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初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·岑溪期末）方程 的根是（ ）
A． B．
C． D． ，
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2 x＝0，
x（x 1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1.
故答案为：D.
【分析】此题用因式分解法比较简单，将方程的左边利用提取公因式分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
2．（2020八下·哈尔滨月考）方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )
A．x1＝ ，x2＝3 B．x＝
C．x1＝－ ，x2＝－3 D．x1＝ ，x2＝－3
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：5x（x＋3）-3（x＋3）=0，
（x＋3） （5x-3）=0，∴x+3=0或5x-3=0，
∴x1＝ ，x2＝－3．
故答案为：D．
【分析】先对方程进行移项，然后提取公因式（x-3），利用因式分解法解方程.
3．方程(x-3)(x+1)=5的解是( )
A．x1=1,x2=-3 B．x1=4,x2=-2 C．x1=-1,x2=3 D．x1=-4,x2=2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得，
x2+x-3x-3-5=0
x2-2x-8=0
（x-4）（x+2）=0
∴x1=4，x2=-2
故答案为：B.
【分析】将方程化为一般式，利用十字相乘法进行因式分解，求出方程的解即可。
4．若关于x的，一元二次方程x2+mx+n=0的两个实根分别为5，-6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．(x+5)(x- 6) B．(x-5)(x+6)
C．(x+5)(x+6) D．(x-5)(x-6)
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程的两个根为5和-6
∴方程可表示为（x-5）（x+6）=0
故答案为：B.
【分析】根据题意可知，由十字相乘法，表示出方程的两个根即可。
5．（2019八下·乐清月考）已知方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3.则另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=-2 B．x1=1，x2=2
C．x1=-1，x2=-2 D．x1=-1，x2=2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3，另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0
∴2x-1=1或2x-1=3
解之： x1=1，x2=2
故答案为：B
【分析】由已知方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3，另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0，就可得到2x-1=1或2x-1=3，解方程就可得到另一个方程的解。
6．已知代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数，则x的值是（ ）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．1或3 D．﹣1和﹣3
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数，
∴（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0，
即（3﹣x）﹣x（x﹣3）=0
即（x﹣3）（x+1）=0，
解得，x1=3，x2=﹣1．
故选A．
【分析】由于代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数，则（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，根据方程系数的特点，应用因式分解法解答．
二、填空题
7．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是 ．
【答案】x1=3，x2=9
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x1=3，x2=9，
故答案为：x1=3，x2=9．
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，即可求出原方程的解。
8．已知三角形的两边长分别是1和2，另一边长是方程x2-5x+6=0的一个根，则另一个边长是 .
【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x2-5x+6=0可得，
（x-3）（x-2）=0
∴x1=3，x2=2
∴三角形的三边长为1,2，3，或1,2,2
∵3-2=1
∴三角形的边长为1,2，2
【分析】根据题意，利用十字相乘法解一元二次方程，根据得到方程的解即可得到三角形的三条边，根据三角形三边的关系，进行取舍即可得到答案为2.
9．关于x的方程ax2+bx+c=0的解与(x-1)(x-4)＝0的解相同，则a+b+c的值为 .
【答案】0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x-1）（x-4）=x2-4x-x+4=x2-5x+4=0
由两个方程相等可知，a=1，b=-5，c=4
∴a+b+c=0
【分析】根据两个方程的解相同，将（x-1）（x-4）=0展开，化为一般式，即可得到a，b以及c的值，求出答案即可。
10．如果代数式x2+7x+2与x-3相等,那么x= .
【答案】1或5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知，
x2+7x+2=x-3
∴x2+6x+5=0
∴（x+1）（x+5）=0
∴x1=-1，x2=-5
【分析】根据十字相乘法求出方程的解即可。
11．若 ，则 ．
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，∴[（x2+y2）﹣5][（x2+y2）+1]=0，∴x2+y2=5或x2+y2=﹣1（舍去）．
故答案为5．
【分析】根据因式分解法可以解答此方程．
12．（2019八下·普陀期末）将二元二次方程 化为两个一次方程为 ．
【答案】 和
【知识点】十字相乘法因式分解；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【解答】解： ，
，
∴ ， ．
故答案为： 和 ．
【分析】二元二次方程 的中间项 ，根据十字相乘法，分解即可．
13．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
三、综合题
14．（2020八下·北京期末）解方程：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解:
∴x+1=0或x-3=0
∴
（2）解:
∴x+1=0或3x-1=0
∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解．
15．（2020八下·海港期中）下面是小明解一元二次方程（x-5)2=3(x-5)的过程：
解：方程两边都除以（x-5)，得x-5=3，
解得x=8．
小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程．
【答案】解：小明的解题过程不正确．
正确的解答：移项，得（x-5)2-3(x-5)=0，
提公因式（x-5)，得（x-5)(x-5-3)=0，
x-5=0或x-5-3=0，
∴x1=5，x2=8．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的解法即可知小明的解题过程是错误的，利用因式分解法即可写出正确的解题过程．
16．阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有一种解法是利用因式分解来解的.如解方程：x2﹣3x+2＝0，左边分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，所以x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以原方程的解是x＝1或x＝2.
材料2：立方和公式用字母表示为：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），
（1）请利用材料1的方法解方程：x2﹣4x+3＝0；
（2）请根据材料2类比写出立方差公式：x3﹣y3＝ ；（提示：可以用换元方法）
（3）结合材料1和2，请你写出方程x6﹣7x3﹣8＝0所有根中的两个根.
【答案】（1）解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝1或x＝3
（2）（x﹣y）（x2+xy+y2 ）
（3）解：∵x6﹣7x3﹣8＝0，
∴（x3）2﹣7x3﹣8＝0，
∴（x3﹣8）（x3+1）＝0，
∴x3﹣8＝0或x3+1＝0，
∴x＝2或x＝﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（2）解：∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），
∴x3﹣y3＝x3+（﹣y）3＝[x+（﹣y）][x2﹣x（﹣y）+（﹣y）2]＝（x﹣y）（x2+xy+y2 ）
【分析】（1）由配方法和平方差公式法，或十字相乘法将方程左边因式分解，再转换成两个一元一次方程求出x＝1或x＝3；（2）根据立方和公式，用换元法求出立方差公式为x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2 ）；（3）由十字相乘法，幂的乘方求得方程的根为x＝2或x＝﹣1.
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初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·岑溪期末）方程 的根是（ ）
A． B．
C． D． ，
2．（2020八下·哈尔滨月考）方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )
A．x1＝ ，x2＝3 B．x＝
C．x1＝－ ，x2＝－3 D．x1＝ ，x2＝－3
3．方程(x-3)(x+1)=5的解是( )
A．x1=1,x2=-3 B．x1=4,x2=-2 C．x1=-1,x2=3 D．x1=-4,x2=2
4．若关于x的，一元二次方程x2+mx+n=0的两个实根分别为5，-6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．(x+5)(x- 6) B．(x-5)(x+6)
C．(x+5)(x+6) D．(x-5)(x-6)
5．（2019八下·乐清月考）已知方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3.则另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=-2 B．x1=1，x2=2
C．x1=-1，x2=-2 D．x1=-1，x2=2
6．已知代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数，则x的值是（ ）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．1或3 D．﹣1和﹣3
二、填空题
7．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是 ．
8．已知三角形的两边长分别是1和2，另一边长是方程x2-5x+6=0的一个根，则另一个边长是 .
9．关于x的方程ax2+bx+c=0的解与(x-1)(x-4)＝0的解相同，则a+b+c的值为 .
10．如果代数式x2+7x+2与x-3相等,那么x= .
11．若 ，则 ．
12．（2019八下·普陀期末）将二元二次方程 化为两个一次方程为 ．
13．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
三、综合题
14．（2020八下·北京期末）解方程：
（1） ．
（2） ．
15．（2020八下·海港期中）下面是小明解一元二次方程（x-5)2=3(x-5)的过程：
解：方程两边都除以（x-5)，得x-5=3，
解得x=8．
小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程．
16．阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有一种解法是利用因式分解来解的.如解方程：x2﹣3x+2＝0，左边分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，所以x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以原方程的解是x＝1或x＝2.
材料2：立方和公式用字母表示为：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），
（1）请利用材料1的方法解方程：x2﹣4x+3＝0；
（2）请根据材料2类比写出立方差公式：x3﹣y3＝ ；（提示：可以用换元方法）
（3）结合材料1和2，请你写出方程x6﹣7x3﹣8＝0所有根中的两个根.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2 x＝0，
x（x 1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1.
故答案为：D.
【分析】此题用因式分解法比较简单，将方程的左边利用提取公因式分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：5x（x＋3）-3（x＋3）=0，
（x＋3） （5x-3）=0，∴x+3=0或5x-3=0，
∴x1＝ ，x2＝－3．
故答案为：D．
【分析】先对方程进行移项，然后提取公因式（x-3），利用因式分解法解方程.
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得，
x2+x-3x-3-5=0
x2-2x-8=0
（x-4）（x+2）=0
∴x1=4，x2=-2
故答案为：B.
【分析】将方程化为一般式，利用十字相乘法进行因式分解，求出方程的解即可。
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程的两个根为5和-6
∴方程可表示为（x-5）（x+6）=0
故答案为：B.
【分析】根据题意可知，由十字相乘法，表示出方程的两个根即可。
5．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3，另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0
∴2x-1=1或2x-1=3
解之： x1=1，x2=2
故答案为：B
【分析】由已知方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3，另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0，就可得到2x-1=1或2x-1=3，解方程就可得到另一个方程的解。
6．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数，
∴（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0，
即（3﹣x）﹣x（x﹣3）=0
即（x﹣3）（x+1）=0，
解得，x1=3，x2=﹣1．
故选A．
【分析】由于代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数，则（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，根据方程系数的特点，应用因式分解法解答．
7．【答案】x1=3，x2=9
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x1=3，x2=9，
故答案为：x1=3，x2=9．
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，即可求出原方程的解。
8．【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x2-5x+6=0可得，
（x-3）（x-2）=0
∴x1=3，x2=2
∴三角形的三边长为1,2，3，或1,2,2
∵3-2=1
∴三角形的边长为1,2，2
【分析】根据题意，利用十字相乘法解一元二次方程，根据得到方程的解即可得到三角形的三条边，根据三角形三边的关系，进行取舍即可得到答案为2.
9．【答案】0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x-1）（x-4）=x2-4x-x+4=x2-5x+4=0
由两个方程相等可知，a=1，b=-5，c=4
∴a+b+c=0
【分析】根据两个方程的解相同，将（x-1）（x-4）=0展开，化为一般式，即可得到a，b以及c的值，求出答案即可。
10．【答案】1或5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知，
x2+7x+2=x-3
∴x2+6x+5=0
∴（x+1）（x+5）=0
∴x1=-1，x2=-5
【分析】根据十字相乘法求出方程的解即可。
11．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，∴[（x2+y2）﹣5][（x2+y2）+1]=0，∴x2+y2=5或x2+y2=﹣1（舍去）．
故答案为5．
【分析】根据因式分解法可以解答此方程．
12．【答案】 和
【知识点】十字相乘法因式分解；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【解答】解： ，
，
∴ ， ．
故答案为： 和 ．
【分析】二元二次方程 的中间项 ，根据十字相乘法，分解即可．
13．【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
14．【答案】（1）解:
∴x+1=0或x-3=0
∴
（2）解:
∴x+1=0或3x-1=0
∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解．
15．【答案】解：小明的解题过程不正确．
正确的解答：移项，得（x-5)2-3(x-5)=0，
提公因式（x-5)，得（x-5)(x-5-3)=0，
x-5=0或x-5-3=0，
∴x1=5，x2=8．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的解法即可知小明的解题过程是错误的，利用因式分解法即可写出正确的解题过程．
16．【答案】（1）解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝1或x＝3
（2）（x﹣y）（x2+xy+y2 ）
（3）解：∵x6﹣7x3﹣8＝0，
∴（x3）2﹣7x3﹣8＝0，
∴（x3﹣8）（x3+1）＝0，
∴x3﹣8＝0或x3+1＝0，
∴x＝2或x＝﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（2）解：∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），
∴x3﹣y3＝x3+（﹣y）3＝[x+（﹣y）][x2﹣x（﹣y）+（﹣y）2]＝（x﹣y）（x2+xy+y2 ）
【分析】（1）由配方法和平方差公式法，或十字相乘法将方程左边因式分解，再转换成两个一元一次方程求出x＝1或x＝3；（2）根据立方和公式，用换元法求出立方差公式为x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2 ）；（3）由十字相乘法，幂的乘方求得方程的根为x＝2或x＝﹣1.
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