2.5有理数的乘方 同步练习（含答案）

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2.5有理数的乘方浙教版初中数学七年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
若，则的值为( )
A. B. C. D.
对于已知，则( )
A. B. C. D.
若，，且，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
用科学记数法表示，其结果是( )
A. B. C. D.
据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒亿次，数字用科学记数法可简洁表示为( )
A. B. C. D.
中国核能发展报告蓝皮书显示，年我国核能发电量为亿千瓦时，相当于造林万公顷已知公顷平方米，则数据万公顷用科学记数法表示为( )
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
在，，，，，，中，正数的个数为( )
A. B. C. D.
当时，、、的大小顺序是( )
A. B. C. D.
一根米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是 ( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球与太阳之间的平均距离，即，约为。将数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
已知中，三边，，满足，则等于( )
A. B. C. D. 不能确定
下列算式中，运算结果为负数的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知：，则______．
如果，，是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作，根据以上规定，求______．
为了加快网络建设，电信运营企业将根据各自发展规划，今明两年预计完成投资元左右，用科学记数法表示为______元．
科学家发现某种细菌的分裂能力极强，这种细菌每分钟可由个分裂成个，将一个细菌放在培养瓶中经过分钟就能分裂满一瓶．如果将个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，那么经过______分钟就能分裂满一瓶．
三、解答题（本大题共7小题，共56分）
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若，求、的值．
解：，
，
，
，，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
已知，求______，______；
已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的值；
若，，试比较与的大小关系，并说明理由．
已知，，均为有理数，求值
利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例分解因式：
例求代数式的最小值：
又
当时，代数式有最小值，最小值是．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
分解因式：；
当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值；
已知的三边长、、都是正整数，且满足，求周长的最大值．
我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
探究：____________；
求的最小值．
比较代数式：与的大小．
阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
已知，，求的值；
当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成为整数的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”．
解决问题：
已知是“完美数”，请将它写成为整数的形式；
若可配方成为常数，则______；
探究问题：已知，求的值．
已知是整数，是常数，要使为“完美数”，试求出的值．
我们可以用以下方法求代数式的最小值．
当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
求代数式的最小值；
求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时的值；
求证：无论和取任何实数，代数式的值都是正数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故选：．
根据非负数的性质列方程求出、的值，然后相加计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
2.【答案】
【解析】解：，
．
．
，，
，，
，，
．
故选：．
先将等式左边配方，再求值．
本题考查配方法的应用，正确配方是求解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
则或，
故选：。
根据有理数的乘方、绝对值的性质分别求出、，根据题意确定、的值，计算即可。
本题考查的是有理数的乘方、绝对值的性质以及有理数的加法，掌握它们的运算法则是解题的关键。
4.【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题．
【解答】
解：用科学记数法表示，其结果是，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数。确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】
解：数字用科学记数法可简洁表示为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：万公顷平方米平方米，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
7.【答案】
【解析】既不属于正数也不属于负数，故不是正数
，，故是正数
，，故是正数
，故为负数
，故为负数
，故为负数
可以为，，即可以为正数也可以为，故不符合要求．
故正数的个数为故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了有理数的大小的比较，当给出未知的字母较小的范围时，可选用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．
【解答】
解：，
令，那么，，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：将数用科学记数法表示为：，
故选：。
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数。确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数。
此题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值。
11.【答案】
【解析】解：中，三边，，满足，
，，
，
三角形是等边三角形，所以．
故选：．
根据非负数的性质列式求解得到，然后选择答案即可．
本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于列式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故选：
本题涉及相反数、绝对值、乘方等知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算。
此题考查了相反数、绝对值、乘方等知识点．注意和的区别是关键。
13.【答案】
【解析】解：根据题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
根据非负数的性质列式求出、，然后相乘即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
14.【答案】
【解析】解：设，
，那么我们规定一种记号，
．
，
．
故答案为：．
利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用有理数乘方的意义解答即可．
本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的乘方，得到将个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用分钟是解题的关键．
通过列举得到将个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用分钟，从而得到答案．
【解答】
解：将个细菌放在培养瓶中分裂次，变成个；
分裂次，变成个；
分裂次，变成个；
将个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用分钟，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：，
，，
解得，．
故答案为：，；
，
，，
解得，，
、、是的三边长，
，
是正整数，
，
的周长；
，理由如下：
，，
，
，
，
．
将的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出，的值；
将的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出，的值，根据三角形的三边关系求出，进而求出周长；
让多项式与作差，结果配方，根据偶次方的非负性判断大小．
本题考查了配方法的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题．
18.【答案】解：，
，
，
，，
解得，，，
则．
【解析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性求出、的值，计算即可．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
19.【答案】解：
；
，
，，
当，时，有最小值，最小值是；
，
，
，
，，
，，
，
，
为正整数，
最大取，
周长的最大值，
周长的最大值为．
【解析】仿照例的解题思路，利用配方法即可解答；
仿照例的解题思路，利用配方法即可解答；
利用配方法可得，再利用偶次方的非负性可求出，的值，然后利用三角形的三边关系求出的最大值，进行计算即可解答．
本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：．
故答案为：，．
，
，
当即时，原式有最小值．
，
，
，
．
根据完全平方式的特征求解．
先配方，再求最值．
作差后配方比较大小．
本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
21.【答案】解：第一种：；
第二种：；
第三种：；
，，
，
，
，
，，
；
，
，
，
，
，
解得．
当，时，代数式的最小值是．
【解析】根据材料中的三种不同形式的配方，“余项“分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；
首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．
本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．
22.【答案】
【解析】解：是“完美数”，
；
，
又，
，，
．
故答案为：；
，
，
，
，，
解得，，
；
当时，是完美数，
理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”．
根据“完美数”的定义判断即可；
利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
配方后根据非负数的性质可得和的值，进行计算即可；
利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
23.【答案】解：，
，
，
当时，有最小值；
解：，
，
，
当时，有最大值；
证明：
，
，，，
，
无论和取任何实数，代数式的值都是正数．
【解析】模仿题干的例题配方，利用平方的非负性即可求解；
将多项式配方，根据平方的非负性求出多项式的最大值；
对多项式进行配方即可证明多项式的值总为正数．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
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