【专题训练】二次函数图像分类练习 （含解析）

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二次函数分类习题练习
一、二次函数概念
1.下列函数中，是二次函数的有( )个
y=(x-3)2-1 y=1- x2 y= (x+2)(x-2) y=(x-1)2-x2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若 是二次函数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.下列结论正确的是( )
A. 二次函数中两个变量的值是非零实数 B. 二次函数中变量x的值是所有实数
C. 形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数 D. 二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c的值均不能为零
4.已知函数y=（m﹣2） ﹣2是关于x的二次函数，则m=________．
5.一个二次函数y=（k﹣1） ． 求k值．
二、二次函数图像（一）
6.二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A. a＞1 B. a＜1 C. a＞0 D. a＜0
7.如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为________ 。
8.函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
9.如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a、b、c、d的大小关系为________.
10.当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是( )
A. B. C. D.
11.下列判断中唯一正确的是（ ）
A. 函数 的图象开口向上，函数 的图象开口向下
B. 二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大
C. 与 图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D. 抛物线 与 的图象关于 轴对称
三、二次函数图像（二）
12.将抛物线y＝x2+3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为（ ）
A. y＝（x+2）2+2 B. y＝（x﹣1）2+5 C. y＝（x+2）2+4 D. y＝（x﹣2）2+2
13.在直角坐标平面内，如果抛物线y=2x2﹣3经过平移后与抛物线y=2x2重合，那么平移的要求是（　　）
A. 沿y轴向上平移3个单位 B. 沿y轴向下平移3个单位
C. 沿x轴向左平移3个单位 D. 沿x轴向右平移3个单位
14.在平直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A. y＝4（x﹣2）2+2 B. y＝4（x+2）2﹣2 C. y＝4（x﹣2）2﹣2 D. y＝4（x+2）2+2
15.已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
16.将函数 的图象向右平移 （ ）个单位，得到函数 的图象，则 的值为________.
四、二次函数图像（三）
17.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A. ﹣1＜x＜1 B. ﹣3＜x＜﹣1 C. x＜1 D. ﹣3＜x＜1
18.在同一直角坐标系中，函数 和函数 （m是常数，且 ）的图象可能是（ ） A. B. C. D.
19.若点A（-2，m），B（3，n）都在二次函数y=ax2-2ax+5（a为常数，且a>0）的图象上，则m和n的大小关系是（ ）
A. m>n B. m=n C. m20.已知二次函数y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)，当a-b为整数时，ab的值是( )
A. 或1 B. 或1 C. 或 D. 或
21.在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
22.已知关于x的一元二次方程x2+bx-c=0无实数解，则抛物线y= -x2-bx+c经过________象限。
答案解析部分
一、二次函数概念
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：y=（x-3）2-1是二次函数；
y=1-x2是二次函数；
y=是二次函数；
y=（x-1）2-x2不含有二次项，不是二次函数。
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质分别进行判断即可。
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意得： a-2 ≠0，则a≠2.
故答案为：：A.
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案.
3.【答案】 B
【解析】【分析】二次函数的定义：形如y=ax +bx+c(a≠0)的函数叫二次函数.
【解答】A.二次函数中两个变量的值可以为零，C.形如y=ax +bx+c(a≠0)的函数叫二次函数，D.二次函数y=ax2+bx+c中，只有a的值不能为零，故错误；
B.二次函数中变量x的值是所有实数，本选项正确.
【点评】概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
4.【答案】 –3
【解析】【解答】根据题意得：m2+m﹣4=2且m﹣2≠0，解得：m=﹣3．
故答案为﹣3．
【分析】根据二次函数的定义，次数最高项的次数是2，且二次项的系数不等于0即可求得m的值．
5.【答案】 解：由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，再解即可；
二、二次函数图像一
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，
抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为：B．
【分析】观察图象的开口方向向下，可知a﹣1＜0，解不等式即可。

7.【答案】
【解析】【解答】 y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍 故根据题意，2a2-1=2a且a>0,然后求解a=
【分析】抛物线的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.
8.【答案】 （1）解：把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入一次函数解析式，求出b的值，再利用待定系数法求出a的值。
（2）根据二次函数的性质，可得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）利用函数解析式画出函数的图像。
9.【答案】 a＞b＞d＞c
【解析】【解答】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c.
【分析】用特殊值法求解，找出当x=1时与这四条抛物线的交点，根据交点所在的位置即可判断求解。
10.【答案】 D
【解析】【解答】A选项中一次函数a＞0，b＜0，与ab＞0相矛盾，故错误；
B选项中一次函数a＜0，b＞0，与ab＞0相矛盾，故错误；
C选项中一次函数a＞0，b＜0，与ab＞0相矛盾，故错误；
D选项中一次函数a＜0，b＜0，二次函数a＜0，符合题意，故正确；
故答案为：D．
【分析】由ab＞0，可得出a、b同号，分两种情况讨论：a＜0，b＜0；a＞0,b＞0，再对各选项逐一判断可解答。
11.【答案】 D
【解析】【解答】解： 、若当 时，则函数 的图象开口向下，函数 的图象开口向上，故 不符合题意；
、若 时，则二次函数 开口向上，当 时， 随 的增大而减小，故 不符合题意；
、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故 不符合题意；
、因为 和 互为相反数，所以抛物线 与 的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于 轴对称；
故答案为：D.
【分析】根据a的值与抛物线的开口方向、开口大小的关系以及抛物线对称轴两侧图象的增减情况判断即可。
三、二次函数图像（二）
12.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+3的顶点坐标为：（0，3），
∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：（﹣2，2），
∴所得新抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线平移后的形状不变，即a不变；然后求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移的性质即可求出平移后的抛物线的顶点坐标即可确定解析式．
13.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣3的顶点为（0，﹣3），
抛物线y=2x2的顶点为（0，0），从（0，﹣3）到（0，0）是沿y轴向上平移3个单位，
故答案为：A．
【分析】抛物线y=2x2﹣3的顶点为（0，﹣3）,平移后的抛物线y=2x2的顶点为（0，0），由（0，﹣3）到（0，0），可得沿y轴向上平移3个单位，据此判断即可.
14.【答案】 B
【解析】【解答】解：将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，
将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，
根据平移法则：左加右减，上加下减，
∴在新坐标系下抛物线的解析式为y＝4（x+2）2﹣2，
故答案为：B．
【分析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得．
15.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＞0.此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故答案为：不符合题意；
B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0.此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；
C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0.此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意；
D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＞0.此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】可先根据一次函数的图象与系数的关系判断m，n的符号，再根据m,n的符号判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误.
16.【答案】 2
【解析】【解答】解：∵ ，∴顶点的横坐标为 ；
∵ ，∴顶点的横坐标为 ；
∴ .
故答案为：2.
【分析】先把抛物线转化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.
四、二次函数图像（三）
17.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案.
18.【答案】 D
【解析】【解答】解：观察图象可知：
A.由直线经过第二、四象限可得m＜0，则-m＞0，则抛物线开口向上，而图中抛物线开口向下，故A错误；
B.由直线经过第二、四象限可得m＜0，则-m＞0，抛物线的对称轴x= ， 在y轴左侧，故B错误；
C.由直线经过第一、三象限可得m＞0，则 -m＜0，则抛物线开口向下，而图中抛物线开口向上，故C正确；
D.由直线经过第二、四象限可得m＜0，且直线与y轴的交点（0，m）位于y轴的负半轴，还可得-m＞0，则抛物线开口向上，且抛物线的对称轴x=,在y轴左侧,故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与系数的关系一一判断即可。
19.【答案】 A
【解析】【解答】解： y=ax2-2ax+5=a（x-1）2+5-a，
∵a＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵点A（-2，m）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，m）
∴4＞3，
∴m＞n.
故答案为：A.
【分析】利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可知当x＞1时，y随x的增大而增大，点A（-2，m）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，m），比较3和4大小，就可得到m与n的大小关系。
20.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)，
∴a＞0， ， a+b-2=0,即b=2-a
∴b＞0，
∴2-a＞0
解之：a＜2
∴a的取值范围是0＜a＜2；
∵-2＜2a-2＜2，
∵a-b为整数，
∴2a-2=-1，0，1，
∴a= ， 1， ，
∴b= ， 1，.
∴ab=；ab=1×1=1
∴ab=
故答案为：A
【分析】抓住已知条件抛物线的顶点在第四象限及图像经过点（-1,0），就可得到a，b的取值范围及b=2-a，从而可用推出a的取值范围；利用不等式的基本性质，就可得到-2＜2a-2＜2，根据a-b为整数，就可推出2a-2的值，据此可求出a的值及b的值，然后求出ab的值即可。
21.【答案】 C
【解析】【解答】解：先将抛物线y=2x2-4x关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线y=2(-x)2-4(-x)=2x2+4x,
∴y=2(x+1)2-2, 再将新得的抛物线绕它的顶点旋转180°，得y=-2(x+1) 2-2=-2x2-4x-4 .
故答案为：C.
【分析】由y不变，x变为-x, 得到y=2x2-4x关于y轴对称的抛物线解析式，然后顶点坐标不变，将a变为-a,得到抛物线绕它的顶点旋转180°后所得的函数解析式，照此分步变换即得结果.
22.【答案】 三、四
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+bx-c=0无实数解，
∴△=b2+4c＜0，
又∵抛物线y= -x2-bx+c ，
∴△=b2+4c＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线图像在x轴下方，
∴抛物线y= -x2-bx+c经过三、四象限.
故答案为：三、四.（错写、少写均不给分）
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=b2+4c＜0，由抛物线解析式得△=b2+4c＜0，从而可得抛物线与x轴没有交点，根据其开口向下可得抛物线图像在x轴下方，由此即可得出答案.
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