三角形的初步认识—三角形的稳定性21世纪教育网
一、选择题（共20小题）
1、（2013?绵阳）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A、0根 B、1根21世纪教育网版权所有
C、2根 D、3根
2、（2012?绵阳）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
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A、两点之间线段最短 B、矩形的对称性
C、矩形的四个角都是直角 D、三角形的稳定性
3、（2009?乌鲁木齐）在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（ ）
A、两点之间线段最短 B、两点确定一条直线
C、三角形的稳定性 D、矩形的四个角都是直角
4、（2009?山西）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短
C、两点确定一条直线 D、垂线段最短
5、如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做是运用了三角形的（ ）21世纪教育网版权所有
A、全等性 B、灵活性
C、稳定性 D、对称性
6、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A、菱形 B、钝角三角形
C、长方形 D、正方形
7、不是利用三角形稳定性的是（ ）
A、自行车的三角形车架 B、三角形房架
C、照相机的三角架 D、矩形门框的斜拉条
8、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A、两点之间的线段最短 B、三角形具有稳定性
C、长方形是轴对称图形 D、长方形的四个角都是直角
9、下列图形中有稳定性的是（ ）
A、正方形 B、长方形
C、直角三角形 D、平行四边形
10、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A、直角三角形 B、长方形
C、正方形 D、平行四边形
11、下列各图形中，具有稳定性的是（ ）
A、 B、
C、 D、
12、下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A、 B、
C、 D、
13、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（ ）
A、两点之间，线段最短 B、垂线段最短
C、三角形具有稳定性 D、两直线平行，内错角相等
14、如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（ 21*cnjy*com ）
A、 B、
C、 D、
15、如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
A、稳定性 B、灵活性
C、对称性 D、全等性
16、图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
17、用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是（ ）
A、3根 B、4根
C、5根 D、6根
18、下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A、平行四边形 B、三角形
C、梯形 D、菱形
19、为防止变形，木工师傅常常在门框钉上两条斜拉的木条（如图中的AB，CD），这样做是运用了三角形的（ ）
A、稳定性 B、灵活性
C、全等性 D、对称性
20、如图所示，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，其原因是（ ）
A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短
C、垂线段最短 D、对顶角相等
二、填空题（共5小题）
21、（2006?舟山）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是 _________ ．
22、（2006?永州）工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 _________ 性．
23、（2004?新疆）如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是 _________ ．
24、（2002?吉林）工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做根据的数学知识是 _________ ．
25、木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、现有一把摇晃的椅子，你如何做才能将它修好？为什么？
27、要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？
28、木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？
29、（1）下列图形中具有稳定性是 _________ ；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
30、如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求：
（1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案；
（2）通过上面的设计，可以看出至少需再加几根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用？
（3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是什么？
三角形的初步认识—三角形的稳定性21世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、（2013?绵阳）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A、0根 B、1根
C、2根 D、3根
考点：三角形的稳定性。
专题：存在型。
分析：根据三角形的稳定性进行解答即可．
解答：解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选B．
点评：本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
2、（2009?绵阳）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A、两点之间线段最短 B、矩形的对称性
C、矩形的四个角都是直角 D、三角形的稳定性
3、（2009?乌鲁木齐）在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（ ）
A、两点之间线段最短 B、两点确定一条直线
C、三角形的稳定性 D、矩形的四个角都是直角21世纪教育网
考点：三角形的稳定性。
分析：加上EF后，原图形中具有△DEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
解答：解：这种做法根据的是三角形的稳定性．故选C．
点评：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4、（2005?山西）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短
C、两点确定一条直线 D、垂线段最短
考点：三角形的稳定性。
分析：要对其固定，显然运用了三角形的稳定性．
解答：解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．故选A．
点评：要能运用数学知识解释生活中的现象．
5、如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做是运用了三角形的（ ）
A、全等性 B、灵活性
C、稳定性 D、对称性
考点：三角形的稳定性。
分析：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
解答：解：这样做是运用了三角形的：稳定性．故选C．
点评：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
6、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A、菱形 B、钝角三角形
C、长方形 D、正方形
7、不是利用三角形稳定性的是（ ）
A、自行车的三角形车架 B、三角形房架
C、照相机的三角架 D、矩形门框的斜拉条
考点：三角形的稳定性。
分析：关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
解答：解：照相机的三脚架构成的是立体图形，不是三角形．故选C．
点评：本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．
8、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A、两点之间的线段最短 B、三角形具有稳定性
C、长方形是轴对称图形 D、长方形的四个角都是直角
9、下列图形中有稳定性的是（ ）
A、正方形 B、长方形
C、直角三角形 D、平行四边形
考点：三角形的稳定性。
分析：稳定性是三角形的特性．
解答：解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．故选C．
点评：稳定性是三角形的特性，这一点需要记忆．
10、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A、直角三角形 B、长方形
C、正方形 D、平行四边形
考点：三角形的稳定性。
分析：根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
解答：解：三角形具有稳定性．故选A．
点评：此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
11、下列各图形中，具有稳定性的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：三角形的稳定性。
分析：根据三角形具有稳定性作答．
解答：解：因为三角形具有稳定性，而A中全部构成了三角形结构．故选A．
点评：本题考查三角形的稳定性．
12、下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：三角形的稳定性。
分析：由于三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，故B正确．
解答：解：A、是四边形，没有稳定性；
B、是三角形，有稳定性；
C、是两个四边形，没有稳定性；
D、是四边形，没有稳定性．
故选B．
点评：本题考查了三角形的稳定性．
13、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（ ）
A、两点之间，线段最短 B、垂线段最短
C、三角形具有稳定性 D、两直线平行，内错角相等
考点：三角形的稳定性。
分析：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
解答：解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选C．
点评：数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释．
14、如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（ ）
A、 B、
C、 D、
15、如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
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A、稳定性 B、灵活性
C、对称性 D、全等性
考点：三角形的稳定性。
分析：三角形的特性之一就是具有稳定性．
解答：解：这是利用了三角形的稳定性．故选A．
点评：主要考查了三角形的性质中的稳定性．
16、图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：三角形的稳定性。
分析：用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
解答：解：如图：A点加上螺栓后，
根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
故选A．
点评：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
17、用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是（ ）
A、3根 B、4根
C、5根 D、6根
18、下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A、平行四边形 B、三角形
C、梯形 D、菱形
考点：三角形的稳定性。
分析：所有图形里，具有稳定性的是三角形．据此作答．
解答：解：所有图形里，只有三角形具有稳定性．故选B．
点评：本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
19、为防止变形，木工师傅常常在门框钉上两条斜拉的木条（如图中的AB，CD），这样做是运用了三角形的（ ）
A、稳定性 B、灵活性
C、全等性 D、对称性
考点：三角形的稳定性。
分析：这种做法根据的是三角形的稳定性．
解答：解：这样做是运用了三角形的稳定性．故选A．
点评：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
20、如图所示，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，其原因是（ ）
A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短
C、垂线段最短 D、对顶角相等
考点：三角形的稳定性。
分析：在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解答：解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故选A．
点评：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
二、填空题（共5小题）
21、（2006?舟山）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是 三角形稳定性 ．
考点：三角形的稳定性。
分析：将其固定，显然是运用了三角形的稳定性．
解答：解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
点评：注意能够运用数学知识解释生活中的现象，考查三角形的稳定性．
22、（2006?永州）工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 稳定 性．
考点：三角形的稳定性。
分析：根据题目中为防止变形的做法，显然运用了三角形的稳定性．
解答：解：为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定性．
点评：能够运用数学知识解释生活中的现象．
23、（2004?新疆）如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是 利用三角形的稳定性使门板不变形 ．
考点：三角形的稳定性。
分析：此题根据题目的意思，钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性．
解答：解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形．
点评：能够运用数学知识解释生活中的现象，考查了三角形的稳定性．
24、（2002?吉林）工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做根据的数学知识是 三角形的稳定性 ．
考点：三角形的稳定性。
分析：钉上两条斜拉的木条后，形成了两个三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
解答：解：这样做根据的数学知识是：三角形的稳定性．
点评：本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
25、木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是 三角形的稳定性 ．
考点：三角形的稳定性。
分析：根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
解答：解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故空中填：三角形的稳定性．
点评：本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题．
三、解答题（共5小题）
26、现有一把摇晃的椅子，你如何做才能将它修好？为什么？
考点：三角形的稳定性。
分析：运用三角形的稳定性，用木条固定矩形的地方，组成三角形即可．
解答：解：把摇晃的椅子，设计成三角形结构即可将它修好．因为三角形具有稳定性．
点评：本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题．
27、要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？
考点：三角形的稳定性。
分析：要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可．
解答：解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；
五边形木架，至少要再钉上2根木条，使四边形变成3个三角形；
六边形木架，至少要再钉上3根木条，使四边形变成4个三角形；
n边形木架，至少要再钉上（n﹣3）根木条，使四边形变成（n﹣2）个三角形．
点评：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
28、木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？
29、（1）下列图形中具有稳定性是 ①④⑥ ；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．21世纪教育网版权所有
考点：三角形的稳定性。
分析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
解答：解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．
（2）如图所示：
点评：本题主要考查三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
30、如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求：
（1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案；
（2）通过上面的设计，可以看出至少需再加几根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用？
（3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是什么？21世纪教育网版权21*cnjy*com所有
考点：作图—应用与设计作图；三角形的稳定性。
专题：方案型。
分析：考虑到骨架的稳固性，根据三角形的稳定性原则，所以要构建三角形．六边形分变成几个三角形，至少需要3根竹条．
解答：解：（1）如图所示（答案不唯一）
（2）至少要三根；21世纪教育网版权所有
（3）三角形的稳定性．
点评：生活中到处是知识，在生活中学习是一种非常有用的学习方法．
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三角形的初步认识—三角形的认识
一、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
1、（2006?贵阳）两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 _________ 个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
2、阅读材料，并填表：
在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其它条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
完成下表：
ABC内点的个数
1
2
3
…
1002
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
…
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3、已知：△ABC的周长为18cm，AB边比AC边短2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．
4、图中有多少个三角形？
5、在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．
（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？
（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）
二、选择题（共20小题）
6、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A、底与边不相等的等腰三角形 B、等边三角形
C、钝角三角形 D、直角三角形
7、如图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为（ ）根．
A、165 B、65
C、110 D、55
8、（2010?娄底）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
9、（2009?呼和浩特）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形
10、（2006?绍兴）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）
A、2对 B、3对
C、4对 D、6对
11、（2000?内江）如图，在△ABC中，AD、BE、CF相交于O点，则图中的三角形的个数是（ ）
A、7个 B、10个
C、15个 D、16个
12、试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A、一个直角三角形一定不是等腰三角形 B、一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C、一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D、一个等边三角形一定不是钝角三角形
13、如图所示，其中三角形的个数是（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
14、如图所示，共有三角形（ ）
A、5个 B、6个
C、7个 D、8个
15、图中三角形的个数是（ ）
A、8 B、9
C、10 D、11
16、右图中三角形的个数是（ ）
A、6 B、7
C、8 D、9
17、若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形
C、钝角三角形 D、以上都不对
18、如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ）
A、△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B、△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C、△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D、△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
19、如图，图中三角形的个数为（ ）
A、2 B、18
C、19 D、20
20、图中三角形的个数是（ ）
A、7 B、8
C、9 D、10
21、下图中共有（ ）个三角形．21世纪教育网
A、4 B、7
C、8 D、9
22、如图所示，图中共有三角形（ 21*cnjy*com ）
21*cnjy*com
A、6个 B、7个
C、8个 D、9个
23、如图，以BC为公共边的三角形的个数是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
24、以圆周上6点中的任意3点为顶点连三角形，一共可以连成多少个不同的三角形（ ）
A、216 B、120
C、40 D、20
25、三角形是（ ）
A、连接任意三点组成的图形 B、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C、由三条线段组成的图形 D、以上说法均不对
三、填空题（共5小题）
26、观察下列图形：
根据①②③的规律，图④中三角形个数为 _________ ．
27、（2003?宜昌）三角形按边的相等关系分类如下：三角形（ ）内可填入的是 _________ ．
28、如图，直角ABC的周长为2008，在其内部有五个小直角三角形，则这五个小直角三角形的周长为 _________ ．
29、如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形 _________ 个．
30、在图中，共有k个三角形，则k+2001= _________ ．
三角形的初步认识—三角形的认识
答案与评分标准
一、解答题（共5小题）
1、（2006?贵阳）两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；21世纪教育网版权所有
图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 4 个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；
（3）2×（2006﹣1）=4010个．
答：当n=2006时，最少可以画4010个三角形．
点评：此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生的通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
2、阅读材料，并填表：21世纪教育网
在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其它条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
完成下表：
ABC内点的个数
1
2
3
…
1002
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
…
考点：三角形。
专题：规律型。
分析：认真观察图形和数字之间的关系，总结规律：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，据此作答．
解答：解：当△ABC内的点的个数为3个时，三角形内互不重叠的小三角形的个数为7个；
当△ABC内的点的个数为1002个时，三角形内互不重叠的小三角形的个数为2005个．
点评：考查了学生的观察能力和总结能力．
3、已知：△ABC的周长为18cm，AB边比AC边短2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．
考点：三角形。
分析：设AC的边长为xcm，分别表示出AB、BC边的长为（x﹣2）cm，xcm，根据三角形的周长为18cm，列出方程即可求出三边的长．
解答：解：设AC边长为xcm，则AB边长为（x﹣2）cm，BC边长为x，
根据题意，得x+（x﹣2）+x=18，
解得x=8，
∴x﹣2=6，
x=4，
即AB=6cm，BC=4cm，AC=8cm．
点评：本题是三角形周长与一元一次方程相结合的题，根据周长列一元一次方程是解题的关键．
4、图中有多少个三角形？
考点：三角形。
专题：规律型。
分析：不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
解答：解：以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF共5个；
以OB为一边的三角形还有4个（前面已计数过的不再数，下同），它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；
以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；
以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15（个）．
点评：本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
5、在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．
（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？
（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）
考点：三角形。
分析：（1）根据边长都为正数和周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形．
（2）根据边长关系可确定所有符合条件的三角形．
解答：解：（1）根据边长都为正数和周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形分别为（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）；
（2）（2，8，8），（3，7，8），（4，7，7），（4，6，8），（5，6，7），（5，5，8），（6，6，6）．
点评：可以一一列举出来，这样问题就引刃而解了，但是要注意有顺序的找，这样不容易遗漏．
二、选择题（共20小题）
6、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A、底与边不相等的等腰三角形 B、等边三角形
C、钝角三角形 D、直角三角形
7、如图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为（ ）根．
A、165 B、65
C、110 D、55
考点：规律型：图形的变化类；三角形。
专题：规律型。
分析：图形从上到下可以分成几行，第n行中，斜放的火柴有2n根，下面横放的有n根，因而图形中有n排三角形时，火柴的根数是：斜放的是2+4+…+2n=2（1+2+…+n），横放的是：1+2+3+…+n，则每排放n根时总计有火柴数是：3（1+2+…+n）=．把n=10代入就可以求出．
解答：解：根据题意得出规律每排放n根时总计有火柴数是：3（1+2+…+n）=，
当每边摆10根（即n=10）时，需要的火柴棒总数为=165．
故选A．
点评：观察图形总结出规律是解决本题的关键．
8、（2010?娄底）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：三角形。
分析：根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形．
解答：解：BC上有3条线段，所以有三个三角形．故选C．
点评：三角形的定义中应注意“首尾顺次连接”这一含义．
9、（2009?呼和浩特）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形
考点：三角形。
分析：利用三角形外角与内角的关系计算．
解答：解：一个外角为50°，所以与它相邻的内角的度数为130°，所以三角形为钝角三角形．故选B．
点评：本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类．
10、（2006?绍兴）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）
A、2对 B、3对
C、4对 D、6对
11、（2000?内江）如图，在△ABC中，AD、BE、CF相交于O点，则图中的三角形的个数是（ ）
A、7个 B、10个
C、15个 D、16个
考点：三角形。
分析：根据三角形的概念，最小的有6个，2个组成一个的有3个，三个组成一个的有6个，最大的有一个，则有6+3+6+1=16个．
解答：解：6+3+6+1=16个三角形．故选D．
点评：考查了三角形的概念，数三角形的个数的时候，要有规律地去数，做到不重不漏．
12、试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A、一个直角三角形一定不是等腰三角形 B、一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C、一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D、一个等边三角形一定不是钝角三角形
考点：三角形。
分析：根据三角形的分类方法进行分析判断．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）．
解答：解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°．故该选项正确．
故选D．
点评：此题考查了三角形的分类方法，理解各类三角形的定义．
13、如图所示，其中三角形的个数是（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
考点：三角形。
分析：根据三角形的定义得到图中有△ABE，△DEC，△BEC，△ABC，△DBC共5个．
解答：解：△ABE，△DEC，△BEC，△ABC，△DBC共5个．故选D．
点评：三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形．
14、如图所示，共有三角形（ ）
A、5个 B、6个
C、7个 D、8个
考点：三角形。
分析：根据三角形的定义，图中三角形有：△ABD，△BOC，△COD，△BCD，△ABC共5个．
解答：解：∵图中三角形有：△ABD，△BOC，△COD，△BCD，△ABC，
∴共有三角形5个．
故选A．
点评：此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
15、图中三角形的个数是（ ）
A、8 B、9
C、10 D、11
考点：三角形。
分析：根据三角形的定义，由图得：三角形有△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB共9个．
解答：解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，
∴共9个三角形．
故选B．
点评：此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
16、右图中三角形的个数是（ ）
A、6 B、7
C、8 D、9
考点：三角形。
分析：根据三角形的定义得：图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED共8个．
解答：解：∵图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED，
∴共8个．
故选C．
点评：此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
17、若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形
C、钝角三角形 D、以上都不对
考点：三角形。
分析：如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解．
解答：解：如图：
（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；
（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．
所以三角形的形状不能确定．
故选D．
点评：解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．
18、如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ）21*cnjy*com
A、△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B、△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C、△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D、△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
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分析：因为BC边变大，∠A也随着变大，∠C在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
解答：解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
故选D．
点评：解题时要注意三角形的变化：∠B不变，∠A变大，∠C在变小．
19、如图，图中三角形的个数为（ ）
A、2 B、18
C、19 D、20
20、图中三角形的个数是（ ）
A、7 B、8
C、9 D、10
考点：三角形。
分析：根据三角形的定义，图中的三角形有：△ABE，△ABF，△ACF，△ACG，△ADG，△EFB，△FCG，△CDG，△BCF共有9个．
解答：解：三角形的个数是9，分别是：△ABE，△ABF，△ACF，△ACG，△ADG，△EFB，△FCG，△CDG，△BCF．
故选C．
点评：本题主要考查了对三角形的认识．
21、下图中共有（ ）个三角形．
A、4 B、7
C、8 D、9
22、如图所示，图中共有三角形（ ）
A、6个 B、7个
C、8个 D、9个
考点：三角形。
分析：根据三角形的定义，让不在同一条直线上的三个点组合即可．找的时候要有顺序．共有△ABC，△ABE，△ACD，△BCF，△BCD，△BCE，△BFD，△CFE8个三角形．
解答：解：图中三角形有：△ABC，△ABE，△ACD，△BCF，△BCD，△BCE，△BFD，△CFE，共8个三角形．故选C．
点评：注意找的时候要有顺序，也可从小到大找．
23、如图，以BC为公共边的三角形的个数是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
考点：三角形。
分析：根据三角形的定义，由图知：以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC共4个．
解答：解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．
故选C．
点评：此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．
24、以圆周上6点中的任意3点为顶点连三角形，一共可以连成多少个不同的三角形（ ）
A、216 B、120
C、40 D、20
考点：三角形。
专题：计算题。
分析：以圆周上6点中的任意3点为顶点连成一个三角形，据此即可求解．
解答：解：根据题意得：C63=20．
故选D．
点评：本题主要考查了三角形的定义，任意不在一条直线上的三个点即可组成一个三角形，本题考查了组合公式．
25、三角形是（ ）
A、连接任意三点组成的图形 B、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C、由三条线段组成的图形 D、以上说法均不对
三、填空题（共5小题）
26、观察下列图形：
根据①②③的规律，图④中三角形个数为 161 ．
考点：规律型：图形的变化类；三角形。
专题：规律型。
分析：第①个图形中有1+4=5个正方形；第②个图形中有（5+3×4）个三角形；第③个图形中有（5+3×4+32×4）个三角形，那么第④个图形中三角形的个数为第③个图形中三角形的个数+33×4，把相关数值代入计算即可．
解答：解：根据图中①、②、③的规律，可知图④中的三角形的个数为
1+4+3×4+32×4+33×4，
=1+4+12+36+108，
=161（个）．
故答案为：161．
点评：本题考查了图形的规律性问题；得到后一个图形中三角形的个数与前面图形中三角形的个数的关系是解决本题的关键．
27、（2003?宜昌）三角形按边的相等关系分类如下：三角形（ ）内可填入的是 等边三角形 ．
考点：三角形。21世纪教育网
分析：此题考查的是三角形的分类方法．从边的角度来进行分类，那么除了不等边、等腰、以及底边和腰不相等的三角形外，还有等边三角形，由此得解．
解答：解：三角形按边可分为：，
故答案为：等边三角形．
点评：解答此题的关键是理解三角形的分类方法，此题中，有些同学会认为等边三角形应属于特殊的等腰三角形（这样认为是没有错误的），但是从另一个角度来看，等边三角形有一些特殊的性质而等腰三角形并不具备，所以在按边分类时，应该将等腰三角形和等边三角形区分开来．21世纪教育网
28、如图，直角ABC的周长为2008，在其内部有五个小直角三角形，则这五个小直角三角形的周长为 2008 ．
考点：三角形。
分析：根据题意可得：五个小直角三角形与大三角形相似，可得对应边都成比例，对应周长的比等于相似比．
因为五个小三角形的斜边长的和等于大三角形的斜边长，由等比性质，可得五个小三角形的斜边长的和等于大三角形的斜边长．
解答：解：∵五个小直角三角形与大三角形相似，
∴对应边的比相等，
∵五个小三角形的斜边长的和等于大三角形的斜边长，
∴五个小三角形的周长的和等于大三角形的周长为2008．
点评：此题考查了相似三角形的性质．注意等比性质的应用．
29、如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形 21 个．
考点：三角形。
专题：规律型。
分析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，即第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．
所以当n=6时，原式=21．注意规律：后面的图形比前面的多4个．
解答：解：第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．所以当n=6时，原式=21，故填21．
点评：注意正确发现规律，根据规律进行计算．
30、在图中，共有k个三角形，则k+2001= 2007 ．
三角形的初步认识—三角形的重心
一、选择题（共20小题）
1、给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心21世纪教育网
（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有（ ）
A、一个 B、两个
C、三个 D、四个
2、如图，G为△ABC的重心，其中∠C=90°，D在AB上，GD⊥AB．若AB=29，AC=20，BC=21，则GD的长度为何？（ ）
A、7 B、14
C、 D、
3、如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（ ）
A、1：2 B、2：1
C、2：3 D、3：2
4、在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，那么线段DG的长为（ ）
A、2 B、321*cnjy*com
C、6 D、12
5、三角形的重心是三角形三条（ ）的交点．21世纪教育网
A、中线 B、高
C、角平分线 D、垂直平分线
6、三角形的重心是（ ）
A、三角形三条角平分线的交点 B、三角形三条中线的交点
C、三角形三条边的垂直平分线的交点 D、三角形三条高的交点
7、已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的（ ）
A、中心 B、重心
C、外心 D、内心
8、用手指顶住一块质量均匀的三角形木板使其平衡，则手指顶住的点是三角形（ ）
A、三条角平分线的交点 B、三条高线的交点
C、三条中线的交点 D、三条中垂线的交点
9、如果三角形的重心在它的一条高线上，则这个三角形一定是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等边三角形 D、等腰直角三角形
10、如图所示，△ABC，D，E，F三点将BC四等分，AG：AC=1：3，H为AB的中点，下列哪一个点为△ABC的重心（ ）
A、X B、Y
C、Z D、W
11、如图所示，已知G为直角△ABC的重心，∠ABC=90°，且AB=12cm，BC=9cm，则△AGD的面积是（ ）
A、9cm2 B、12cm2
C、18cm2 D、20cm2
12、G为△ABC的重心，△ABC的三边长满足AB＞BC＞CA，记△GAB，△GBC，△GCA的面积分别为S1、S2、S3，则有（ ）
A、S1＞S2＞S3 B、S1=S2=S3
C、S1＜S2＜S3 D、S1S2S3的大小关系不确定
13、如图，在△ABC中，D、E、F三点将BC分成四等分，XG：BX=1：3，H为AB中点．则△ABC的重心是（ ）
A、X B、Y21世纪教育网版权所有
C、Z D、W
14、如果点G是△ABC的重心，D是边BC的中点，那么AG：GD的值为（ ）
A、2 B、
C、 D、
15、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且CG=2，则AB长为（ ）
A、2 B、3
C、4 D、6
16、在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果DG=2，那么线段AD的长是（ ）
A、2 B、3
C、6 D、12
17、三角形的重心是（ ）
A、三角形三条角平分线的交点 B、三角形三条中线的交点
C、三角形三条高所在直线的交点 D、三角形三条边的垂直平分线的交点
18、在?ABCD中，AB=6cm，BC=3cm，E为BC的重心，O为?ABCD中的重心，则OE的长是（ ）
A、3cm B、1.5cm
C、4cm D、以上都不对
19、已知G是△ABC的重心，过G作EF∥BC且与AB、AC分别交于E、F两点，则EF：BC的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
20、三角形的重心是（ ）
A、三条角平分线的交点 B、三条高的交点
C、三条中线的交点 D、三条边的垂直平分线的交点
二、填空题（共5小题）
21、在等腰△ABC中，CD是底边AB上的高，E是腰BC的中点，AE与CD交于F，现给出三条路线：
（a）A→F→C→E→B→D→A；
（b）A→C→E→B→D→F→A；
（c）A→D→B→E→F→C→A；
它们的长度分别记为L（a）、L（b）及L（c），则L（a）＜L（b），L（a）＜L（c），L（b）＜L（c）中一定能成立的是 _________ ．
22、（2008?上海）在△ABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD：DB= _________ ．
23、（2004?上海）在△ABC中，点G是重心，若BC边上的高为6，则点G到BC的距离为 _________ ．
24、如图，在△ABC中，AT是中线，点G为重心，若TG=2，则AG= _________ ．
25、已知点G是△ABC的重心，AG=6，那么点G与边BC中点之间的距离是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、有一块厚度均匀的任意四边形木块，如图所示．如何用作图的方法来确定此木块的重心位置？请写出作图步骤．
27、过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．
28、为了探究夹角为60°的V形架中放置正多边形钢板的稳定性问题（正多边形的重心就是它的中心，重心越低越稳定），请按以下放置的方式进行计算和猜想：
（1）将一个边长为 20cm的正三角形钢板（用△ABC表示）按图1，图2，图3，的三种方式进行放置．已知在图3中，重心距地面的距离为，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？
（2）若将（l）中的正三角形钢板换成边长为 20cm的正方形钢板（如图4，图5，图6）．已知在图6中，重心距地面的距离约为23.7cm，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？（可能用到的数据：≈1.4；≈1.7；≈2.4）
（3）通过上述计算，若将一个边长为 20cm的正六边形钢板放置于架中（如图7，图8，图9），你认为 _________ 的重心最低（只须填图形的编号，不必计算）．
29、在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，BO与OD的长度有什么关系？请证明．
30、如图△ABC中，AB=AC，中线BD和中线CE相交于点P，
（1）PB与PC相等吗？请说明你的理由．
（2）连接AP并延长交BC于点F，你会发现与AF有关的结论，请写出两条，并就其中一条发现写出你的发现过程．
三角形的初步认识—三角形的重心
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、（2010?荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心
（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有（ ）
A、一个 B、两个
C、三个 D、四个
考点：三角形的重心。
分析：重心指几何体的几何中心．
解答：解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；
（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；
（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确；
（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确；
故选D．
点评：主要考查了常见图形的重心．
2、（2011?台湾）如图，G为△ABC的重心，其中∠C=90°，D在AB上，GD⊥AB．若AB=29，AC=20，BC=21，则GD的长度为何？（ ）
A、7 B、14
C、 D、
考点：三角形的重心。
专题：计算题。
分析：连接AG、BG，根据重心的性质可知，S△ABG=S△ABC，再根据三角形面积的表示方法，列方程求解．
解答：解：连接AG、BG，
∵G为重心，
∴S△ABG=S△ABC，
即×AB×GD=××BC×AC，
×29×GD=××21×20，
29×GD=7×20，
解得GD=．
故选C．
点评：本题考查了三角形重心的性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点，根据中线平分面积，重心将中线分为1：2两部分求解．
3、（2008?台湾）如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（ ）
A、1：2 B、2：1
C、2：3 D、3：2
4、（2006?上海）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，那么线段DG的长为（ ）
A、2 B、3
C、6 D、12
考点：三角形的重心。
分析：根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．
解答：解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，
∴DG=AG=3．
故选B．
点评：掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是其道对边中点的距离的2倍．运用三角形的中位线定理即可证明此结论．
5、三角形的重心是三角形三条（ ）的交点．
A、中线 B、高
C、角平分线 D、垂直平分线
考点：三角形的重心。
分析：根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
解答：解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选A．
点评：此题考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
6、三角形的重心是（ ）
A、三角形三条角平分线的交点 B、三角形三条中线的交点
C、三角形三条边的垂直平分线的交点 D、三角形三条高的交点
考点：三角形的重心。
分析：根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
解答：解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选B．
点评：考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
7、已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的（ ）21世纪教育网
A、中心 B、重心
C、外心 D、内心
考点：三角形的重心。
专题：网格型。
分析：观察图发现，点P是三角形的三条中线的交点．结合选项，得出正确答案．
解答：解：A、等边三角形才有中心，故错误；
B、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故正确；
C、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故错误；
D、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故错误．
故选B．
点评：本题考查三角形的重心、外心、内心的概念，牢记并能熟练运用．
8、用手指顶住一块质量均匀的三角形木板使其平衡，则手指顶住的点是三角形（ ）
A、三条角平分线的交点 B、三条高线的交点
C、三条中线的交点 D、三条中垂线的交点
考点：三角形的重心。
分析：重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．只有重心才能使质量均匀的三角形木板平衡，而重心是三角形三条中线的交点．
解答：解：用手指顶住一块质量均匀的三角形木板使其平衡，
则手指顶住的点是三角形的重心，即三条中线的交点．
故选C
点评：本题用到的知识点为：三角形三条中线的交点叫重心．
9、如果三角形的重心在它的一条高线上，则这个三角形一定是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等边三角形 D、等腰直角三角形
10、如图所示，△ABC，D，E，F三点将BC四等分，AG：AC=1：3，H为AB的中点，下列哪一个点为△ABC的重心（ ）
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A、X B、Y
C、Z D、W
考点：三角形的重心。
分析：根据三角形的重心是三角形三条中线的交点．根据题意知AE、CH是三角形的两条中线，则点Z是三角形的重心．
解答：解：∵H为AB的中点
∴CH是三角形的一条中线
∵△AGE≌△CEZ，AG：AC=1：3
∴ZE：AE=1：3
∴AE是三角形的一条中线
∵三角形的重心是三角形三条中线的交点
∴点Z是三角形的重心．
故选C．
点评：考查了三角形的重心的概念．
11、如图所示，已知G为直角△ABC的重心，∠ABC=90°，且AB=12cm，BC=9cm，则△AGD的面积是（ ）
A、9cm2 B、12cm2
C、18cm2 D、20cm2
考点：三角形的重心。
分析：由于G为直角△ABC的重心，所以BG=2GD，AD=DC，根据三角形的面积公式可以推出S△AGD=S△ABD=?S△ABC=
S△ABC，而△ABC的面积根据已知条件可以求出，所以也可以求出△AGD的面积．
解答：解：∵G为直角△ABC的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∴S△AGD=S△ABD=?S△ABC=S△ABC，
而S△ABC=AB×BC=54，
∴S△AGD=9cm2故选A．
点评：本题主要考查了三角形的重心的性质，是需要熟记的内容．
12、G为△ABC的重心，△ABC的三边长满足AB＞BC＞CA，记△GAB，△GBC，△GCA的面积分别为S1、S2、S3，则有（ ）
A、S1＞S2＞S3 B、S1=S2=S3
C、S1＜S2＜S3 D、S1S2S3的大小关系不确定
考点：三角形的重心。
分析：根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，可以延长CG交AB于点D，则可求得S2=S3，同理可证明S1=S2，故S1、S2、S3面积关系可求．
解答：解：如图，延长CG交AB于点D
则△ACD的面积=△BCD的面积，△AGD的面积=△BGD的面积
∴S2=S3
同理可证明S1=S2
∴S1=S2=S3
故选B．
点评：考查了重心的概念．根据三角形的面积公式，可知三角形的重心是三角形三条中线的交点，可以把三角形分割成面积相等的两部分．
13、如图，在△ABC中，D、E、F三点将BC分成四等分，XG：BX=1：3，H为AB中点．则△ABC的重心是（ ）
A、X B、Y
C、Z D、W
考点：三角形的重心。
分析：根据重心的定义得出AE是△ABC边BC的中线，CH是△ABC边BA的中线，即可得出答案．
解答：解：∵D、E、F三点将BC分成四等分，
∴BE=CE，
∴AE是△ABC边BC的中线，
∵H为AB中点，
∴CH是△ABC边BA的中线，
∴交点即是重心．
故选：C．
点评：此题主要考查了重心的定义，掌握三角形的重心的定义找出AE是△ABC边BC的中线，CH是△ABC边BA的中线是解决问题的关键．
14、如果点G是△ABC的重心，D是边BC的中点，那么AG：GD的值为（ ）
A、2 B、
C、 D、
考点：三角形的重心。
分析：根据重心的概念得出AG=2DG，即可得出答案．
解答：解：∵点G是△ABC的重心，D是边BC的中点，
∴那么AG：GD的值为：=2，
故选：A．
点评：此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
15、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且CG=2，则AB长为（ ）
A、2 B、3
C、4 D、6
16、在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果DG=2，那么线段AD的长是（ ）
A、2 B、3
C、6 D、12
考点：三角形的重心。
分析：根据重心的概念得出AG=2DG即可得出答案．
解答：解：∵AD是BC边上的中线，G是重心，如果DG=2，21世纪教育网
∴AG=2DG=4，
∴线段AD的长是6，
故选：C．
点评：此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
17、三角形的重心是（ ）
A、三角形三条角平分线的交点 B、三角形三条中线的交点
C、三角形三条高所在直线的交点 D、三角形三条边的垂直平分线的交点
考点：三角形的重心。
分析：根据三角形的重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点答题．
解答：解：A、三角形三条角平分线的交于一点，这一点是三角形的内心；
B、三角形三条中线的交于一点，这一点是三角形的重心；
C、三角形三条高所在直线的交于一点，这一点是三角形的垂心．
D、三角形三边垂直平分线的交于一点，这一点是三角形的外心．
故选：B．
点评：此题考查了重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点，明确重心的画法是解题的关键．
18、在?ABCD中，AB=6cm，BC=3cm，E为BC的重心，O为?ABCD中的重心，则OE的长是（ ）
A、3cm B、1.5cm
C、4cm D、以上都不对
考点：三角形的重心。21*cnjy*com
分析：根据线段的重心就是它的中点，平行四边形的重心为对角线交点．得出EO是三角形的中位线即可得出答案．
解答：解：∵线段的重心就是它的中点，平行四边形的重心为对角线交点．
∴AO=OB，BE=DE，
∴OE∥CD，
∴EO=CD=3．
故选：A．
点评：此题主要考查了重心的定义以及三角形中位线的性质，根据已知得出线段的重心就是它的中点，平行四边形的重心为对角线交点是解决问题的关键．
19、已知G是△ABC的重心，过G作EF∥BC且与AB、AC分别交于E、F两点，则EF：BC的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：三角形的重心。
分析：如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG=2GP，则AG：AP=2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC=2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC=AF：AC=2：3．
解答：解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．
∵G为△ABC的重心，
∴AG=2GP，
∴AG：AP=2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC=AG：AP=2：3．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AF：AC=2：3．
故选：B．
点评：此题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．
三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．
相似三角形的三边对应成比例．
20、三角形的重心是（ ）
A、三条角平分线的交点 B、三条高的交点
C、三条中线的交点 D、三条边的垂直平分线的交点
考点：三角形的重心。
分析：根据三角形的重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点答题．
解答：解；∵三角形的重心是三角形三条中线的交点，
故选C．
点评：此题考查了重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
二、填空题（共5小题）
21、在等腰△ABC中，CD是底边AB上的高，E是腰BC的中点，AE与CD交于F，现给出三条路线：
（a）A→F→C→E→B→D→A；
（b）A→C→E→B→D→F→A；
（c）A→D→B→E→F→C→A；
它们的长度分别记为L（a）、L（b）及L（c），则L（a）＜L（b），L（a）＜L（c），L（b）＜L（c）中一定能成立的是 L（a）＜L（b） ．
考点：几何不等式；三角形的重心。
专题：推理填空题。
分析：根据题意可以得到F是△ABC的重心．从而得到CF=2DF，AF=2EF，AF=BF，利用L（a）=AF+FC+CB+BA、L（c）=AB+BE+EF+FC+CA得到L（c）﹣L（a）=（AB﹣BD）+（EF﹣FA）+（FC﹣DF）﹣CE=AD+DF﹣CE﹣EF，所以当△ABC为等边三角形时，AD=CE，DF=EF，此时有L（a）﹣L（b）=FC+DA﹣AC﹣DF=DF+DA﹣AC由于当∠ACB较大时，AC与AD可以很接近，取CD足够长可使L（a）＞L（b），结论得出．
解答：解：依题意，知F是△ABC的重心．
∴CF=2DF，AF=2EF，AF=BF，
∵L（a）=AF+FC+CB+BA
L（c）=AB+BE+EF+FC+CA
∴L（c）﹣L（a）=（AB﹣BD）+（EF﹣FA）+（FC﹣DF）﹣CE=AD+DF﹣CE﹣EF
当△ABC为等边三角形时，AD=CE，DF=EF，此时有L（a）﹣L（b）=FC+DA﹣AC﹣DF=DF+DA﹣AC由于当∠ACB较大时，AC与AD可以很接近，取CD足够长可使L（a）＞L（b），如取∠ACB=120°，AC=BC=1，则AD=
∴L（a）﹣L（b）=故L（a）＜L（b）不恒成立．
故答案为L（a）＜L（b）．
点评：本题考查了几何不等式及三角形的重心的知识，在中学阶段重心涉及较少，因此本题属于一道难题．
22、（2008?上海）在△ABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD：DB= 2：1 ．
考点：三角形的重心。
分析：根据三角形的重心性质，结合三角形的中位线定理以及平行线分线段成比例定理知：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
解答：解：∵三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍
∴AD：DB=2：1．
点评：此题考查了三角形的重心的概念和三角形的重心的性质．
23、（2004?上海）在△ABC中，点G是重心，若BC边上的高为6，则点G到BC的距离为 2 ．
考点：三角形的重心。
分析：根据重心的性质，可知AG=2GN，即则=，可求则=，则点G到BC的距离是GM．
解答：解：连接AG并延长交BC与N，过G作GM⊥BC于M，
根据点G是重心，则AG=2GN，
则=，
因而GM=2，
则点G到BC的距离为2．
点评：正确理解重心的性质，转化为三角形相似问题是解决本题的关键．
24、如图，在△ABC中，AT是中线，点G为重心，若TG=2，则AG= 4 ．
考点：三角形的重心。21世纪教育网
分析：根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，直接计算求解．
解答：解：∵角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍
∴AG=2TG=4．
点评：考查了三角形的重心的性质．
25、已知点G是△ABC的重心，AG=6，那么点G与边BC中点之间的距离是 3 ．
考点：三角形的重心。
分析：根据三角形重心的性质进行求解．
解答：解：如图，D是BC边的中点；
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=6，即GD=3；
故点G与边BC中点之间的距离是3．
点评：此题主要考查的是三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
三、解答题（共5小题）
26、有一块厚度均匀的任意四边形木块，如图所示．如何用作图的方法来确定此木块的重心位置？请写出作图步骤．
考点：三角形的重心。
专题：作图题。
分析：如图，先确定四边形ABCD中△ABC的重心P，△ACD的重心Q，△ABD点重心R，△BCD的重心S，则四边形PSQR的对角线的交点即为四边形ABCD的重心．
解答：解：作图步骤：
（1）取AB、BC、CD三边的中点G、E、F，连接AE，AF，DE，DG；
（2）分别在AE，AF，DE，DG上取EP=AE，FQ=AF，ES=DE，GR=DG；
（3）连接PQ，RS交于O点．
O点即为所求．
点评：本题考查了四边形重心的画法．关键是先作出四边形中各三角形的重心，四个重心所组成的四边形的对角线的交点即为原四边形的重心．
27、过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．
考点：三角形的重心。
专题：证明题；分类讨论。
分析：根据题意画图，设△ABC重心为G，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2
连接A1A2；B1B2、C1C2，根据重心的性质可得A1A=A1Bl=B1B，BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A，从而求得图中的9个三角形全等，即9个小三角形的面积均等于△ABC面积的．此时过点C作直线，讨论恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合和不重合两种情况，最后总结结论．
解答：解：设△ABC重心为G，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2
连接A1A2；B1B2、C1C2，
∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍，
∴A1A=A1Bl=B1B，BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A，
∵A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB，
∴图中的9个三角形全等．
即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌≌△C2ClC、
所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC面积的．
若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，则△ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于△ABC面积的．
若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，设此直线交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，
∵GBl=GC2，∠EB1G=∠DC2C，∠B1GE=∠C2GD，
∴△B1GE≌△C2GD、
∴EF分△ABC成两部分的面积之差等于，21世纪教育网版权所有
而这个差的绝对值不会超过S△C1C2C的面积．
从而EF分△ABC成两部分的面积之差不大于△ABC面积的．
综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的．21*cnjy*com
点评：此题考查了重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，综合利用了三角形全等的判定和三角形面积的计算．21世纪教育网
28、为了探究夹角为60°的V形架中放置正多边形钢板的稳定性问题（正多边形的重心就是它的中心，重心越低越稳定），请按以下放置的方式进行计算和猜想：
（1）将一个边长为 20cm的正三角形钢板（用△ABC表示）按图1，图2，图3，的三种方式进行放置．已知在图3中，重心距地面的距离为，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？
（2）若将（l）中的正三角形钢板换成边长为 20cm的正方形钢板（如图4，图5，图6）．已知在图6中，重心距地面的距离约为23.7cm，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？（可能用到的数据：≈1.4；≈1.7；≈2.4）
（3）通过上述计算，若将一个边长为 20cm的正六边形钢板放置于架中（如图7，图8，图9），你认为 图9 的重心最低（只须填图形的编号，不必计算）．
考点：三角形的重心。
分析：（1）根据重心的位置即可得出三种放法中，哪一种放法最稳定；
（2）根据重心的位置即可得出，以及重心性质得出图6的方式最稳定．
（3）根据（1）（2）中结论即可得出图9的方式最稳定．
解答：解：（1）图1中重心距地面的距离为cm，
图2中重心距地面的距离为20cm，
所以图3的方式最稳定．
29、在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，BO与OD的长度有什么关系？请证明．
考点：三角形的重心。
分析：连接DE．根据三角形的中位线定理，得DE∥BC，DE=BC．根据平行得到三角形ODE相似于三角形OBC，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答：解：BO=2OD．理由如下：
连接DE．
∵BD、CE是边AC、AB上的中线，
∴DE∥BC，DE=BC．
∴△ODE∽△OBC，
∴，
即BO=2OD．
点评：此题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质．
30、如图△ABC中，AB=AC，中线BD和中线CE相交于点P，
（1）PB与PC相等吗？请说明你的理由．
（2）连接AP并延长交BC于点F，你会发现与AF有关的结论，请写出两条，并就其中一条发现写出你的发现过程．
考点：三角形的重心。
专题：推理填空题。
分析：（1）可通过证明△EBC≌△DCB求得∠DBC=ECB，即可证明PB与PC相等；
（2）由（1）可得P是△ABC的重心，根据重心的性质写结果．
解答：解：（1）PB与PC相等，理由：
∵AB=AC，BD，CE为△ABC的中线，
∴∠ABC=∠ACB，BE=CD，
又∵BC是公共边，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠DBC=ECB，
∴PB=PC；
（2）AF是△ABC的中线，AP=2PF．发现过程：
∵中线BD和中线CE相交于点P，
∴P是△ABC的重心，
∴AF是△ABC的中线，AP=2PF．
点评：此题考查了重心的概念和性质，综合考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定．
