2022年浙教版数学八年级上学期第1章 三角形的初步知识 单元测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·遵义期末）若一个三角形的两条边的长为5和7，那么第三边的长可能是（ ）
A．2 B．10 C．12 D．13
2．（2021八上·大埔期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，点P(-3，0)在y轴上
B．在一次函数y= -2x+3中，y随着x的增大而增大
C．同旁内角互补
D．若，则x+y=-1
3．（2021八上·胶州期末）下列语句是命题的是（ ）
A．垃级分类是一种生活时尚 B．今天，你微笑了吗？
C．多彩的青春 D．一起向未来
4．（2021八上·红桥期末）如图，≌，和是对应角，和是对应边，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·海淀期末）如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
6．（2021八上·长沙期末）如图，△ABC中， ，∠CAB的角平分线AD交BC于D， 于E， ，且 ，则BC的长是（ ）
A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对
7．（2021八上·永定期末）如图，若AB=AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A． B．BD=CE C． D．∠AEB=∠ADC
8．（2021八上·灌阳期末）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7，3，4 B．5，6，12 C．3，4，5 D．1，2，3
9．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2021八上·瑞安期中）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
11．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
12．（2021八上·淳安期末）在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
13．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高.求证：BD＝CE.
14．（2022八上·上思期末）如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DE，AC＝DE，∠A＝∠D.
（1）求证：AB＝DE；
（2）若BC＝9，EC＝5，求BF的长.
15．（2021八上·宁波期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
（1）求证：△ADE≌△CFE.
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
16．（2021八上·嘉兴期末）如图，AD平分 .
（1）求证： ：
（2）若 ，求 的度数.
17．（2021八上·芜湖期末）如图1，在△ABC中，BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CF相交于D点．
（1）求证：∠BDC=90°+；
（2）如图2，若∠A＝∠ABE，求证：EB+EC＝BC+BF．
18．（2021八上·延庆期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想EF和EG的数量关系并证明；
（3）求证：ED＋EF＝2EM．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，则7-5＜x＜7+5，即2＜x＜12.
只有选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.在平面直角坐标系中，点P(-3，0)在x轴上，故此选项不符合题意；
B.在一次函数y= -2x+3中，k=-2<0，y随着x的增大而减小，故此选项不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，故此选项不符合题意；
D.若，则，且，故x=2，y=-3，x+y=-1，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系，一次函数的性质，同旁内角，二次根式的性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】A
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：A. 垃级分类是一种生活时尚，对问题作出了判断，是命题，符合题意；
B. 今天，你微笑了吗？是疑问句，不是命题，不符合题意；
C. 多彩的青春，是描述性语言，不是命题，不符合题意；
D. 一起向未来，是描述性语言，不是命题，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据命题的定义逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵≌，和是对应角，和是对应边，
∴，，
∴，
∴选项A、B、C不符合题意，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，
∵，
∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，
故答案为：C．
【分析】先求出BC=CE，∠ACB=∠DCE，再求出∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，最后计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴CD=DE=2，
又∵ ，
∴BC=BD+CD=4+2=6（cm）；
故答案为：A.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE=2，根据BC=BD+CD即可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、根据ASA（∠A=∠A，∠C=∠B，AB=AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；
B、∵AB=AC，BD=CE，∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE，
则根据SAS（∠A=∠A，AB=AC，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；
C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意；
D、根据AAS（∠A=∠A，∠AEB=∠ADC，AB=AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】已知AB=AC，∠A=∠A，要使△ABE≌△ACD，可根据ASA、SAS、AAS进行逐一判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知EF是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CD=AD，由于△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，据此即得结论.
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.
故答案为：C.
【分析】由题意可得点P为AB的垂直平分线与BC的交点，据此判断.
11．【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠FGH=∠HDC=90°，根据对顶角的性质可得∠FHG=∠CHD，结合内角和定理可得∠F=∠C，然后证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
12．【答案】解：如选①∠C＝∠F，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴∠EDF＝∠CBA
∵AD＝BE
∴AB＝DE
在△ABC和△EDF中
∠C＝∠F，∠EDF＝∠CBA，AB＝DE
∴△ABC≌△EDF（AAS）
∴FE＝AC
如选②∠A＝∠E，证明依据为ASA；
如选③DF＝CB，证明依据为SAS；
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】选①∠C＝∠F，利用等角的补角相等，可证得∠EDF＝∠CBA，由AD＝BE可推出AB＝DE；然后利用AAS可证得△ABC≌△EDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
13．【答案】证明：∵BD、CE是高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据高线的定义可得∠ADB=∠AEC=90°，根据AAS证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE.
14．【答案】（1）证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴AB=DF；
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=FE，
∴BC-EC=FE-EC，
∴EB=CF=BC-EC=9-5=4，
∴BF=BC+CF=9+4=13.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠DEF，根据ASA证明△ABC≌△DFE，可得AB=DF；
（2）由△ABC≌△DFE可得BC=FE， 根据等式的性质可得 EB=CF=BC-EC=4，根据BF=BC+CF 即可求解.
15．【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF.
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1） 由平行线的性质可得∠ADF=∠F，∠A=∠ECF，根据AAS证明△ADE≌△CFE；
（2） 由全等三角形的性质可得AD=CF=4，根据BD=AB-AD即可求解.
16．【答案】（1）证明： 平分 .
又
（2）解： .
又 .
又 .
又 .
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】(1)题目已知∠ADB=∠ADC，AD公共边，所以再由AD平分∠ABC得出∠BAD=∠CAD，根据ASA判定定理证明全等即可；
（2）由（1）△ABD≌△ACD，∠B=∠C=25°，∠BAD=∠CAD=20°，再求出∠ADC=∠ADB=135°即可计算求出∠BDC.
17．【答案】（1）证明：、分别平分和，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
如图，过点作，交于点，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线和三角形的内角和计算求解即可；
（2）先求出AE=EB，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
18．【答案】（1）解：根据题意，如图：
（2）解：EF=EG；
理由如下：如图，
∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，
∴线段EM是△OED的高，也是中线，
∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，
∴OE=DE，
∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG；
（3）解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：
则EH=EF，
∵OE=DE，
∴ED＋EF=OE+EH=OH，
∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，
∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，
∴OD=2EM；∠EHG=45°，
∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，
∴△ODG≌△OHG（AAS），
∴OD=OH，
∴ED＋EF＝2EM．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：EF=EG，欲证明EF=EG，只要证明∠EFG=∠EGF=67.5°即可；
（3）过点G作OD的垂线，垂足为N，证明GN=EG=EF，ON=OE=ED，可得结论。
1 / 12022年浙教版数学八年级上学期第1章 三角形的初步知识 单元测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·遵义期末）若一个三角形的两条边的长为5和7，那么第三边的长可能是（ ）
A．2 B．10 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，则7-5＜x＜7+5，即2＜x＜12.
只有选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答.
2．（2021八上·大埔期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，点P(-3，0)在y轴上
B．在一次函数y= -2x+3中，y随着x的增大而增大
C．同旁内角互补
D．若，则x+y=-1
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.在平面直角坐标系中，点P(-3，0)在x轴上，故此选项不符合题意；
B.在一次函数y= -2x+3中，k=-2<0，y随着x的增大而减小，故此选项不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，故此选项不符合题意；
D.若，则，且，故x=2，y=-3，x+y=-1，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系，一次函数的性质，同旁内角，二次根式的性质对每个选项一一判断即可。
3．（2021八上·胶州期末）下列语句是命题的是（ ）
A．垃级分类是一种生活时尚 B．今天，你微笑了吗？
C．多彩的青春 D．一起向未来
【答案】A
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：A. 垃级分类是一种生活时尚，对问题作出了判断，是命题，符合题意；
B. 今天，你微笑了吗？是疑问句，不是命题，不符合题意；
C. 多彩的青春，是描述性语言，不是命题，不符合题意；
D. 一起向未来，是描述性语言，不是命题，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据命题的定义逐项判断即可。
4．（2021八上·红桥期末）如图，≌，和是对应角，和是对应边，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵≌，和是对应角，和是对应边，
∴，，
∴，
∴选项A、B、C不符合题意，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的性质求解即可。
5．（2021八上·海淀期末）如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，
∵，
∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，
故答案为：C．
【分析】先求出BC=CE，∠ACB=∠DCE，再求出∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，最后计算求解即可。
6．（2021八上·长沙期末）如图，△ABC中， ，∠CAB的角平分线AD交BC于D， 于E， ，且 ，则BC的长是（ ）
A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴CD=DE=2，
又∵ ，
∴BC=BD+CD=4+2=6（cm）；
故答案为：A.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE=2，根据BC=BD+CD即可求解.
7．（2021八上·永定期末）如图，若AB=AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A． B．BD=CE C． D．∠AEB=∠ADC
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、根据ASA（∠A=∠A，∠C=∠B，AB=AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；
B、∵AB=AC，BD=CE，∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE，
则根据SAS（∠A=∠A，AB=AC，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；
C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意；
D、根据AAS（∠A=∠A，∠AEB=∠ADC，AB=AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】已知AB=AC，∠A=∠A，要使△ABE≌△ACD，可根据ASA、SAS、AAS进行逐一判断即可.
8．（2021八上·灌阳期末）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7，3，4 B．5，6，12 C．3，4，5 D．1，2，3
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
9．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知EF是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CD=AD，由于△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，据此即得结论.
10．（2021八上·瑞安期中）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.
故答案为：C.
【分析】由题意可得点P为AB的垂直平分线与BC的交点，据此判断.
二、解答题
11．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠FGH=∠HDC=90°，根据对顶角的性质可得∠FHG=∠CHD，结合内角和定理可得∠F=∠C，然后证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
12．（2021八上·淳安期末）在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
【答案】解：如选①∠C＝∠F，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴∠EDF＝∠CBA
∵AD＝BE
∴AB＝DE
在△ABC和△EDF中
∠C＝∠F，∠EDF＝∠CBA，AB＝DE
∴△ABC≌△EDF（AAS）
∴FE＝AC
如选②∠A＝∠E，证明依据为ASA；
如选③DF＝CB，证明依据为SAS；
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】选①∠C＝∠F，利用等角的补角相等，可证得∠EDF＝∠CBA，由AD＝BE可推出AB＝DE；然后利用AAS可证得△ABC≌△EDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
13．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高.求证：BD＝CE.
【答案】证明：∵BD、CE是高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据高线的定义可得∠ADB=∠AEC=90°，根据AAS证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE.
14．（2022八上·上思期末）如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DE，AC＝DE，∠A＝∠D.
（1）求证：AB＝DE；
（2）若BC＝9，EC＝5，求BF的长.
【答案】（1）证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴AB=DF；
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=FE，
∴BC-EC=FE-EC，
∴EB=CF=BC-EC=9-5=4，
∴BF=BC+CF=9+4=13.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠DEF，根据ASA证明△ABC≌△DFE，可得AB=DF；
（2）由△ABC≌△DFE可得BC=FE， 根据等式的性质可得 EB=CF=BC-EC=4，根据BF=BC+CF 即可求解.
15．（2021八上·宁波期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
（1）求证：△ADE≌△CFE.
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF.
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1） 由平行线的性质可得∠ADF=∠F，∠A=∠ECF，根据AAS证明△ADE≌△CFE；
（2） 由全等三角形的性质可得AD=CF=4，根据BD=AB-AD即可求解.
16．（2021八上·嘉兴期末）如图，AD平分 .
（1）求证： ：
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明： 平分 .
又
（2）解： .
又 .
又 .
又 .
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】(1)题目已知∠ADB=∠ADC，AD公共边，所以再由AD平分∠ABC得出∠BAD=∠CAD，根据ASA判定定理证明全等即可；
（2）由（1）△ABD≌△ACD，∠B=∠C=25°，∠BAD=∠CAD=20°，再求出∠ADC=∠ADB=135°即可计算求出∠BDC.
17．（2021八上·芜湖期末）如图1，在△ABC中，BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CF相交于D点．
（1）求证：∠BDC=90°+；
（2）如图2，若∠A＝∠ABE，求证：EB+EC＝BC+BF．
【答案】（1）证明：、分别平分和，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
如图，过点作，交于点，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线和三角形的内角和计算求解即可；
（2）先求出AE=EB，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
18．（2021八上·延庆期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想EF和EG的数量关系并证明；
（3）求证：ED＋EF＝2EM．
【答案】（1）解：根据题意，如图：
（2）解：EF=EG；
理由如下：如图，
∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，
∴线段EM是△OED的高，也是中线，
∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，
∴OE=DE，
∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG；
（3）解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：
则EH=EF，
∵OE=DE，
∴ED＋EF=OE+EH=OH，
∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，
∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，
∴OD=2EM；∠EHG=45°，
∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，
∴△ODG≌△OHG（AAS），
∴OD=OH，
∴ED＋EF＝2EM．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：EF=EG，欲证明EF=EG，只要证明∠EFG=∠EGF=67.5°即可；
（3）过点G作OD的垂线，垂足为N，证明GN=EG=EF，ON=OE=ED，可得结论。
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