浙教版初中数学八年级上册第四章《图形与坐标》单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学八年级上册第四章《图形与坐标》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，已知点和点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则满足这样条件的点共有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到，则分钟时粒子所在点的横坐标为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是
A. B. C. D.
如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到，则分钟时粒子所在点的横坐标为
A.
B.
C.
D.
如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，第从原点运动到，第从运动到，然后它接着按图中箭头所示的方向运动在第一象限内运动时，运动方向与轴或轴平行，且每分移动个单位长度在第分时，这个粒子所在位置的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是( )
A. B.
C. D.
如图所示，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转，得到，把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，正方形的中心的坐标为( )
A. B. C. D.
如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，，，且，为轴上一动点．连接，将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位得到线段，则下列结论：；；若的面积为，则点的坐标为或；若点不在直线、上，面积为，面积为，四边形面积为，则
其中正确的有( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，已知，，点从点出发，先移动到轴上的点处，再沿垂直于轴的方向向左移动个单位至点处，最后移动到点处停止当点移动的路径最短时即三条线段、、长度之和最小，点的坐标为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是________________．
如图，点，点，点，点，点是轴上一点，直线将四边形的面积分成：两部分，则点坐标为_________________．
在平面直角坐标系内，点到原点的距离为__________．
如果，在轴上，那么点的坐标是___________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
已知，，点与点在同一坐标轴上，求点的坐标．
已知点到轴，轴的距离相等，求的值．
如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
填空： ， ；
如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示的面积；
在条件下，当时，在轴上有一点，使得的面积与的面积相等，请求出点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动．
直接写出点的坐标______，和位置关系是______；
在，的运动过程中，连接，，使，求出点的坐标；
在，的运动过程中，请探究，和的数量关系，并说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，，均为等边三角形，点在轴正半轴上，点，点，点在内部，点在的外部，，，与交于点，连接，，，．
求点的坐标；
判断与的数量关系，并说明理由；
直接写出的周长．
在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足．
请用含的式子分别表示，两点的坐标；
当实数变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
如图，已知线段与轴相交于点，直线与直线交于点，若，求实数的取值范围．
在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
如图，求的面积．
若点的坐标为，
请直接写出线段的长为______用含的式子表示；
当时，求的值．
如图，若交轴于点，直接写出点的坐标为______．
如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，点在第一象限，且，连接，．
直接写出点的坐标；
若点在轴的正半轴上且，求出点的坐标；
若点是线段延长线上的一点如图连接、，判断，，之间存在怎样的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定．要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况．当时，即点的位置有个；当时，点的位置有个；当时，在轴上共有个交点．
【解答】
解：以为直角顶点，可过作直线垂直于，与坐标轴交于一点，这一点符合点的要求；
以为直角顶点，可过作直线垂直于，与坐标轴交于两点，这两点也符合点的要求；
以为直角顶点，可以为直径画圆，与坐标轴共有个交点．
所以满足条件的点共有个．
故选C．

2.【答案】
【解析】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到
，
发现：
当时，有两个点，共个点，
当时，有个点，时，个点，共个点；
当时，有个点，，个点，，个点，共个点；
当时，有个点，，个点，，个点，，个点，共个点；
当时，有个点，，个点，，个点，，个点，，个点，共个点；
当，有个点，共个点；
且为正整数，
得，
时，，
且当时，，
，
当时，，个点，
，
个粒子所在点的横坐标为．
故选：．
根据点的坐标变化寻找规律即可．
本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标的变化寻找规律．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的变化规律，理解题意，求出“凸”形的周长是解题关键先根据已知点的坐标，求出凸形的周长为，根据的余数为，即可得出答案．
【解答】
解：，，，，，
“凸”形的周长为：，
，余数为，
细线另一端所在位置的点在处上面个单位的位置，坐标为．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到
，
发现：
当时，有两个点，共个点，
当时，有个点，时，个点，共个点；
当时，有个点，，个点，，个点，共个点；
当时，有个点，，个点，，个点，，个点，共个点；
当时，有个点，
，个点，
，个点，
，个点，
，个点，共个点；
当，有个点，共个点；
且为正整数，
得，
时，，
且当时，，
，
当时，，个点，
，
个粒子所在点的横坐标为．
故选：．
根据点的坐标变化寻找规律即可．
本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标的变化寻找规律．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是用坐标确定位置，点的坐标的确定，图形规律问题的有关知识，根据题意找到动点即将离开两坐标轴时的位置，与点运动时间之间关系即可．
【解答】
解：根据已知图形分析：坐标，分钟，，运动方向向左，
坐标，分钟，，运动方向向下，
坐标，分钟，，运动方向向左，
坐标，分钟，，运动方向向下，
由此发现规律，当点坐标，运动时间分钟，为奇数，运动方向向左，为偶数，运动方向向下，
，
可以看做点向下运动个单位长度，
分钟后这个粒子所处的位置坐标是．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，平面直角坐标系中点的坐标，含角的直角三角形，找到点的变化规律，得到，根据每次循环一周，得到的坐标位置，根据含度角的直角三角形的性质得到答案．
【解答】
解：，，，，
，
，
，
，
每次旋转腰长增加，
，
等腰三角形的顶角为，
每次循环一周，
，
与，共线，
，，
，轴，
，轴，

7.【答案】
【解析】解：，，是等腰直角三角形，且，
．
把绕点顺时针旋转，得到，
．
同理可得出：，，，，
，为自然数．
，，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可找出点的坐标，结合旋转的性质即可找出点、、、、、的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，为自然数”，依此规律即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据点的变化找出变化规律“，为自然数”是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平移中的坐标变化，轴对称中的坐标变化，图形规律问题的有关知识，根据题意找出规律进行求解即可．
【解答】
解：，，
，
四边形是正方形，
，
，
正方形的中心坐标为，即，
把正方形“先沿轴翻折，再向下平移个单位”为一次变换，
正方形经过次变换后的中心坐标为，即
正方形经过次变换后的中心坐标为，即
正方形经过次变换后的中心坐标为，即，
正方形经过次变换后的中心坐标为，即．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标与运动次数相等，纵坐标为，，，，每次一轮这一规律，进而求出即可．
【解答】
解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次运动到点，
第次接着运动到点，
，
横坐标为运动次数，经过第次运动后，动点的横坐标为，
纵坐标为，，，，每次一轮，
，
经过第次运动后，动点的纵坐标为四个数中第个，即为，
经过第次运动后，动点的坐标是：，
故选B．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
故正确，
如图，延长交于点．
，
，
，
，
，故错误，
设，则有，
解得或，
或，故正确，
结论错误，理由：当点在的上方或的下方时，结论成立，
当点在与之间时，则有
故正确的有：，
故选：．
根据，两点坐标求出，即可判断；
如图，延长交于点利用平行线的性质，三角形的外角的性质判断即可；
设，则有，解方程，可得结论；
分两种情判断即可．
本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列，以此类推，第一列有个点，第二列有个点第列有个点，
前列共有个点，
第列最下面的点的坐标为，
，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
故选A．
本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键．把第一个点作为第一列，和作为第二列，以此类推，第一列有个点，第二列有个点第列有个点，可得前列共有个点，第列最下面的点的坐标为，由此可得第个点的坐标为，最后按照规律可得第个点的坐标．
12.【答案】
【解析】解：如图，将沿方向平移长的距离得到，连接，则，
四边形是平行四边形，
，
当，，在同一直线上时，有最小值，最小值等于线段的长，即的最小值等于长，
此时、、长度之和最小，
，，，
，
设的解析式为，则
，解得，
，
令，则，即，
故选：．
将沿方向平移长的距离得到，连接，可得四边形是平行四边形，根据当，，在同一直线上时，有最小值，最小值等于线段的长，即的最小值等于长，可得、、长度之和最小，再根据待定系数法求得的解析式，即可得到点的坐标．
本题主要考查了最短路线问题以及待定系数法的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13.【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点的坐标为为自然数”是解题的关键．利用等腰直角三角形的性质可得出部分点的坐标，根据点的坐标的变化可得出变化规律“点的坐标为为自然数”，结合即可得出点的坐标．
【解答】解：由已知得，点每次逆时针旋转，每转动次回到轴正半轴上，每次转动点到原点的距离变为转动前的倍．
，
点在第二象限的角平分线上，，
点，
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查坐标与图形的性质．
作轴，根据四边形的面积求得四边形的面积，设点，则，由直线将四边形的面积分成两部分知或，据此列出方程求解可得．
【解答】
解：过点作轴于点，
则、、、、，
四边形的面积
，
设点，
则，
由直线将四边形的面积分成两部分知：或，
则或，
解得：或，
即点的坐标为或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了勾股定理，以及坐标与图形性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．在平面直角坐标系中描出点，连接，过作垂直于轴，由的坐标得出与的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即为到原点的距离．
【解答】
解：连接，过作轴，交轴于点，如图所示，
，
，，
在中，根据勾股定理得： ，
则到原点的距离为 ．
故答案为 ．

16.【答案】
【解析】
【分析】
解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，轴上的点的横坐标为．
点在轴上则该点横坐标为，可解得的值，从而得到点的坐标．
【解答】
解：在轴上，
，得，
即即点的坐标为．
故答案为：．
17.【答案】解：点的坐标为，
点在轴上也有可能在轴上．
当点在轴上时，点的坐标为或；
当点在轴上时，点的坐标为或．
点的坐标为或或或．
【解析】本题主要考查的是点的坐标的定义，掌握点的坐标的定义是解题的根据．
由点的坐标可知点在轴和上，符合条件的点共有个，根据可求得点的坐标．
18.【答案】解：根据题意得，
即或，
解得或．
【解析】本题主要考察点到坐标轴的距离问题，根据点到两坐标轴距离相等列公式求解即可．
19.【答案】解：；；
过点作轴于点，
，，
，
又点在第三象限，
，
；
当时，，
点有两种情况：
当点在轴正半轴上时，设点，
，
，
，解得：，
点坐标为；
当点在轴负半轴上且在下方时，
设点，
，
，
，
解得：，
点坐标为．
故点的坐标为或．

【解析】本题主要考查坐标与图形的性质，利用割补法表示出的面积，并根据题意建立方程是解题的关键．
根据非负数性质可得、的值；
过点作轴于点，根据三角形面积公式列式整理即可；
先根据计算，再分两种情况：当点在轴正半轴上时、当点在轴负半轴上时，利用割补法表示出，根据列方程求解可得．
【解答】
解：，
且，
解得：，，
故答案为：；；
见答案；
见答案．
20.【答案】
【解析】解：，，，
，，
解得，，，
点的坐标为，
，，
，
故答案为：；；
设秒后，，
此时，，，
当时，，，
则，
解得，，
则，
，
点的坐标为，
当时，，，
则，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；
或．
理由如下：如图所示，当点在点的上方时，过点作，
，
，，
，
，
，
；
如图所示，当点在点的下方时，过点作，
，
，，
，
，
，
综上所述，或．
根据偶次方、算术平方根的非负性分别求出、，得到点的坐标，根据点的坐标特征判断与位置关系；
分、两种情况，根据三角形的面积公式计算即可；
分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、平行线的性质，掌握偶次方和算术平方根的非负性、平行线的性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：是等边三角形，点，点，
，，，
点的坐标为；
；理由如下：
，均为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
；
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，为等边三角形，
为斜边的中点，
，
的周长．
【解析】由等边三角形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得出点的坐标；
由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明≌，即可得出；
证出，求出，由全等三角形的性质得出，证出，由等边三角形的性质得出，即可得出答案．
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】解：解方程组，得，
，
不变，值为，
如图，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，
，，，
，，，，，，
，，，
又线段在与轴相交于点，
，，
，
，
，，
，
如图，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，连、，
，
，
，解得，
实数的取值范围是：
【解析】本题主要考查的是加减消元法解二元一次方程组，坐标与图形性质，三角形的面积等有关知识．
利用加减消元法解方程组，然后再求出，点的坐标即可；
过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，利用求解即可；
先求出，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，连、，然后根据得到，再根据列不等式求解即可．
23.【答案】
【解析】解：过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于如图所示：
，，
，，．
，，，，，，．
．
答：的面积是．
根据题意得：；
故答案为：；
，
或，
或；
设直线的解析式为，
根据题意得：，
解得：，；
直线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：
方法二：如图，
由可知，，
，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：
过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，由题意得出，，得出，，，，，，，即可得出结果；
根据题意容易得出结果；
由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
与待定系数法求出直线的解析式，即可得出点的坐标．
方法二：由面积法求出的长，即可解决问题．
本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算方法、待定系数法求直线的解析式；熟练掌握坐标与图形性质，熟练掌握面积法是解决问题的关键．
24.【答案】解：点、的坐标分别为、，
，
且，
点向右平移个单位到点，
点的坐标为：；
点、的坐标分别为、，
，，
，
，
，
设点，
，
，
，
，
点的坐标为：；
，理由如下：
过点作，如图所示：
，
，
，，
，
．
【解析】求出，由且，得出点向右平移个单位到点，即可得出结果；
由已知坐标得出，，则，得出，设点，由，得，求出的值，即可得出答案；
过点作，易证，得出，，由，即可得出．
本题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形、平移、三角形面积的计算、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平移和平行线的判定与性质是解题的关键．
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