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2.3-2.4 用频率估计概率 概率的简单应用
一、频率与概率
1.定义
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点：
（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
三、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
4、概率的简单应用
能用概率知识与方法解决如中奖预测、游戏公平性、人寿保险、几何问题等领域的问题.
一、单选题
1．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，则估计红、黄、蓝球的个数分别为（ ）．
A．35，25，40 B．40，25，35 C．25，40，25 D．40，35，25
【答案】A
【解答】
【提示】
在同样条件下，大量反复试验，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，因此把这个频率作为事件发生的概率，则由概率计算公式可分别估算出红、黄、蓝球的个数．
∵通过多次摸球试验后，摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%
∴摸到红球、黄球、蓝球的概率为35%、25%和40%
∴口袋中红色玻璃球的个数为：100×35%=35（个），口袋中黄色玻璃球的个数为：100×25%=25（个），口袋中蓝色玻璃球的个数为：100×40%=40（个）
估计红、黄、蓝球的个数分别为35个，25个和40个
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即为概率．部分数目=总体数目×相应的概率．
2．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】
【提示】
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得：，
∴x=2400，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴捞到鲢鱼的概率为：，
故选：D．
【点睛】
本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．
3．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
【答案】C
【解答】
【提示】
分别算出每个选项的概率，再与图中结果对比即可得到答案．
解：A中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误;
B中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误;
C中的概率为,符合这一结果,故此选项正确;
D中的概率为,不符合这一结果,故此选项错误.故选C.
【点睛】
本题考查频率与概率的综合应用，熟练掌握概率与频率的关系、概率的求解是解题关键．
4．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】
【提示】
分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可
解：大正方形的面积为：，
阴影部分的小正方形的面积为：，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
5．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801
则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（ ）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【解答】
【提示】
用频率估计概率解答即可．
解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如表的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．抛一枚硬币，出现正面
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
【答案】D
【解答】
【提示】
根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，再进行判断．
A、抛一枚硬币，出现正面的概率是，不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，不符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5的概率是，不符合题意；
D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是，符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题考查频率估计概率，计算简单事件的概率，正确理解题意计算出各事件的概率是解题的关键．
7．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【解答】
【提示】
解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．
解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．
8．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】
【提示】
根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可．
设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C．
【点睛】
本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键．
9．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
问盒子里白色的球有（ ）只．A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解答】
【提示】
由表格可得摸到白球的概率为0.60，然后问题可求解．
解：由表格可知：摸到白球的概率为0.60，
∴盒子里白色的球的个数为20×0.60=12（只），
故选B．
【点睛】
本题主要考查频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键．
10．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：
投石子的总次数 次 次 次 次
石子落在空白区域内的次数 次 次 次 次
石子落在空白区域内的频率
依此估计空白比分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】
【提示】
根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积.
由表格可知：当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近，即空白区域的面积占总面积的，
∴空白部分的面积=，
故选D.
【点睛】
此题主要是利用频率估计概率，当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率，这是利用频率计算概率在实际生活中的运用.
二、填空题
11．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有____个．
【答案】6
【解答】
【提示】
球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数．
红球个数为：40×15%＝6个，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．事件A发生的概率为，大量重复试验后，事件A平均每n次发生的次数是10，那么n＝__．
【答案】200
【解答】
【提示】
根据概率的意义进行解答即可得出答案．
事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，
事件A平均每n次发生的次数是10，则n＝10200；
故答案为：200．
【点睛】
本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．
13．A、B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数"_____来表示这个“散度”．
【答案】覆盖5点的圆的最小半径（答案不唯一）
【解答】
【提示】
依题意设计出可以确定石子离散程度大小的方案即可．
解：如图，分别作圆覆盖5点，所作圆的最小半径即可作为“数”表示这个“散度”：
故答案为：覆盖5点的圆的最小半径．
【点睛】
本题考查游戏规则的设定，是开放性题目，故答案不唯一，设定满足题目条件要求即可．
14．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：
种子个数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000
发芽种子个数m 899 1365 2245 3644 7272 13680 18160 27300
发芽种子频率 0.899 0.910 0.898 0.911 0.909 0.912 0.908 0.910
则该作物种子发芽的概率约为___．
【答案】0.910
【解答】
【提示】
选一个表格中随着试验次数增多，发芽种子频率比较接近的数．
答案不唯一，如：0.910．
故答案为：0.910．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
15．在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为________．
【答案】
【解答】
试题分析：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，根据旋转的性质易证阴影区域的面积=正方形面积4份中的一份，故针头扎在阴影区域的概率为；故答案为．
考点：几何概率．
16．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元．
【答案】6
【解答】
【提示】
求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得．
解：
=2+4
=6（元）
故答案为6
【点睛】
此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数．
17．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
下面有三个推断：
①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确；
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；
③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．
其中正确的是__．
【答案】②③
【解答】
【提示】
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.35，据此进行判断即可．
解：①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确，错误；
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动，正确；
③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，正确，
故答案为②③．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
18．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．在剪开之前，随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在四边形BMPE内的概率为___．
【答案】.
【解答】
【提示】
设BE＝a，根据三角形的中位线的性质得到EF∥BD，EF＝BD，推出点P在AC上，得到PE＝EF，得到四边形BMPE 是平行四边形，过M作MH⊥BC于H，于是得到结论．
设BE＝a，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，BC＝2a，
∴BD＝2a，
∵AP⊥EF，
∴AP⊥BD，
∴BO＝OD，
∴点P在AC上，
∴PE＝EF，
∴PE＝BM，
∴四边形BMPE是平行四边形，
∴BO＝BD，
∵M为BO的中点，
∴BM＝BD，
∵E为BC的中点，
∴BC＝2a，
，
过M作MH⊥BC于H，
∴，
∴S正方形ABCD＝4a2，S四边形BMPE＝a2，
∴米粒落在四边形BMPE内的概率为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了几何概率，七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
19．某水果公司新进得一批草莓，销售人员首先从所有的草莓中随机抽取若干草莓，进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
草莓总质量 … 50 100 150 200
损坏草莓质量 … 5.15 10.09 14.98 20.42
草莓损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.100 a
(1)填空：___________；
(2)估计草莓损坏的概率约为___________（精确到0.1）；
(3)这批草莓的总重量为，成本价是16元/，若公司把售价定为30元/，那么公司售出草莓（去掉损坏的草莓）最终能够获得多少利润．
【答案】(1)0.102
(2)0.1
(3)6600元
【解答】
【提示】
（1）根据题意，草莓损坏的频率，将，，代入计算，最后根据题目要求精确到0.001即可．
（2）根据表格中的草莓损坏的频率及，估计草莓损坏的概率即可．
（3）先计算总成本，即总成本=成本价×总重量，再计算这批草莓损坏的重量，从而得到这批草莓售出的重量，进而算得销售金额=售价×售出的重量，最后用总利润=销售金额-总成本，求得总利润．
(1)
解：，
故．
(2)
解：观察表格中的草莓损坏的频率及，
估计草莓损坏的概率约为0.1．
(3)
解：总成本为（元），
∵草莓损坏的概率约为0.1，
∴这批草莓损坏的质量约为（千克），
∴售出草莓的质量为（千克），
最终利润为（元）．
答：公司出售这批草莓最终能够获得利润6600元．
【点睛】
本题考查了频率的计算，由频率估计概率，以及总利润的计算．注意，计算销售重量时，要去掉损坏的草莓，而计算总成本时，要将损坏的那部分草莓的成本计入总成本中．
20．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 123 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
(1)按表格数据格式，表中的a＝______；
(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(3)试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．
【答案】(1)0.404
(2)0.4
(3)15
【解答】
【提示】
（1）根据频率=频数÷样本总数求得a的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数．
(1)
解：．
故答案为：0.404．
(2)
当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4．
故答案为：0.4．
(3)
由题意得：摸到白球的概率为0.4，因此球的总个数为：（只），
这一个不透明的口袋中红球有（只）．
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，理解利用频率来估计概率的意义是解题的关键.
21．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】游戏对双方都公平
【解答】
【提示】
根据题意列表求得双方的概率即可求解．
解：所有可能的结果如下：
乙甲 1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
22．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 次
收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 次
频数 60 20 10 5 5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
(3)设该公司从至少消费两次的顾客中按样本的比例随机抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出2人中恰有1人消费两次的频率．
【答案】(1)0.4
(2)45
(3)
【解答】
【提示】
（1）用样本中消费至少为两次的人数除以样本总人数即可得到答案；
（2）分别求出两次消费的利润，然后求出其平均数即可；
（3）先求出抽出2人一共有多少种结果数，然后求出恰好有1人消费两次的结果数，由此即可得到答案．
(1)
解：∵从参与调查的100位会员中，至少消费两次的人数为100-60=40人，
∴估计该公司一位会员至少消费两次的概率为，
答：估计该公司一位会员至少消费两次的概率为0.4；
(2)
解：该会员第一次消费时，公司获得的利润为200-50=150元，
第二次消费时，公司获得的利润为元，
∴这两次消费中，公司获得的平均利润为元；
答：这两次消费中，公司获得的平均利润45元；
(3)
解：∵样本中，消费2、3、4、5次的人数分别为20人，10人，5人，5人，即人数比为4：2：1：1，
∴抽取的8人，消费2次的人数为4人，消费3次的人数为2人，消费4次和消费5次的人数各有1人，
设消费2次的四人分别为A1，A2，A3，A4，消费3次的为B1，B2，消费4次的为C，消费5次的为D，
∴抽取的两人中恰好有A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D共7种，
同理取到A2，A3，A4，B1，B2，C，D的都各有7种，
又∵取到A1A2和取到A2A1只能算作一种，
∴一共有种结果，
∵抽出2人中恰有1人消费两次，抽到A1时，有A1B1，A1B2，A1C，A1D共4种，
同理抽到A2，A3，A4的结果数也分别为4种，
∴抽出2人中恰有1人消费两次的结果数一共有16种，
∴抽出2人中恰有1人消费两次的频率为．
【点睛】
本题主要考查了用频率估计概率，平均数，列举法求频率等等，熟知概率，频率与平均数的相关知识是解题的关键．
23．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______；
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；
(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
【答案】(1)
(2)
(3)应安排A电影两个场次B电影一个场次
【解答】
【提示】
（1）根据图标直接求值即可；
（2）先求出总数和获得好评的第四类电影数，再根据概率公式即可求出答案；
（3）求得A，B电影上座率和排一场A，B电影的收入，即可得到答案．
(1)
解：由题意可知，；
(2)
∵总的电影部数是：（部），
第四类电影中获得好评的有（部），
∴P（这部电影是获得好评的第四类电影）
(3)
A电影上座率，
B电影上座率，
排一场A电影收入（元），
排一场B电影收入（元），
由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排A电影两个场次B电影一个场次．
【点睛】
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；读懂图表，从图表中找到必要的数据是解题的关键．
24．福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【答案】(1)
(2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析
【解答】
【提示】
（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断．
(1)
解：列表得：
4 2 1 1
4 /
2 /
1 /
1 /
共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况，
∴．
故答案为：．
(2)
若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元，
则可兑换4元的概率为，兑换2元的概率为，兑换1元的概率为，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）；
若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元，
由（1）可知，
可兑换6元的概率为，
可兑换5元的概率为，
可兑换3元的概率为，
可兑换2元的概率为，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）；
∵，
∴李同学应该买一个小盲盒好．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键．
25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
【解答】
【提示】
（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
，，
，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
，，共两种，
故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
【点睛】
本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．
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2.3-2.4 用频率估计概率 概率的简单应用
一、频率与概率
1.定义
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点：
（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
三、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
4、概率的简单应用
能用概率知识与方法解决如中奖预测、游戏公平性、人寿保险、几何问题等领域的问题.
一、单选题
1．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，则估计红、黄、蓝球的个数分别为（ ）．
A．35，25，40 B．40，25，35 C．25，40，25 D．40，35，25
2．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
3．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
4．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801
则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（ ）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9
6．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如表的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．抛一枚硬币，出现正面
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
7．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
8．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
问盒子里白色的球有（ ）只．A．10 B．12 C．14 D．16
10．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：
投石子的总次数 次 次 次 次
石子落在空白区域内的次数 次 次 次 次
石子落在空白区域内的频率
依此估计空白比分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有____个．
12．事件A发生的概率为，大量重复试验后，事件A平均每n次发生的次数是10，那么n＝__．
13．A、B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数"_____来表示这个“散度”．
14．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：
种子个数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000
发芽种子个数m 899 1365 2245 3644 7272 13680 18160 27300
发芽种子频率 0.899 0.910 0.898 0.911 0.909 0.912 0.908 0.910
则该作物种子发芽的概率约为___．
15．在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为________．
16．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元．
17．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
下面有三个推断：
①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确；
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；
③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．
其中正确的是__．
18．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．在剪开之前，随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在四边形BMPE内的概率为___．
三、解答题
19．某水果公司新进得一批草莓，销售人员首先从所有的草莓中随机抽取若干草莓，进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
草莓总质量 … 50 100 150 200
损坏草莓质量 … 5.15 10.09 14.98 20.42
草莓损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.100 a
(1)填空：___________；
(2)估计草莓损坏的概率约为___________（精确到0.1）；
(3)这批草莓的总重量为，成本价是16元/，若公司把售价定为30元/，那么公司售出草莓（去掉损坏的草莓）最终能够获得多少利润．
20．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 123 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
(1)按表格数据格式，表中的a＝______；
(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(3)试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．
21．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
22．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 次
收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 次
频数 60 20 10 5 5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
(3)设该公司从至少消费两次的顾客中按样本的比例随机抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出2人中恰有1人消费两次的频率．
23．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______；
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；
(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
24．福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
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