2.4 等腰三角形的判定定理同步练习（含答案）

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2.4等腰三角形的判定定理浙教版初中数学八年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
如图，已知中，，是边上的中点，，交，于点，连接过点作交于点，连接则下列结论：；；；正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，在中，，，若，则的面积是( )
A. B. C. D.
平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是( )
A. B. C. D.
在如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两格点．若点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：点到各边的距离相等设，，则其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．
点到各边的距离相等 设，，则，正确的结论有个．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，四边形中，，平分，下列结论，，平分，，正确的是( )
A. B. C. D.
如图在的网格中，点、在格点处：以为一边，点在格点处，则使为等腰三角形的点有个．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知、、是的三边，且满足，则的形状是( )
等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
有一块三角形纸片，，是边上的点，沿将三角形纸片剪开后，发现所得两部分均为等腰三角形，则的度数为______．
如图，已知，是角平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则______．
如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连结，则的度数是______．
如图，在中，，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，分别与边、交于点、，连结若，则的周长为_________．
三、解答题（本大题共6小题，共48分）
画，使，可用量角器，再画出的平分线，交于点，那么图中有哪几个等腰三角形？不用证明
如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，．
求证：是等腰三角形；
当时，求的度数．
如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若．
求证：是等腰三角形
作的平分线交于点，若，求的度数．
如图，平分，，垂足为点，．
求证：是等腰三角形．
如图，在中，，，在的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点．
依题意补全图形；
连接，求证：；
过点作于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．
求证：≌；
联结，试说明与垂直的理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，是边上的中点，
，平分，
，，
，
，
，
，
．
故正确；
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，即点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
；
故正确．
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
故正确．
，，
，
又≌，
，
；
故正确．
综上所述，正确的有共个．
故选D．
根据等腰三角形性质：“三线合一”可得：，平分，再利用“等角的余角相等”即可判断结论正确；利用证明≌，可得，进而可得，即点是的中点，得出是的中位线，即可判断结论正确；利用证明≌，可得，即可判断结论正确；由于，，，即可判断结论正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形中位线定理等，是一道综合题目，解答的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
2.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，交于，过点作于，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
的面积．
故选：．
如图，过点作于，交于，过点作于，先证明是等腰直角三角形，得，，，再证明，计算和的长，根据三角形的面积公式可解答．
本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查等腰三角形的性质与判定，注意分类思想方法的应用，注意图形结合思想方法，
利用分类讨论的思想方法，分三种情况：当时；当时；当时即可求解．
【解答】
解：如图，
当时，以点为圆心，长为半径作圆，与坐标轴有两个交点点除外，即，，其中点与、两点共线，不符合题意；
当时，以点为圆心，长为半径作圆，与坐标轴有两个交点，均符合题意；
当时，作的垂直平分线，与坐标轴有两个交点，均符合题意，
所以满足条件的点有个，
故选A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的概念有两条边相等且底角相等的三角形叫做等腰三角形．
根据题意，结合图形，分两种情况讨论．
【解答】
解：如图，分情况讨论：
为等腰的底边时，符合条件的点有个；
为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得A正确；
由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故正确；
由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故正确；
由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得设，，则，故错误．
【解答】
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故错误；
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
首先利用等腰三角形的性质证得，然后根据题意证得，即是等腰三角形，根据等腰三角形的性质证得，通过等量代换证得，即可求解．
【解答】
解：，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定．由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故正确；由角平分线与三角形面积的求解方法，即可求得正确．
【解答】
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，故正确；
设，
；故正确；
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行线的性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的判定等利用，得出，平分，得出，所以，根据等边对等角得出．
【解答】
解：，平分，
，，
，
，所以正确，不能证明、、、，所以不一定正确．
故选：．

9.【答案】
【解析】解：如图所示，以为腰的等腰三角形的点有个，
以为底边的等腰三角形的点有个，
为等腰三角形的点有个；
故选：．
由题意得出以为腰的等腰三角形的点有个，以为底边的等腰三角形的点有个，即可得出答案．
本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是分组分解法，因式分解的应用的有关知识，将，变形为，进而得到，从而求出此题．
【解答】
解：，
，
，
，，为的三边，
，，，
，
，
为等腰三角形．
11.【答案】或或
【解析】解：由题意知与均为等腰三角形，
如图，若，，
则，
，
如图，若，，
则，
，
如图，若，，
则，
，
综上，的度数为或或，
故答案为：或或．
当是等腰三角形时，分三种情形，而中，，只有，从而得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，运用分类思想是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：过点作，
，
，
，
是的平分线，，，
，
的长为．
故答案为：．
过点作，可得出，在直角三角形中，由直角三角形的性质得出的长，再由角平分线的性质求得的长．
本题考查了含角的直角三角形的性质，的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
13.【答案】或
【解析】解：如图，点即为所求；
在中，，，
，
由作图可知：，
，
；
由作图可知：，
，
，
，
．
综上所述：的度数是或．
故答案为：或．
分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图：作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理是关键．
根据线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质证明，得，最后利用等线段代换得到的周长即可解答．
【解答】
解：由题意可知垂直平分，
，
，，
，
，．
，
的周长．
故答案为．
15.【答案】解：图形如图所示：
等腰三角形有：，，．
【解析】根据要求画出图形即可，根据等腰三角形的定义判断即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】证明：，
．
在和中，
≌．
是等腰三角形．
解：，
．
又≌，
．
．
【解析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
要证明是等腰三角形，可先证的边、所在的两个三角形和全等，根据已知条件，得，易用得，进而得到结论；
由、得，由全等三角形的性质得到，所以，即可得解．
17.【答案】证明：平分，
．
，
，．
．
是等腰三角形
解：，，
．
．
．
平分，
．
，
．
【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
根据角平分线定义得到，根据平行线的性质得到，，于是得到结论；
根据三角形的内角和得到，由三角形的外角的性质得到，根据角平分线定义得到，根据平行线的性质即可得到结论．
18.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形．
【解析】直接利用平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出是解题关键．
19.【答案】解：如图所示：
证明：如图，连接，
，关于对称，
，，
，，
，
，
，
，
；
解：，理由如下：
如图，过点作于，
，，，
≌，
，，
，，
≌，
，
，，
，
，，
，
．
【解析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称变换，等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定，线段的和与差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据要求画出图形即可；
根据对称可知是的垂直平分线，则，，由等边对等角得：，，从而得，由等量代换得：，则，可解答；
如图，过点作于，证明≌和≌，可得，根据线段的和与差可得结论．
20.【答案】解：，
两直线平行，内错角相等
为的中点，
中点的意义，
在和中，
≌．
，，
等量代换，
等角对等边．
≌ 已证，
全等三角形的对应边相等，
等腰三角形三线合一．
【解析】由与平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及为中点得到一对边相等，利用即可得出≌；
由，以及得出的，等量代换得到，利用等角对等边得到，即三角形为等腰三角形，再由得到，即为底边上的中线，利用三线合一即可得到与垂直．
此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
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