2.4有理数的除法 同步练习（含答案）

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2.4有理数的除法浙教版初中数学七年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
的倒数是( )
A. B. C. D.
如图，数轴上，两点对应的数分别是和，对于以下四个式子：；；；，其中值为负数的是( )
A. B. C. D.
设为最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的数，是倒数等于自身的有理数，则的值为( )
A. ； B. ； C. 或； D. 或；
如图，数轴上，两点的位置如图所示，则下列说法中，能判断原点一定位于、之间的是( )
A. B. C. D. 、互为倒数
已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，则的值是( )
A. B. C. D.
若规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
有理数在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个结论正确的是( )
A. B. C. D.
下列说法正确的是( )
一个数的绝对值一定是正数；
若，，则，异号且正数的绝对值大于负数的绝对值；
当时，一定是负数；
；
任何有理数都有倒数．
A. B. C. D.
对于有理数，，若，则的值是( )
A. B. C. D.
若，则的取值可能是．( )
A. B. 或 C. D. 或
在任何两个互为相反数的数的商为；任何一个不是的正数都大于它的倒数；若，则；若，则中，正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知有理数，在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
九章算术之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十”粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米”问题：有斗的粟斗升，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为 升．
若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是______．
已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么 ．
是不为的数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数为，的差倒数是；已知，是的差倒数，是的差倒数．是差倒数，依此类推，则______．
三、解答题（本大题共7小题，共56分）
小华在课外书中看到这样一道题：
计算：．
他发现，算式最后结果是求和，而两个加数之间有一定的关系，利用这种关系，他顺利地解决了问题．
前后两个加数之间存在着什么关系
先计算哪部分比较简便并请计算比较简便的那部分
利用中的关系，直接写出另一部分的结果
根据以上分析，求出原式的结果．
在到这个数中，任找个不同的数，使其倒数之和等于现已有个数，为和，再写出另外的个数即可．
在数的学习过程中，一些具有某种特性的数总能引起人们的注意，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数“正衡数”定义，对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与个位数字之和被十位数字除后余，则称这个自然数为“正衡数”例如：是“正衡数”，因为，，都不为，且，被除余；不是“正衡数”，因为，被除余，不是．
判断：________“正衡数”，________“正衡数”填“是”或“不是”；
以内，个位数字比百位数字大的所有“正衡数”为______________；
求出十位数字为且被整除的所有“正衡数”．
冰墩墩和雪容融放学后一起回家，下面是他们走了一段路程后的对话：
请根据他们的对话内容，解答问题：
如果他们行走的速度不变，则冰墩墩和雪容融先到家的是______
A.冰墩墩雪容融无法确定
如果雪容融家距离学校，那么冰墩墩再走多少米就能到家？
小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小聪把记作，记作．
直接写出计算结果，______，______；
关于“有理数的除方”下列说法正确的是______填序号
；
；
对于任何正整数，都有；
对于任何正整数，都有．
小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式为正整数，，，要求写出推导过程将结果写成幂的形式；结果用含，的式子表示
请利用问的推导公式计算：
我们知道，，显然与的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为．
故原式．
请你仿照这种方法计算：．
在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究．
提出问题两个有理数、满足、同号，求的值．
解：若、都是正数，即，，，，则；
若、都是负数，即，，有，，则，
所以的值为或．
探究请根据上面的解题思路解答下面的问题：
两个有理数、满足、异号，求的值；
已知，，，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．倒数的定义：一个数与另一个数相乘，所得的积为，那么这两个数互为倒数．
本题考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了数轴的特征和应用，也考查了绝对值，有理数的加法，减法，除法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、的取值范围．
根据图示，可得，，据此逐项判断即可．
【解答】
解：根据图示，可得，，
；
；
；
．
故其中值为负数的是．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了对有理数的认识、绝对值的性质、倒数的定义知识解答的关键是弄清：最小的正整数是，最大的负整数是，绝对值最小的数是，倒数等于自身的有理数根据题意分别求出，，、的值，由的值有两解，故分两种情况代入所求式子，即可求出值．
【解答】
解：为最小的正整数，；
是最大的负整数，；
是绝对值最小的数，；
是倒数等于自身的有理数，．
当时，；
当时，，
则的值或．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．
由题意可知，，根据实数的乘法法判断即可．
【解答】
解：、原点可能位于、之间，原点也可能位于的左边，故本选项错误；
B、．与异号，原点一定位于、之间，故本选项正确；
C、原点可能位于、之间，原点也可能位于的左右边，故本选项错误；
D、不是互为倒数，故本选项错误，
故选：
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是倒数，数式规律问题的有关知识，根据题意可以写出前几项，然后即可发现数字的变化规律，然后即可求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了有理数的混合运算，正确理解题意，理解运算的定义是关键．根据运算的定义，可以把和写成连乘积的形式，然后约分即可求解．
【解答】
解：原式
．
故选C．

7.【答案】
【解析】解：由在数轴上的位置可得，，，且，
，，，，
故选：。
根据在数轴上的位置，判断的符号和绝对值，进而得出这两个数的和、差、积、商的符号。
本题考查数轴表示数的意义，有理数的加、减、乘、除的计算方法，掌握计算法则是正确判断的前提，确定的符号和绝对值是关键。
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数乘法、正负数、绝对值、倒数、有理数加法，熟练掌握有理数乘法、有理数加法法则及绝对值、倒数的性质应用，在本题中起到关键作用．
的绝对值是，它不是正数；
正确；
结论漏等号；
原题不知道的取值范围；
是有理数，但它没有倒数．
【解答】
解：的绝对值是，它不是正数，错误；
，，，异号且正数的绝对值大于负数的绝对值，正确；
当时，，错误；
当时，，错误；
是有理数，但它没有倒数，错误；
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查有理数的除法、绝对值的计算，正确确定，的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键．先判断绝对值里面的式子的正负再计算．
【解答】
解：，
，异号．
，
，，
原式．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了绝对值的定义及有理数的除法法则．由于、为非零的有理数，则有种情况要考虑到，用到了分类讨论的思想．由于、为非零的有理数，根据有理数的分类，、的值可以是正数，也可以是负数．那么分三种情况分别讨论：两个数都是正数；两个数都是负数；其中一个数是正数另一个是负数，针对每一种情况，根据绝对值的定义，先去掉绝对值的符号，再计算即可．
【解答】
解：分种情况：
两个数都是正数；
，
两个数都是负数；
，
其中一个数是正数另一个是负数，
所以，原式．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相反数，倒数，有理数的比较大小，利用作差法比较大小是解题的关键．
根据不能当除数排除；根据的倒数是排除；根据倒数的性质比较大小即可；由有理数的倒数的性质即可得出结论．
【解答】
解：的相反数是，但是不能当除数，故错误；
的倒数是，但，故错误；
由倒数的性质，可得若，则，故正确；
若，则它的倒数大于且小于，
即，故正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特点并判断出、的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的加减法法则以及乘除法法则对各选项分析判断后利用排除法求解。
【解答】
解：由图可知，，且，
A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意。
故选：。
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查有理数的乘除法的实际应用，根据题意列出算式是解题关键根据题意列出算式，再按照法则计算即可．
【解答】
解：根据题意得：
升，
答：可以换得的粝米为升．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：的负倒数为：．
故答案为．
根据互为负倒数的定义可知，用即可得到的负倒数．
本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了有理数大小比较以及有理数的乘除法，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
原式根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】
解：根据题意得：原式．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字变化的特点，根据题意可以写出前几个数，从而可以发现数字的变化规律，进而求得的值．
【解答】
解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
17.【答案】解：前后两个加数互为倒数
先计算后一部分比较方便，
．
因为前后两部分互为倒数，则 ．
根据分析，原式．

【解析】
【分析】
本题主要考查倒数，有理数的混合运算，发现与互为倒数，利用倒数定义求解
18.【答案】解：
，
这个数可以是：、、、、、、、、、答案不唯一．
【解析】在平常的解题过程中，经常见到类似于的变形，借助这一特点来求解．
本题考查了倒数，解此题的关键是能够运用类似于的变形．
19.【答案】是，不是；
；
此数十位数为，
各位数字都不为，且百位数字与个位数字之和被十位数字除后余，
此数百位加个位为，，，
此数能被整除，
此数百位加加个位能被整除，
此数百位加个位为，
十位数字为且被整除的所有“正衡数”有：，，，，，；
【解析】
【分析】
本题考查了正衡数的定义和整除的性质，解题关键了解正衡数的定义．
根据正衡数的定义即可求解；
根据已知条件和正衡数的定义即可求解；
根据已知条件和正衡数的定义结合该数能被整除即可求解．
【解答】
解：，
被除余，
是“正衡数”，
，
被除余，不余，
不是“正衡数”；
故答案为是，不是；
假设百位为，
个位数字比百位数字大，
个位为，
各位数字都不为，且百位数字与个位数字之和被十位数字除后余，
此数为：，
假设百位为，
个位数字比百位数字大，
个位为，
各位数字都不为，且百位数字与个位数字之和被十位数字除后余，
此数为：，
假设百位为，
个位数字比百位数字大，
个位为，
各位数字都不为，且百位数字与个位数字之和被十位数字除后余，
此数为：，；
故答案为，，，；
见答案；
20.【答案】解：如果他们行走的速度不变，则雪容融先到家，
故选：．
，
，
．
答：冰墩墩再走就能到家．
【解析】此题主要考查了有理数的乘法和除法，关键是正确理解题意，列出算式．
根据题意可得答案；
首先计算出所走的路程，再计算出总路程，然后可得答案．
21.【答案】
【解析】解：，
；
故答案为：；．
，，
，故错误；
，故正确；
对于任何正整数，当为奇数时，；当为偶数时，故错误；
对于任何正整数，为偶数，所以都有，而不是，故错误；
故答案为：．
公式为正整数，，．
．
根据题意计算即可；
分别计算和的结果进行比较即可；
根据题意计算即可判断；
分为为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
为偶数，偶数个相除，结果应为正；
推导为正整数，，，按照题目中的做法推到即可；
按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．
本题考查有理数的除法，是一道规律探究型题目，也是一道新定义型题目，难度适中，熟练掌握有理数的除法法则是解决本题的关键．
22.【答案】解：因为

；
所以．
【解析】先计算的值，再求出它的倒数即可求解．
考查了有理数的除法，解题的关键是理解与的结果互为倒数关系．
23.【答案】解：由、异号，可知：，；，，
当，时，；
当，时，．
综上，的值为；
、、，
，，．
，
，，或，，．
当，，时，
；
当，，时，
综上，的值为或．
【解析】仿照题干中的方法，利用分类讨论的思想分两种情况解答：，；，；
利用绝对值的意义和已知条件求得，，的值，再将，，的值代入计算即可．
本题主要考查了绝对值的意义，数学常识，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．
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