 的坐标为 ．
综上，当点 的坐标为 或 或 时，以 为顶点的四边形为平行四边形．
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）联立方程，解之即得出D的坐标，得出三角形ABD的面积，设点 ． 因为 ， 得到m的值，即得到直线 的解析式，过点 作 轴交直线 于点 ． 设点B横坐标为xB， 点E的坐标为xE， 求出三角形FBE的面积，当 时， 有最大值；
（3）设点A，D，P，Q的横坐标分别为xA,xD,xP,xQ， 若 为平行四边形的边，得出 ． 得出P的坐标，若 为平行四边形的对角线，得出 与 互相平分．分情况讨论即可。
21.【答案】 （1）解：由题意得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝ x2﹣x﹣4；
（2）解：由抛物线解析式得点D坐标为（1，﹣ ），
设四边形PMDN面积为S，
则S＝S△PDM+S△PDN＝ PD（xN﹣xM）＝ （xN﹣xM），
故当MN与轴平行时，此时MN＝4，S的面积最大，
则S＝9，
此时点M、N关于抛物线对称轴对称，则点N的横坐标为3，
当x＝3时，y＝ x2﹣x﹣4＝﹣2.5，
故点N的坐标为（3，﹣2.5）；
（3）解：把y=0代入y＝ x2﹣x﹣4得 x2﹣x﹣4=0，
解得： ，
∴点A（-2,0），点B（4,0）
设点Q的坐标为（m，km+1），
当AC为边时，如图1，
点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到点C，同样点B向右平移2个单位向下平移4个单位得到点Q，
即 解得 ，
故点Q的坐标和k分别为（6，﹣4）、﹣ ；
如图2，
点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到点C，同样点Q向右平移2个单位向下平移4个单位得到点B，
即 ，解得 ，
故点Q的坐标和k分别为（2，4）、1.5；
当AC是对角线时，
由中点公式得 解得 ，
故点Q的坐标和k分别为（﹣6，﹣4）、﹣ ；
综上，点Q的坐标和k分别为（6，﹣4）、﹣ 或（2，4）、1.5或（﹣6，﹣4）、﹣ ．
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△PDM+S△PDN＝ PD（xN﹣xM）＝ （xN﹣xM），即可求解；
（3）分AC为边、AC是对角线两种情况，利用图象平移和中点公式，分别求解即可．
22.【答案】 （1）解：将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得
，解得： ，
∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，
（2）解：把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，
∴C（0，-4），
抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为
∵点D与点C关于直线l对称，
∴D（3，-4），
∵A（-1，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b；
∴ ，解得： ，
∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，
设P（m，m2-3m-4），
作PE∥y轴交直线AD于E，
∴E（m，-m-1），
∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，
∴ ，
∴ ，
∴当m=1时， 的面积最大，最大值为：8
（3）解：∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1，
∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴抛物线沿射线AD方向平移平移 个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵ ， ，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），
设平移后的抛物线的解析式为
则 ，解得： ，
∴平移后y1=x2-11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为： ，
∵P（1，-6），
∴E（5，-10），
∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
设G（n，n2-11n+20），F（ ，y），
①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ ，∴
∴
②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ ，∴
∴
③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ ，∴
∴
∴ 或 或
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点A，B的坐标求出函数解析式.
（2）由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，利用函数解析式求出抛物线的对称轴，利用轴对称的性质可求出点D的坐标；再利用待定系数法求出直线AD的解析式 ， 设P（m，m2-3m-4）， 作PE∥y轴交直线AD于E， 同时可表示出点E的坐标及PE的长，然后利用三角形的面积公式可得到△APD的面积与m之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
（3） 直线AD与x轴正方向夹角为45°，抛物线沿射线AD方向平移平移 个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，利用待定系数法求出平移后的函数解析式，同时可求出 抛物线y1的对称轴及点E的坐标；以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（ ，y），①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分；②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分；③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分；分别利用线段的中点坐标建立关于n的方程，解方程求出n的值，即可得到点G的坐标.
七、二次函数——矩形、菱形、正方形
23.【答案】 （1）解：根据题意，得 ，
解方程组，得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ ﹣2x＋3
（2） +
（3）解：如图，过点N作直线NE⊥x轴，垂足为M，交直线BC于点E，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∵B（-3，0），C（0，3），
∴ ，
解方程组，得 ，
∴直线BC解析式为y=x＋3，
设N（n，﹣ －2n＋3），E（n，n＋3），
∴NE=﹣ －2n＋3-n-3=﹣ －3n，
∴ = + = +
= =﹣ － = ，
∴△BCN面积最大值 ，
此时，x= ，y= ，
故点
（4）解：如图，当AC为菱形的边时，
∵CP∥A ，AC= = ，
∴A = ，
∵A（1，0），
∴ （1， ）或 （1，- ）；
当AC为菱形的对角线时，
设 （0，m）,
∴A = ，C =3-m，
∴ ，
解得m= ，
∴C =3-m= ，
∴A = ，
∴ （1， ）；
当CP为菱形的对角线时，
作出点A关于CP的对称点即可，
∵A（1，0），
∴ （-1，0），
综上所述，点Q的坐标为（-1，0）或（1， ）或（1， ）或（1，- ）.
【解析】【解答】（2）∵A ， B是对称点，
∴抛物线的对称轴与BC的交点为△ACM周长最小位置，且最小值为BC+AC ，
∵A（1，0），B（-3，0），C（0，3），
∴AC= = ，BC= = ，
∴△ACM周长最小值为 + ,
故答案为: + ；
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出AC= = ，BC= = ，再计算求解即可；
（3）先求出直线BC解析式为y=x＋3， 再求出 △BCN面积最大值 ， 最后求点的坐标即可；
（4）分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
24.【答案】 （1）解：令x=0得 ，∴C点坐标（0，-8）
令y=0得：
解得：
∴A（-4,0），B（2,0）
（2）解：设DE交x轴于F，
设AC解析式为 ，代入AC坐标得：
，解得
∴AC解析式为
∵直线 与该抛物线交于点E，与 交于点D
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
解得
∴
（3）解：抛物线 对称轴为
∵点M在y轴上，点N在直线 上，点P为抛物线对称轴上一点
∴设
当CM菱形的边时，则CM∥PN，CM=CN
∴N在对称轴上，即
∴
∴
解得
此时M点坐标为
当CM为菱形的对角线时，此时NP关于CM对称，即NP关于y轴对称
∴
∴
∵菱形对角线互相垂直平分
∴NP中点与CM中点是同一个点
∴
解得
此时M点坐标为
综上所述，存在M 、 使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后求点的坐标即可；
（2）先求出 AC解析式为 ，再求出 ，最后求解即可；
（3）先求出 ，再求出 ，最后求点的坐标即可。
25.【答案】 （1）解： 抛物线 的对称轴为 ，
，
，
，且点A在x轴负半轴上，
，
将点 代入 得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ；
（2）
（3）解：如图，过点E作x轴的垂线，交 于点F，
，抛物线的对称轴为 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设点E的坐标为 ，则 ， ，
，
，
，
由二次函数的性质得：在 内，当 时， 取最大值，最大值为 ，
即 面积的最大值为 ；
（4） 或 或 或
【解析】【解答】解：（2） 化成顶点式为 ，
则顶点D的坐标为 ，
当 时， ，即 ，
则抛物线上 两点之间的距离是 ，
故答案为： ；
（4）设点P的坐标为 ，
由题意，分以下三种情况：
①当 为矩形 的边时，则 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，即 ，
将点C先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P，
四边形 是矩形，
点C平移至点P的方式与点B平移至点Q的方式相同，
，
，即 ；
②当 为矩形 的边时，则 ，
同（4）①的方法可得：点Q的坐标为 ；
③当 为矩形 的对角线时，则 ，
，
即 ，
解得 或 ，
或 ，
当点P的坐标为 时，
则将点P先向左平移2个单位长度，再向下平移 个单位长度可得到点C，
四边形 是矩形，
点P平移至点C的方式与点B平移至点Q的方式相同，
，即 ；
同理可得：当点P的坐标为 时，点Q的坐标为 ，
综上，点Q的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再求出 ， 最后求函数解析式即可；
（2）先求出顶点D的坐标为 ，再求出 ，最后利用两点间的距离公式进行求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（4）分类讨论，利用矩形的性质、勾股定理、平移和点的坐标进行求解即可。
26.【答案】 （1）解：将 ， 代入二次函数表达式中，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为： ；
（2）解：连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
BC为定直线，当C、P、A三点共线时， 有最小值为 ，
此时 的周长也最小，
设直线AC的解析式为： ，代入 ，
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为： ，
二次函数的对称轴为 ，代入 ，得到 ，
∴P点坐标为(1,2)，
此时 的周长最小值= ；
（3）解：Q点坐标存在，为(2，2)或(4， )或(4， )或( ， )或( ， )
【解析】【答案】解：(3) 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m ， n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知： ，
∴ ，解得 ，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ ，
同理有： ，解得 或 ，
∴P点坐标为(1， )或(1， )，对应的Q点坐标为(4， )或(4， )；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP ，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m ， n)，
同理有： ，解得 或 ，
∴P点坐标为(1， )或(1， )，对应的Q点坐标为(-2， )或(-2， )；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4， )或(4， )或( ， )或( ， )．
【分析】（1）将 ， 代入二次函数表达式中，得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得出 ，BC为定直线，当C、P、A三点共线时， 有最小值为 ， 此时 的周长也最小，设直线AC的解析式为： ， 代入 ， 可得k、m的值，即可得到直线AC的解析式，二次函数的对称轴为 ， 代入 ， 得到 ， 得到P的坐标，此时得到 的周长最小值；
（3）过点M作直线m//AC，直线m与抛物线交点即为P点，根据M的坐标可求出m的直线的表达式，联立抛物线的解析式与直线m的解析式即可求出p的坐标。
27.【答案】 （1）解：当 时，抛物线 ，
∴ （0，4），
∵点 在直线 上： 上，
∴ ，
∵直线 与 轴交点为 ， ，
解得： ，
∴ （4，0），
∵点 在抛物线上，
∴ ①，
∵ ，
∴ 轴，点 、 关于抛物线对称轴对称，
∵ ，
∴抛物线对称轴为：直线 ，
∴ ②，
联立方程①②，
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）解：连接 ，如图1，
∵ （0，4），点 是直线 上一动点，
∴ 、 关于直线 对称，∴ ，
∴当点 、 、 在同一直线上时， 最短，
当 时，解得： ，
∴此时， （2，2），
∵ ，
∴ ，
∴ 周长最小值为： ．
（3）解：存在满足条件的点 ，
设 （ ），则 ， ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∴﹣ ，
解得： ， （舍去），
∴ ， ， ，
①若 为菱形 边，点 在点 左侧，如图2，
延长 交 轴于点 ，
∵ ， ， ，
∴ °， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
②若 为菱形 边，点 在点 右侧，如图3，
∵ ， ， ，
∴ °， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
③若 为菱形的对角线，菱形 中，如图4，
设 与 交于点 ，
∴ ， ， ，
∴ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当 、 为邻边时，
∵PM⊥MF，且PM=MF=FG=PG=3
∴四边形PMFG为正方形，
∵OM=1，
∴OF=OM+MF=1+3=4
可得 ．
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 或 或 ．
【解析】【分析】（1）由抛物线过点C可求出C的坐标，由直线也经过点C即可求出n的值；得到n的值即有直线BC的关系式，即能求BC与x轴交点B的坐标，又由DE//x轴且其横坐标满足 ， 即得到抛物线对称轴 ， 再把点B坐标代入抛物线关系式得方程组，解得a、b的值即可；
（2）由于点Q在直线y=2上运动，要求的是OQ+BQ的最小值，O、B是定点，故寻找O或B关于直线y=2的对称点，由C（0，4）得C与O关于直线y=2对称，则有CQ=OQ，当点C、Q、B在同一直线上时有最小值，求直线BC上y=2时横坐标，即为Q的坐标，计算BC与OB的和即为三角形QOB周长最小值；
（3）先根据题意设点M、P、N坐标，利用P为MN中点的等量关系求出P、M的坐标，再对菱形四个顶点位置讨论：以PM为菱形的变，此时又分两种情况，分别是点F在点P左右侧的讨论；当F在P左侧时，根据菱形性质和GM与x轴夹角为45度易求G的坐标；当F在P右侧时，根据对称性即可求出G的坐标，以PM为菱形对角线，利用对角线互相垂直平分的性质即可求出点G坐标。
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二次函数应用动态图形分类练习
一、二次函数——周长线段之和最小
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 轴上的 点，直线 与抛物线在第一象限交于点 ．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）已知点 是抛物线的对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求 的面积；
（3）若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标是________．
2.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于点 和点 （点 在点 的左侧），交 轴于点 ．点 是线段 上的一个动点，沿 以每秒1个单位长度的速度由点 向点 运动，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交直线 于点 ，连接 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）在点 运动过程中，运动时间 为何值时， ？
（3）在点 运动过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.综合与探究
如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ， ， ，直线 是抛物线的对称轴，在直线 右侧的抛物线上有一动点 ，连接 ， ， ， ．
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）若点 在 轴的下方，当 的面积是 时，求 的面积；
（3）在直线 上有一点 ，连接 ， ，则 的最小值为________；
（4）在（2）的条件下，点 是 轴上一点，点 是抛物线上一动点，是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ． 、 的长是不等式组 的整数解 ，点 在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式及 的值；
（2） 轴上的点 使 + 的值最小，则 ________；
（3）将抛物线向上平移，使点 落在点 处．当 时，抛物线向上平移了________个单位；
（4）点 在 轴上，平面直角坐标系内存在点 使以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 的坐标．
二、二次函数——线段最值、面积倍数、最值
5.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E ， 求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D ， 使得以点A ， C ， D ， F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
6.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其项点为D．
（1）填空：抛物线的解析式为________；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
7.如图所示，抛物线 经过点 ，点 ，与 轴交于点 ，连接 ， ．点 是线段 上不与点 、 重合的点，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交 于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点 作 ，垂足为点 ．设 点的坐标为 ，请用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时 有最大值，最大值是多少？
（3）试探究是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C ． 在x轴上有一动点E（m ， 0）（0 m 3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M ．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N ， 连接AM ， OM ， 设△AEM的面积为S1 ， △MON的面积为S2 ， 若S1＝2S2 ， 求m的值．
9.如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点为 ，连接 ， ， ，直线 与抛物线的对称轴 交于点 ．
（1）求抛物线的解析式和直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积；
（3） 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ，当 时，求点 的坐标；
（4）在抛物线的对称轴 上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大.求出点P的坐标
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q.使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在.请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
11.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C ．
（1）求抛物线的二次函数解析式：
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）如图2，点H是直线 下方抛物线上的动点，连接 ， ，当 的面积最大时，求点H的坐标．
三、二次函数——等腰三角形
12.如图，在平面直角坐标系中，已知点C(0，4)，点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB ， 动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P ， 使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及ΔPAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q ， 使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13.在平面直角坐标系中，直线 与x轴相交于点A ， 与y轴相交于点C ， 点B在x轴的负半轴上，且 ，抛物线经过点A ， B ， C ， 点M为第一象限内抛物线上的一动点，过点M作直线 轴，交x轴于点 ．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当l经过抛物线顶点时，点D是抛物线对称轴上一点，若以C ， B ， D为顶点的三角形是等腰三角形，求点D坐标；
（3）如图2，连接 交y轴于点F ， 连接 ， ，若 的面积等于 的面积，求n的值．
14.如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 与 轴交于点 .若点 ， 同时从 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 ， 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.
（1）求该二次函数的解析式及点 的坐标；
（2）当点 运动到 点时，点 停止运动，这时，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由.
（3）当 ， 运动到 秒时， 沿 翻折，点 恰好落在抛物线上 点处，请判定此时四边形 的形状，并求出 点坐标.
15.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．抛物线 经过 、 两点，且与 轴交于另一点 （点 在点 右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点 坐标；
（2）设该抛物线的顶点为点 ，则 ________；
（3）若点 是线段 上一动点，过点 的直线 平行 轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．求 长的最大值及点 的坐标；
（4）在（3）的条件下：当 取得最大值时，在 轴上是否存在这样的点 ，使得以点 、点 、点 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．
四、二次函数——直角三角形
16.如图，已知抛物线 ，与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）坐标轴上是否存在点 ，使得 是直角三角形？若存在，求出点 的坐标：若不存在，说明理由．
17.如图10-1，以点 为顶点的抛物线与直线 交于 两点，且点A坐标为 ，点B在y轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点D是抛物线上位于直线 上方的一点（如图10-2），过点D作 轴于点E ， 交直线 点F ， 求线段 长度的最大值；
（3）在抛物线的对称轴 上是否存在点P ， 使以点 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 过A ， B ， C三点，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，动点P在抛物线上．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）是否存在点P ， 使得 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设动点P的横坐标为m ， 的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．
五、二次函数——等腰直角三角形（正方形）
19.如图，二次函数 的图象过点 ，交y轴于点C（0，－4）．直线BO与抛物线相交于另一点D ， 连接AB ， AD ， 点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F ．
（1）求二次函数 的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G ， 使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点在抛物线的对称轴上，是否存在点Q ， 使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
六、二次函数——平行四边形
20.如图，抛物线 的图象经过 三点，直线 经过点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在线段 上，且满足 ，点 在 轴下方的抛物线上，设点 的横坐标为 ，当 为何值时， 的面积最大？并求出最大值；
（3） 为抛物线上的一动点， 为对称轴上一动点，若以 为顶点的四边形为平行四边形，求出点 的坐标．
21.如图，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于点A和点B ， 与y轴交于点C（0，﹣4），顶点为D ， 其对称轴直线x＝1交x轴于点P ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，线段MN的两端点M ， N都在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧），且MN＝4，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标；
（3）如图2，点Q是直线l：y＝kx+1上一点，当以Q ， A ， C ， B为顶点的四边形是平行四边形时，确定点Q的坐标和k的值．
22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求 面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线 沿射线AD平移 个单位，得到新的抛物线 ，点E为点P的对应点，点F为 的对称轴上任意一点，在 上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.
七、二次函数——矩形、菱形、正方形
23.如图，已知抛物线y＝a ＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为________；
（3）点N为第二象限抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标；
（4）点P是y轴上的一点，在坐标平面内存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．
24.如图，抛物线 与x轴交于A ， B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C ．
（1）求A ， B ， C三点的坐标；
（2）连接 ，直线 与该抛物线交于点E ， 与 交于点D ， 连接 ．当 时，求线段 的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线 上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ， 使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B ， 与y轴交于点C ， 连接BC ， ，对称轴为 ，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C ， D两点之间的距离是________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE ． 求 面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ， 使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
26.如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C ， 动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P ， B ， C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ， 使得以A ， C ， P ， Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27.如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．直线 经过抛物线上两点 ， ．已知点 ， 的横坐标分别为 ， 且满足 ，直线 的表达式为 ．
（1）求 的值及抛物线的表达式；
（2）设点 是直线 上一动点，问：点 在什么位置上时， 的周长最小？求出点 的坐标及 周长的最小值；
（3）如图2， 是线段 上的一个动点，过点 作垂直于 轴的直线与直线 和抛物线分别交于点 ， ．若点 是直线 上一个动点，当点 恰好是线段 的中点时，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、二次函数——周长线段之和最小
1.【答案】 （1）解：当y=0时， ，
解得x1=-4，x2=0，
点A（-4，0），
设直线 的函数解析式 ,过A、B两点，代入得
，
解方程组得 ，
直线 的函数解析式为 ；
（2）解：∵点 是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线对称轴为x= =-2,
∵C△BOQ的周长=OQ+QB+OB，点O，点B是定点，OB长是定值，
∴当 的周长最小时，就是OQ+QB最小，
∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，
∴点A，点Q，点B三点共线时，OQ+QB=AQ+QB≥AB最短，
当x =-2式， ，
点Q（-2，2），
S△BOQ的面积=S△BAO-S△QAO= ；
（3）（6，6）或（-2，6）或（-6，-6）
【解析】【解答】解：（3）以点A， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
当以OB为对角线，四边形AONB为平行四边形，BN∥AO，且BN=AO，
设N1（x,y），
则y=6, x-4=2, x=6，
∴点N1（6，6）；
当以AB为对角线，四边形AOBN为平行四边形是，NB∥AO，且NB=AO=4，
设N2（x,y），
则y=6, x+4=2, x=-2，
∴点N2（-2，6）；
当以AO为对角线，四边形ANOB为平行四边形，AB∥ON，且AB=ON，
设N3（x,y），
∵6-0=0-y，2-0=-4-x，
∴y=-6, x=-6，
∴点N3（-6，-6）；
∴以点A， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标是（6，6）或（-2，6）或（-6，-6）．
故答案为（6，6）或（-2，6）或（-6，-6）．
【分析】（1）先求出 点A（-4，0）， 再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 点A，点Q，点B三点共线时，OQ+QB=AQ+QB≥AB最短， 再求出 点Q（-2，2）， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行四边形的性质，列方程计算求解即可。
2.【答案】 （1）解：∵抛物线 与 轴分别交于点 和点 ，交 轴于点 ，
∴当 时， ，即 ，
当 时， ， ， ，即 ， ，
设直线 的解析式为：
则 ，
∴ ，
∴直线 的表达式： ．
（2）解：∵点 沿 以每秒1个单位长度的速度由点 向点 运动，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴ ，由勾股定理得： ，
∵ 轴，
在 中， ，
∴△AEP也是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时，即 或 时， ．
（3）解：在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长： ．
∴当 最小时 的周长最小．
当 时， 最小，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出 ，再求出 △AOC是等腰直角三角形， 最后进行求解即可；
（3）先求出 当 最小时 的周长最小 ，再求出 ， 最后进行求解即可。
3.【答案】 （1）解：∵抛物线 与 轴相交于 ， 两点， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：如图，过 作 轴于 ，交 于 ，
当 时， ，
∴ ，
设 的解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴ 的解析式为： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或3，
∵点 在直线 右侧的抛物线上，
∴ ，
∴ 的面积
（3）
（4）解：①当MB为对角线时，MN//BD，MN=BD，
过点N作NE⊥x轴于E，过当D作DF⊥x轴于F，
∵点D（3， ），
∴DF= ，
在△MNE和△BDF中， ，
∴△MNE≌△BDF，
∴DF=NE= ，
∵点D在x轴下方，MB为对角线，
∴点N在x轴上方，
∴点N纵坐标为 ，
把y= 代入抛物线解析式得： ，
解得： ， ，
∴ （ ， ）， （ ， ）
如图，当BM为边时，MB//ND，MB=ND，
∵点D（3， ），
∴点N纵坐标为 ，
∴ ，
解得： ， （与点D重合，舍去），
∴ （ ， ），
综上所述：存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为： 或 或
【解析】【解答】（3）∵抛物线 与 轴相交于 ， 两点，
∴点A与点B关于直线l对称，
∴BC为AP+CP的最小值，
∵B（4，0），C（0，-6），
∴AP+CP的最小值=BC= = ．
故答案为：
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 的解析式为： ， 再求出 或3， 最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）先求出点A与点B关于直线l对称，再求出BC为AP+CP的最小值，最后利用勾股定理求解即可；
（4）分类讨论，利用全等三角形的性质与判定，再结合图象求解即可。
4.【答案】 （1）解：所给不等式组的解集为 ， 其整数解为2,3．
∵OA，OB的长是所给不等式组的整数解，且OA
∵点A、B在抛物线上，
∴ ，解得， ．
∴所求的抛物线的解析式为
∵点D（2，m）在抛物线上，
∴
（2）2
（3）9
（4）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，
由∵
∴AB与MN不能作为一组对角线．
∴分两种情况：
①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②．
如图2①，AB=OA+OB=2+3=5，
∵四边形ABMN是菱形，
∴MN∥AB∥x轴，MN=MB=AB=5．
在 中，
∴M（0,4）．
∴N（-5,4）．
如图2②，同理可得：N（-5，-4）．
②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④．
如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，
∵
∴
∴
如图2④，同理可得：
综合上述①、②两种情况，符合条件的点N的坐标为：
【解析】【解答】（2）如图1所示，连接AD交y轴于点E ， 则此时AE+ED最小．
设直线AD的解析式为
∵点A（-2,0），D（2,-4）在直线 AD上，
∴ ，解得， ．
∴直线AD的函数解析式为
当x=0时，y=-2,．即E（0， -2）．
∴
故答案为：2
（3）如图1，
∵AD//FB ，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴抛物线向上平移9个单位．
故答案为：9
【分析】（1）利用待定系数法求出 抛物线的解析式为 再计算求解即可；
（2）先求出直线AD的函数解析式为 再求出E（0， -2），最后计算求解即可；
（3）先求出再求出最后求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用勾股定理求解即可。
二、二次函数——线段最值、面积倍数、最值
5.【答案】 （1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，
＝﹣（x ）2 ，
∵﹣1＜0，
∴当x 时，PE的最大值 ，此时P（ ， ）
（3）解：存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1± ，
∴F3（1 ，3），F4（1 ，3），
由平移的性质可知D3（4 ，0），D4（4 ，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4 ，0）或（4 ，0）．
【解析】【分析】
（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，可以得到关于b和c的方程组，解方程组求出b和c，然后写出解析式即可；
（2）将点 点C（2，m） 代入解析式求出坐标，直线经过A、C两点，利用待定系数法求出直线解析式，设P点横坐标为x，利用直线AC解析式表示出纵坐标，E点横坐标也为x，纵坐标代入抛物线解析式表示出来，然后PE=两点纵坐标之差，整理出表达式，再求最值及点P的坐标即可；
（3）分情况讨论，四点中只有点A与点C是固定的，分别确定当AC为一边，当AC为对角线时，平行四边形的几种位置，然后计算的坐标。
6.【答案】 （1）y＝﹣x2+2x+3
（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣1，0），C（2，3）代入得，
，
解得， ，
直线AC的解析式为y=x+1，
依题意得，P（t，﹣t2+2t+3），M（t,t+1）,
PM=﹣t2+2t+3-（t+1）= ﹣t2+t+2=-（t- ）2+ ,
当t= 时，PM有最大值，最大值为
（3）解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4），把x=1代入y=x+1得，y=2，
∴B（1，2），BD＝2，
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝ ，
∵EF∥BD，
∴当EF＝BD时，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形．
∴ ＝2，
当 时，
解得：m1＝0，m2＝1（舍去），
当 时，
解得m3＝ ，m4＝ ；
∴点E的坐标为：（0，1）或（ ， ）或（ ， ）．
【解析】【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得， ，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
【分析】（1）先求出 ， 再求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+1，再求解即可；
（3） 先求出 ＝2， 再分类讨论求解即可。
7.【答案】 （1）解：将点 、 的坐标代入抛物线表达式得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为：
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
设直线 的表达式为： ，
， ，
则 ，
解得： ，
直线 的表达式为： ；
设点 ，则点 ，点 ，
∴ ，
∵ ，故 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为 ；
（3）解：存在，理由：
点 、 的坐标分别为 、 ，
则 ，过点 作 轴于点 ，
①当 时，
在 中， 由勾股定理得 ，
即 ，
解得： ， （舍去），
故点 ；
②当 时，则 ，连接 ．
在 中， 由勾股定理得 ．
即 ，
解得： ， （舍去），
则 ，
故点 ；
③当 时， ，
即 ，
解得： ；
则 ，
故点 ，
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【解析】【分析】（1）先求出a=-1，b=3，再求抛物线的解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线 的表达式为： ，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图象，利用勾股定理计算求解即可。
8.【答案】 （1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得 ，
解得 ，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）解：当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝ ，
同理可得：AD＝ ，CD＝ ，
①当CD＝AD时，即 ＝ ，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝ （舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1， ）；
（3）解：∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），
设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则 ，
解得： ，
故直线BM的表达式为y＝﹣ x＋ ，
当x＝0时，y＝ ，故点N（0， ），则ON＝ ；
S1＝ AE×yM＝ ×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
2S2＝ON xM＝ ×m＝S1＝ ×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
解得m＝﹣2± （舍去负值），
经检验m＝ ﹣2是方程的根，
故m＝ ﹣2．
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得 ， 解得即可得到抛物线的表达式；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a）， 由点A、C、D的坐标得，AC＝ ，同理可得：AD＝ ，CD＝ ，①当CD＝AD时；②当AC＝AD时，可得点D的坐标为（1，1）或（1， ）；
（3）S1＝ AE×yM，2S2＝ON xM，即可求解。
9.【答案】 （1）解： 抛物线 过点 和 ，
解得
抛物线的解析式为 ．
令 ，得 ．
解得 ， ．
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ．
把点 ， 分别代入 ，得
解得
直线 的解析式为
（2）解：如图，设抛物线的对称轴 与 轴交于点 ．
抛物线的解析式为 ，
顶点 的坐标为 ．
四边形 四边形
．
（3）解： ．
．
如图，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ．
设点 ．
点 在直线 上，
．
．
．
．
解得 ， ．
，
（4）解：存在．
直线 的解析式为
对称轴 为：
①当 时，点M与点H重合，
②当 时，
或者
③当 时， ,
点 的坐标为 或 或 或
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式为 ，再求出 点 的坐标为 ，最后求函数解析式即可；
（2）先求出顶点 的坐标为 ，再利用三角形的面积公式和四边形面积公式计算求解即可；
（3） 先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可；
（4）先利用勾股定理求出BE的值，再分类讨论，求点的坐标即可。
10.【答案】 （1）解：∵OB=OC=3OA，AC= ，
∴ ，即 ，
解得：OA=1，OC=OB=3，
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入 中，
则 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积，
而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，
则 ，解得： ，
∴直线BC的表达式为y=x+3，
设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），
S△BPC= = = ，
∵ ，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，
此时x= ，代入 得 ，
∴P（ ， ）
（3）解：若BP为平行四边形的对角线，
则PQ∥BM，PQ=BM，
则P、Q关于直线x=-1对称，
∴Q（ ， ）；
若BP为平行四边形的边，
如图，QP∥BM，QP=BM，
同上可得：Q（ ， ）；
如图，BQ∥PM，BQ=PM，
∵点Q的纵坐标为 ，代入 中，
解得： 或 （舍），
∴点Q的坐标为（ ， ）；
如图，BP∥QM，BP=QM，
∵点Q的纵坐标为 ，代入 中，
解得： （舍）或 ，
∴点Q的坐标为（ ， ）；
综上：点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）
【解析】【分析】（1）由已知易求得OA、OC=OB的值，于是可得点A、B、C的坐标，用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）由图知：S四边形PBAC=S△BCA+S△PBC ， 而△ABC的面积是定值，所以要使四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可；结合二次函数的性质可求解；
（3）由题意可分三种情况讨论：
①若BP为平行四边形的对角线，则PQ∥BM，PQ=BM，则P、Q关于直线x=-1对称，于是可得点Q的坐标；
②若BP为平行四边形的边，则BQ∥PM，BQ=PM，同理可求解；
③若BP为平行四边形的边，则 BP∥QM，BP=QM，同理可求解.
11.【答案】 （1）解：∵点 ， 在抛物线 上，
∴将 ， 代入解析式，
得 ，
∴ ，
∴抛物线的二次函数解析为
（2）解：运用平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式求解，
设点 ， ，
①当 为对角线时，则 ，即 ,
代入得 ，
解得 或 ,
∴得点 ， ；
②当 为对角线时，则 ，
同理求得点 ，
③当 为对角线时，则
同理求得点 与点 重合，即 ；
综上所述， ， ，
（3）解：如图，过点C作x轴的平行线，交 于点M；过点H作y轴的平行线，交 于点E，交 于点F，交x轴于点G．
设点H的坐标为 ，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点F的坐标为 ．
∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点M的坐标为 ．
求 的面积表达式有以下二种方法：
解法1：水平分割时，
．
当 时， 的面积最大，此时 ；
解法2：垂直分割时，
，
当 时，面积最大，此时 ，
解法3：如图下图，过点H作 的平行线l，
∵直线 的解析式为 ，直线l与直线平行，
∴直线l解析式的k=1，
∴设直线l的解析式为 ，
当直线l与抛物线相切时， 面积最大，
由 ，
消去y，得： ，①
当方程①的 时，直线l与抛物线相切，
， ，
∴ 为所求．
【解析】【分析】（1）把点 ， 在抛物线 得抛物线为 ；
（2）①当 为对角线时，②当 为对角线时，③当 为对角线时，分三种情况讨论即可；
（3）设点H的坐标为 ， ， 由B、C的坐标得出直线 的解析式，由B、H的坐标得出直线 的解析式，即可得到点M的坐标，可利用水平分割、垂直分割两种方法都可求出 的面积表达式，由此得出当 的面积最大时，求出H的坐标。
三、二次函数——等腰三角形
12.【答案】 （1）解：∵C(0,4)，∴OC＝4．
∵OA＝OC＝4OB，∴OA＝4，OB＝1，
∴A(4,0),B( 1,0)，
设抛物线解析式：y＝a(x＋1)(x 4)，
∴4＝ 4a，∴a＝ 1．
∴y＝ x2＋3x＋4．
（2）解：存在．
作PN⊥x轴交AC于N，
AC的解析式为y＝－x＋4 ，
设P（x， x2＋3x＋4），则N(x,－x＋4),
得PN＝（ x2＋3x＋4）－(－x＋4)＝ x2＋4x ，
∴S△PAC＝ PN×4＝2PN＝2( x2＋4x)＝－2(x－2)2＋8 ，
当x=2时，ΔPAC面积的最大值为8，此时点P的坐标为（2，6）.
∴P点坐标为（2，6）时，ΔPAC面积有最大值，最大面积是8 .
（3）Q(0,0),(－4,0),
【解析】【解答】解：(3) 设 根据勾股定理得：
①当 时，
此时可得Q的坐标为（4+4 ，0）、（4-4 ，0）；
②当 时，
当 时，不合题意舍去，
③当 时，
综上，符合条件的点Q的坐标为：(0,0)，(－4,0)， ．
【分析】（1）由C的坐标，得出OC的值，由OA＝OC＝4OB，得出OA＝4，OB＝1，以及A、B的坐标，设抛物线解析式：y＝a(x＋1)(x 4)，解出a的值，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）存在，作PN⊥x轴交AC于N，由A和C的坐标，得出AC的解析式，设P（x， x2＋3x＋4），则N(x,－x＋4),得PN＝（ x2＋3x＋4）－(－x＋4)＝ x2＋4x ，得出S△PAC的值，当x=2时，ΔPAC面积的最大值为8，此时点P的坐标为（2，6）.
（3）设 根据勾股定理得出 ， ①当 时，②当 时，③当 时，三种情况分析即可得到点Q的坐标。
13.【答案】 （1）解：对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝3，
得，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∵AB＝4，点B在x轴的负半轴上，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∵抛物线经过点A（3，0），C（﹣1，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），
将C（0，3）代入，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），
即：y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：由题意得：BC= ，设D（1，m），
①当BD＝CD时，BD2＝CD2 ，
即：22+m2＝12+（3﹣m）2 ，
解得：m＝1，
∴D1（1，1）；
②当BD＝BC时，4+m2＝10，解得 ，
∴ ， ；
③当CD＝BC时，1+（m﹣3）2＝10，
解得：m1＝6（舍去），m2＝0，
∴D4（1，0）；
综上所述，满足条件的D点的坐标是：D1（1，1）， ， ，D4（1，0）；
（3）解：点M的坐标为（n，﹣n2+2n+3），
由题意得：tan∠MBN ，
∴OF 3﹣n，
∵S△MAN＝S△MOF ，
∴ AN MN OF xM ， 即 （3﹣n）（﹣n2+2n+3） （3﹣n）n，
即：﹣n2+2n+3＝n，
解得： ， （舍去），
∴n ．
【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）分BD＝CD、BD＝BC、CD＝BC三种情况，分别求解即可；
（3）由S△MAN＝S△MOF， 得到 AN MN OF xM， 即可求解。
14.【答案】 （1）解：∵二次函数 的图象与 轴交于 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴该二次函数的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（2）解：如图1，存在满足条件的点 ，
∵ ， ，
∴ ，
当点 运动到 点时，此时 ，
∴存在以下3种情况：
图1
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 坐标 ；
② ，此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 坐标 ；
③当 时，
设此时 的坐标为 ，
则 ，
解得， 或 ，
∴ 或 ，
综上所述：点 坐标为 、 或 或 ；
（3）解：四边形 为菱形，
图2
如图2， 点关于 与 点对称，过点 作 于 ，
∵ ， 沿 翻折，点 恰好落在抛物线上 点处，
∴ ，
∴平行四边形 为菱形，且 ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 在二次函数 上，
代入解得 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据韦达定理即可求得 、 的值，即可得到该二次函数的解析式，然后令 ，即可得到点 的纵坐标，此题得解；（2）由题目已知条件可知，存在满足条件的点 ，根据已知条件以及第（1）问可得 ，分以下三种情况分别讨论即可：① ；② ；③ ，即可得到点 的坐标；（3）如图2， 点关于 与 点对称，过点 作 于 ，根据题目已知条件以及翻折的意义可知四边形 为菱形；根据 可得 ∽ ，根据相似比即可求得 、 的值（用 表示），即可求得点 的坐标（用 表示），根据 ，即可求得点 的坐标（用 表示），再根据 在二次函数 上，即可求得 的值，进而可得点 的坐标.
15.【答案】 （1）∵直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，
当 时，
∴
当 时，
∴
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，
∴
∴
∴抛物线的解析式是：
当 时，
解得：
∴
（2）3
（3）由（1）知 ， 直线 的解析式是：
设 ，则
∴
当 时， 的最大值
∴点 的坐标为
（4）存在，如图，
由（2）得，当ME最大时，则D（ ，0），M（ ， ），
∴DO=DB=DM= ；
∵∠BDM=90°，
∴OM=BM= ．
点P1、P2、P3、P4在x轴上，
当点P1与原点O重合时，则P1M=BM= ，P1（0，0）；
当BP2=BM= 时，则OP2= ，
∴P2（ ，0）；
当点P3与点D重合时，则P3M=P3B= ，
∴P3（ ，0）；
当BP4=BM= 时，则OP4= ，
∴P4 ．
综上所述， ．
【解析】【解答】设抛物线的对称轴交BC于点F ， 交x轴于点G ．
设直线BC的解析式为y=kx-3，则3k-3=0，解得k=1，
∴y=x-3；
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点H（1，-4），
当x=1时，y=1-3=-2，
∴F（1，-2），
∴FH=-2-（-4）=2，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】（1）直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，当 时， ， 当 时， ， 得出A、C的坐标，因为抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，得出b、c的值，即可得出抛物线的解析式，当 时， ， 解得即可得出B的坐标；
（2）设抛物线的对称轴交BC于F点，求得直线BC的解析式，即可得出k=1，得到抛物线的顶点H，当x=1时，y=1-3=-2，即可求得 的面积；
（3）由（1）知 ， 直线 的解析式是： ， 设 ， 则 ， 当 时， 的最大值 ， 即可得出点 的坐标；
（4）当点P1与原点O重合、当BP2=BM= 、当点P3与点D重合、当BP4=BM= 时，分情况讨论即可得出答案。
四、二次函数——直角三角形
16.【答案】 （1）解：根据题意得，
解得： ，
所以抛物线的解析式为：
（2）解：存在
分3种情况讨论：
①若 ，此时点 与原点 重合，所以
②若 ，过点 作 交 轴于点
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，即
∴ ，故
③若 ，过点 作 交 轴于点
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，即
∴ ，故
综上：存在点 ， ， 满足题意．
【解析】【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）分情况讨论，结合函数图象，利用相似三角形的性质分别求解即可。
17.【答案】 （1）解：设抛物线的解析式为
顶点
把 代入解析式得：
抛物线的解析式 ；
（2）解：
设 ，则F的坐标为
当 时， 有最大值为2；
（3）解：存在，
①过点A作 于点
点 在对称轴直线 上
设 的坐标为
点A的坐标为
点 的坐标为
②过点A作 于点A，交直线 于点
于点A
于点
点 在对称轴直线 上
设 的坐标为
解此方程得：
点 的坐标为
综上所述，点P的坐标分别为 或 ．
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为 ， 由顶点 ， 得出 ， 把 代入解析式得： ， 由此得出a的值，即可得出抛物线解析式；
（2）由解析式得出 ， 设 ， 则F的坐标为 ， 得出 ， 当 时， 有最大值为2；
（3）存在，①过点A作 于点 ， 由点 在对称轴直线 上，可设 的坐标为 ， 因为 点A的坐标为 ， 得出m的值，由此得出的坐标；②过点A作 于点A，交直线 于点 ， 由 于点A，得出 ， ， 得出 ， ， 因为 ， 点 在对称轴直线 上，得出设 的坐标为 ， ， ， 解此方程得： ， 得出点 的坐标为 。
18.【答案】 （1）解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：
∴
∴此抛物线的解析式 ．
∵ ，
∴顶点D的坐标为 ；
（2）解：存在；
①当 时：（如图1）
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，即
∴ ， （舍）
∴ ；
②当 时：（如图2）
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ， （舍）
∴ ．
∴符合条件的点P的坐标为 或 ；
（3） 或
【解析】【解答】解：（3）由图象可得 时， 的面积为S随着m的增大而减小；
∵顶点D的坐标为 ，点A的坐标是 ，
∴由图象可得 时，过点P作 轴交 于点N ，
设直线 的解析式 ，
∵点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，
∴线 的解析式 ，
设点P的坐标是 ，则点 ，
∴ 的面积为 ，
当 时， 的面积有最大值，
∴ 时，S随着m的增大而减小．
∴面积S随着m的增大而减小时m的取值范围为 或 ．
【分析】（1）先求出 再求出 此抛物线的解析式 ，最后求点的坐标即可；
（2）分类讨论，作图求解即可；
（3）先求出直线 的解析式 ，再利用三角形的面积公式进行计算求解即可。
五、二次函数——等腰直角三角形（正方形）
19.【答案】 （1）解：∵二次函数 的图象经过点A、点C，
∴ ，解得 ．
∴二次函数的解析式为 ．
（2）解：△ABD是直角三角形．理由如下：
∵点B（-2，m）在抛物线 上，
∴m= ．
∴B（-2，-1）．
∴直线OB的解析式为： ，
联立 ，解得： （即B点）或 ，
∴D（8，4），
∵A（4，-4），
∴由两点间距离公式得：
， ， ，
∵ ，
∴△ABD是以BD为斜边的直角三角形；
（3）解：如图所示，
∵四边形AFGE为矩形，
∴EG∥AD，FG∥AB，
∵EF∥BD，
∴四边形EFDG和四边形FEBG都是平行四边形，
∴EF=GD，EF=BG，
∴BG=GD，
由（2）得△ABD为直角三角形，
∴AG= BD，
∵EG∥AD，
∴点E是AB的中点，
∴E ；
（4）存在，Q（2，﹣4）或（2， ）
【解析】【解答】解：（4）如图，设EF的中点为K ， P（x ， y），连接PK ，
∵EF∥BD ，
∴ ，
又∵ ，
∴AF=FD ， F为AD的中点，
由中点坐标公式可得，F（6，0），E ，
∵K为EF的中点，
∴K ，
根据两点间的距离公式可得： ，
∵∠EPF=90°，
∴点P在以K为圆心，EF为直径的圆上运动，
∵△PQH为等腰直角三角形，∠PQH=90°，
∴∠QHP=45°，
∴PQ∥x轴，
∴直线PH可看做由直线y=x平移得到，
则设直线PH的解析式为：y=x+b ，
∵抛物线的顶点为H（2，-5）,
∴代入PH解析式得：b=-7，
∴直线PH的解析式为：y=x-7，
∵PK= EF ，
∴ ，
即： ，
解得： 或 ，
∵PQ∥x轴，
∴Q（2，﹣4）或（2， ）．
【分析】（1）利用待定系数法计算求解即可；
（2）先求出直线OB的解析式为： ， 再求出 ， ， ， 最后求解即可；
（3）先求出四边形EFDG和四边形FEBG都是平行四边形，再求出点E是AB的中点，最后求点的坐标即可；
（4） 利用中点坐标公式，两点间的距离公式和勾股定理进行计算求解即可。
六、二次函数——平行四边形
20.【答案】 （1）解：∵抛物线 的图象经过点 ，
∴设抛物线的解析式为 ．
把点 代入，
．
．
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵直线 经过点 ，
．
∴直线 的解析式为 ．
联立
解得 ，
∴点
．
设点 ．
，
．
．
．
∴点 ．
∴直线 的解析式为 ．
如图，过点 作 轴交直线 于点 ．
∵点 ，
．
设点B的横坐标为xB ， 点E的坐标为xE ，
．
∴当 时，
有最大值为 ．
（3）解：∵ ，
∴点Q的横坐标为2，
设点A，D，P，Q的横坐标分别为xA,xD,xP,xQ ，
若 为平行四边形的边，
∵以 为顶点的四边形为平行四边形，
．
或 ．
或 ．
∴点 的坐标为 或 ；
若 为平行四边形的对角线，
∵以 为顶点的四边形为平行四边形，
与 互相平分．
．
．
∵点 的坐标为 ．
综上，当点 的坐标为 或 或 时，以 为顶点的四边形为平行四边形．
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）联立方程，解之即得出D的坐标，得出三角形ABD的面积，设点 ． 因为 ， 得到m的值，即得到直线 的解析式，过点 作 轴交直线 于点 ． 设点B横坐标为xB， 点E的坐标为xE， 求出三角形FBE的面积，当 时， 有最大值；
（3）设点A，D，P，Q的横坐标分别为xA,xD,xP,xQ， 若 为平行四边形的边，得出 ． 得出P的坐标，若 为平行四边形的对角线，得出 与 互相平分．分情况讨论即可。
21.【答案】 （1）解：由题意得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝ x2﹣x﹣4；
（2）解：由抛物线解析式得点D坐标为（1，﹣ ），
设四边形PMDN面积为S，
则S＝S△PDM+S△PDN＝ PD（xN﹣xM）＝ （xN﹣xM），
故当MN与轴平行时，此时MN＝4，S的面积最大，
则S＝9，
此时点M、N关于抛物线对称轴对称，则点N的横坐标为3，
当x＝3时，y＝ x2﹣x﹣4＝﹣2.5，
故点N的坐标为（3，﹣2.5）；
（3）解：把y=0代入y＝ x2﹣x﹣4得 x2﹣x﹣4=0，
解得： ，
∴点A（-2,0），点B（4,0）
设点Q的坐标为（m，km+1），
当AC为边时，如图1，
点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到点C，同样点B向右平移2个单位向下平移4个单位得到点Q，
即 解得 ，
故点Q的坐标和k分别为（6，﹣4）、﹣ ；
如图2，
点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到点C，同样点Q向右平移2个单位向下平移4个单位得到点B，
即 ，解得 ，
故点Q的坐标和k分别为（2，4）、1.5；
当AC是对角线时，
由中点公式得 解得 ，
故点Q的坐标和k分别为（﹣6，﹣4）、﹣ ；
综上，点Q的坐标和k分别为（6，﹣4）、﹣ 或（2，4）、1.5或（﹣6，﹣4）、﹣ ．
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△PDM+S△PDN＝ PD（xN﹣xM）＝ （xN﹣xM），即可求解；
（3）分AC为边、AC是对角线两种情况，利用图象平移和中点公式，分别求解即可．
22.【答案】 （1）解：将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得
，解得： ，
∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，
（2）解：把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，
∴C（0，-4），
抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为
∵点D与点C关于直线l对称，
∴D（3，-4），
∵A（-1，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b；
∴ ，解得： ，
∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，
设P（m，m2-3m-4），
作PE∥y轴交直线AD于E，
∴E（m，-m-1），
∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，
∴ ，
∴ ，
∴当m=1时， 的面积最大，最大值为：8
（3）解：∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1，
∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴抛物线沿射线AD方向平移平移 个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵ ， ，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），
设平移后的抛物线的解析式为
则 ，解得： ，
∴平移后y1=x2-11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为： ，
∵P（1，-6），
∴E（5，-10），
∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
设G（n，n2-11n+20），F（ ，y），
①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ ，∴
∴
②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ ，∴
∴
③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ ，∴
∴
∴ 或 或
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点A，B的坐标求出函数解析式.
（2）由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，利用函数解析式求出抛物线的对称轴，利用轴对称的性质可求出点D的坐标；再利用待定系数法求出直线AD的解析式 ， 设P（m，m2-3m-4）， 作PE∥y轴交直线AD于E， 同时可表示出点E的坐标及PE的长，然后利用三角形的面积公式可得到△APD的面积与m之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
（3） 直线AD与x轴正方向夹角为45°，抛物线沿射线AD方向平移平移 个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，利用待定系数法求出平移后的函数解析式，同时可求出 抛物线y1的对称轴及点E的坐标；以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（ ，y），①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分；②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分；③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分；分别利用线段的中点坐标建立关于n的方程，解方程求出n的值，即可得到点G的坐标.
七、二次函数——矩形、菱形、正方形
23.【答案】 （1）解：根据题意，得 ，
解方程组，得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ ﹣2x＋3
（2） +
（3）解：如图，过点N作直线NE⊥x轴，垂足为M，交直线BC于点E，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∵B（-3，0），C（0，3），
∴ ，
解方程组，得 ，
∴直线BC解析式为y=x＋3，
设N（n，﹣ －2n＋3），E（n，n＋3），
∴NE=﹣ －2n＋3-n-3=﹣ －3n，
∴ = + = +
= =﹣ － = ，
∴△BCN面积最大值 ，
此时，x= ，y= ，
故点
（4）解：如图，当AC为菱形的边时，
∵CP∥A ，AC= = ，
∴A = ，
∵A（1，0），
∴ （1， ）或 （1，- ）；
当AC为菱形的对角线时，
设 （0，m）,
∴A = ，C =3-m，
∴ ，
解得m= ，
∴C =3-m= ，
∴A = ，
∴ （1， ）；
当CP为菱形的对角线时，
作出点A关于CP的对称点即可，
∵A（1，0），
∴ （-1，0），
综上所述，点Q的坐标为（-1，0）或（1， ）或（1， ）或（1，- ）.
【解析】【解答】（2）∵A ， B是对称点，
∴抛物线的对称轴与BC的交点为△ACM周长最小位置，且最小值为BC+AC ，
∵A（1，0），B（-3，0），C（0，3），
∴AC= = ，BC= = ，
∴△ACM周长最小值为 + ,
故答案为: + ；
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出AC= = ，BC= = ，再计算求解即可；
（3）先求出直线BC解析式为y=x＋3， 再求出 △BCN面积最大值 ， 最后求点的坐标即可；
（4）分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
24.【答案】 （1）解：令x=0得 ，∴C点坐标（0，-8）
令y=0得：
解得：
∴A（-4,0），B（2,0）
（2）解：设DE交x轴于F，
设AC解析式为 ，代入AC坐标得：
，解得
∴AC解析式为
∵直线 与该抛物线交于点E，与 交于点D
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
解得
∴
（3）解：抛物线 对称轴为
∵点M在y轴上，点N在直线 上，点P为抛物线对称轴上一点
∴设
当CM菱形的边时，则CM∥PN，CM=CN
∴N在对称轴上，即
∴
∴
解得
此时M点坐标为
当CM为菱形的对角线时，此时NP关于CM对称，即NP关于y轴对称
∴
∴
∵菱形对角线互相垂直平分
∴NP中点与CM中点是同一个点
∴
解得
此时M点坐标为
综上所述，存在M 、 使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后求点的坐标即可；
（2）先求出 AC解析式为 ，再求出 ，最后求解即可；
（3）先求出 ，再求出 ，最后求点的坐标即可。
25.【答案】 （1）解： 抛物线 的对称轴为 ，
，
，
，且点A在x轴负半轴上，
，
将点 代入 得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ；
（2）
（3）解：如图，过点E作x轴的垂线，交 于点F，
，抛物线的对称轴为 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设点E的坐标为 ，则 ， ，
，
，
，
由二次函数的性质得：在 内，当 时， 取最大值，最大值为 ，
即 面积的最大值为 ；
（4） 或 或 或
【解析】【解答】解：（2） 化成顶点式为 ，
则顶点D的坐标为 ，
当 时， ，即 ，
则抛物线上 两点之间的距离是 ，
故答案为： ；
（4）设点P的坐标为 ，
由题意，分以下三种情况：
①当 为矩形 的边时，则 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，即 ，
将点C先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P，
四边形 是矩形，
点C平移至点P的方式与点B平移至点Q的方式相同，
，
，即 ；
②当 为矩形 的边时，则 ，
同（4）①的方法可得：点Q的坐标为 ；
③当 为矩形 的对角线时，则 ，
，
即 ，
解得 或 ，
或 ，
当点P的坐标为 时，
则将点P先向左平移2个单位长度，再向下平移 个单位长度可得到点C，
四边形 是矩形，
点P平移至点C的方式与点B平移至点Q的方式相同，
，即 ；
同理可得：当点P的坐标为 时，点Q的坐标为 ，
综上，点Q的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再求出 ， 最后求函数解析式即可；
（2）先求出顶点D的坐标为 ，再求出 ，最后利用两点间的距离公式进行求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（4）分类讨论，利用矩形的性质、勾股定理、平移和点的坐标进行求解即可。
26.【答案】 （1）解：将 ， 代入二次函数表达式中，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为： ；
（2）解：连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
BC为定直线，当C、P、A三点共线时， 有最小值为 ，
此时 的周长也最小，
设直线AC的解析式为： ，代入 ，
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为： ，
二次函数的对称轴为 ，代入 ，得到 ，
∴P点坐标为(1,2)，
此时 的周长最小值= ；
（3）解：Q点坐标存在，为(2，2)或(4， )或(4， )或( ， )或( ， )
【解析】【答案】解：(3) 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m ， n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知： ，
∴ ，解得 ，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ ，
同理有： ，解得 或 ，
∴P点坐标为(1， )或(1， )，对应的Q点坐标为(4， )或(4， )；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP ，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m ， n)，
同理有： ，解得 或 ，
∴P点坐标为(1， )或(1， )，对应的Q点坐标为(-2， )或(-2， )；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4， )或(4， )或( ， )或( ， )．
【分析】（1）将 ， 代入二次函数表达式中，得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得出 ，BC为定直线，当C、P、A三点共线时， 有最小值为 ， 此时 的周长也最小，设直线AC的解析式为： ， 代入 ， 可得k、m的值，即可得到直线AC的解析式，二次函数的对称轴为 ， 代入 ， 得到 ， 得到P的坐标，此时得到 的周长最小值；
（3）过点M作直线m//AC，直线m与抛物线交点即为P点，根据M的坐标可求出m的直线的表达式，联立抛物线的解析式与直线m的解析式即可求出p的坐标。
27.【答案】 （1）解：当 时，抛物线 ，
∴ （0，4），
∵点 在直线 上： 上，
∴ ，
∵直线 与 轴交点为 ， ，
解得： ，
∴ （4，0），
∵点 在抛物线上，
∴ ①，
∵ ，
∴ 轴，点 、 关于抛物线对称轴对称，
∵ ，
∴抛物线对称轴为：直线 ，
∴ ②，
联立方程①②，
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）解：连接 ，如图1，
∵ （0，4），点 是直线 上一动点，
∴ 、 关于直线 对称，∴ ，
∴当点 、 、 在同一直线上时， 最短，
当 时，解得： ，
∴此时， （2，2），
∵ ，
∴ ，
∴ 周长最小值为： ．
（3）解：存在满足条件的点 ，
设 （ ），则 ， ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∴﹣ ，
解得： ， （舍去），
∴ ， ， ，
①若 为菱形 边，点 在点 左侧，如图2，
延长 交 轴于点 ，
∵ ， ， ，
∴ °， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
②若 为菱形 边，点 在点 右侧，如图3，
∵ ， ， ，
∴ °， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
③若 为菱形的对角线，菱形 中，如图4，
设 与 交于点 ，
∴ ， ， ，
∴ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当 、 为邻边时，
∵PM⊥MF，且PM=MF=FG=PG=3
∴四边形PMFG为正方形，
∵OM=1，
∴OF=OM+MF=1+3=4
可得 ．
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 或 或 ．
【解析】【分析】（1）由抛物线过点C可求出C的坐标，由直线也经过点C即可求出n的值；得到n的值即有直线BC的关系式，即能求BC与x轴交点B的坐标，又由DE//x轴且其横坐标满足 ， 即得到抛物线对称轴 ， 再把点B坐标代入抛物线关系式得方程组，解得a、b的值即可；
（2）由于点Q在直线y=2上运动，要求的是OQ+BQ的最小值，O、B是定点，故寻找O或B关于直线y=2的对称点，由C（0，4）得C与O关于直线y=2对称，则有CQ=OQ，当点C、Q、B在同一直线上时有最小值，求直线BC上y=2时横坐标，即为Q的坐标，计算BC与OB的和即为三角形QOB周长最小值；
（3）先根据题意设点M、P、N坐标，利用P为MN中点的等量关系求出P、M的坐标，再对菱形四个顶点位置讨论：以PM为菱形的变，此时又分两种情况，分别是点F在点P左右侧的讨论；当F在P左侧时，根据菱形性质和GM与x轴夹角为45度易求G的坐标；当F在P右侧时，根据对称性即可求出G的坐标，以PM为菱形对角线，利用对角线互相垂直平分的性质即可求出点G坐标。
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