【满分计划】第3章 圆的基本性质精选精练卷（含解析)

第3章 圆的基本性质
一、单选题（共20分）
1．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD＝（　　）
A．105° B．110° C．115° D．120°
2．从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是(　　　)
（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解；
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；
（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．
A． B． C． D．1
3．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
4．将抛物线先绕坐标原点旋转，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为(　　)
A．6π﹣ B．6π﹣9 C．12π﹣ D．
6．P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
8．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
9．如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共40分）
11．如图，在甲，，，，以点为圆心，的长为半径作圆，交于点，交于点，阴影部分的面积为__________（结果保留）．
12．如图，已知是的直径，且，弦，点是弧上的点，连接、，若，则的长为______．
13．如图，在⊙O中，的度数等于250°，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，那么的度数等于________度．
14．如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____．
16．如图，是的直径，弦于点，且，则的半径为__________．
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
三、解答题（共60分）
18．如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）延长线段，交线段于点．求的度数（用含有的式子表示） ．
19．如图，在ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，延长CA交⊙O于点E．连接ED交AB于点F．
（1）求证：CDE是等腰三角形．
（2）当CD：AC＝2：时，求的值．
20．（1）求图（1）中阴影部分的面积（单位：厘米）；
（2）如图（2）所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，求阴影部分面积．（结果保留）
21．如图，已知正方形点在边上，以为边在左侧作正方形；以为邻边作平行四边形连接．
（1）判断和的数量及位置关系，并说明理由；
（2）将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，和的数量及位置关系是否发生变化？请说明理由．
22．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：．
23．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
连接AC，然后根据圆内接四边形的性质，可以得到∠ADC的度数，再根据点D是弧AC的中点，可以得到∠DCA的度数，直径所对的圆周角是90°，从而可以求得∠BCD的度数．
【详解】
解：连接AC，
∵∠ABC＝50°，四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC＝130°，
∵点D是弧AC的中点，
∴CD＝AC，
∴∠DCA＝∠DAC＝25°，
∵AB是直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCD＝∠BCA+∠DCA＝115°，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．C
【解析】
【分析】
分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.
【详解】
解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，
（2）因式分解，是真命题，
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是，是真命题，
（4）设扇形半径为r，圆心角为n，
∵弧长是，则=，则，
∵面积是，则=，则360×240，
则，则n=3600÷24=150°，
故扇形的圆心角是，是假命题，
则随机抽取一个是真命题的概率是，
故选C.
【点睛】
本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.
3．A
【解析】
【分析】
在⊙O取点，连接 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案．
【详解】
解：如图，在⊙O取点，连接
四边形为⊙O的内接四边形，
．
故选A
【点睛】
本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
先根据点绕坐标原点旋转的坐标变换规律、待定系数法求出旋转后的抛物线的解析式，再根据二次函数的图象平移的规律即可得．
【详解】
将抛物线的顶点式为
则其与x轴的交点坐标为，顶点坐标为
点绕坐标原点旋转的坐标变换规律：横、纵坐标均变为相反数
则绕坐标原点旋转后，所得抛物线与x轴的交点坐标为，顶点坐标为
设旋转后所得抛物线为
将点代入得：，解得
即旋转后所得抛物线为
则再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为
即
故选：C．
【点睛】
本题考查了点绕坐标原点旋转的坐标变换规律、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象平移的规律，熟练掌握坐标旋转变换规律和二次函数的图象平移规律是解题关键．
5．A
【解析】
【分析】
连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC=OC，则OD=2OC=6，CD=3，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．
【详解】
解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD
＝﹣
＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为6π﹣.
故选A．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．
6．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】
解：在过点P的所有⊙O的弦中，
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，
此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，
故选：C．
【点睛】
此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算．
7．A
【解析】
【分析】
由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】
由旋转的性质可知，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB
8．D
【解析】
【分析】
过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．
【详解】
解：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．
9．B
【解析】
【分析】
连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
【详解】
解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．D
【解析】
【分析】
由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明
，即D选项正确；
【详解】
由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
11．
【解析】
【分析】
连接BE，根据正切的定义求出∠A，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：连接BE，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴tanA＝，
∴∠A＝60°，
∵BA＝BE，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝30°，
∴∠EBC＝30°，
∴阴影部分的面积＝×2×2×＋＝
故答案为．
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
12．9
【解析】
【分析】
连接OC和OE，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠COB=60°，再在△COH中求出CH，最后由垂径定理求出CD．
【详解】
解：连接OC和OE，如下图所示：
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，∠A=∠EOB，∠D=∠COE，
∵∠A+∠D=30°，
∴∠EOB+∠COE=∠COB=30°，
∴∠COB=60°，
∵CD⊥AB，
∴△COH为30°，60°，90°的三角形，其三边之比为，
∴CH=，
∴CD=2CH=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及垂径定理等相关知识点，本题的关键是求出∠COB=60°．
13．55
【解析】
【分析】
连接OA，OB，由已知可得∠AOB=360°﹣250°=110°，再根据垂径定理即可得解.
【详解】
连接OA，OB，
由已知可得∠AOB=360°﹣250°=110°，
∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC=∠AOB=55°.
故答案为55.
【点睛】
本题主要考查圆心角定理与垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
14．
【解析】
【分析】
【详解】
解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，
则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于3π，
故答案为：3π．
15．6
【解析】
【分析】
连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．
【详解】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，
∵AB＝10，AE＝1，
∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，
在Rt△COE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
16．
【解析】
【分析】
根据垂径定理得出CE=DE，再由勾股定理得出OD2=DE2+（AE-OA）2，代入求解即可．
【详解】
解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD，
∵AE=CD=6，
∴CE=DE=3，
∵OD=OB=OA，OE=AE-OA，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OD2=DE2+（AE-OA）2，
即：OD2=32+（6-OD）2，
解得：OD=，
∴⊙O的半径为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，
∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据“边角边”证，得到即可；
（2）由（1）得，，再根据三角形内角和证明即可．
【详解】
证明： 线段绕点顺时针旋转角得到线段，
，．
，
．
在与中，
．
（2）解： ，
，
又，
，
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题关键是熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．
19．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，由圆周角定理得出∠AED＝∠B，证出∠AED＝∠C，即可得出结论；
（2）连接AD，过点D作DH⊥AE于点H，设CD＝2x，AC＝x，则AD＝x，由三角形ADC的面积可得出DH的长，求出AE，则可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠AED＝∠ABC，
∴∠C＝∠AED，
∴△CDE是等腰三角形；
（2）如图，连接AD，过点D作DH⊥AE于点H，
设CD＝2x，AC＝x，
∵AB是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝x，
∵S△ADC＝AD DC＝AC DH，
∴DH＝，
∵DE＝CD，
∴CH＝EH＝＝x，
∴AE＝2CH﹣AC＝x．
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
20．（1）图（1）中阴影部分的面积为4平方厘米；（2）阴影部分面积为平方厘米．
【解析】
【分析】
（1）由图可知，图（1）中右边正方形中的阴影部分的面积等于左边正方形中的空白部分的面积，通过割补法可得阴影部分的面积为一个正方形的面积，计算即可得解；
（2）阴影部分的面积=梯形ABCG的面积+扇形GCE的面积-三角形ABE的面积，据此解答即可．
【详解】
解：（1）由图可知，图（1）中右边正方形中的阴影部分的面积等于左边正方形中的空白部分的面积，
∴S阴影=2×2=4（平方厘米）；
（2）如图，
S阴影=S梯形ABCG+S扇形GCE-S△ABE==25π（平方厘米）．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，梯形的面积，三角形的面积，正方形的面积等知识．解题的关键是把阴影部分分成常见的平面图形的和与差，进一步求得面积．
21．（1）；；理由见解析；（2）与的数量及位置关系都不变；答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则可得出结论；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，，由平行线的性质证出，则可得出结论．
【详解】
解：（1），．
由题意可得，平行四边形为矩形，，，，
，
，，
，
，
设与交于点，
则，
即．
（2）与的数量及位置关系都不变．
如图，延长到点，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，
即．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是：熟练掌握正方形的性质．
22．见解析
【解析】
【分析】
过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论．
【详解】
证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P，
由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD，
AC＝BD．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质，得AB=AD；根据圆周角的性质，得，结合DF=BE，即可完成证明；
（2）由（1）结论得AF=AE，；结合∠BAD=90°，得∠EAF=90°，从而得到△EAF是等腰直角三角形，即EF=AE；最后结合DE-DF=EF，从而得到答案；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH；结合题意，得∠CBE+∠CDE=180°，从而得到E，D，H三点共线；根据BC=CD，得，从而推导得∠BEC=∠DEC=45°，即△CEH是等腰直角三角形；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，，，，
在正方形ABCD中，AB=AD
在△ADF和△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）结论得：△ADF≌△ABE
∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形
∴EF2=AE2+AF2
∴EF2=2AE2
∴EF=AE
即DE-DF=AE
∴DE-BE=AE；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH
∵四边形BCDE内接于圆
∴∠CBE+∠CDE=180°
∴E，D，H三点共线
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD
∴
∴∠BEC=∠DEC=45°
∴△CEH是等腰直角三角形
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2
∴64=2CE2
∴CE=4．
【点睛】
本题考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质，从而完成求解．
答案第1页，共2页
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