【满分计划】第4章 相似三角形精选精练卷（含解析)

第4章 相似三角形
一、单选题（共20分）
1．如图，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
2．在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形
C．四边形 D．四边形
3．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，1）
C．（﹣3，﹣1）或（3，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
5．如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF DE；④OM＝OF（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
6．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．已知（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（　　）
A． B． C．2a＝3b D．3a＝2b
8．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
9．如果，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点在上，交于F，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共40分）
11．如图所示，在中，，，．
（1）如图1，四边形为的内接正方形，则正方形的边长为_________；
（2）如图2，若内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于，则正方形的边长为_________．
12．已知，则的值为_____．
13．如图，在中，，，，是斜边上方一点，连接，点是的中点，垂直平分，交于点，连接，交于点，当为直角三角形时，线段的长为________．
14．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是_____元．
15．若，则________．
16．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，MN∥BC交AC于点N．联结NQ，设BQ＝x．则当x＝_____．时，四边形BMNQ的面积最大值为_______．
三、解答题（共60分）
18．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=2，tan∠AOC=1．
(1)求反比例函数解析式；
(2)点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值；
(3)连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出点的坐标______．
21．田中数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，△是⊙O的内接三角形，直径，，点D为线段上一动点（不运动至端点A、C），作于F，连接，并延长交⊙O于点H，连接．①求证：；②求的最大值．
（1）请你写出第①小题的证明过程；
（2）以下是组员小明解决第②小题的部分过程：
连接，设，其中_______，
可得_____，
易证，
由第①小题得，，因为，
所以，……
请你填出以上空缺，并将过程补充完整．
22．在矩形中，于点，点是边上一点．
（1）若平分，交于点，PF⊥BD，如图（1），证明四边形是菱形；
（2）若，如图（2），求证：．
23．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
只需要证明△AED∽△ACB即可求解.
【详解】
解∵DE ∥ BC，
∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED
∴△AED∽△ACB
∴
∴
∴BD＝AD+AB＝2+4＝6．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．A
【解析】
【分析】
以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
【详解】
解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．
故选：A
【点睛】
此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．
3．D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．
【详解】
解：∵∠ADE＝∠B，
∴
故A能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
∠AED＝∠C，
∴
故B能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，
∴
故C能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，条件未给出，不能判定△ADE与△ABC相似，故D符合题意
故选D
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,据此求解即可得．
【详解】
解：以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点B的坐标为则点B的对应点B'的坐标为或，即或
故选：C．
【点睛】
题目主要考查位似变换的性质，理解运用其性质是解题关键．
5．A
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可证△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正确；由“SAS”可证△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正确；通过证明△DAE∽△BFA，可得，可证BC2=DE BF，故③正确；通过证明点A，点B，点M，点F四点共圆，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可证MO=EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④错误，即可求解．
【详解】
解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADM′，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，
∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，
∴∠ADM'+∠ADC=180°，
∴点M'在直线CD上，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，
∴∠M′AN=∠MAN=45°，
又∵AN=AN，AM=AM'，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；故①正确；
∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，
∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，
∴∠D'BE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，
∴∠D'AE=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，AF=AD'，
∴△AEF≌△AED'（SAS），
∴EF=D'E，
∵D'E2=BE2+D'B2，
∴BE2+DF2=EF2；故②正确；
∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，
∴∠BAF=∠AEF，
又∵∠ABF=∠ADE=45°，
∴△DAE∽△BFA，
∴，
又∵AB=AD=BC，
∴BC2=DE BF，故③正确；
∵∠FBM=∠FAM=45°，
∴点A，点B，点M，点F四点共圆，
∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，
同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，
∴∠EOM=45°=∠EMO，
∴EO=EM，
∴MO=EO，
∵∠BAM≠∠DAN，
∴∠BFM≠∠DEN，
∴EO≠FO，
∴OM≠FO，故④错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．
【详解】
解：根据黄金比的比值，，
则，
…
依此类推，则线段，
故选C．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”对各选项分析判断即可得．
【详解】
解：A、∵，∴，∴，选项说法错误，不符合题意；
B、∵，∴，∴，选项说法错误，不符合题意；
C、∵，∴，选项说法正确，符合题意；
D、∵，∴，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是熟记比例的性质．
8．A
【解析】
【分析】
判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】
解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据比例的性质即可得到结论．
【详解】
∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝－．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，解本题的要点根据题意可设a，b的值，从而求出答案．
10．D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．
【详解】
根据题意得：BC=B′C，AB=A′B′，AC=A′C，∠B=∠B′，∠A=∠A′=30°，∠ACB=∠A′CB′=90°
∵∠A=30°，∠ACB=90°
∴∠B=60°
∴BB′=BC=B′C，∠B=∠BCB′=∠BB′C=60°
∴∠B′CA=30°，∠ACA′=60°，A′B′∥BC
∴∠B′FC=∠B′FA=90°
∴△AB′F∽△ABC∽△A′B′C∽△A′CF∽△CFB′
∴有4个
故选D．
【点睛】
考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
11．
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；
（2）设正方形的边长是x，则过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，易得△CGF∽△CAB，所以，求出x值即可．
【详解】
解：（1）在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴AB CN=BC AC，
∴CN=，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CM：CN=GF：AB，
设正方形边长为x，
则，
解得：，
∴正方形DEFG的边长为；
（2）如图，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
设小正方形的边长为x，
∵四边形GDEF为矩形，
∴GF∥AB，CM⊥GF，
同理算出CN=，
∴，即，
∴，
即小正方形的边长是．
【点睛】
本题主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．
12．1
【解析】
【分析】
由比例的性质，设，则，，，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，设，
∴，，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．
13．或
【解析】
【分析】
（1）分别在、、中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，再根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定求得，最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、分线段成比例定理可证得，然后根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质列出方程，解方程即可求得，最后利用线段的和差即可求得答案．
【详解】
解：①当时，如图1:
∵在中，，，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴ 在中，设，则
∵
∴
∴
∴，
∵垂直平分线段
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴
∴；
②当时，连接、交于点，过点作于，如图2：
设，则，
∵垂直平分线段，点是的中点
∴
∵
∴
∵
∵
∴垂直平分线段
∴
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
∴综上所述，满足条件的的值为6或．
故答案是：6或
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等，渗透了逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想．
14．1080
【解析】
【分析】
直接利用相似多边形的性质进而得出答案．
【详解】
∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故答案为：1080．
【点睛】
此题考查相似多边形的性质，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.
15．
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】
由可得，，
代入．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
16．5
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB=，AC：BC=1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形，
∵===，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．
【解析】
【分析】
先由勾股数可得BC的长，再由△QBM∽△ABC列出比例式，用含x的式子表示出QM和BM，然后由平行线的性质得比例式，解出MN，最后由三角形的面积公式得出四边形BMNQ的面积表达式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
∵△QBM∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
∴QM＝x，BM＝x，
∵MN∥BC，
∴＝，即＝，
∴MN＝5﹣x，
∴四边形BMNQ的面积为：，
∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、相似三角形及勾股定理，关键是根据勾股定理求出线段的长，然后根据相似三角形得到比例列出函数关系式，最后用二次函数的性质求解即可．
18．当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出BC＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可．
【详解】
在Rt△ABC中，BC3．
∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：
①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；
②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．
综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
19．(1)
(2)|PC PD|最大时a的值为6
(3)存在，点M的坐标为（，）
【解析】
【分析】
（1）先确定出OE=CE=2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，利用待定系数法可求AB解析式，求出点D的坐标，再根据三角形关系可得出当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|最大，求出直线CD的解析式，令y=0即可求解；
（3）若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形且AC为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可．
(1)
解：如图1，过点C作CE⊥x轴于E，
∴∠CEO=90°，
∵tan∠AOC=1，
∴∠COA=45°，
∴∠OCE=45°，
∵OC=2，
∴OE=CE=2，
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数解析式为y=；
(2)
解：∵点C（2，2），点O（0，0），
∴OC解析式为：y=x，
∵四边形OABC是平行四边形，点A坐标为（3，0），
∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，
∴点B（5，2），
∴设AB解析式为：y=x+b，
∴2=5+b，
∴b=-3，
∴AB解析式为：y=x-3，
联立方程组可得：，
∴或（舍去），
∴点D（4，1）；
在△PCD中，|PC-PD|＜CD，则当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|=CD，此时，|PC-PD|取得最大值，
由（1）知C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴，解得，
∴直线CD的解析式为：y=x+3，
令y=0，即x+3=0，得x=6，
∴|PC-PD|最大时a的值为6；
(3)
（3）存在，理由如下：
若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形，
则①当点A为直角顶点时，如图2，过点A作AC的垂线与y=交于点M，分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为点F，G，
由“一线三等角”模型可得△AFC∽△MGA，
则AF：MG=CF：AG，
∵C（2，2），A（3，0），
∴OF=CF=2，AF=1，
∴1：MG=2：AG，即MG：AG=1：2，
设MG=t，则AG=2t，
∴M（2t+3，t），
∵点M在反比例函数y=的图象上，
则t（2t+3）=4，
解得t=，（负值舍去），
∴M（，）；
②当点C为直角顶点时，这种情况不成立；
综上，点M的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定与性质，相似三角形的性质与判定．第一问的关键是求出点C的坐标，第二问的关键是知道当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|取得最大值，第三问的关键是利用矩形的内角是直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质建立等式．
20．图见解析，
【解析】
【分析】
由位似的性质进行作图和求解，即可得到答案．
【详解】
如图，即为所求，
故答案为：
【点睛】
本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，以及考查了坐标与图形，解题的关键是掌握位似的性质进行解题．
21．（1）见解析；（2）8，，AFC，ADB，剩下过程见详解
【解析】
【分析】
（1）公共角加上直角可知△ADF与△ABC相似，即可得到结论；
（2）连接CH，证明△HDC相似于△ADB，再证△AFC相似于△ADB，就能得到△HDC相似于AFC，即可得到对应边成比例，通过设CD=x，可得二次函数解析式，化成顶点式找到最大值即可．
【详解】
（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA=90°，
又∵∠FAD=∠CAB，
∴△DFA∽△BCA，
∴，
∴；
（2）证明：连接，设，其中8，
由（1）可cos∠FAD=，
∴AF=AD，
当CD=x时，8-x，则AF=（8-x）
又∵由①得，，且，
∴△AFC∽△ADB，
∵∠A=∠DHC，∠CDH=∠BDA，
∴，
∴△AFC∽△HDC
∴，
∴，
∴=x（8-x）==，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当x=4时，有最大值，最大值为．
【点睛】
本题考查了圆、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）想办法证明AG=PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA=PF即可解决问题．
（2）证明△AEP∽△DEC，可得 ，由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵平分，，，
∴，，
又∵在中，，
在中，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴AG∥PF，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形AGFP是菱形；
（2）∵，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，菱形的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（1）=；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得=，进而即可得到结论；
（2）由AD∥CB，点E是BC的中点，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，进而即可得到结论．
【详解】
（1）∵，
∴=．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴=，
∴==，
∴==；
（2）∵AD∥CB，点E是BC的中点，
∴△EFC∽△DFA．
∴CF：AF=EC：AD=1：2，
∵FG⊥BC，
∴FG//AB，
∴CG：BG=CF：AF=1：2，
∴CG=BG．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理以及平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键．
答案第1页，共2页
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