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2022-2023学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》易错题精选
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)（2019·浙江金华·九年级期中）下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
根据二次函数的定义，形如（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是．
故选C．
2．(本题3分)（2020·浙江绍兴·九年级期中）对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1 C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【详解】
解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
3．(本题3分)（2021··九年级期中）将向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位得到的点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线的解析式为．故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
4．(本题3分)（2019·浙江·九年级期末）在同一直角坐标系中与图象大致为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】
解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图象解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
5．(本题3分)（2019·浙江台州·九年级期末）抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】
把y=x2+2x﹣3配方变成顶点式，求出顶点坐标即可得抛物线的最小值.
【详解】
∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵a=1＞0，
∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣4．
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数最值的求法：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握并灵活运用适当方法是解题关键.
6．(本题3分)（2019·浙江台州·九年级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.
【详解】
由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确；
图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误.
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
7．(本题3分)（2018·浙江·九年级期中）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=3，4，5
【详解】
解：∵抛物线L：y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点
∴①如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式
得x2-2x+2-c=0
△=（-2）2-4（2-c）=0
解得：c=1，
当c=1时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；
②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点
此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上
∴c的最小值=2，但取不到，c的最大值=5，能取到
∴2＜c≤5
又∵c为整数
∴c=3，4，5
综上，c=1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．
8．(本题3分)（2020·浙江宁波·九年级期中）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【详解】
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，
∵BC=10，
∴点B（﹣5，0），
∴0=a×（﹣5）2+，
∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为-7，
∴点E坐标为（-7，-），
∴-=m（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴MN=4，
∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=-10时，y=-，
∴-=-（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．(本题3分)（2019·浙江·天台精跃文化教育培训学校有限公司九年级期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【详解】
①∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误，不符合题意；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．
故选C．
10．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2-2 B．y＝（x﹣2）2+7
C．y＝（x﹣2）2-5 D．y＝（x﹣2）2+4
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AB、，过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，由平移的性质得四边形的面积等于阴影部分的面积，由此关系可确定平移的距离，则可求得平移后抛物线的解析式．
【详解】
∵函数的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m==，n==3，
∴A（1，），B（4，3），
如图，连接AB、，过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，），且四边形是平行四边形，
∴AC=4﹣1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴阴影部分的面积等于平行四边形的面积，
∴AC AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，即将函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，关键是确定平移的距离，难点是通过割补把不规则图形面积转化为规则图形面积．
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)（2022·浙江衢州·九年级期末）二次函数 y＝2（x﹣3）2+1图象的顶点坐标是______．
【答案】（3，1）
【解析】
【分析】
根据顶点式直接解答即可．
【详解】
解：二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（3，1）．
故答案为：（3，1）
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．
12．(本题3分)（2021·浙江绍兴·九年级期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为，则另一个交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的基本性质及对称轴求交点的对称点即可得．
【详解】
解：设另一个交点为，
根据对称轴及与x轴的交点可得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查利用二次函数的基本性质求交点的对称点，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
13．(本题3分)（2020·浙江·九年级期末）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
【答案】3.75
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【详解】
解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】
此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
14．(本题3分)（2022·浙江杭州·九年级期末）当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．
【详解】
解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，
函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，
当函数值都随着x的增大而减小，
则x≥4，即m的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．
15．(本题3分)（2022·浙江嘉兴·九年级期末）甲、乙两人研究二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数图象的顶点及这个定点都在该反比例函数图象上．”若甲、乙两人的描述正确，则a的值为______．
【答案】##-0.75
【解析】
【分析】
根据二次函数过定点，则与a的取值无关，得出定点和顶点再进行解答．
【详解】
解：∵y=ax2-4ax+3=ax(x-4)+3，
∴当x=4时，y=3，
∴二次函数图象一定过第一象限的一个定点（4，3），
∵y=ax2-4ax+3=a（x-2）2+3-4a，
∴顶点为（2，3-4a），
∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上，
∴2×（3-4a）=4×3，
∴a=-．
故答案为：-．
【点睛】
本题考查了二次函数和反比例函数的图象和性质，确定出二次函数过定点（4，3）是解答本题的关键．
16．(本题3分)（2022·浙江温州·九年级期末）已知二次函数（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当时，△ABP面积的最大值为8，则a的值为________．
【答案】##－0.8
【解析】
【分析】
根据函数解析式可以求得与x轴的两个交点，然后根据当x 0时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当-2 m 2时，△ABP面积的最大值为8，即可求得a的值．
【详解】
∵y=ax2+2ax-3a=a（x+3）（x-1），
∴当y=0时，x=-3或1，
不妨设点A的坐标为（-3，0），点B（1，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
∴该抛物线顶点的横坐标为，纵坐标为y=a-2a-3a=-4a，
∵当x 0时，y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∵P为抛物线上一点，且横坐标为m，当-2 m 2时，△ABP面积的最大值为8，
∴当x=2时，y=4a+4a-3a=5a，当x=-1时，y=-4a，
∵|5a|＞|-4a|，
∴，
即，
解得a=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是判断a的正负情况，求出a的值．
17．(本题3分)（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a．
其中正确的结论是_____（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算CD≤6，可以判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3时，y的取值范围便可判断结论④；
【详解】
解：将A、B两点坐标代入抛物线得：，
解得，故结论①正确；
抛物线对称轴为=2，函数开口向下，
∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即P1（x1，y1）离对称轴更远，
∴y1＜y2，故结论②错误；
设C（x3，0），C（x4，0），
由根与系数的关系得：x3＋x4=4，x3·x4=，
∴| x3－x4|=，
解得：a，故结论③正确；
由题意知：x=4时，y=3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，函数开口向下，
∴y对应的整数值为：5，4，3，
∴x=3时，对应的y值：5≤y＜6，
∴5≤9a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6，
解得﹣1＜a，故结论④正确；
故答案为：①③④；
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
三、解答题(共49分)
18．(本题6分)（2021·浙江丽水·九年级期中）已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）开口向上，直线；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可；
（2）令x=0，求出y的值即可．
【详解】
（1）∵，
∴抛物线开口向上，
∵=，
∴对称轴是直线；
（2）∵，
∴，
∴与y轴交点坐标是．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
19．(本题6分)（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）如图，斜靠在墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，则B端将沿CB方向移动多少米？
（3）在竹竿滑动的过程中，当A端下移多少距离时，△ABC面积最大？简述理由，并求出最大值．
【答案】（1） ；（2）7米；（3）当A端下移，△ABC面积最大，最大为
【解析】
【分析】
（1）根据题意得：∠ACB=90°， ， ，由勾股定理可得，从而得到，即可求解；
（2）根据题意可设，则 ，根据勾股定理列出方程，即可求解；
（3）设A端下移的距离为 ，则 ，则 ，从而得到，然后设 ，则，再由二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：∠ACB=90°， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
即B端将沿CB方向移动 ；
（2）根据题意可设，则 ，
在 中，由勾股定理得：，
即 ，
解得： ，
即B端将沿CB方向移动7米；
（3）设A端下移的距离为 ，则 ，则 ，
∴ ，
设 ，则，
∴，
∴当，即 时， 最大，即最大，
此时当 时，，
∴当 时， ，
∴当A端下移，△ABC面积最大，最大为 ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，二次函数的应用，熟练掌握勾股定理，二次函数的性质是解题的关键．
20．(本题6分)（2021·浙江宁波·九年级期中）如图，抛物线的图象与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）直线l的函数表达式为，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）动点P在抛物线AB段上运动，经过点P作y轴的平行线交直线l于点Q，求线段PQ的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点A、B坐标分别代入函数解析式求解即可确定函数解析式；
（2）设P（x，），（），则Q（x，），可得，根据x的取值范围，即可得出PQ的范围．
【详解】
解：（1）将点A、B坐标分别代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴函数解析式为：；
（2）设P（x，），（）
∵轴，
∴Q（x，），
∴根据图象可得：
PQ＝
当时，PQ取得最小值为；
当或3时，PQ取得最大值为；
∴线段PQ的取值范围为：．
【点睛】
题目主要考查二次函数的基本性质，利用待定系数法确定函数解析式，求函数值的取值范围，理解题意，结合图形列出函数解析式是解题关键．
21．(本题6分)（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）．
(1)求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？
(3)求出所能围成的花圃的最大面积．
【答案】(1)
(2)7m
(3)m2
【解析】
【分析】
（1）设AB长为x（m），则BC长为 （30-3x）（m），根据墙的最大可用长度为10m，且BC的长度大于0，可得自变量的取值范围，面积为长乘宽，可得函数表达式；
（2）面积为63m2，即y=63，代入表达式可得x的值，根据x的取值范围，可得结果；
（3）把二次函数化成顶点式，根据函数的增减性求最值即可．
【详解】
解：（1）设AB长为x（m），则BC长为（m），
∴且．即．
∴．
（2）由题意得：，解得：或7．
∵，∴不合题意，就舍去．
∴如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长应为7m．
（3）由题意知：，
∴在对称轴直线的右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值．最大值为．
∴篱笆围成的花圃的最大面积为m2．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用中的面积问题，根据题意理清关系是解题的关键．
22．(本题8分)（2022·浙江宁波·九年级期末）某琴行销售一种笛子，每支进价为56元．当售价每支为80元时，月平均销售量为60支．为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)．经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支．
(1)若设销售单价为元/支，则销售量为____________支（用含的代数式表示）；
(2)求月平均销售利润(单位：元)关于销售单价(单位：元/支)的函数表达式；
(3)当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？
【答案】(1)（-3x+300）
(2)y=-3x2+468x-16800；
(3)当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大
【解析】
【分析】
（1）根据售价每支为80元时，月平均销售量为60支，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支，列出销售量代数式；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求函数最值即可．
(1)
根据题意，当销售单价为x元/支时，销量为：60+3（80-x）=-3x+300，
∴销售量为（-3x+300）支，
故答案为：（-3x+300）；
(2)
设销售单价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得：
y=（x-56）（-3x+300）=-3x2+468x-16800，
∴月平均销售利润y关于销售单价x的函数表达式为y=-3x2+468x-16800；
(3)
由（2）知：y=-3x2+468x-16800=-3（x-78）2+1452，
∵-3＜0，56≤x≤80，
∴当x=78时，y有最大值，最大值为1452，
∴当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
23．(本题8分)（2022·浙江绍兴·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义，两点之间的“直角距离”为．二次函数的图象如图所示．
(1)点A为图象与y轴的交点，点在该二次函数的图象上，求的值．
(2)点C是二次函数图象上的一点，记点C的横坐标为m．
①求的最小值及对应的点C的坐标．
②当时，的最大值为p，最小值为q，若，求t的值．
【答案】(1)5
(2)①（1，2）②或
【解析】
【分析】
（1）分别求出A、B的坐标，然后根据直角距离的定义求解即可；
（2）①先求出点C的坐标为（m，），则，由此求解即可；②分类讨论当时， 当时， 当时，三种情况分别求解即可．
(1)
解：∵点A是二次函数与y轴的交点，
∴点A的坐标为（0，4），
∵点B（-1，b）在二次函数的函数图象上，
∴，
∴点B的坐标为（-1，8），
∴；
(2)
解：①令x=m，则，
∴点C的坐标为（m，），
∴，
∵，，
∴，
∴当m=1时，有最小值，最小值为3，此时点C的坐标为（1，2）；
②∵，
∴当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，
把代入到中得，
把代入到中得，，
当时，解得，
当时， 的最小值，最大值
∵，
∴，
解得或（舍去）；
当时， 的最小值，最大值
∵，
∴，
解得或（舍去）；
当时， 的最小值，最大值
∵，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质．
24．(本题9分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
【答案】(1)4
(2)，
(3)（2，-3），
【解析】
【分析】
（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m），代入抛物线的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．
（2）利用（1）中方法可求碗宽，根据等腰直角三角形可知碗高是碗宽的一半．
（3）①由碗高为3求出a，再求顶点坐标即可；②作QS⊥BP于S，找到PQ和QS的关系后即可解决问题．
(1)
解：根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．
把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），
∴A（﹣2，2），B（2，2），
∴AB＝4，即碗宽为4；
故答案为：4．
(2)
解：类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；
抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；
故答案为：，．
(3)
解：①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，
解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；
则M的坐标为（2，-3）；
②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，
∴PQ⊥OB，
∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，
∴PQ=2PS，，
当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，
由（2）可知QS最大为3，则，；
PQ长度的最大值为．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和直角三角形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练运用二次函数的性质和直角三角形的性质求解．
试卷第1页，共3页
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2022-2023学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》易错题精选
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)（2019·浙江金华·九年级期中）下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．(本题3分)（2020·浙江绍兴·九年级期中）对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1 C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点
3．(本题3分)（2021··九年级期中）将向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)（2019·浙江·九年级期末）在同一直角坐标系中与图象大致为
A． B． C． D．
5．(本题3分)（2019·浙江台州·九年级期末）抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
6．(本题3分)（2019·浙江台州·九年级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
7．(本题3分)（2018·浙江·九年级期中）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
8．(本题3分)（2020·浙江宁波·九年级期中）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
9．(本题3分)（2019·浙江·天台精跃文化教育培训学校有限公司九年级期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)（2022·浙江衢州·九年级期末）二次函数 y＝2（x﹣3）2+1图象的顶点坐标是______．
12．(本题3分)（2021·浙江绍兴·九年级期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为，则另一个交点坐标为______．
13．(本题3分)（2020·浙江·九年级期末）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
14．(本题3分)（2022·浙江杭州·九年级期末）当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．
15．(本题3分)（2022·浙江嘉兴·九年级期末）甲、乙两人研究二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数图象的顶点及这个定点都在该反比例函数图象上．”若甲、乙两人的描述正确，则a的值为______．
16．(本题3分)（2022·浙江温州·九年级期末）已知二次函数（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当时，△ABP面积的最大值为8，则a的值为________．
判断a的正负情况，求出a的值．
17．(本题3分)（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a．
其中正确的结论是_____（填写序号）．
三、解答题(共49分)
18．(本题6分)（2021·浙江丽水·九年级期中）已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
19．(本题6分)（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）如图，斜靠在墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，则B端将沿CB方向移动多少米？
（3）在竹竿滑动的过程中，当A端下移多少距离时，△ABC面积最大？简述理由，并求出最大值．
20．(本题6分)（2021·浙江宁波·九年级期中）如图，抛物线的图象与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）直线l的函数表达式为，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）动点P在抛物线AB段上运动，经过点P作y轴的平行线交直线l于点Q，求线段PQ的取值范围．
21．(本题6分)（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）．
(1)求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？
(3)求出所能围成的花圃的最大面积．
22．(本题8分)（2022·浙江宁波·九年级期末）某琴行销售一种笛子，每支进价为56元．当售价每支为80元时，月平均销售量为60支．为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)．经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支．
(1)若设销售单价为元/支，则销售量为____________支（用含的代数式表示）；
(2)求月平均销售利润(单位：元)关于销售单价(单位：元/支)的函数表达式；
(3)当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？
23．(本题8分)（2022·浙江绍兴·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义，两点之间的“直角距离”为．二次函数的图象如图所示．
(1)点A为图象与y轴的交点，点在该二次函数的图象上，求的值．
(2)点C是二次函数图象上的一点，记点C的横坐标为m．
①求的最小值及对应的点C的坐标．
②当时，的最大值为p，最小值为q，若，求t的值．
24．(本题9分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
试卷第1页，共3页
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