1.5 三角形全等的判定同步练习（含答案）

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1.5三角形全等的判定浙教版初中数学八年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的的两边上，分别截取，，使再分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，则射线就是的平分线．其作图原理是：≌，这样就有，那么判定这两个三角形全等的依据是( )
A. B. C. D.
如图，已知，再增加一个条件仍然不能说明≌的条件是( )
A.
B.
C.
D.
等腰中，，是的中点，于，交的延长线于，若，则的面积为( )
B.
C. D.
如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：
；
若，则；
当时，则为中点；
当为等腰三角形时，．
其中正确的有个．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，是线段上一点，且和都是等边三角形，连接、相交于点，、分别交、于、，连接、，则下列所给的结论中：
；；；；平分其中结论正确的个数是( )
A. B. C. D.
在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为，则与的面积之和是( )
A.
B.
C.
D.
如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，设点的横坐标为，则点的纵坐标与的函数解析式是( )
B.
C. D.
老师布置的作业中有这么一道题：
如图，在中，为的中点，若，则的长不可能是( )
A.
B.
C.
D.
甲同学认为，，这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙
有长为，，，的木条各两根，小明与小刚分别取了和的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为( )
A. 一个人取的木条，一个人取的木条
B. 两人都取的木条
C. 两人都取的木条
D. ，两种取法都可以
如图，点是边长为的等边内一点，，连接、、，以为圆心，为半径画弧交的延长线于点，为线段上一点，且下列结论：；≌；在线段的垂直平分线上；若，则，正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，两根旗杆间相距米，某人从点沿走向点，一段时间后他到达点，此时他分别仰望旗杆的顶点和，两次视线的夹角为，且已知旗杆的高为米，该人的运动速度为米秒，则这个人运动到点所用时间是 秒．
已知如图，，，，，，，则的面积为______．
如图，有一个直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，点的运动速度为，运动时间为______时，能使和以、、为顶点的三角形全等．
如图，四边形中，，，平分，于，于，连接，：：，，则线段的长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48分）
如图，在和中，，点，，，在同一条直线上，，的延长线交于点，且F.求证：．
如图，线段，相交于点，，，求证：≌．
学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点、之间的距离．
小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上如图，取一个可直接到达、的点，用绳子连接和，并利用绳子分别延长至、至，使用拉尺丈量、，确定、两个点后，最后用拉尺直接量出线段的长，则端点、之间的距离就是的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．
你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案在备用图中画出简图，但不必说明理由．
假设池塘南面即点、附近区域没有足够空地或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况，而点的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案在备用图中画出图形，并说明理由．
如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长均为，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段和三角形的顶点都在格点上．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹：
的面积为______；
在的右侧找一点，使得与全等；
画中边上的高．
如图，在四边形中，，和的平分线恰好交于上的点，点在线段上运动，，．
当点运动到离点多少厘米时，和全等？请说明理由；
在的情况下，此时吗？为什么？并求出的长．
在中，的角平分线交于点，当时，过点作交直线于点．
如图，当点在线段上时，判断，，的数量关系．
如图，当点在的延长线上时，请根据题意补全图形，并判断中的结论是否仍然成立；如果不成立，请写出结论，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由作图可知，，
在和中，
，
≌，
，即线就是的平分线．
故选：．
根据证明三角形全等即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．
2.【答案】
【解析】解：、，，，
≌，
故A不符合题意；
B、，，，
≌，
故B不符合题意；
C、，，，
与不全等，
故C符合题意；
D、，，，
≌，
故D不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，，
，
在和中
，
≌，
，
，为中点，
，
，
，
，
，
的面积是，
故选：．
求出，根据证≌，推出，得出，求出长，求出、长，根据三角形的面积公式得出的面积等于，代入求出即可．
本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，关键是求出，主要考查学生运用性质进行计算的能力．
4.【答案】
【解析】解：，，
．
，
．
由三角形内角和定理知：．
故正确；
，
，
由知：．
．
≌．
，
故正确；
为中点，，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
故不正确．
故选：．
根据三角形外角的性质即可得到；
当≌时，；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，，
≌，
正确，，
在和中，，
≌，
；正确；
，，
为等边三角形，
，
，
，正确；
，
，正确；
作于，于，如图所示：
则，
在和中，，
≌，
，
又于，于，
平分，正确；
故选：．
证≌，得，正确；证≌，得；正确；证为等边三角形，得，则，证出，正确；由全等三角形的性质和三角形的外角性质得，正确；作于，于，证≌，得，得平分，正确；即可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定、角平分线的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，，，
，，
在和中，，
≌，
的面积的面积，
与的面积之和与的面积之和，
的面积为，，
的面积，
与的面积之和的面积；
故选：．
根据证明≌，得出与的面积之和等于的面积，由，的面积为，可求出的面积为，即可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点；熟练掌握三角形面积关系，证明三角形全等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：过点作轴于点．
，
，，
，
，
≌，
，，
的纵坐标为，，
．
故选：．
过点作轴于点，只要证明≌，即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，
延长到使得，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，即．
如图所示，
取中点，连接，
、分别为、的中点，
是的中位线，，
，
，
．
．
甲说法错误，乙和丙说法正确．
故选：．
如图所示，延长到使得，利用倍长中线模型证明≌得到，再用三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；如图所示，取中点，连接，则是的中位线，，再用三角形三边的关系即可判断丙同学的说法．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形中位线定理、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系的运用，难度不大若两个三角形全等，那么它们的三边对应相等，因此第三边应该取同样长度的木条，且要符合三角形三边关系定理，可运用排除法进行求解．
【解答】
解：若两人所拿的三角形全等，那么两人所拿的第三根木条长度相同，故排除；
若取的木条，那么，不能构成三角形，所以只能取的木条，故排除、．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
．
，
，
．
，
，
的结论正确；
，，
是等边三角形，
，．
，
，
，
．
，，
．
在和中，
，
≌．
的结论正确；
连接，如图，
，，
．
，，，
．
在和中，
，
≌．
，
直线是线段的垂直平分线，
的结论正确；
若，
，
直线是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
．
．
的结论不正确．
综上，正确的结论有：，
故选：．
利用等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质以及直角三角形的边角关系对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质以及直角三角形的边角关系，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得≌．
根据题意证明，利用证明≌，根据全等三角形的性质得到米，再利用时间路程速度即可．
【解答】
解：，
，
又，
，
．
在和中，
，
≌，
米，
米，
该人的运动速度为，
他到达点时，运动时间为．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：过作的垂线交于，过作的垂线交的延长线于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
所以，，
故答案为：．
因为知道的长，所以只要求出边上的高，就可以求出的面积．过作的垂线交于，过作的垂线交的延长线于，构造出≌，求出的长，即为的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．
13.【答案】或
【解析】解：，，
，
有两种情况：当时，和以、、为顶点的三角形全等，此时时间为，
当时，和以、、为顶点的三角形全等，此时时间为，
故答案为：或．
求出，根据两直角三角形全等的判定定理得出两种情况：，，再求出时间即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
14.【答案】
【解析】解：过作，交的延长线于，连接，
，，
，
、、、四点共圆，
，
平分，
，
，
，，
，，
≌，
，
：：，
设，，则，
中，，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
故答案为：．
作辅助线，构建全等三角形，先根据，证明、、、四点共圆，证明≌，设，，表示的长，根据列方程可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质、四点共圆的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】证明：，
，即，
与是对顶角，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质根据已知条件，求得，，，利用证明≌，可得结论．
16.【答案】证明：，
，
又，
，
即．
在与中
，
≌．
【解析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
由，可得，再证明而边公共，根据即可证明≌．
17.【答案】解：小明小组测量方案正确，理由如下：
连接，如图所示：
在和中，
，
≌，
．
有其他方案，测量方案如下：
先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离，如图所示：
测量方案：过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使这时只要测出的长即为，的距离，如图所示：
理由如下：
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】根据证明≌即可；
先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离；
过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使这时只要测出的长即为，的距离．理由根据证明≌即可．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：的面积，
故答案为：；
如图，点即为所求；
如图，线段即为所求．
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
根据全等三角形的判定，画出图形即可；
取格点，连接交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
19.【答案】解：当点运动到离点厘米时，和全等．
理由如下：点运动到离点厘米时，
在和中，
，
≌；
．
理由如下：，
，
而和的平分线恰好交于上的点，
，
，
，
≌，
，
在和中，
，
≌
，
．
【解析】当点运动到离点厘米时，和全等．利用这个条件和已知条件即可证明和全等；
利用和可以得到，接着证明≌即可解决问题．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了平分线的性质，有一定的综合性．
20.【答案】解：结论：．
理由：如图，延长，交于点．
，，
，
，
，
，，
又，
，
，
又，
≌，
，
，
即；
当点在线段的延长线上，是的角平分线时，，
如图，延长，交于点．
同理可证≌，
，
由证明过程同理可得出，，
；
【解析】延长，交于点利用证明≌，得到，并利用角平分线加平行的模型证明，，从而得证；
延长，交于点类似于的方法可证明当点在线段的延长线上，是的角平分线时，．
本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型．
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