2022年浙教版数学九年级上学期第1章 二次函数 单元测试

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2022年浙教版数学九年级上学期第1章 二次函数 单元测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·澄海期末）如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．或
2．（2021九上·舟山期末）抛物线y＝2x2＋1的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴
3．（2021九上·遂宁期末）抛物线 的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·南充期末）将二次函数 的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·南京期末）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝x2－2x的图象先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·邗江期末）函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
7．（2021九上·荔湾期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（　　）
A．若y4＞y3，则a＞0 B．对称轴不可能是直线x＝2.7
C．y1＜y4 D．3a+b＜0
8．（2021九上·澄海期末）已知抛物线经过A（-2，），B（-1，），C（1，）三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021九上·海州期末）二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
10．（2021九上·莱芜期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·邗江期末）已知抛物线y=2x2-x-1，与 轴的一个交点为（m， 0），则代数式-4m2+2m+2022的值为　 　.
12．（2021九上·邗江期末）如图是二次函数y=-x2+bx+c的部分图象，若 ，则x的取值范围是　 　.
13．（2021九上·廉江期末）已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是　 　．（填写序号）
14．（2021九上·舟山期末）将抛物线 向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是　 　。
15．（2021九上·肃州期末）抛物线 的顶点坐标是　 　.
16．（2021九上·历下期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·白云期末）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式．
18．（2021九上·铁西期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+c（c是常数）的图象与x轴只有一个交点，求c的值及这个交点的坐标．
19．（2021九上·临江期末） 已知二次函数y＝x2﹣mx+2m﹣4
证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点
20．（2021九上·舟山期末）某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售猕猴桃，已知猕猴桃的成本价格为8元／kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元／kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，销售单价不低于成本价且不高于24元／kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）.
x（元／kg） 9 10 11
y(kg) 2100 2000 1900
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利w最大？最大利润为多少元？
21．（2021九上·舟山期末）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1,0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
22．（2021九上·鄂城期末）如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
23．（2021九上·潮安期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与y轴交于点C，连接BC，点N是第一象限抛物线上一点，连接NA，交y轴于点E，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段AN的长；
（3）若点M在第三象限抛物线上，连接MN，，则这时点M的坐标为　 　（直接写出结果）．
24．（2021九上·长沙期末）在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”.
（1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】 抛物线经过原点，
令 ，则 ，解得 ；
由图可知，抛物线的开口向下，
，
抛物线．
故答案为：A
【分析】先求出，再求出，最后求抛物线的解析式即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得：a=2，b=0
对称轴为即y轴
故答案为：D.
【分析】由二次函数解析式，得出a，b的值，根据抛物线对称轴公式，得出结果。
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线
的顶点坐标是
故答案为：A.
【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由二次函数
的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是
；
故答案为：D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将函数y＝x2－2x的图象先沿x轴翻折，
∴翻折后的解析式为 ，
∵函数图象再向上平移5个单位长度，
∴解析式为： ；
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用-y代替函数y=x2-2x中的y可得函数沿x轴翻折后的解析式，然后结合“上加下减”的平移规律进行解答.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象的对称轴为直线x=
，a=-1<0，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），-1<1<2，
∴y1＞y2，
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数的解析式求出对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此进行比较.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当时，抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
若，时，，不符合题意；
B、当对称轴为直线时，，
若则，不符题意，
若则，正确，
不符合题意；
C、若，当抛物线对称轴为直线时，，
对称轴直线时满足题意，
此时，
，
若，当抛物线对称轴为直线时，，
当时，符合题意；
D、，
，
，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断。
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线，则开口向上，对称轴为，
由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，
A（-2，），B（-1，），C（1，）到对称轴的距离分别为，
所以，
故答案为：A
【分析】先求出抛物线，则开口向上，对称轴为，再根据函数图象的性质比较大小即可。
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：
二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴没有交点.
故答案为：A.
【分析】首先根据△=b2-4ac求出△的值，然后根据其结果的正负即可判断出函数图象与x轴的交点个数.
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故答案为：C．
【分析】逐项分析，根据二次函数的图像的开口方向一级对称轴于y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图像经过的象限，再与函数图像进行对比即可得出结论。
11．【答案】2020
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2-x-1，与
轴的一个交点为（m， 0），
∴0=2m2-m-1，
∴2m2-m=1，
∴-4m2+2m=-2，
代数式-4m2+2m+2022的值为-2+2022=2020.
故答案为：2020.
【分析】将（m，0）代入y=2x2-x-1中可得2m2-m=1，然后求出-4m2+2m的值，接下来代入待求式中计算即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-1，0）和（5，0），
∴ 时，x的取值范围为
.
故答案为：
.
【分析】首先根据抛物线的对称性求出图像与x轴的另一个交点的坐标，然后找出图像在x轴上或x轴上方部分所对应的x的范围即可.
13．【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．
故①结论符合题意；
②对称轴为：．
故②结论符合题意；
③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2，
故③结论不符合题意；
④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
故④结论符合题意．
故答案是：①②④．
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答。
14．【答案】y=x2+3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由 抛物线 向上平移3个单位 ，得到 y=x2+3
故答案为： y=x2+3
【分析】由图像向上平移b个单位，则，从而得出结果。
15．【答案】(2，5)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标是（2，5）.
故答案为：（2，5）.
【分析】抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
16．【答案】x1＝-1，x2＝5
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：x1＝-1，x2＝5
故答案为：x1＝-1，x2＝5
【分析】设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x，根据二次函数图象的对称性可求出方程的解。
17．【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点，，代入解析式，再利用待定系数法求解二次函数即可。
18．【答案】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将抛物线与x轴的交点个数问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可。
19．【答案】证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】令y=0得出一元二次方程x2-mx+2m-4=0，求出根的判别式△≥0，得出方程有实数根，即可证出该函数图象与x轴总有交点.
20．【答案】（1）解：设y=kx+b
则
∴
∴
（2）解：由题意得：
∴对称轴为x=19
∵，a=-100<0
∴当x=19，即 销售单价定为19时，销售这种猕猴桃日获利w最大，最大利润为12100元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由待定系数法，得出结果。
（2）由二次函数配方法，得出，从而得出结果。
21．【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
（2）解：-1＜x＜3
（3）解：①当时
当x=a+1时，y取到最小值，最小值为
∴
②当时
当x=1时，y取到最小值，最小值为
∴a=-1（舍）
③当时
当x=a时，y取到最小值，最小值为
∴
综上所述：a= 或a=
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】（1）由对称轴和与x轴交点坐标，得出结果。
（2）由与x轴交点坐标，根据图像，得出结果。
（3）由x的取值范围能否包括对称轴，进行分类讨论，在每一种情况下，根据图形的单调性，得出方程，得出结果。
22．【答案】（1）解： 轴，点 ，
，
又∵抛物线经过 ，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：设点 ，则点 ，
∴
，
∴ 时， ；
（3）解：线段 与 能相互平分.理由如下：如图，连接
∵线段 与 相互平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ 或
当 时，则
为 的中点，
∴点E的坐标为
当 时， 则
为 的中点，
∴点E的坐标为
∴点E的坐标为 或 .
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据AB⊥x轴可得点A、B的横坐标均为-4，将x=-4代入y=x中求出y，据此可得点A的坐标，将点A的坐标及（-2，5）代入y=ax2+bx中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（t，-t2-t），则D（t，t），表示出PD，然后根据三角形的面积公式可得S，接下来结合二次函数的性质可得S的最大值；
（3）连接BD，则四边形ABDP是平行四边形，得到PD=AB，据此可得t的值，进而得到点D的坐标，然后由E为AD的中点就可得到点E的坐标.
23．【答案】（1）解：把，代入得：
，解得，
故抛物线的表达式为．
（2）解：令，得，
∴，．
∵，
∴．
∵，
，
∴≌．
∴，
∴．
设直线AN的解析式为，
把，代入得：，
解得，
故直线AN的解析式为．
由，
解得，．
故点．
过点N作轴于点D，则，，
根据勾股定理得：．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）设的外接圆为圆R，
过点R作轴于点G，过点M作的延长线于点H，连接AR，MR，NR．
当时，则，设圆心R的坐标为，
∵，，∴，
∵，，
∴≌（AAS），
∴，，
∴点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得：④，
由题意得：，即⑤，
联立④⑤并解得：，
故点．
【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx-3中可得a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得C（0，-3），则OC=3，根据点A的坐标可得OA=3，则OA=OC，证明△AEO≌△CBO，得到OE=OB=1，据此可得点E的坐标，然后求出直线AN的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，课程点N的坐标，过点N作ND⊥x轴于点D，则可得ND，AD，然后利用勾股定理求解即可；
（3）设△AMN的外接圆为圆R，过点R作GH⊥x轴于点G，过点M作MH⊥GR的延长线于点H，连接AR，MR，NR，当∠ANM=45°时，∠ARM=90°，设圆心为（m，n），易证△AGR≌△RHM，得到AG=m+3=RH，RG=-n=MH，表示出点M的坐标，代入抛物线解析式中可得m与n的关系式，根据AR=NR可得m与n的关系式，联立求解可得m、n的值，据此可得点M的坐标.
24．【答案】（1）解：由题意得 ，整理得 ，
∵ ＜0，
∴直线 与函数 没有交点，
∴直线 不是函数 的“联络直线”
（2）解：设“联络直线”的解析式为 ，
，整理可得 ，
∵直线 与函数G的图象有且只有一个交点P
∴ ，
∴ ；
把“联络点” 代入 得 ，
解得 ，进而可得 ，
∴“联络直线”的解析式为 ；
（3）解：由 ，令x = 0，可得 ，
∴点C为 ；
∵点M，N在函数 ，直线 恰好经过M、N两点
∴ ，
∴
∴ ， ；
设P ， ，
则 ， ，
∴ ，
即 ，
∴
即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
整理可得 ，
∴ .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）联立反比例函数与直线解析式并消去y可得x2-x+1=0，则△=b2-4ac<0，然后利用 “联络直线”的概念进行判断；
（2）设 “联络直线”的解析式为y=kx+b，联立反比例函数解析式并消去y可得关于x的一元二次方程，根据△=0可表示出k，将（3，4）代入y=kx+b中可求出k、b的值，据此可得“联络直线”的解析式；
（3） 易得C（0，-3a），联立二次函数与直线解析式并结合根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，设P（0，m），M（x1，kx1-1），N（x2，kx2-1），表示出直线PM、PN的解析式，联立二次函数与直线PM的解析式并结合△=0可得x1+x2，x1x2，据此解答.
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2022年浙教版数学九年级上学期第1章 二次函数 单元测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·澄海期末）如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】 抛物线经过原点，
令 ，则 ，解得 ；
由图可知，抛物线的开口向下，
，
抛物线．
故答案为：A
【分析】先求出，再求出，最后求抛物线的解析式即可。
2．（2021九上·舟山期末）抛物线y＝2x2＋1的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得：a=2，b=0
对称轴为即y轴
故答案为：D.
【分析】由二次函数解析式，得出a，b的值，根据抛物线对称轴公式，得出结果。
3．（2021九上·遂宁期末）抛物线 的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线
的顶点坐标是
故答案为：A.
【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标.
4．（2021九上·南充期末）将二次函数 的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由二次函数
的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是
；
故答案为：D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
5．（2021九上·南京期末）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝x2－2x的图象先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将函数y＝x2－2x的图象先沿x轴翻折，
∴翻折后的解析式为 ，
∵函数图象再向上平移5个单位长度，
∴解析式为： ；
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用-y代替函数y=x2-2x中的y可得函数沿x轴翻折后的解析式，然后结合“上加下减”的平移规律进行解答.
6．（2021九上·邗江期末）函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象的对称轴为直线x=
，a=-1<0，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），-1<1<2，
∴y1＞y2，
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数的解析式求出对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此进行比较.
7．（2021九上·荔湾期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（　　）
A．若y4＞y3，则a＞0 B．对称轴不可能是直线x＝2.7
C．y1＜y4 D．3a+b＜0
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当时，抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
若，时，，不符合题意；
B、当对称轴为直线时，，
若则，不符题意，
若则，正确，
不符合题意；
C、若，当抛物线对称轴为直线时，，
对称轴直线时满足题意，
此时，
，
若，当抛物线对称轴为直线时，，
当时，符合题意；
D、，
，
，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断。
8．（2021九上·澄海期末）已知抛物线经过A（-2，），B（-1，），C（1，）三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线，则开口向上，对称轴为，
由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，
A（-2，），B（-1，），C（1，）到对称轴的距离分别为，
所以，
故答案为：A
【分析】先求出抛物线，则开口向上，对称轴为，再根据函数图象的性质比较大小即可。
9．（2021九上·海州期末）二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：
二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴没有交点.
故答案为：A.
【分析】首先根据△=b2-4ac求出△的值，然后根据其结果的正负即可判断出函数图象与x轴的交点个数.
10．（2021九上·莱芜期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故答案为：C．
【分析】逐项分析，根据二次函数的图像的开口方向一级对称轴于y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图像经过的象限，再与函数图像进行对比即可得出结论。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·邗江期末）已知抛物线y=2x2-x-1，与 轴的一个交点为（m， 0），则代数式-4m2+2m+2022的值为　 　.
【答案】2020
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2-x-1，与
轴的一个交点为（m， 0），
∴0=2m2-m-1，
∴2m2-m=1，
∴-4m2+2m=-2，
代数式-4m2+2m+2022的值为-2+2022=2020.
故答案为：2020.
【分析】将（m，0）代入y=2x2-x-1中可得2m2-m=1，然后求出-4m2+2m的值，接下来代入待求式中计算即可.
12．（2021九上·邗江期末）如图是二次函数y=-x2+bx+c的部分图象，若 ，则x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-1，0）和（5，0），
∴ 时，x的取值范围为
.
故答案为：
.
【分析】首先根据抛物线的对称性求出图像与x轴的另一个交点的坐标，然后找出图像在x轴上或x轴上方部分所对应的x的范围即可.
13．（2021九上·廉江期末）已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是　 　．（填写序号）
【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．
故①结论符合题意；
②对称轴为：．
故②结论符合题意；
③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2，
故③结论不符合题意；
④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
故④结论符合题意．
故答案是：①②④．
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答。
14．（2021九上·舟山期末）将抛物线 向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是　 　。
【答案】y=x2+3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由 抛物线 向上平移3个单位 ，得到 y=x2+3
故答案为： y=x2+3
【分析】由图像向上平移b个单位，则，从而得出结果。
15．（2021九上·肃州期末）抛物线 的顶点坐标是　 　.
【答案】(2，5)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标是（2，5）.
故答案为：（2，5）.
【分析】抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
16．（2021九上·历下期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　．
【答案】x1＝-1，x2＝5
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：x1＝-1，x2＝5
故答案为：x1＝-1，x2＝5
【分析】设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x，根据二次函数图象的对称性可求出方程的解。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·白云期末）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点，，代入解析式，再利用待定系数法求解二次函数即可。
18．（2021九上·铁西期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+c（c是常数）的图象与x轴只有一个交点，求c的值及这个交点的坐标．
【答案】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将抛物线与x轴的交点个数问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可。
19．（2021九上·临江期末） 已知二次函数y＝x2﹣mx+2m﹣4
证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点
【答案】证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】令y=0得出一元二次方程x2-mx+2m-4=0，求出根的判别式△≥0，得出方程有实数根，即可证出该函数图象与x轴总有交点.
20．（2021九上·舟山期末）某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售猕猴桃，已知猕猴桃的成本价格为8元／kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元／kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，销售单价不低于成本价且不高于24元／kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）.
x（元／kg） 9 10 11
y(kg) 2100 2000 1900
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利w最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设y=kx+b
则
∴
∴
（2）解：由题意得：
∴对称轴为x=19
∵，a=-100<0
∴当x=19，即 销售单价定为19时，销售这种猕猴桃日获利w最大，最大利润为12100元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由待定系数法，得出结果。
（2）由二次函数配方法，得出，从而得出结果。
21．（2021九上·舟山期末）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1,0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
（2）解：-1＜x＜3
（3）解：①当时
当x=a+1时，y取到最小值，最小值为
∴
②当时
当x=1时，y取到最小值，最小值为
∴a=-1（舍）
③当时
当x=a时，y取到最小值，最小值为
∴
综上所述：a= 或a=
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】（1）由对称轴和与x轴交点坐标，得出结果。
（2）由与x轴交点坐标，根据图像，得出结果。
（3）由x的取值范围能否包括对称轴，进行分类讨论，在每一种情况下，根据图形的单调性，得出方程，得出结果。
22．（2021九上·鄂城期末）如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解： 轴，点 ，
，
又∵抛物线经过 ，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：设点 ，则点 ，
∴
，
∴ 时， ；
（3）解：线段 与 能相互平分.理由如下：如图，连接
∵线段 与 相互平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ 或
当 时，则
为 的中点，
∴点E的坐标为
当 时， 则
为 的中点，
∴点E的坐标为
∴点E的坐标为 或 .
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据AB⊥x轴可得点A、B的横坐标均为-4，将x=-4代入y=x中求出y，据此可得点A的坐标，将点A的坐标及（-2，5）代入y=ax2+bx中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（t，-t2-t），则D（t，t），表示出PD，然后根据三角形的面积公式可得S，接下来结合二次函数的性质可得S的最大值；
（3）连接BD，则四边形ABDP是平行四边形，得到PD=AB，据此可得t的值，进而得到点D的坐标，然后由E为AD的中点就可得到点E的坐标.
23．（2021九上·潮安期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与y轴交于点C，连接BC，点N是第一象限抛物线上一点，连接NA，交y轴于点E，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段AN的长；
（3）若点M在第三象限抛物线上，连接MN，，则这时点M的坐标为　 　（直接写出结果）．
【答案】（1）解：把，代入得：
，解得，
故抛物线的表达式为．
（2）解：令，得，
∴，．
∵，
∴．
∵，
，
∴≌．
∴，
∴．
设直线AN的解析式为，
把，代入得：，
解得，
故直线AN的解析式为．
由，
解得，．
故点．
过点N作轴于点D，则，，
根据勾股定理得：．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）设的外接圆为圆R，
过点R作轴于点G，过点M作的延长线于点H，连接AR，MR，NR．
当时，则，设圆心R的坐标为，
∵，，∴，
∵，，
∴≌（AAS），
∴，，
∴点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得：④，
由题意得：，即⑤，
联立④⑤并解得：，
故点．
【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx-3中可得a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得C（0，-3），则OC=3，根据点A的坐标可得OA=3，则OA=OC，证明△AEO≌△CBO，得到OE=OB=1，据此可得点E的坐标，然后求出直线AN的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，课程点N的坐标，过点N作ND⊥x轴于点D，则可得ND，AD，然后利用勾股定理求解即可；
（3）设△AMN的外接圆为圆R，过点R作GH⊥x轴于点G，过点M作MH⊥GR的延长线于点H，连接AR，MR，NR，当∠ANM=45°时，∠ARM=90°，设圆心为（m，n），易证△AGR≌△RHM，得到AG=m+3=RH，RG=-n=MH，表示出点M的坐标，代入抛物线解析式中可得m与n的关系式，根据AR=NR可得m与n的关系式，联立求解可得m、n的值，据此可得点M的坐标.
24．（2021九上·长沙期末）在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”.
（1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长.
【答案】（1）解：由题意得 ，整理得 ，
∵ ＜0，
∴直线 与函数 没有交点，
∴直线 不是函数 的“联络直线”
（2）解：设“联络直线”的解析式为 ，
，整理可得 ，
∵直线 与函数G的图象有且只有一个交点P
∴ ，
∴ ；
把“联络点” 代入 得 ，
解得 ，进而可得 ，
∴“联络直线”的解析式为 ；
（3）解：由 ，令x = 0，可得 ，
∴点C为 ；
∵点M，N在函数 ，直线 恰好经过M、N两点
∴ ，
∴
∴ ， ；
设P ， ，
则 ， ，
∴ ，
即 ，
∴
即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
整理可得 ，
∴ .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）联立反比例函数与直线解析式并消去y可得x2-x+1=0，则△=b2-4ac<0，然后利用 “联络直线”的概念进行判断；
（2）设 “联络直线”的解析式为y=kx+b，联立反比例函数解析式并消去y可得关于x的一元二次方程，根据△=0可表示出k，将（3，4）代入y=kx+b中可求出k、b的值，据此可得“联络直线”的解析式；
（3） 易得C（0，-3a），联立二次函数与直线解析式并结合根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，设P（0，m），M（x1，kx1-1），N（x2，kx2-1），表示出直线PM、PN的解析式，联立二次函数与直线PM的解析式并结合△=0可得x1+x2，x1x2，据此解答.
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