6.9 直线的相交（2）
教学设计思路
通过现实情景引出垂直的概念，再通过实际操作掌握垂线的画法，通过和同学们一起讨论探究得出垂线和垂线段的有关性质。
教学目标
知识与技能
表述垂线、垂线段、点到直线的距离的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；并会度量点到直线的距离；
表述垂线段的性质，并能利用所学知识进行简单的推理。
通过垂线的画法，进一步提高实际动手操作能力
过程与方法
通过实际操作，画出直线的垂线，通过测量讨论得出探究的结果：垂线段最短。
情感态度价值观
从图形变化过程中，树立正确的辩证唯物主义观点；
通过垂线，进一步体会到几何图形的对称美。
教学重点难点
重点：垂线、垂线段的概念和性质；
难点：垂线的判断和性质的理解运用；
解决办法：通过创设情境，引导学生主动发现性质，并运用练习加以巩固。
教学过程
（一）引入
问：什么叫两条直线相交？两条直线相交又可分为几种不同的情况？
垂直是相交线的特殊情况，怎样定义两条直线互相垂直呢？
在相交线的模型（上页练习插图）中，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a、b所成的角也会发生变化。当＝90°时，a与b互相垂直（perpendicuLar）。
（二）新课
1．垂直的概念
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。在图中，AB⊥CD，垂足为O。
注意：
（1）两条直线相交，只要有一个角是直角，即说这两条直线互相垂直。但是，由对顶角的性质可知，两条直线垂直时，相交成的四个角都是直角。
（2）两条直线互相垂直，每一条都叫做另一条的垂线。
符号表示：两条直线互相垂直，怎样用符号和几何语言表示呢？如下图，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”。AB是CD的垂线，也可以说CD是AB 的垂线。它们的交点O叫做垂足。
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的线条。你能再举出其他例子吗
例如：（出示图片）
请同学们找出图中相互垂直的直线，再举一些生活中的例子。
由于定义既可以当性质用，又可以当判定用，因此可以有以下两个方向的推理过程。
（1）已知垂直关系，可得所成的角为90°（性质）．即：
∵AB⊥CD于O（已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
注：写∠AOC=90°、∠COB=90°、∠BOD=90°均可。
（2）已知两直线相交有一个角为90°，可得两直线垂直（判定）。即：
∵∠BOC=90°（已知）
∴AB⊥CD于O（垂直的定义）。
2．垂线的画法
探究1
如下图
（1）用三角尺或量角器画已知直线L的垂线，这样的垂线能画出几条
（2）经过直线L上一点A画L的垂线，这样的垂线能画出几条
（3）经过直线L外一点B画L的垂线，这样的垂线能画出几条
垂线的画法：复习小学用三角板过一点A作直线L的垂线的方法，并简记为“靠直线——过定点——画垂线”。
已知直线AB及AB上的一点C，可用如下方法做图：
示例： 过线段AB的中点O作线段AB的垂线。
步骤：（1）用刻度尺找到AB的中点O；
（2）用三角板作出过O点且垂直于AB的直线L。
谈一谈：
（1）两条直线相交构成四个角，当其中一个角是直角时，另外三个角是不是直角，为什么？
（2）在一张纸片上画出一条直线AB，你能用折纸的方法画出AB的垂线吗？请说明你是如何折纸的。
3．发现垂线的性质
在学生熟练地作出各条垂线之后，教师继续提问：（或以其它形式）过A点还能作出别的垂线吗？
在学生回答的基础上，教师引导学生发现以下两个结论：
①过A点L的垂线有没有，有。
②过A点作L的垂线有几条，只一条。
在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”。
②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以。
总结：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4．例题讲解
例3 如图直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。
解：∵OE⊥AB ∴∠AOE=900
∵∠AOC=∠BOD=450
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=1350
5．随堂练习
（板书或ppt演示）
探究2
如下图，连接直线L外一点P与直线L上各点 O， AL，A2，A3，…，其中PO⊥L（我们称PO为点P到直线L的垂线段）． 比较线段PO，PAL，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短
可以让同学们实际测量一下各个线段的长度，从而总结出那条线段最短。
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中。垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
注意：点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，不能说“垂线段是距离”。
（三）小结：6.9直线的相交（1）
一、教学目标
1.了解相交线和对顶角的概念，会利用概念判定对顶角；
2.探究并理解对顶角的性质；
3.会利用对顶角、余角和补角的性质解决简单的数学问题，并学会用符号语言进行说理；
4.体验几何学习的基本路径（位置关系和数量关系）；
5.体验分类讨论、方程思想解决问题.
二、教学重点与难点
重点：对顶角的识别
难点：例题包含较多性质和说理过程，为本课难点.
三、教学过程
（一）创设情境，引入新课
1.请同学们用直尺画出两条直线.
学生画的可能平行，可能相交，其中不平行但未相交的情况也视为相交，介绍平面上两直线的位置有相交和平行两种.
利用学生作品中两直线相交的图形，指出研究主题：直线的相交.
意图：七年级学生初步接触两直线的位置关系，但有一定的生活经验和数学直觉，拟从学生的角度出发认识新知.
2.现实生活中也存在类似图形，杭州市市民中心附近地图，可以将两条有交叉口的路视为两条相交的直线，这就是本课研究的要点.
意图：体验数学从实际生活中来，渗透用数学的眼光观察事物.
（二）交流对话，探究新知
对于两条直线相交的基本图形，你能得到哪些关于线和角的结论？请学生回答.
学生可能会回答有四个角，有对顶角，对顶角相等等，教师在学生回答的基础上进行分类整理，合理板书.重点落在对顶角的概念，基本图形，对顶角的位置和数量关系，利用对顶角的数量关系求角度等方面.并依此展开新知的交流学习.
意图：对于两条相交的直线，学生有很多模糊的认识，让学生先行，在学生已有的知识基础上进行教学，能充分应用学情处理教材，课堂当中着手解决学生的问题，有利于激起和保持学生的学习兴趣.
1.两条直线相交、交点的概念：
如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交.
该公共点叫做两直线的交点.
介绍作图法，表示法，读法.
意图：学生初步接触几何，要培养良好的几何规范语言和表述习惯.
2.对顶角概念：
两条直线相交，把其中相对的一对角叫做对顶角，如∠1与∠2，∠AOD与∠COB.
整理得到对顶角特征：1.顶点相同；2.角的两边互为反向延长线； 3.是成对出现的.
概念强化：
（1）对地图当中的其他角进行识别，图中的几对角是否对顶角？如果不是，请画出其中一个角的对顶角.
意图：强化对顶角概念，紧扣三个特征进行辨别强化；
一图多用.
（2）说出图1、图2、图3中的对顶角：
图1 图2 图3
意图：
（1）当有多条直线相交时，能继续根据概念识别对顶角；
（2）学会按规律寻找对顶角，避免不重不漏，这也是数学学习中重要的分类讨论思想.
（3）已知两条直线相交，构成2对对顶角，以此为基本图形，可以按另外一种思路判断对顶角的对数，这是一种思维的开拓创新.
3.对顶角性质: 对顶角相等.
问题1：为什么对顶角相等？
学生说理，等角的补角相等.
问题2：对顶角相等有何用途？
和两角互余、互补的性质一起，用于角度的计算，一个角的大小影响另3个角，可衡量直线相交的程度.利用两直线相交的基本图形进行角度计算说明.
性质强化：
（1）已知是对顶角，，则是几度？
已知，则是否对顶角？
小结：对顶角相等（数量上）；相等的角不一定是对顶角（有位置上的要求）.
（2）如图，有两堵墙，小明想测量地面上所形成的∠AOB的度数，
但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请你运用所学的知识
帮他设计一种测量方案.
析：可以利用对顶角或互补的性质，从位置和数量上进行分析.
意图：强化对顶角相等的性质，明确对顶角相等和两角互余互补均可用于求角的度数.
（三）整理新知，形成结构
位置关系 数量关系
对顶角 两个角 顶点相同，角的两边互为反向延长线 相等
互余 两个角 无位置要求 和为90°
互补 两个角 无位置要求 和为180°
根据对顶角和互余、互补的数量关系，可以求得一些角的度数.
意图：类比学习，承前启后.
（四）应用新知，体验成功
例：如图,已知直线AD与BE相交于点O,∠DOE与∠COE互余,
∠COE=62°,求∠AOB的度数.
师生共同分析后，教师指导学生自学课本例题示范.
意图：（1）使学生理解如何利用余角、对顶角的性质解决问题；
（2）初步接触几何，做好规范说理过程的示范；
（3）理解两直线相交时，已知一角可求另三个角的度数.
同步练习：
如图，直线a与b相交于 O，∠1是∠2的3倍，求∠3的度数.
小结：相交线构成的角中，已知一个角的度数，或已知两角的数量关系，都可以求出其余角的大小.
意图：（1）进一步强化说理过程的规范；
（2）理解两直线相交时，已知两角的关系，也能求得相应角的度数.
（五）反思小结，布置作业
1.对顶角的概念，性质；
2.对顶角的特征；
3.正确的说理过程，方程思想；
4.几何图形常见的研究方向：位置关系、数量关系.
作业：见作业本
设计意图：
1、 做好概念教学
作为一堂概念课，需要重视几个点：第一，认识数学概念具有渐进性，数学概念的高度抽象性又决定了认识过程的曲折性，因此教学需要与学生的认知水平相适应，需要在已有基础上进行再概括，即对新知属性的分析、比较与综合基础上得到概念的本质属性.本课体现为从学生中得到直线的相交，从生活中看到直线的相交，从直线的相交中得到对顶角，循序渐进.第二，必须安排概念的精致过程，即要对概念内涵进行深加工，对概念要素做具体界定，让学生在对概念的正例、反例作判断的过程，更准确地把握概念的细节.本课表现为对顶角的主要特征的概括，并应用该特征判断对顶角.第三，通过对概念的应用，建立相关概念、相关知识的联系，内化到已有的知识框架中.本课表现为对顶角性质的得出，并与两角互余、互补一起解决新的问题.
2、 做好几何初始课教学
第一，注意运用数学语言的准确性.从线段的表示、角的表示、读法等入手.第二，体验符号语言的简洁美.从文字到符号的转换，即讲究准确，又充分体现了数学简洁之美，这样的体验在几何教学中时刻存在.第三，培养学生的作图能力.规范作图、画图以及草图，都有其深刻的含义.第四，保持学习的动力.几何起始课对于七年级部分学生来说有一定的难度，要有兴趣，必须有成功体验.如图3对顶角的寻找，把一个问题参透了，其他的生成是水到渠成的.
